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Theorem climcn2 14939
Description: Image of a limit under a continuous map, two-arg version. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
climcn2.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
climcn2.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
climcn2.3a (𝜑𝐴𝐶)
climcn2.3b (𝜑𝐵𝐷)
climcn2.4 ((𝜑 ∧ (𝑢𝐶𝑣𝐷)) → (𝑢𝐹𝑣) ∈ ℂ)
climcn2.5a (𝜑𝐺𝐴)
climcn2.5b (𝜑𝐻𝐵)
climcn2.6 (𝜑𝐾𝑊)
climcn2.7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑢𝐶𝑣𝐷 (((abs‘(𝑢𝐴)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢𝐹𝑣) − (𝐴𝐹𝐵))) < 𝑥))
climcn2.8a ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) ∈ 𝐶)
climcn2.8b ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐻𝑘) ∈ 𝐷)
climcn2.9 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐾𝑘) = ((𝐺𝑘)𝐹(𝐻𝑘)))
Assertion
Ref Expression
climcn2 (𝜑𝐾 ⇝ (𝐴𝐹𝐵))
Distinct variable groups:   𝑢,𝑘,𝑣,𝐶   𝐷,𝑘,𝑢,𝑣   𝑦,𝑘,𝑧,𝐻,𝑣   𝑥,𝑘,𝜑,𝑢,𝑦,𝑧,𝑣   𝐴,𝑘,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧   𝑘,𝐺,𝑢,𝑣,𝑦,𝑧   𝑘,𝐾,𝑥   𝑘,𝑍,𝑦,𝑧   𝐵,𝑘,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧   𝑘,𝐹,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑦,𝑧)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑧)   𝐺(𝑥)   𝐻(𝑥,𝑢)   𝐾(𝑦,𝑧,𝑣,𝑢)   𝑀(𝑥,𝑦,𝑧,𝑣,𝑢,𝑘)   𝑊(𝑥,𝑦,𝑧,𝑣,𝑢,𝑘)   𝑍(𝑥,𝑣,𝑢)

Proof of Theorem climcn2
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climcn2.7 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑢𝐶𝑣𝐷 (((abs‘(𝑢𝐴)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢𝐹𝑣) − (𝐴𝐹𝐵))) < 𝑥))
2 climcn2.1 . . . . . . . . 9 𝑍 = (ℤ𝑀)
3 climcn2.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
43adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+)) → 𝑀 ∈ ℤ)
5 simprl 767 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+)) → 𝑦 ∈ ℝ+)
6 eqidd 2827 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) = (𝐺𝑘))
7 climcn2.5a . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐺𝐴)
87adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+)) → 𝐺𝐴)
92, 4, 5, 6, 8climi2 14858 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+)) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑦)
10 simprr 769 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+)) → 𝑧 ∈ ℝ+)
11 eqidd 2827 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) → (𝐻𝑘) = (𝐻𝑘))
12 climcn2.5b . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐻𝐵)
1312adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+)) → 𝐻𝐵)
142, 4, 10, 11, 13climi2 14858 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+)) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐻𝑘) − 𝐵)) < 𝑧)
152rexanuz2 14699 . . . . . . . 8 (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐻𝑘) − 𝐵)) < 𝑧) ↔ (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑦 ∧ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐻𝑘) − 𝐵)) < 𝑧))
169, 14, 15sylanbrc 583 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+)) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐻𝑘) − 𝐵)) < 𝑧))
172uztrn2 12251 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘𝑍)
18 climcn2.8a . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) ∈ 𝐶)
19 climcn2.8b . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐻𝑘) ∈ 𝐷)
20 fvoveq1 7171 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑢 = (𝐺𝑘) → (abs‘(𝑢𝐴)) = (abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)))
2120breq1d 5073 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑢 = (𝐺𝑘) → ((abs‘(𝑢𝐴)) < 𝑦 ↔ (abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑦))
2221anbi1d 629 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑢 = (𝐺𝑘) → (((abs‘(𝑢𝐴)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣𝐵)) < 𝑧) ↔ ((abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣𝐵)) < 𝑧)))
23 oveq1 7155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑢 = (𝐺𝑘) → (𝑢𝐹𝑣) = ((𝐺𝑘)𝐹𝑣))
