Theorem climrec 45608

Description: Limit of the reciprocal of a converging sequence. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
climrec.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
climrec.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
climrec.3	⊢ (𝜑 → 𝐺 ⇝ 𝐴)
climrec.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
climrec.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) ∈ (ℂ ∖ {0}))
climrec.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐻‘𝑘) = (1 / (𝐺‘𝑘)))
climrec.7	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
climrec	⊢ (𝜑 → 𝐻 ⇝ (1 / 𝐴))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑘   𝐴,𝑘   𝑘,𝐺   𝑘,𝐻   𝑘,𝑍

Allowed substitution hints:   𝑀(𝑘)   𝑊(𝑘)

Proof of Theorem climrec

Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climrec.1	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		climrec.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		climrec.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ⇝ 𝐴)
4		climcl 15472	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ⇝ 𝐴 → 𝐴 ∈ ℂ)
5	3, 4	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
6		climrec.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
7	6	neneqd 2931	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 = 0)
8		c0ex 11175	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
9	8	elsn2 4632	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ {0} ↔ 𝐴 = 0)
10	7, 9	sylnibr 329	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 ∈ {0})
11	5, 10	eldifd 3928	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}))
12		eqidd 2731	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑤)) = (𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑤)))
13		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑤 = 𝑧) → 𝑤 = 𝑧)
14	13	oveq2d 7406	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑤 = 𝑧) → (1 / 𝑤) = (1 / 𝑧))
15		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0})) → 𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}))
16	15	eldifad 3929	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0})) → 𝑧 ∈ ℂ)
17		eldifsni 4757	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) → 𝑧 ≠ 0)
18	17	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0})) → 𝑧 ≠ 0)
19	16, 18	reccld 11958	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (1 / 𝑧) ∈ ℂ)
20	12, 14, 15, 19	fvmptd 6978	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0})) → ((𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑤))‘𝑧) = (1 / 𝑧))
21	20, 19	eqeltrd 2829	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0})) → ((𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑤))‘𝑧) ∈ ℂ)
22		climrec.7	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑊)
23		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (if(1 ≤ ((abs‘𝐴) · 𝑥), 1, ((abs‘𝐴) · 𝑥)) · ((abs‘𝐴) / 2)) = (if(1 ≤ ((abs‘𝐴) · 𝑥), 1, ((abs‘𝐴) · 𝑥)) · ((abs‘𝐴) / 2))
24	23	reccn2 15570	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0})((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴))) < 𝑥))
25	11, 24	sylan 580	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0})((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴))) < 𝑥))
26		eqidd 2731	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) → (𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑤)) = (𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑤)))
27		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑤 = 𝑧) → 𝑤 = 𝑧)
28	27	oveq2d 7406	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑤 = 𝑧) → (1 / 𝑤) = (1 / 𝑧))
29		id 22	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) → 𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}))
30		eldifi 4097	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) → 𝑧 ∈ ℂ)
31	30, 17	reccld 11958	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) → (1 / 𝑧) ∈ ℂ)
32	26, 28, 29, 31	fvmptd 6978	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) → ((𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑤))‘𝑧) = (1 / 𝑧))
33	32	ad2antlr 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) → ((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴))) < 𝑥))) ∧ 𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦) → ((𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑤))‘𝑧) = (1 / 𝑧))
34		eqidd 2731	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑤)) = (𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑤)))
35		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 = 𝐴) → 𝑤 = 𝐴)
36	35	oveq2d 7406	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 = 𝐴) → (1 / 𝑤) = (1 / 𝐴))
37	5, 6	reccld 11958	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)
38	34, 36, 11, 37	fvmptd 6978	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑤))‘𝐴) = (1 / 𝐴))
39	38	ad4antr 732	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) → ((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴))) < 𝑥))) ∧ 𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦) → ((𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑤))‘𝐴) = (1 / 𝐴))
40	33, 39	oveq12d 7408	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) → ((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴))) < 𝑥))) ∧ 𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦) → (((𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑤))‘𝑧) − ((𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑤))‘𝐴)) = ((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴)))
41	40	fveq2d 6865	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) → ((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴))) < 𝑥))) ∧ 𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦) → (abs‘(((𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑤))‘𝑧) − ((𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑤))‘𝐴))) = (abs‘((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴))))
42	29	ad2antlr 727	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) → ((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴))) < 𝑥))) ∧ 𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦) → 𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}))
43		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) → ((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴))) < 𝑥))) ∧ 𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦) → (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦)
44		simpllr 775	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) → ((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴))) < 𝑥))) ∧ 𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦) → (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) → ((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴))) < 𝑥)))
45	42, 43, 44	mp2d 49	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) → ((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴))) < 𝑥))) ∧ 𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦) → (abs‘((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴))) < 𝑥)
46	41, 45	eqbrtrd 5132	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) → ((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴))) < 𝑥))) ∧ 𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦) → (abs‘(((𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑤))‘𝑧) − ((𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑤))‘𝐴))) < 𝑥)
47	46	exp41 434	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) → ((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴))) < 𝑥)) → (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) → ((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘(((𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑤))‘𝑧) − ((𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑤))‘𝐴))) < 𝑥))))
48	47	ralimdv2 3143	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∀𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0})((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴))) < 𝑥) → ∀𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0})((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘(((𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑤))‘𝑧) − ((𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑤))‘𝐴))) < 𝑥)))
49	48	reximdv 3149	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0})((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴))) < 𝑥) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0})((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘(((𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑤))‘𝑧) − ((𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑤))‘𝐴))) < 𝑥)))
50	25, 49	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0})((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘(((𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑤))‘𝑧) − ((𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑤))‘𝐴))) < 𝑥))
51		climrec.5	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) ∈ (ℂ ∖ {0}))
52		climrec.6	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐻‘𝑘) = (1 / (𝐺‘𝑘)))
53		eqidd 2731	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑤)) = (𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑤)))
54		oveq2 7398	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = (𝐺‘𝑘) → (1 / 𝑤) = (1 / (𝐺‘𝑘)))
55	54	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑤 = (𝐺‘𝑘)) → (1 / 𝑤) = (1 / (𝐺‘𝑘)))
56	51	eldifad 3929	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ)
57		eldifsni 4757	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺‘𝑘) ∈ (ℂ ∖ {0}) → (𝐺‘𝑘) ≠ 0)
58	51, 57	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) ≠ 0)
59	56, 58	reccld 11958	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (1 / (𝐺‘𝑘)) ∈ ℂ)
60	53, 55, 51, 59	fvmptd 6978	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑤))‘(𝐺‘𝑘)) = (1 / (𝐺‘𝑘)))
61	52, 60	eqtr4d 2768	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐻‘𝑘) = ((𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑤))‘(𝐺‘𝑘)))
62	1, 2, 11, 21, 3, 22, 50, 51, 61	climcn1 15565	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ⇝ ((𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑤))‘𝐴))
63	62, 38	breqtrd 5136	1 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ⇝ (1 / 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  ∀wral 3045  ∃wrex 3054   ∖ cdif 3914  ifcif 4491  {csn 4592   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5191  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  ℂcc 11073  0cc0 11075  1c1 11076   · cmul 11080   < clt 11215   ≤ cle 11216   − cmin 11412   / cdiv 11842  2c2 12248  ℤcz 12536  ℤ_≥cuz 12800  ℝ⁺crp 12958  abscabs 15207   ⇝ cli 15457

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-sup 9400  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-rp 12959  df-seq 13974  df-exp 14034  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-clim 15461

This theorem is referenced by:  climrecf  45614  wallispi  46075