Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  climrec Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climrec 45126
Description: Limit of the reciprocal of a converging sequence. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
climrec.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
climrec.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
climrec.3 (𝜑𝐺𝐴)
climrec.4 (𝜑𝐴 ≠ 0)
climrec.5 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) ∈ (ℂ ∖ {0}))
climrec.6 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐻𝑘) = (1 / (𝐺𝑘)))
climrec.7 (𝜑𝐻𝑊)
Assertion
Ref Expression
climrec (𝜑𝐻 ⇝ (1 / 𝐴))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑘   𝐴,𝑘   𝑘,𝐺   𝑘,𝐻   𝑘,𝑍
Allowed substitution hints:   𝑀(𝑘)   𝑊(𝑘)

Proof of Theorem climrec
Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climrec.1 . . 3 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 climrec.2 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
3 climrec.3 . . . . 5 (𝜑𝐺𝐴)
4 climcl 15479 . . . . 5 (𝐺𝐴𝐴 ∈ ℂ)
53, 4syl 17 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
6 climrec.4 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ≠ 0)
76neneqd 2934 . . . . 5 (𝜑 → ¬ 𝐴 = 0)
8 c0ex 11240 . . . . . 6 0 ∈ V
98elsn2 4669 . . . . 5 (𝐴 ∈ {0} ↔ 𝐴 = 0)
107, 9sylnibr 328 . . . 4 (𝜑 → ¬ 𝐴 ∈ {0})
115, 10eldifd 3955 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}))
12 eqidd 2726 . . . . 5 ((𝜑𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑤)) = (𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑤)))
13 simpr 483 . . . . . 6 (((𝜑𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑤 = 𝑧) → 𝑤 = 𝑧)
1413oveq2d 7435 . . . . 5 (((𝜑𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑤 = 𝑧) → (1 / 𝑤) = (1 / 𝑧))
15 simpr 483 . . . . 5 ((𝜑𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0})) → 𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}))
1615eldifad 3956 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0})) → 𝑧 ∈ ℂ)
17 eldifsni 4795 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) → 𝑧 ≠ 0)
1817adantl 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0})) → 𝑧 ≠ 0)
1916, 18reccld 12016 . . . . 5 ((𝜑𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (1 / 𝑧) ∈ ℂ)
2012, 14, 15, 19fvmptd 7011 . . . 4 ((𝜑𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0})) → ((𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑤))‘𝑧) = (1 / 𝑧))
2120, 19eqeltrd 2825 . . 3 ((𝜑𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0})) → ((𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑤))‘𝑧) ∈ ℂ)
22 climrec.7 . . 3 (𝜑𝐻𝑊)
23 eqid 2725 . . . . . 6 (if(1 ≤ ((abs‘𝐴) · 𝑥), 1, ((abs‘𝐴) · 𝑥)) · ((abs‘𝐴) / 2)) = (if(1 ≤ ((abs‘𝐴) · 𝑥), 1, ((abs‘𝐴) · 𝑥)) · ((abs‘𝐴) / 2))
2423reccn2 15577 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0})((abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴))) < 𝑥))
2511, 24sylan 578 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0})((abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴))) < 𝑥))
26 eqidd 2726 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) → (𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑤)) = (𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑤)))
27 simpr 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑤 = 𝑧) → 𝑤 = 𝑧)
2827oveq2d 7435 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑤 = 𝑧) → (1 / 𝑤) = (1 / 𝑧))
29 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) → 𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}))
30 eldifi 4123 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) → 𝑧 ∈ ℂ)
3130, 17reccld 12016 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) → (1 / 𝑧) ∈ ℂ)
3226, 28, 29, 31fvmptd 7011 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) → ((𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑤))‘𝑧) = (1 / 𝑧))
3332ad2antlr 725 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) → ((abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴))) < 𝑥))) ∧ 𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑦) → ((𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑤))‘𝑧) = (1 / 𝑧))
34 eqidd 2726 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑤)) = (𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑤)))
35 simpr 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑤 = 𝐴) → 𝑤 = 𝐴)
3635oveq2d 7435 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑤 = 𝐴) → (1 / 𝑤) = (1 / 𝐴))
375, 6reccld 12016 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)
3834, 36, 11, 37fvmptd 7011 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑤))‘𝐴) = (1 / 𝐴))
3938ad4antr 730 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) → ((abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴))) < 𝑥))) ∧ 𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑦) → ((𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑤))‘𝐴) = (1 / 𝐴))
4033, 39oveq12d 7437 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) → ((abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴))) < 𝑥))) ∧ 𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑦) → (((𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑤))‘𝑧) − ((𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑤))‘𝐴)) = ((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴)))
