Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  climrec Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climrec 43851
Description: Limit of the reciprocal of a converging sequence. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
climrec.1 ๐‘ = (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)
climrec.2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
climrec.3 (๐œ‘ โ†’ ๐บ โ‡ ๐ด)
climrec.4 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โ‰  0)
climrec.5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐บโ€˜๐‘˜) โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}))
climrec.6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐ปโ€˜๐‘˜) = (1 / (๐บโ€˜๐‘˜)))
climrec.7 (๐œ‘ โ†’ ๐ป โˆˆ ๐‘Š)
Assertion
Ref Expression
climrec (๐œ‘ โ†’ ๐ป โ‡ (1 / ๐ด))
Distinct variable groups:   ๐œ‘,๐‘˜   ๐ด,๐‘˜   ๐‘˜,๐บ   ๐‘˜,๐ป   ๐‘˜,๐‘
Allowed substitution hints:   ๐‘€(๐‘˜)   ๐‘Š(๐‘˜)

Proof of Theorem climrec
Dummy variables ๐‘ค ๐‘ฅ ๐‘ฆ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climrec.1 . . 3 ๐‘ = (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)
2 climrec.2 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
3 climrec.3 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐บ โ‡ ๐ด)
4 climcl 15382 . . . . 5 (๐บ โ‡ ๐ด โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
53, 4syl 17 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
6 climrec.4 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โ‰  0)
76neneqd 2949 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ยฌ ๐ด = 0)
8 c0ex 11150 . . . . . 6 0 โˆˆ V
98elsn2 4626 . . . . 5 (๐ด โˆˆ {0} โ†” ๐ด = 0)
107, 9sylnibr 329 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ยฌ ๐ด โˆˆ {0})
115, 10eldifd 3922 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}))
12 eqidd 2738 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ง โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0})) โ†’ (๐‘ค โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โ†ฆ (1 / ๐‘ค)) = (๐‘ค โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โ†ฆ (1 / ๐‘ค)))
13 simpr 486 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ง โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0})) โˆง ๐‘ค = ๐‘ง) โ†’ ๐‘ค = ๐‘ง)
1413oveq2d 7374 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ง โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0})) โˆง ๐‘ค = ๐‘ง) โ†’ (1 / ๐‘ค) = (1 / ๐‘ง))
15 simpr 486 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ง โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0})) โ†’ ๐‘ง โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}))
1615eldifad 3923 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ง โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0})) โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„‚)
17 eldifsni 4751 . . . . . . 7 (๐‘ง โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โ†’ ๐‘ง โ‰  0)
1817adantl 483 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ง โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0})) โ†’ ๐‘ง โ‰  0)
1916, 18reccld 11925 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ง โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0})) โ†’ (1 / ๐‘ง) โˆˆ โ„‚)
2012, 14, 15, 19fvmptd 6956 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ง โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0})) โ†’ ((๐‘ค โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โ†ฆ (1 / ๐‘ค))โ€˜๐‘ง) = (1 / ๐‘ง))
2120, 19eqeltrd 2838 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ง โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0})) โ†’ ((๐‘ค โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โ†ฆ (1 / ๐‘ค))โ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„‚)
22 climrec.7 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ป โˆˆ ๐‘Š)
23 eqid 2737 . . . . . 6 (if(1 โ‰ค ((absโ€˜๐ด) ยท ๐‘ฅ), 1, ((absโ€˜๐ด) ยท ๐‘ฅ)) ยท ((absโ€˜๐ด) / 2)) = (if(1 โ‰ค ((absโ€˜๐ด) ยท ๐‘ฅ), 1, ((absโ€˜๐ด) ยท ๐‘ฅ)) ยท ((absโ€˜๐ด) / 2))
2423reccn2 15480 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘ง โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0})((absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘ฆ โ†’ (absโ€˜((1 / ๐‘ง) โˆ’ (1 / ๐ด))) < ๐‘ฅ))
2511, 24sylan 581 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘ง โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0})((absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘ฆ โ†’ (absโ€˜((1 / ๐‘ง) โˆ’ (1 / ๐ด))) < ๐‘ฅ))
26 eqidd 2738 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ง โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โ†’ (๐‘ค โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โ†ฆ (1 / ๐‘ค)) = (๐‘ค โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โ†ฆ (1 / ๐‘ค)))
27 simpr 486 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ง โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง ๐‘ค = ๐‘ง) โ†’ ๐‘ค = ๐‘ง)
2827oveq2d 7374 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ง โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โˆง ๐‘ค = ๐‘ง) โ†’ (1 / ๐‘ค) = (1 / ๐‘ง))
29 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ง โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โ†’ ๐‘ง โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}))
