Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  climrec Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climrec 44617
Description: Limit of the reciprocal of a converging sequence. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
climrec.1 ๐‘ = (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)
climrec.2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
climrec.3 (๐œ‘ โ†’ ๐บ โ‡ ๐ด)
climrec.4 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โ‰  0)
climrec.5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐บโ€˜๐‘˜) โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}))
climrec.6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐ปโ€˜๐‘˜) = (1 / (๐บโ€˜๐‘˜)))
climrec.7 (๐œ‘ โ†’ ๐ป โˆˆ ๐‘Š)
Assertion
Ref Expression
climrec (๐œ‘ โ†’ ๐ป โ‡ (1 / ๐ด))
Distinct variable groups:   ๐œ‘,๐‘˜   ๐ด,๐‘˜   ๐‘˜,๐บ   ๐‘˜,๐ป   ๐‘˜,๐‘
Allowed substitution hints:   ๐‘€(๐‘˜)   ๐‘Š(๐‘˜)

Proof of Theorem climrec
Dummy variables ๐‘ค ๐‘ฅ ๐‘ฆ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climrec.1 . . 3 ๐‘ = (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)
2 climrec.2 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
3 climrec.3 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐บ โ‡ ๐ด)
4 climcl 15447 . . . . 5 (๐บ โ‡ ๐ด โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
53, 4syl 17 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
6 climrec.4 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โ‰  0)
76neneqd 2943 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ยฌ ๐ด = 0)
8 c0ex 11212 . . . . . 6 0 โˆˆ V
98elsn2 4666 . . . . 5 (๐ด โˆˆ {0} โ†” ๐ด = 0)
107, 9sylnibr 328 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ยฌ ๐ด โˆˆ {0})
115, 10eldifd 3958 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}))
12 eqidd 2731 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ง โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0})) โ†’ (๐‘ค โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โ†ฆ (1 / ๐‘ค)) = (๐‘ค โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โ†ฆ (1 / ๐‘ค)))
13 simpr 483 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ง โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0})) โˆง ๐‘ค = ๐‘ง) โ†’ ๐‘ค = ๐‘ง)
1413oveq2d 7427 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ง โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0})) โˆง ๐‘ค = ๐‘ง) โ†’ (1 / ๐‘ค) = (1 / ๐‘ง))
15 simpr 483 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ง โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0})) โ†’ ๐‘ง โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}))
1615eldifad 3959 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ง โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0})) โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„‚)
17 eldifsni 4792 . . . . . . 7 (๐‘ง โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โ†’ ๐‘ง โ‰  0)
1817adantl 480 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ง โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0})) โ†’ ๐‘ง โ‰  0)
1916, 18reccld 11987 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ง โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0})) โ†’ (1 / ๐‘ง) โˆˆ โ„‚)
2012, 14, 15, 19fvmptd 7004 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ง โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0})) โ†’ ((๐‘ค โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โ†ฆ (1 / ๐‘ค))โ€˜๐‘ง) = (1 / ๐‘ง))
2120, 19eqeltrd 2831 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ง โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0})) โ†’ ((๐‘ค โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โ†ฆ (1 / ๐‘ค))โ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„‚)
22 climrec.7 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ป โˆˆ ๐‘Š)
23 eqid 2730 . . . . . 6 (if(1 โ‰ค ((absโ€˜๐ด) ยท ๐‘ฅ), 1, ((absโ€˜๐ด) ยท ๐‘ฅ)) ยท ((absโ€˜๐ด) / 2)) = (if(1 โ‰ค ((absโ€˜๐ด) ยท ๐‘ฅ), 1, ((absโ€˜๐ด) ยท ๐‘ฅ)) ยท ((absโ€˜๐ด) / 2))
2423reccn2 15545 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘ง โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0})((absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘ฆ โ†’ (absโ€˜((1 / ๐‘ง) โˆ’ (1 / ๐ด))) < ๐‘ฅ))
2511, 24sylan 578 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘ง โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0})((absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘ฆ โ†’ (absโ€˜((1 / ๐‘ง) โˆ’ (1 / ๐ด))) < ๐‘ฅ))
26 eqidd 2731 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ง โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โ†’ (๐‘ค โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โ†ฆ (1 / ๐‘ค)) = (๐‘ค โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โ†ฆ (1 / ๐‘ค)))
27 simpr 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ง โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง ๐‘ค = ๐‘ง) โ†’ ๐‘ค = ๐‘ง)
2827oveq2d 7427 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ง โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง ๐‘ค = ๐‘ง) โ†’ (1 / ๐‘ค) = (1 / ๐‘ง))
29 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ง โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โ†’ ๐‘ง โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}))