4140fveq2d 6900 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) → ((abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴))) < 𝑥))) ∧ 𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑦) → (abs‘(((𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑤))‘𝑧) − ((𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑤))‘𝐴))) = (abs‘((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴))))
4229ad2antlr 725 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) → ((abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴))) < 𝑥))) ∧ 𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑦) → 𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}))
43 simpr 483 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) → ((abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴))) < 𝑥))) ∧ 𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑦) → (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑦)
44 simpllr 774 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) → ((abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴))) < 𝑥))) ∧ 𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑦) → (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) → ((abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴))) < 𝑥)))
4542, 43, 44mp2d 49 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) → ((abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴))) < 𝑥))) ∧ 𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑦) → (abs‘((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴))) < 𝑥)
4641, 45eqbrtrd 5171 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) → ((abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴))) < 𝑥))) ∧ 𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑦) → (abs‘(((𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑤))‘𝑧) − ((𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑤))‘𝐴))) < 𝑥)
4746exp41 433 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) → ((abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴))) < 𝑥)) → (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) → ((abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑦 → (abs‘(((𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑤))‘𝑧) − ((𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑤))‘𝐴))) < 𝑥))))
4847ralimdv2 3152 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (∀𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0})((abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴))) < 𝑥) → ∀𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0})((abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑦 → (abs‘(((𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑤))‘𝑧) − ((𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑤))‘𝐴))) < 𝑥)))
4948reximdv 3159 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0})((abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴))) < 𝑥) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0})((abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑦 → (abs‘(((𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑤))‘𝑧) − ((𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑤))‘𝐴))) < 𝑥)))
5025, 49mpd 15 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0})((abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑦 → (abs‘(((𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑤))‘𝑧) − ((𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑤))‘𝐴))) < 𝑥))
51 climrec.5 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) ∈ (ℂ ∖ {0}))
52 climrec.6 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐻𝑘) = (1 / (𝐺𝑘)))
53 eqidd 2726 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑤)) = (𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑤)))
54 oveq2 7427 . . . . . 6 (𝑤 = (𝐺𝑘) → (1 / 𝑤) = (1 / (𝐺𝑘)))
5554adantl 480 . . . . 5 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑤 = (𝐺𝑘)) → (1 / 𝑤) = (1 / (𝐺𝑘)))
5651eldifad 3956 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) ∈ ℂ)
57 eldifsni 4795 . . . . . . 7 ((𝐺𝑘) ∈ (ℂ ∖ {0}) → (𝐺𝑘) ≠ 0)
5851, 57syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) ≠ 0)
5956, 58reccld 12016 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → (1 / (𝐺𝑘)) ∈ ℂ)
6053, 55, 51, 59fvmptd 7011 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑤))‘(𝐺𝑘)) = (1 / (𝐺𝑘)))
6152, 60eqtr4d 2768 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐻𝑘) = ((𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑤))‘(𝐺𝑘)))
621, 2, 11, 21, 3, 22, 50, 51, 61climcn1 15572 . 2 (𝜑𝐻 ⇝ ((𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑤))‘𝐴))
6362, 38breqtrd 5175 1 (𝜑𝐻 ⇝ (1 / 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2929  wral 3050  wrex 3059  cdif 3941  ifcif 4530  {csn 4630   class class class wbr 5149  cmpt 5232  cfv 6549  (class class class)co 7419  cc 11138  0cc0 11140  1c1 11141   · cmul 11145   < clt 11280  cle 11281  cmin 11476   / cdiv 11903  2c2 12300  cz 12591  cuz 12855  +crp 13009  abscabs 15217  cli 15464
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217  ax-pre-sup 11218
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-sup 9467  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-div 11904  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-n0 12506  df-z 12592  df-uz 12856  df-rp 13010  df-seq 14003  df-exp 14063  df-cj 15082  df-re 15083  df-im 15084  df-sqrt 15218  df-abs 15219  df-clim 15468
This theorem is referenced by:  climrecf  45132  wallispi  45593
  Copyright terms: Public domain W3C validator