30 eldifi 4087 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ง โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„‚)
3130, 17reccld 11925 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ง โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โ†’ (1 / ๐‘ง) โˆˆ โ„‚)
3226, 28, 29, 31fvmptd 6956 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ง โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โ†’ ((๐‘ค โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โ†ฆ (1 / ๐‘ค))โ€˜๐‘ง) = (1 / ๐‘ง))
3332ad2antlr 726 . . . . . . . . . 10 (((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ง โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โ†’ ((absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘ฆ โ†’ (absโ€˜((1 / ๐‘ง) โˆ’ (1 / ๐ด))) < ๐‘ฅ))) โˆง ๐‘ง โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0})) โˆง (absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘ฆ) โ†’ ((๐‘ค โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โ†ฆ (1 / ๐‘ค))โ€˜๐‘ง) = (1 / ๐‘ง))
34 eqidd 2738 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ค โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โ†ฆ (1 / ๐‘ค)) = (๐‘ค โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โ†ฆ (1 / ๐‘ค)))
35 simpr 486 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ค = ๐ด) โ†’ ๐‘ค = ๐ด)
3635oveq2d 7374 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ค = ๐ด) โ†’ (1 / ๐‘ค) = (1 / ๐ด))
375, 6reccld 11925 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (1 / ๐ด) โˆˆ โ„‚)
3834, 36, 11, 37fvmptd 6956 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ค โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โ†ฆ (1 / ๐‘ค))โ€˜๐ด) = (1 / ๐ด))
3938ad4antr 731 . . . . . . . . . 10 (((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ง โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โ†’ ((absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘ฆ โ†’ (absโ€˜((1 / ๐‘ง) โˆ’ (1 / ๐ด))) < ๐‘ฅ))) โˆง ๐‘ง โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0})) โˆง (absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘ฆ) โ†’ ((๐‘ค โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โ†ฆ (1 / ๐‘ค))โ€˜๐ด) = (1 / ๐ด))
4033, 39oveq12d 7376 . . . . . . . . 9 (((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ง โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โ†’ ((absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘ฆ โ†’ (absโ€˜((1 / ๐‘ง) โˆ’ (1 / ๐ด))) < ๐‘ฅ))) โˆง ๐‘ง โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0})) โˆง (absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘ฆ) โ†’ (((๐‘ค โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โ†ฆ (1 / ๐‘ค))โ€˜๐‘ง) โˆ’ ((๐‘ค โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โ†ฆ (1 / ๐‘ค))โ€˜๐ด)) = ((1 / ๐‘ง) โˆ’ (1 / ๐ด)))
4140fveq2d 6847 . . . . . . . 8 (((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ง โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โ†’ ((absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘ฆ โ†’ (absโ€˜((1 / ๐‘ง) โˆ’ (1 / ๐ด))) < ๐‘ฅ))) โˆง ๐‘ง โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0})) โˆง (absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘ฆ) โ†’ (absโ€˜(((๐‘ค โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โ†ฆ (1 / ๐‘ค))โ€˜๐‘ง) โˆ’ ((๐‘ค โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โ†ฆ (1 / ๐‘ค))โ€˜๐ด))) = (absโ€˜((1 / ๐‘ง) โˆ’ (1 / ๐ด))))
4229ad2antlr 726 . . . . . . . . 9 (((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ง โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โ†’ ((absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘ฆ โ†’ (absโ€˜((1 / ๐‘ง) โˆ’ (1 / ๐ด))) < ๐‘ฅ))) โˆง ๐‘ง โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0})) โˆง (absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘ฆ) โ†’ ๐‘ง โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}))
43 simpr 486 . . . . . . . . 9 (((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ง โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โ†’ ((absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘ฆ โ†’ (absโ€˜((1 / ๐‘ง) โˆ’ (1 / ๐ด))) < ๐‘ฅ))) โˆง ๐‘ง โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0})) โˆง (absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘ฆ) โ†’ (absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘ฆ)
44 simpllr 775 . . . . . . . . 9 (((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ง โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โ†’ ((absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘ฆ โ†’ (absโ€˜((1 / ๐‘ง) โˆ’ (1 / ๐ด))) < ๐‘ฅ))) โˆง ๐‘ง โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0})) โˆง (absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘ฆ) โ†’ (๐‘ง โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โ†’ ((absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘ฆ โ†’ (absโ€˜((1 / ๐‘ง) โˆ’ (1 / ๐ด))) < ๐‘ฅ)))
4542, 43, 44mp2d 49 . . . . . . . 8 (((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ง โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โ†’ ((absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘ฆ โ†’ (absโ€˜((1 / ๐‘ง) โˆ’ (1 / ๐ด))) < ๐‘ฅ))) โˆง ๐‘ง โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0})) โˆง (absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘ฆ) โ†’ (absโ€˜((1 / ๐‘ง) โˆ’ (1 / ๐ด))) < ๐‘ฅ)