2423fvoveq1d 7170 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑢 = (𝐺𝑘) → (abs‘((𝑢𝐹𝑣) − (𝐴𝐹𝐵))) = (abs‘(((𝐺𝑘)𝐹𝑣) − (𝐴𝐹𝐵))))
2524breq1d 5073 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑢 = (𝐺𝑘) → ((abs‘((𝑢𝐹𝑣) − (𝐴𝐹𝐵))) < 𝑥 ↔ (abs‘(((𝐺𝑘)𝐹𝑣) − (𝐴𝐹𝐵))) < 𝑥))
2622, 25imbi12d 346 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑢 = (𝐺𝑘) → ((((abs‘(𝑢𝐴)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢𝐹𝑣) − (𝐴𝐹𝐵))) < 𝑥) ↔ (((abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣𝐵)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐺𝑘)𝐹𝑣) − (𝐴𝐹𝐵))) < 𝑥)))
27 fvoveq1 7171 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑣 = (𝐻𝑘) → (abs‘(𝑣𝐵)) = (abs‘((𝐻𝑘) − 𝐵)))
2827breq1d 5073 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑣 = (𝐻𝑘) → ((abs‘(𝑣𝐵)) < 𝑧 ↔ (abs‘((𝐻𝑘) − 𝐵)) < 𝑧))
2928anbi2d 628 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑣 = (𝐻𝑘) → (((abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣𝐵)) < 𝑧) ↔ ((abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐻𝑘) − 𝐵)) < 𝑧)))
30 oveq2 7156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑣 = (𝐻𝑘) → ((𝐺𝑘)𝐹𝑣) = ((𝐺𝑘)𝐹(𝐻𝑘)))
3130fvoveq1d 7170 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑣 = (𝐻𝑘) → (abs‘(((𝐺𝑘)𝐹𝑣) − (𝐴𝐹𝐵))) = (abs‘(((𝐺𝑘)𝐹(𝐻𝑘)) − (𝐴𝐹𝐵))))
3231breq1d 5073 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑣 = (𝐻𝑘) → ((abs‘(((𝐺𝑘)𝐹𝑣) − (𝐴𝐹𝐵))) < 𝑥 ↔ (abs‘(((𝐺𝑘)𝐹(𝐻𝑘)) − (𝐴𝐹𝐵))) < 𝑥))
3329, 32imbi12d 346 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑣 = (𝐻𝑘) → ((((abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣𝐵)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐺𝑘)𝐹𝑣) − (𝐴𝐹𝐵))) < 𝑥) ↔ (((abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐻𝑘) − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐺𝑘)𝐹(𝐻𝑘)) − (𝐴𝐹𝐵))) < 𝑥)))
3426, 33rspc2v 3637 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐺𝑘) ∈ 𝐶 ∧ (𝐻𝑘) ∈ 𝐷) → (∀𝑢𝐶𝑣𝐷 (((abs‘(𝑢𝐴)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢𝐹𝑣) − (𝐴𝐹𝐵))) < 𝑥) → (((abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐻𝑘) − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐺𝑘)𝐹(𝐻𝑘)) − (𝐴𝐹𝐵))) < 𝑥)))
3518, 19, 34syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘𝑍) → (∀𝑢𝐶𝑣𝐷 (((abs‘(𝑢𝐴)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢𝐹𝑣) − (𝐴𝐹𝐵))) < 𝑥) → (((abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐻𝑘) − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐺𝑘)𝐹(𝐻𝑘)) − (𝐴𝐹𝐵))) < 𝑥)))
3635imp 407 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ ∀𝑢𝐶𝑣𝐷 (((abs‘(𝑢𝐴)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢𝐹𝑣) − (𝐴𝐹𝐵))) < 𝑥)) → (((abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐻𝑘) − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐺𝑘)𝐹(𝐻𝑘)) − (𝐴𝐹𝐵))) < 𝑥))
3736an32s 648 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ ∀𝑢𝐶𝑣𝐷 (((abs‘(𝑢𝐴)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢𝐹𝑣) − (𝐴𝐹𝐵))) < 𝑥)) ∧ 𝑘𝑍) → (((abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐻𝑘) − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐺𝑘)𝐹(𝐻𝑘)) − (𝐴𝐹𝐵))) < 𝑥))
3817, 37sylan2 592 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ ∀𝑢𝐶𝑣𝐷 (((abs‘(𝑢𝐴)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢𝐹𝑣) − (𝐴𝐹𝐵))) < 𝑥)) ∧ (𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → (((abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐻𝑘) − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐺𝑘)𝐹(𝐻𝑘)) − (𝐴𝐹𝐵))) < 𝑥))
3938anassrs 468 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ ∀𝑢𝐶𝑣𝐷 (((abs‘(𝑢𝐴)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢𝐹𝑣) − (𝐴𝐹𝐵))) < 𝑥)) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (((abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐻𝑘) − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐺𝑘)𝐹(𝐻𝑘)) − (𝐴𝐹𝐵))) < 𝑥))
