Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | simp23 1209 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β§ (π§ β π΄ β§ (π β¨ π§) = (π β¨ π§))) β Β¬ π β€ (π β¨ π)) |
2 | | simp11 1204 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β§ (π§ β π΄ β§ (π β¨ π§) = (π β¨ π§))) β πΎ β HL) |
3 | | hlcvl 37867 |
. . . . . 6
β’ (πΎ β HL β πΎ β CvLat) |
4 | 2, 3 | syl 17 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β§ (π§ β π΄ β§ (π β¨ π§) = (π β¨ π§))) β πΎ β CvLat) |
5 | | simp3l 1202 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β§ (π§ β π΄ β§ (π β¨ π§) = (π β¨ π§))) β π§ β π΄) |
6 | | simp13 1206 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β§ (π§ β π΄ β§ (π β¨ π§) = (π β¨ π§))) β π β π΄) |
7 | | simp12 1205 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β§ (π§ β π΄ β§ (π β¨ π§) = (π β¨ π§))) β π β π΄) |
8 | | simp21 1207 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β§ (π§ β π΄ β§ (π β¨ π§) = (π β¨ π§))) β π β π΄) |
9 | | cdleme21a.l |
. . . . . . . . 9
β’ β€ =
(leβπΎ) |
10 | | cdleme21a.j |
. . . . . . . . 9
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
11 | | cdleme21a.a |
. . . . . . . . 9
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
12 | 9, 10, 11 | atnlej1 37888 |
. . . . . . . 8
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β π β π) |
13 | 12 | necomd 2996 |
. . . . . . 7
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β π β π) |
14 | 2, 8, 7, 6, 1, 13 | syl131anc 1384 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β§ (π§ β π΄ β§ (π β¨ π§) = (π β¨ π§))) β π β π) |
15 | | simp3r 1203 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β§ (π§ β π΄ β§ (π β¨ π§) = (π β¨ π§))) β (π β¨ π§) = (π β¨ π§)) |
16 | 11, 10 | cvlsupr5 37854 |
. . . . . 6
β’ ((πΎ β CvLat β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π§ β π΄) β§ (π β π β§ (π β¨ π§) = (π β¨ π§))) β π§ β π) |
17 | 4, 7, 8, 5, 14, 15, 16 | syl132anc 1389 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β§ (π§ β π΄ β§ (π β¨ π§) = (π β¨ π§))) β π§ β π) |
18 | 9, 10, 11 | cvlatexch1 37844 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β CvLat β§ (π§ β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ π§ β π) β (π§ β€ (π β¨ π) β π β€ (π β¨ π§))) |
19 | 4, 5, 6, 7, 17, 18 | syl131anc 1384 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β§ (π§ β π΄ β§ (π β¨ π§) = (π β¨ π§))) β (π§ β€ (π β¨ π) β π β€ (π β¨ π§))) |
20 | 11, 10 | cvlsupr8 37857 |
. . . . . 6
β’ ((πΎ β CvLat β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π§ β π΄) β§ (π β π β§ (π β¨ π§) = (π β¨ π§))) β (π β¨ π) = (π β¨ π§)) |
21 | 4, 7, 8, 5, 14, 15, 20 | syl132anc 1389 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β§ (π§ β π΄ β§ (π β¨ π§) = (π β¨ π§))) β (π β¨ π) = (π β¨ π§)) |
22 | 21 | breq2d 5118 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β§ (π§ β π΄ β§ (π β¨ π§) = (π β¨ π§))) β (π β€ (π β¨ π) β π β€ (π β¨ π§))) |
23 | 19, 22 | sylibrd 259 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β§ (π§ β π΄ β§ (π β¨ π§) = (π β¨ π§))) β (π§ β€ (π β¨ π) β π β€ (π β¨ π))) |
24 | | simp22 1208 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β§ (π§ β π΄ β§ (π β¨ π§) = (π β¨ π§))) β π β π) |
25 | 24 | necomd 2996 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β§ (π§ β π΄ β§ (π β¨ π§) = (π β¨ π§))) β π β π) |
26 | 9, 10, 11 | cvlatexch1 37844 |
. . . 4
β’ ((πΎ β CvLat β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ π β π) β (π β€ (π β¨ π) β π β€ (π β¨ π))) |
27 | 4, 6, 8, 7, 25, 26 | syl131anc 1384 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β§ (π§ β π΄ β§ (π β¨ π§) = (π β¨ π§))) β (π β€ (π β¨ π) β π β€ (π β¨ π))) |
28 | 23, 27 | syld 47 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β§ (π§ β π΄ β§ (π β¨ π§) = (π β¨ π§))) β (π§ β€ (π β¨ π) β π β€ (π β¨ π))) |
29 | 1, 28 | mtod 197 |
1
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β§ (π§ β π΄ β§ (π β¨ π§) = (π β¨ π§))) β Β¬ π§ β€ (π β¨ π)) |