Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdleme21b Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cdleme21b 39710
Description: Part of proof of Lemma E in [Crawley] p. 115. (Contributed by NM, 28-Nov-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleme21a.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
cdleme21a.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
cdleme21a.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
cdleme21b (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑧) = (𝑆 ∨ 𝑧))) β†’ Β¬ 𝑧 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))
Proof of Theorem cdleme21b
StepHypRef Expression
1 simp23 1205 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑧) = (𝑆 ∨ 𝑧))) β†’ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))
2 simp11 1200 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑧) = (𝑆 ∨ 𝑧))) β†’ 𝐾 ∈ HL)
3 hlcvl 38742 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ CvLat)
42, 3syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑧) = (𝑆 ∨ 𝑧))) β†’ 𝐾 ∈ CvLat)
5 simp3l 1198 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑧) = (𝑆 ∨ 𝑧))) β†’ 𝑧 ∈ 𝐴)
6 simp13 1202 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑧) = (𝑆 ∨ 𝑧))) β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
7 simp12 1201 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑧) = (𝑆 ∨ 𝑧))) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
8 simp21 1203 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑧) = (𝑆 ∨ 𝑧))) β†’ 𝑆 ∈ 𝐴)
9 cdleme21a.l . . . . . . . . 9 ≀ = (leβ€˜πΎ)
10 cdleme21a.j . . . . . . . . 9 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
11 cdleme21a.a . . . . . . . . 9 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
129, 10, 11atnlej1 38763 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ 𝑆 β‰  𝑃)
1312necomd 2990 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ 𝑃 β‰  𝑆)
142, 8, 7, 6, 1, 13syl131anc 1380 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑧) = (𝑆 ∨ 𝑧))) β†’ 𝑃 β‰  𝑆)
15 simp3r 1199 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑧) = (𝑆 ∨ 𝑧))) β†’ (𝑃 ∨ 𝑧) = (𝑆 ∨ 𝑧))
1611, 10cvlsupr5 38729 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 β‰  𝑆 ∧ (𝑃 ∨ 𝑧) = (𝑆 ∨ 𝑧))) β†’ 𝑧 β‰  𝑃)
174, 7, 8, 5, 14, 15, 16syl132anc 1385 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑧) = (𝑆 ∨ 𝑧))) β†’ 𝑧 β‰  𝑃)
189, 10, 11cvlatexch1 38719 . . . . 5 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 β‰  𝑃) β†’ (𝑧 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) β†’ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ 𝑧)))
194, 5, 6, 7, 17, 18syl131anc 1380 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑧) = (𝑆 ∨ 𝑧))) β†’ (𝑧 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) β†’ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ 𝑧)))
2011, 10cvlsupr8 38732 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 β‰  𝑆 ∧ (𝑃 ∨ 𝑧) = (𝑆 ∨ 𝑧))) β†’ (𝑃 ∨ 𝑆) = (𝑃 ∨ 𝑧))
214, 7, 8, 5, 14, 15, 20syl132anc 1385 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑧) = (𝑆 ∨ 𝑧))) β†’ (𝑃 ∨ 𝑆) = (𝑃 ∨ 𝑧))
2221breq2d 5153 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑧) = (𝑆 ∨ 𝑧))) β†’ (𝑄 ≀ (𝑃 ∨ 𝑆) ↔ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ 𝑧)))
2319, 22sylibrd 259 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑧) = (𝑆 ∨ 𝑧))) β†’ (𝑧 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) β†’ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ 𝑆)))
24 simp22 1204 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑧) = (𝑆 ∨ 𝑧))) β†’ 𝑃 β‰  𝑄)
2524necomd 2990 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑧) = (𝑆 ∨ 𝑧))) β†’ 𝑄 β‰  𝑃)
269, 10, 11cvlatexch1 38719 . . . 4 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑄 β‰  𝑃) β†’ (𝑄 ≀ (𝑃 ∨ 𝑆) β†’ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))
274, 6, 8, 7, 25, 26syl131anc 1380 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑧) = (𝑆 ∨ 𝑧))) β†’ (𝑄 ≀ (𝑃 ∨ 𝑆) β†’ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))
2823, 27syld 47 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑧) = (𝑆 ∨ 𝑧))) β†’ (𝑧 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) β†’ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))
291, 28mtod 197 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑧) = (𝑆 ∨ 𝑧))) β†’ Β¬ 𝑧 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934   class class class wbr 5141  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  lecple 17213  joincjn 18276  Atomscatm 38646  CvLatclc 38648  HLchlt 38733
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-proset 18260  df-poset 18278  df-plt 18295  df-lub 18311  df-glb 18312  df-join 18313  df-meet 18314  df-p0 18390  df-lat 18397  df-covers 38649  df-ats 38650  df-atl 38681  df-cvlat 38705  df-hlat 38734
This theorem is referenced by:  cdleme21d  39714  cdleme21e  39715
  Copyright terms: Public domain W3C validator