4641, 45eqbrtrd 5128 . . . . . . 7 (((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘ง โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โ†’ ((absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘ฆ โ†’ (absโ€˜((1 / ๐‘ง) โˆ’ (1 / ๐ด))) < ๐‘ฅ))) โˆง ๐‘ง โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0})) โˆง (absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘ฆ) โ†’ (absโ€˜(((๐‘ค โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โ†ฆ (1 / ๐‘ค))โ€˜๐‘ง) โˆ’ ((๐‘ค โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โ†ฆ (1 / ๐‘ค))โ€˜๐ด))) < ๐‘ฅ)
4746exp41 436 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐‘ง โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โ†’ ((absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘ฆ โ†’ (absโ€˜((1 / ๐‘ง) โˆ’ (1 / ๐ด))) < ๐‘ฅ)) โ†’ (๐‘ง โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โ†’ ((absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘ฆ โ†’ (absโ€˜(((๐‘ค โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โ†ฆ (1 / ๐‘ค))โ€˜๐‘ง) โˆ’ ((๐‘ค โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โ†ฆ (1 / ๐‘ค))โ€˜๐ด))) < ๐‘ฅ))))
4847ralimdv2 3161 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ (โˆ€๐‘ง โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0})((absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘ฆ โ†’ (absโ€˜((1 / ๐‘ง) โˆ’ (1 / ๐ด))) < ๐‘ฅ) โ†’ โˆ€๐‘ง โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0})((absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘ฆ โ†’ (absโ€˜(((๐‘ค โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โ†ฆ (1 / ๐‘ค))โ€˜๐‘ง) โˆ’ ((๐‘ค โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โ†ฆ (1 / ๐‘ค))โ€˜๐ด))) < ๐‘ฅ)))
4948reximdv 3168 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ (โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘ง โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0})((absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘ฆ โ†’ (absโ€˜((1 / ๐‘ง) โˆ’ (1 / ๐ด))) < ๐‘ฅ) โ†’ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘ง โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0})((absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘ฆ โ†’ (absโ€˜(((๐‘ค โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โ†ฆ (1 / ๐‘ค))โ€˜๐‘ง) โˆ’ ((๐‘ค โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โ†ฆ (1 / ๐‘ค))โ€˜๐ด))) < ๐‘ฅ)))
5025, 49mpd 15 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘ง โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0})((absโ€˜(๐‘ง โˆ’ ๐ด)) < ๐‘ฆ โ†’ (absโ€˜(((๐‘ค โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โ†ฆ (1 / ๐‘ค))โ€˜๐‘ง) โˆ’ ((๐‘ค โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โ†ฆ (1 / ๐‘ค))โ€˜๐ด))) < ๐‘ฅ))
51 climrec.5 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐บโ€˜๐‘˜) โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}))
52 climrec.6 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐ปโ€˜๐‘˜) = (1 / (๐บโ€˜๐‘˜)))
53 eqidd 2738 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘ค โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โ†ฆ (1 / ๐‘ค)) = (๐‘ค โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โ†ฆ (1 / ๐‘ค)))
54 oveq2 7366 . . . . . 6 (๐‘ค = (๐บโ€˜๐‘˜) โ†’ (1 / ๐‘ค) = (1 / (๐บโ€˜๐‘˜)))
5554adantl 483 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘ค = (๐บโ€˜๐‘˜)) โ†’ (1 / ๐‘ค) = (1 / (๐บโ€˜๐‘˜)))
5651eldifad 3923 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐บโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
57 eldifsni 4751 . . . . . . 7 ((๐บโ€˜๐‘˜) โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โ†’ (๐บโ€˜๐‘˜) โ‰  0)
5851, 57syl 17 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐บโ€˜๐‘˜) โ‰  0)
5956, 58reccld 11925 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (1 / (๐บโ€˜๐‘˜)) โˆˆ โ„‚)
6053, 55, 51, 59fvmptd 6956 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ ((๐‘ค โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โ†ฆ (1 / ๐‘ค))โ€˜(๐บโ€˜๐‘˜)) = (1 / (๐บโ€˜๐‘˜)))
6152, 60eqtr4d 2780 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐ปโ€˜๐‘˜) = ((๐‘ค โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โ†ฆ (1 / ๐‘ค))โ€˜(๐บโ€˜๐‘˜)))
621, 2, 11, 21, 3, 22, 50, 51, 61climcn1 15475 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐ป โ‡ ((๐‘ค โˆˆ (โ„‚ โˆ– {0}) โ†ฆ (1 / ๐‘ค))โ€˜๐ด))
6362, 38breqtrd 5132 1 (๐œ‘ โ†’ ๐ป โ‡ (1 / ๐ด))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2944  โˆ€wral 3065  โˆƒwrex 3074   โˆ– cdif 3908  ifcif 4487  {csn 4587   class class class wbr 5106   โ†ฆ cmpt 5189  โ€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  โ„‚cc 11050  0cc0 11052  1c1 11053   ยท cmul 11057   < clt 11190   โ‰ค cle 11191   โˆ’ cmin 11386   / cdiv 11813  2c2 12209  โ„คcz 12500  โ„คโ‰ฅcuz 12764  โ„+crp 12916  abscabs 15120   โ‡ cli 15367
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129  ax-pre-sup 11130
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-sup 9379  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-div 11814  df-nn 12155  df-2 12217  df-3 12218  df-n0 12415  df-z 12501  df-uz 12765  df-rp 12917  df-seq 13908  df-exp 13969  df-cj 14985  df-re 14986  df-im 14987  df-sqrt 15121  df-abs 15122  df-clim 15371
This theorem is referenced by:  climrecf  43857  wallispi  44318
  Copyright terms: Public domain W3C validator