4039ralimdva 3182 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ∀𝑢𝐶𝑣𝐷 (((abs‘(𝑢𝐴)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢𝐹𝑣) − (𝐴𝐹𝐵))) < 𝑥)) ∧ 𝑗𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐻𝑘) − 𝐵)) < 𝑧) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(((𝐺𝑘)𝐹(𝐻𝑘)) − (𝐴𝐹𝐵))) < 𝑥))
4140reximdva 3279 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ∀𝑢𝐶𝑣𝐷 (((abs‘(𝑢𝐴)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢𝐹𝑣) − (𝐴𝐹𝐵))) < 𝑥)) → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐻𝑘) − 𝐵)) < 𝑧) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(((𝐺𝑘)𝐹(𝐻𝑘)) − (𝐴𝐹𝐵))) < 𝑥))
4241ex 413 . . . . . . . 8 (𝜑 → (∀𝑢𝐶𝑣𝐷 (((abs‘(𝑢𝐴)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢𝐹𝑣) − (𝐴𝐹𝐵))) < 𝑥) → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐻𝑘) − 𝐵)) < 𝑧) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(((𝐺𝑘)𝐹(𝐻𝑘)) − (𝐴𝐹𝐵))) < 𝑥)))
4342adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+)) → (∀𝑢𝐶𝑣𝐷 (((abs‘(𝑢𝐴)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢𝐹𝑣) − (𝐴𝐹𝐵))) < 𝑥) → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐻𝑘) − 𝐵)) < 𝑧) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(((𝐺𝑘)𝐹(𝐻𝑘)) − (𝐴𝐹𝐵))) < 𝑥)))
4416, 43mpid 44 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+)) → (∀𝑢𝐶𝑣𝐷 (((abs‘(𝑢𝐴)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢𝐹𝑣) − (𝐴𝐹𝐵))) < 𝑥) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(((𝐺𝑘)𝐹(𝐻𝑘)) − (𝐴𝐹𝐵))) < 𝑥))
4544rexlimdvva 3299 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑢𝐶𝑣𝐷 (((abs‘(𝑢𝐴)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢𝐹𝑣) − (𝐴𝐹𝐵))) < 𝑥) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(((𝐺𝑘)𝐹(𝐻𝑘)) − (𝐴𝐹𝐵))) < 𝑥))
4645adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑢𝐶𝑣𝐷 (((abs‘(𝑢𝐴)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢𝐹𝑣) − (𝐴𝐹𝐵))) < 𝑥) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(((𝐺𝑘)𝐹(𝐻𝑘)) − (𝐴𝐹𝐵))) < 𝑥))
471, 46mpd 15 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(((𝐺𝑘)𝐹(𝐻𝑘)) − (𝐴𝐹𝐵))) < 𝑥)
4847ralrimiva 3187 . 2 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(((𝐺𝑘)𝐹(𝐻𝑘)) − (𝐴𝐹𝐵))) < 𝑥)
49 climcn2.6 . . 3 (𝜑𝐾𝑊)
50 climcn2.9 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐾𝑘) = ((𝐺𝑘)𝐹(𝐻𝑘)))
51 climcn2.4 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑢𝐶𝑣𝐷)) → (𝑢𝐹𝑣) ∈ ℂ)
52 climcn2.3a . . . 4 (𝜑𝐴𝐶)
53 climcn2.3b . . . 4 (𝜑𝐵𝐷)
5451, 52, 53caovcld 7331 . . 3 (𝜑 → (𝐴𝐹𝐵) ∈ ℂ)
5518, 19jca 512 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝐺𝑘) ∈ 𝐶 ∧ (𝐻𝑘) ∈ 𝐷))
5651ralrimivva 3196 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑢𝐶𝑣𝐷 (𝑢𝐹𝑣) ∈ ℂ)
5756adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → ∀𝑢𝐶𝑣𝐷 (𝑢𝐹𝑣) ∈ ℂ)
5823eleq1d 2902 . . . . 5 (𝑢 = (𝐺𝑘) → ((𝑢𝐹𝑣) ∈ ℂ ↔ ((𝐺𝑘)𝐹𝑣) ∈ ℂ))
5930eleq1d 2902 . . . . 5 (𝑣 = (𝐻𝑘) → (((𝐺𝑘)𝐹𝑣) ∈ ℂ ↔ ((𝐺𝑘)𝐹(𝐻𝑘)) ∈ ℂ))
6058, 59rspc2v 3637 . . . 4 (((𝐺𝑘) ∈ 𝐶 ∧ (𝐻𝑘) ∈ 𝐷) → (∀𝑢𝐶𝑣𝐷 (𝑢𝐹𝑣) ∈ ℂ → ((𝐺𝑘)𝐹(𝐻𝑘)) ∈ ℂ))
6155, 57, 60sylc 65 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝐺𝑘)𝐹(𝐻𝑘)) ∈ ℂ)
622, 3, 49, 50, 54, 61clim2c 14852 . 2 (𝜑 → (𝐾 ⇝ (𝐴𝐹𝐵) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(((𝐺𝑘)𝐹(𝐻𝑘)) − (𝐴𝐹𝐵))) < 𝑥))
6348, 62mpbird 258 1 (𝜑𝐾 ⇝ (𝐴𝐹𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1530  wcel 2107  wral 3143  wrex 3144   class class class wbr 5063  cfv 6352  (class class class)co 7148  cc 10524   < clt 10664  cmin 10859  cz 11970  cuz 12232  +crp 12379  abscabs 14583  cli 14831
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7451  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-op 4571  df-uni 4838  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-id 5459  df-po 5473  df-so 5474  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-iota 6312  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-ov 7151  df-er 8279  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-neg 10862  df-z 11971  df-uz 12233  df-clim 14835
This theorem is referenced by:  climadd  14978  climmul  14979  climsub  14980
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