30 eldifi 4125 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ง โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„‚)
3130, 17reccld 11987 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ง โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โ†’ (1 / ๐‘ง) โˆˆ โ„‚)
3226, 28, 29, 31fvmptd 7004 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ง โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โ†’ ((๐‘ค โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โ†ฆ (1 / ๐‘ค))โ€˜๐‘ง) = (1 / ๐‘ง))
3332ad2antlr 723 . . . . . . . . . 10 (((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ง โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โ†’ ((absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘ฆ โ†’ (absโ€˜((1 / ๐‘ง) โˆ’ (1 / ๐ด))) < ๐‘ฅ))) โˆง ๐‘ง โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0})) โˆง (absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘ฆ) โ†’ ((๐‘ค โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โ†ฆ (1 / ๐‘ค))โ€˜๐‘ง) = (1 / ๐‘ง))
34 eqidd 2731 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ค โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โ†ฆ (1 / ๐‘ค)) = (๐‘ค โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โ†ฆ (1 / ๐‘ค)))
35 simpr 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ค = ๐ด) โ†’ ๐‘ค = ๐ด)
3635oveq2d 7427 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ค = ๐ด) โ†’ (1 / ๐‘ค) = (1 / ๐ด))
375, 6reccld 11987 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (1 / ๐ด) โˆˆ โ„‚)
3834, 36, 11, 37fvmptd 7004 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ค โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โ†ฆ (1 / ๐‘ค))โ€˜๐ด) = (1 / ๐ด))
3938ad4antr 728 . . . . . . . . . 10 (((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ง โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โ†’ ((absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘ฆ โ†’ (absโ€˜((1 / ๐‘ง) โˆ’ (1 / ๐ด))) < ๐‘ฅ))) โˆง ๐‘ง โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0})) โˆง (absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘ฆ) โ†’ ((๐‘ค โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โ†ฆ (1 / ๐‘ค))โ€˜๐ด) = (1 / ๐ด))
4033, 39oveq12d 7429 . . . . . . . . 9 (((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ง โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โ†’ ((absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘ฆ โ†’ (absโ€˜((1 / ๐‘ง) โˆ’ (1 / ๐ด))) < ๐‘ฅ))) โˆง ๐‘ง โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0})) โˆง (absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘ฆ) โ†’ (((๐‘ค โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โ†ฆ (1 / ๐‘ค))โ€˜๐‘ง) โˆ’ ((๐‘ค โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โ†ฆ (1 / ๐‘ค))โ€˜๐ด)) = ((1 / ๐‘ง) โˆ’ (1 / ๐ด)))
4140fveq2d 6894 . . . . . . . 8 (((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ง โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โ†’ ((absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘ฆ โ†’ (absโ€˜((1 / ๐‘ง) โˆ’ (1 / ๐ด))) < ๐‘ฅ))) โˆง ๐‘ง โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0})) โˆง (absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘ฆ) โ†’ (absโ€˜(((๐‘ค โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โ†ฆ (1 / ๐‘ค))โ€˜๐‘ง) โˆ’ ((๐‘ค โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โ†ฆ (1 / ๐‘ค))โ€˜๐ด))) = (absโ€˜((1 / ๐‘ง) โˆ’ (1 / ๐ด))))
4229ad2antlr 723 . . . . . . . . 9 (((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ง โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โ†’ ((absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘ฆ โ†’ (absโ€˜((1 / ๐‘ง) โˆ’ (1 / ๐ด))) < ๐‘ฅ))) โˆง ๐‘ง โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0})) โˆง (absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘ฆ) โ†’ ๐‘ง โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}))
43 simpr 483 . . . . . . . . 9 (((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ง โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โ†’ ((absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘ฆ โ†’ (absโ€˜((1 / ๐‘ง) โˆ’ (1 / ๐ด))) < ๐‘ฅ))) โˆง ๐‘ง โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0})) โˆง (absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘ฆ) โ†’ (absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘ฆ)
44 simpllr 772 . . . . . . . . 9 (((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ง โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โ†’ ((absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘ฆ โ†’ (absโ€˜((1 / ๐‘ง) โˆ’ (1 / ๐ด))) < ๐‘ฅ))) โˆง ๐‘ง โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0})) โˆง (absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘ฆ) โ†’ (๐‘ง โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โ†’ ((absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘ฆ โ†’ (absโ€˜((1 / ๐‘ง) โˆ’ (1 / ๐ด))) < ๐‘ฅ)))
4542, 43, 44mp2d 49 . . . . . . . 8 (((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ง โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โ†’ ((absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘ฆ โ†’ (absโ€˜((1 / ๐‘ง) โˆ’ (1 / ๐ด))) < ๐‘ฅ))) โˆง ๐‘ง โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0})) โˆง (absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘ฆ) โ†’ (absโ€˜((1 / ๐‘ง) โˆ’ (1 / ๐ด))) < ๐‘ฅ)
