Theorem climrec 43834

Description: Limit of the reciprocal of a converging sequence. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
climrec.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
climrec.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
climrec.3	⊢ (𝜑 → 𝐺 ⇝ 𝐴)
climrec.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
climrec.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) ∈ (ℂ ∖ {0}))
climrec.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐻‘𝑘) = (1 / (𝐺‘𝑘)))
climrec.7	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
climrec	⊢ (𝜑 → 𝐻 ⇝ (1 / 𝐴))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑘   𝐴,𝑘   𝑘,𝐺   𝑘,𝐻   𝑘,𝑍

Allowed substitution hints:   𝑀(𝑘)   𝑊(𝑘)

Proof of Theorem climrec

Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climrec.1	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		climrec.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		climrec.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ⇝ 𝐴)
4		climcl 15381	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ⇝ 𝐴 → 𝐴 ∈ ℂ)
5	3, 4	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
6		climrec.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
7	6	neneqd 2948	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 = 0)
8		c0ex 11149	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
9	8	elsn2 4625	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ {0} ↔ 𝐴 = 0)
10	7, 9	sylnibr 328	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 ∈ {0})
11	5, 10	eldifd 3921	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}))
12		eqidd 2737	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑤)) = (𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑤)))
13		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑤 = 𝑧) → 𝑤 = 𝑧)
14	13	oveq2d 7373	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑤 = 𝑧) → (1 / 𝑤) = (1 / 𝑧))
15		simpr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0})) → 𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}))
16	15	eldifad 3922	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0})) → 𝑧 ∈ ℂ)
17		eldifsni 4750	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) → 𝑧 ≠ 0)
18	17	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0})) → 𝑧 ≠ 0)
19	16, 18	reccld 11924	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (1 / 𝑧) ∈ ℂ)
20	12, 14, 15, 19	fvmptd 6955	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0})) → ((𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑤))‘𝑧) = (1 / 𝑧))
21	20, 19	eqeltrd 2838	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0})) → ((𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑤))‘𝑧) ∈ ℂ)
22		climrec.7	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑊)
23		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (if(1 ≤ ((abs‘𝐴) · 𝑥), 1, ((abs‘𝐴) · 𝑥)) · ((abs‘𝐴) / 2)) = (if(1 ≤ ((abs‘𝐴) · 𝑥), 1, ((abs‘𝐴) · 𝑥)) · ((abs‘𝐴) / 2))
24	23	reccn2 15479	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0})((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴))) < 𝑥))
25	11, 24	sylan 580	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0})((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴))) < 𝑥))
26		eqidd 2737	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) → (𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑤)) = (𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑤)))
27		simpr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑤 = 𝑧) → 𝑤 = 𝑧)
28	27	oveq2d 7373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑤 = 𝑧) → (1 / 𝑤) = (1 / 𝑧))
29		id 22	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) → 𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}))
30		eldifi 4086	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) → 𝑧 ∈ ℂ)
31	30, 17	reccld 11924	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) → (1 / 𝑧) ∈ ℂ)
32	26, 28, 29, 31	fvmptd 6955	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) → ((𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑤))‘𝑧) = (1 / 𝑧))
33	32	ad2antlr 725	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) → ((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴))) < 𝑥))) ∧ 𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦) → ((𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑤))‘𝑧) = (1 / 𝑧))
34		eqidd 2737	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑤)) = (𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑤)))
35		simpr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 = 𝐴) → 𝑤 = 𝐴)
36	35	oveq2d 7373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 = 𝐴) → (1 / 𝑤) = (1 / 𝐴))
37	5, 6	reccld 11924	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)
38	34, 36, 11, 37	fvmptd 6955	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑤))‘𝐴) = (1 / 𝐴))
39	38	ad4antr 730	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) → ((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴))) < 𝑥))) ∧ 𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦) → ((𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑤))‘𝐴) = (1 / 𝐴))
40	33, 39	oveq12d 7375	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) → ((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴))) < 𝑥))) ∧ 𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦) → (((𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑤))‘𝑧) − ((𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑤))‘𝐴)) = ((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴)))
41	40	fveq2d 6846	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) → ((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴))) < 𝑥))) ∧ 𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦) → (abs‘(((𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑤))‘𝑧) − ((𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑤))‘𝐴))) = (abs‘((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴))))
42	29	ad2antlr 725	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) → ((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴))) < 𝑥))) ∧ 𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦) → 𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}))
43		simpr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) → ((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴))) < 𝑥))) ∧ 𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦) → (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦)
44		simpllr 774	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) → ((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴))) < 𝑥))) ∧ 𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦) → (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) → ((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴))) < 𝑥)))
45	42, 43, 44	mp2d 49	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) → ((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴))) < 𝑥))) ∧ 𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦) → (abs‘((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴))) < 𝑥)
46	41, 45	eqbrtrd 5127	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) → ((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴))) < 𝑥))) ∧ 𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦) → (abs‘(((𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑤))‘𝑧) − ((𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑤))‘𝐴))) < 𝑥)
47	46	exp41 435	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) → ((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴))) < 𝑥)) → (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) → ((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘(((𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑤))‘𝑧) − ((𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑤))‘𝐴))) < 𝑥))))
48	47	ralimdv2 3160	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∀𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0})((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴))) < 𝑥) → ∀𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0})((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘(((𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑤))‘𝑧) − ((𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑤))‘𝐴))) < 𝑥)))
49	48	reximdv 3167	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0})((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴))) < 𝑥) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0})((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘(((𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑤))‘𝑧) − ((𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑤))‘𝐴))) < 𝑥)))
50	25, 49	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0})((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘(((𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑤))‘𝑧) − ((𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑤))‘𝐴))) < 𝑥))
51		climrec.5	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) ∈ (ℂ ∖ {0}))
52		climrec.6	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐻‘𝑘) = (1 / (𝐺‘𝑘)))
53		eqidd 2737	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑤)) = (𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑤)))
54		oveq2 7365	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = (𝐺‘𝑘) → (1 / 𝑤) = (1 / (𝐺‘𝑘)))
55	54	adantl 482	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑤 = (𝐺‘𝑘)) → (1 / 𝑤) = (1 / (𝐺‘𝑘)))
56	51	eldifad 3922	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ)
57		eldifsni 4750	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺‘𝑘) ∈ (ℂ ∖ {0}) → (𝐺‘𝑘) ≠ 0)
58	51, 57	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) ≠ 0)
59	56, 58	reccld 11924	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (1 / (𝐺‘𝑘)) ∈ ℂ)
60	53, 55, 51, 59	fvmptd 6955	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑤))‘(𝐺‘𝑘)) = (1 / (𝐺‘𝑘)))
61	52, 60	eqtr4d 2779	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐻‘𝑘) = ((𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑤))‘(𝐺‘𝑘)))
62	1, 2, 11, 21, 3, 22, 50, 51, 61	climcn1 15474	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ⇝ ((𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑤))‘𝐴))
63	62, 38	breqtrd 5131	1 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ⇝ (1 / 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∀wral 3064  ∃wrex 3073   ∖ cdif 3907  ifcif 4486  {csn 4586   class class class wbr 5105   ↦ cmpt 5188  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357  ℂcc 11049  0cc0 11051  1c1 11052   · cmul 11056   < clt 11189   ≤ cle 11190   − cmin 11385   / cdiv 11812  2c2 12208  ℤcz 12499  ℤ_≥cuz 12763  ℝ⁺crp 12915  abscabs 15119   ⇝ cli 15366

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9378  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-seq 13907  df-exp 13968  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-clim 15370

This theorem is referenced by:  climrecf  43840  wallispi  44301