Theorem climrec 46048

Description: Limit of the reciprocal of a converging sequence. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
climrec.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
climrec.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
climrec.3	⊢ (𝜑 → 𝐺 ⇝ 𝐴)
climrec.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
climrec.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) ∈ (ℂ ∖ {0}))
climrec.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐻‘𝑘) = (1 / (𝐺‘𝑘)))
climrec.7	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
climrec	⊢ (𝜑 → 𝐻 ⇝ (1 / 𝐴))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑘   𝐴,𝑘   𝑘,𝐺   𝑘,𝐻   𝑘,𝑍

Allowed substitution hints:   𝑀(𝑘)   𝑊(𝑘)

Proof of Theorem climrec

Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climrec.1	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		climrec.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		climrec.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ⇝ 𝐴)
4		climcl 15452	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ⇝ 𝐴 → 𝐴 ∈ ℂ)
5	3, 4	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
6		climrec.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
7	6	neneqd 2939	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 = 0)
8		c0ex 11129	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
9	8	elsn2 4597	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ {0} ↔ 𝐴 = 0)
10	7, 9	sylnibr 330	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 ∈ {0})
11	5, 10	eldifd 3894	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}))
12		eqidd 2740	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑤)) = (𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑤)))
13		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑤 = 𝑧) → 𝑤 = 𝑧)
14	13	oveq2d 7372	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑤 = 𝑧) → (1 / 𝑤) = (1 / 𝑧))
15		simpr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0})) → 𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}))
16	15	eldifad 3895	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0})) → 𝑧 ∈ ℂ)
17		eldifsni 4723	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) → 𝑧 ≠ 0)
18	17	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0})) → 𝑧 ≠ 0)
19	16, 18	reccld 11915	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (1 / 𝑧) ∈ ℂ)
20	12, 14, 15, 19	fvmptd 6943	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0})) → ((𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑤))‘𝑧) = (1 / 𝑧))
21	20, 19	eqeltrd 2839	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0})) → ((𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑤))‘𝑧) ∈ ℂ)
22		climrec.7	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑊)
23		eqid 2739	. . . . . 6 ⊢ (if(1 ≤ ((abs‘𝐴) · 𝑥), 1, ((abs‘𝐴) · 𝑥)) · ((abs‘𝐴) / 2)) = (if(1 ≤ ((abs‘𝐴) · 𝑥), 1, ((abs‘𝐴) · 𝑥)) · ((abs‘𝐴) / 2))
24	23	reccn2 15550	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0})((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴))) < 𝑥))
25	11, 24	sylan 586	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0})((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴))) < 𝑥))
26		eqidd 2740	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) → (𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑤)) = (𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑤)))
27		simpr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑤 = 𝑧) → 𝑤 = 𝑧)
28	27	oveq2d 7372	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑤 = 𝑧) → (1 / 𝑤) = (1 / 𝑧))
29		id 22	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) → 𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}))
30		eldifi 4061	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) → 𝑧 ∈ ℂ)
31	30, 17	reccld 11915	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) → (1 / 𝑧) ∈ ℂ)
32	26, 28, 29, 31	fvmptd 6943	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) → ((𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑤))‘𝑧) = (1 / 𝑧))
33	32	ad2antlr 733	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) → ((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴))) < 𝑥))) ∧ 𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦) → ((𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑤))‘𝑧) = (1 / 𝑧))
34		eqidd 2740	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑤)) = (𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑤)))
35		simpr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 = 𝐴) → 𝑤 = 𝐴)
36	35	oveq2d 7372	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 = 𝐴) → (1 / 𝑤) = (1 / 𝐴))
37	5, 6	reccld 11915	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)
38	34, 36, 11, 37	fvmptd 6943	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑤))‘𝐴) = (1 / 𝐴))
39	38	ad4antr 738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) → ((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴))) < 𝑥))) ∧ 𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦) → ((𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑤))‘𝐴) = (1 / 𝐴))
40	33, 39	oveq12d 7374	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) → ((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴))) < 𝑥))) ∧ 𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦) → (((𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑤))‘𝑧) − ((𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑤))‘𝐴)) = ((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴)))
