Theorem clim2c 15546

Description: Express the predicate 𝐹 converges to 𝐴. (Contributed by NM, 24-Feb-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
clim2.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
clim2.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
clim2.3	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
clim2.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = 𝐵)
clim2c.5	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
clim2c.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
clim2c	⊢ (𝜑 → (𝐹 ⇝ 𝐴 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(𝐵 − 𝐴)) < 𝑥))

Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝑥,𝐴   𝑗,𝐹,𝑘,𝑥   𝑗,𝑀   𝜑,𝑗,𝑘,𝑥   𝑗,𝑍,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑗,𝑘)   𝑀(𝑥,𝑘)   𝑉(𝑥,𝑗,𝑘)   𝑍(𝑥)

Proof of Theorem clim2c

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clim2c.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2	1	biantrurd 541	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐵 ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵 − 𝐴)) < 𝑥) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐵 ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵 − 𝐴)) < 𝑥))))
3		clim2.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
4	3	uztrn2 12872	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
5		clim2c.6	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℂ)
6	5	biantrurd 541	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((abs‘(𝐵 − 𝐴)) < 𝑥 ↔ (𝐵 ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵 − 𝐴)) < 𝑥)))
7	4, 6	sylan2 604	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → ((abs‘(𝐵 − 𝐴)) < 𝑥 ↔ (𝐵 ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵 − 𝐴)) < 𝑥)))
8	7	anassrs 472	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((abs‘(𝐵 − 𝐴)) < 𝑥 ↔ (𝐵 ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵 − 𝐴)) < 𝑥)))
9	8	ralbidva 3186	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(𝐵 − 𝐴)) < 𝑥 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐵 ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵 − 𝐴)) < 𝑥)))
10	9	rexbidva 3187	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(𝐵 − 𝐴)) < 𝑥 ↔ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐵 ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵 − 𝐴)) < 𝑥)))
11	10	ralbidv 3188	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(𝐵 − 𝐴)) < 𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐵 ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵 − 𝐴)) < 𝑥)))
12		clim2.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
13		clim2.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
14		clim2.4	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = 𝐵)
15	3, 12, 13, 14	clim2 15545	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ⇝ 𝐴 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐵 ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵 − 𝐴)) < 𝑥))))
16	2, 11, 15	3bitr4rd 315	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ⇝ 𝐴 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(𝐵 − 𝐴)) < 𝑥))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  ∀wral 3079  ∃wrex 3089   class class class wbr 5105  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  ℂcc 11086   < clt 11231   − cmin 11429  ℤcz 12582  ℤ_≥cuz 12853  ℝ⁺crp 13007  abscabs 15275   ⇝ cli 15525

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5547  df-po 5560  df-so 5561  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-ov 7403  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-neg 11432  df-z 12583  df-uz 12854  df-clim 15529

This theorem is referenced by:  clim0c  15548  climconst  15584  rlimclim1  15586  2clim  15613  climcn1  15633  climcn2  15634  climsqz  15682  climsqz2  15683  climsup  15711  ulmclm  26508  itgulm  26529  climinf  46180