4641, 45eqbrtrd 5169 . . . . . . 7 (((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ง โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โ†’ ((absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘ฆ โ†’ (absโ€˜((1 / ๐‘ง) โˆ’ (1 / ๐ด))) < ๐‘ฅ))) โˆง ๐‘ง โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0})) โˆง (absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘ฆ) โ†’ (absโ€˜(((๐‘ค โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โ†ฆ (1 / ๐‘ค))โ€˜๐‘ง) โˆ’ ((๐‘ค โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โ†ฆ (1 / ๐‘ค))โ€˜๐ด))) < ๐‘ฅ)
4746exp41 433 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐‘ง โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โ†’ ((absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘ฆ โ†’ (absโ€˜((1 / ๐‘ง) โˆ’ (1 / ๐ด))) < ๐‘ฅ)) โ†’ (๐‘ง โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โ†’ ((absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘ฆ โ†’ (absโ€˜(((๐‘ค โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โ†ฆ (1 / ๐‘ค))โ€˜๐‘ง) โˆ’ ((๐‘ค โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โ†ฆ (1 / ๐‘ค))โ€˜๐ด))) < ๐‘ฅ))))
4847ralimdv2 3161 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ (โˆ€๐‘ง โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0})((absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘ฆ โ†’ (absโ€˜((1 / ๐‘ง) โˆ’ (1 / ๐ด))) < ๐‘ฅ) โ†’ โˆ€๐‘ง โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0})((absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘ฆ โ†’ (absโ€˜(((๐‘ค โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โ†ฆ (1 / ๐‘ค))โ€˜๐‘ง) โˆ’ ((๐‘ค โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โ†ฆ (1 / ๐‘ค))โ€˜๐ด))) < ๐‘ฅ)))
4948reximdv 3168 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ (โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘ง โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0})((absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘ฆ โ†’ (absโ€˜((1 / ๐‘ง) โˆ’ (1 / ๐ด))) < ๐‘ฅ) โ†’ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘ง โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0})((absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘ฆ โ†’ (absโ€˜(((๐‘ค โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โ†ฆ (1 / ๐‘ค))โ€˜๐‘ง) โˆ’ ((๐‘ค โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โ†ฆ (1 / ๐‘ค))โ€˜๐ด))) < ๐‘ฅ)))
5025, 49mpd 15 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘ง โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0})((absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘ฆ โ†’ (absโ€˜(((๐‘ค โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โ†ฆ (1 / ๐‘ค))โ€˜๐‘ง) โˆ’ ((๐‘ค โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โ†ฆ (1 / ๐‘ค))โ€˜๐ด))) < ๐‘ฅ))
51 climrec.5 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐บโ€˜๐‘˜) โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}))
52 climrec.6 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐ปโ€˜๐‘˜) = (1 / (๐บโ€˜๐‘˜)))
53 eqidd 2731 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘ค โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โ†ฆ (1 / ๐‘ค)) = (๐‘ค โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โ†ฆ (1 / ๐‘ค)))
54 oveq2 7419 . . . . . 6 (๐‘ค = (๐บโ€˜๐‘˜) โ†’ (1 / ๐‘ค) = (1 / (๐บโ€˜๐‘˜)))
5554adantl 480 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘ค = (๐บโ€˜๐‘˜)) โ†’ (1 / ๐‘ค) = (1 / (๐บโ€˜๐‘˜)))
5651eldifad 3959 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐บโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
57 eldifsni 4792 . . . . . . 7 ((๐บโ€˜๐‘˜) โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โ†’ (๐บโ€˜๐‘˜) โ‰  0)
5851, 57syl 17 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐บโ€˜๐‘˜) โ‰  0)
5956, 58reccld 11987 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (1 / (๐บโ€˜๐‘˜)) โˆˆ โ„‚)
6053, 55, 51, 59fvmptd 7004 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ ((๐‘ค โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โ†ฆ (1 / ๐‘ค))โ€˜(๐บโ€˜๐‘˜)) = (1 / (๐บโ€˜๐‘˜)))
6152, 60eqtr4d 2773 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐ปโ€˜๐‘˜) = ((๐‘ค โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โ†ฆ (1 / ๐‘ค))โ€˜(๐บโ€˜๐‘˜)))
621, 2, 11, 21, 3, 22, 50, 51, 61climcn1 15540 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐ป โ‡ ((๐‘ค โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โ†ฆ (1 / ๐‘ค))โ€˜๐ด))
6362, 38breqtrd 5173 1 (๐œ‘ โ†’ ๐ป โ‡ (1 / ๐ด))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   = wceq 1539   โˆˆ wcel 2104   โ‰  wne 2938  โˆ€wral 3059  โˆƒwrex 3068   โˆ– cdif 3944  ifcif 4527  {csn 4627   class class class wbr 5147   โ†ฆ cmpt 5230  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  โ„‚cc 11110  0cc0 11112  1c1 11113   ยท cmul 11117   < clt 11252   โ‰ค cle 11253   โˆ’ cmin 11448   / cdiv 11875  2c2 12271  โ„คcz 12562  โ„คโ‰ฅcuz 12826  โ„+crp 12978  abscabs 15185   โ‡ cli 15432
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12979  df-seq 13971  df-exp 14032  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15436
This theorem is referenced by:  climrecf  44623  wallispi  45084
  Copyright terms: Public domain W3C validator