41	40	fveq2d 6831	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) → ((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴))) < 𝑥))) ∧ 𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦) → (abs‘(((𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑤))‘𝑧) − ((𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑤))‘𝐴))) = (abs‘((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴))))
42	29	ad2antlr 733	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) → ((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴))) < 𝑥))) ∧ 𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦) → 𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}))
43		simpr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) → ((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴))) < 𝑥))) ∧ 𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦) → (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦)
44		simpllr 781	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) → ((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴))) < 𝑥))) ∧ 𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦) → (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) → ((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴))) < 𝑥)))
45	42, 43, 44	mp2d 49	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) → ((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴))) < 𝑥))) ∧ 𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦) → (abs‘((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴))) < 𝑥)
46	41, 45	eqbrtrd 5094	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) → ((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴))) < 𝑥))) ∧ 𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦) → (abs‘(((𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑤))‘𝑧) − ((𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑤))‘𝐴))) < 𝑥)
47	46	exp41 435	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) → ((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴))) < 𝑥)) → (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) → ((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘(((𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑤))‘𝑧) − ((𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑤))‘𝐴))) < 𝑥))))
48	47	ralimdv2 3148	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∀𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0})((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴))) < 𝑥) → ∀𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0})((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘(((𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑤))‘𝑧) − ((𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑤))‘𝐴))) < 𝑥)))
49	48	reximdv 3154	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0})((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴))) < 𝑥) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0})((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘(((𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑤))‘𝑧) − ((𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑤))‘𝐴))) < 𝑥)))
50	25, 49	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0})((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘(((𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑤))‘𝑧) − ((𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑤))‘𝐴))) < 𝑥))
51		climrec.5	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) ∈ (ℂ ∖ {0}))
52		climrec.6	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐻‘𝑘) = (1 / (𝐺‘𝑘)))
53		eqidd 2740	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑤)) = (𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑤)))
54		oveq2 7364	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = (𝐺‘𝑘) → (1 / 𝑤) = (1 / (𝐺‘𝑘)))
55	54	adantl 482	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑤 = (𝐺‘𝑘)) → (1 / 𝑤) = (1 / (𝐺‘𝑘)))
56	51	eldifad 3895	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ)
57		eldifsni 4723	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺‘𝑘) ∈ (ℂ ∖ {0}) → (𝐺‘𝑘) ≠ 0)
58	51, 57	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) ≠ 0)
59	56, 58	reccld 11915	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (1 / (𝐺‘𝑘)) ∈ ℂ)
60	53, 55, 51, 59	fvmptd 6943	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑤))‘(𝐺‘𝑘)) = (1 / (𝐺‘𝑘)))
61	52, 60	eqtr4d 2777	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐻‘𝑘) = ((𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑤))‘(𝐺‘𝑘)))
62	1, 2, 11, 21, 3, 22, 50, 51, 61	climcn1 15545	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ⇝ ((𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑤))‘𝐴))
63	62, 38	breqtrd 5098	1 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ⇝ (1 / 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2934  ∀wral 3053  ∃wrex 3063   ∖ cdif 3880  ifcif 4454  {csn 4555   class class class wbr 5072   ↦ cmpt 5153  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  ℂcc 11027  0cc0 11029  1c1 11030   · cmul 11034   < clt 11170   ≤ cle 11171   − cmin 11368   / cdiv 11798  2c2 12227  ℤcz 12515  ℤ_≥cuz 12779  ℝ⁺crp 12933  abscabs 15187   ⇝ cli 15437

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9345  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-rp 12934  df-seq 13955  df-exp 14015  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15441

This theorem is referenced by:  climrecf  46054  wallispi  46513