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Theorem climcn2 15472
Description: Image of a limit under a continuous map, two-arg version. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
climcn2.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
climcn2.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
climcn2.3a (𝜑𝐴𝐶)
climcn2.3b (𝜑𝐵𝐷)
climcn2.4 ((𝜑 ∧ (𝑢𝐶𝑣𝐷)) → (𝑢𝐹𝑣) ∈ ℂ)
climcn2.5a (𝜑𝐺𝐴)
climcn2.5b (𝜑𝐻𝐵)
climcn2.6 (𝜑𝐾𝑊)
climcn2.7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑢𝐶𝑣𝐷 (((abs‘(𝑢𝐴)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢𝐹𝑣) − (𝐴𝐹𝐵))) < 𝑥))
climcn2.8a ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) ∈ 𝐶)
climcn2.8b ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐻𝑘) ∈ 𝐷)
climcn2.9 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐾𝑘) = ((𝐺𝑘)𝐹(𝐻𝑘)))
Assertion
Ref Expression
climcn2 (𝜑𝐾 ⇝ (𝐴𝐹𝐵))
Distinct variable groups:   𝑢,𝑘,𝑣,𝐶   𝐷,𝑘,𝑢,𝑣   𝑦,𝑘,𝑧,𝐻,𝑣   𝑥,𝑘,𝜑,𝑢,𝑦,𝑧,𝑣   𝐴,𝑘,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧   𝑘,𝐺,𝑢,𝑣,𝑦,𝑧   𝑘,𝐾,𝑥   𝑘,𝑍,𝑦,𝑧   𝐵,𝑘,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧   𝑘,𝐹,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑦,𝑧)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑧)   𝐺(𝑥)   𝐻(𝑥,𝑢)   𝐾(𝑦,𝑧,𝑣,𝑢)   𝑀(𝑥,𝑦,𝑧,𝑣,𝑢,𝑘)   𝑊(𝑥,𝑦,𝑧,𝑣,𝑢,𝑘)   𝑍(𝑥,𝑣,𝑢)

Proof of Theorem climcn2
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climcn2.7 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑢𝐶𝑣𝐷 (((abs‘(𝑢𝐴)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢𝐹𝑣) − (𝐴𝐹𝐵))) < 𝑥))
2 climcn2.1 . . . . . . . . 9 𝑍 = (ℤ𝑀)
3 climcn2.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
43adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+)) → 𝑀 ∈ ℤ)
5 simprl 769 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+)) → 𝑦 ∈ ℝ+)
6 eqidd 2737 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) = (𝐺𝑘))
7 climcn2.5a . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐺𝐴)
87adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+)) → 𝐺𝐴)
92, 4, 5, 6, 8climi2 15390 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+)) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑦)
10 simprr 771 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+)) → 𝑧 ∈ ℝ+)
11 eqidd 2737 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝑍) → (𝐻𝑘) = (𝐻𝑘))
12 climcn2.5b . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐻𝐵)
1312adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+)) → 𝐻𝐵)
142, 4, 10, 11, 13climi2 15390 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+)) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐻𝑘) − 𝐵)) < 𝑧)
152rexanuz2 15231 . . . . . . . 8 (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐻𝑘) − 𝐵)) < 𝑧) ↔ (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑦 ∧ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐻𝑘) − 𝐵)) < 𝑧))
169, 14, 15sylanbrc 583 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+)) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐻𝑘) − 𝐵)) < 𝑧))
172uztrn2 12779 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘𝑍)
18 climcn2.8a . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) ∈ 𝐶)
19 climcn2.8b . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐻𝑘) ∈ 𝐷)
20 fvoveq1 7377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑢 = (𝐺𝑘) → (abs‘(𝑢𝐴)) = (abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)))
2120breq1d 5114 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑢 = (𝐺𝑘) → ((abs‘(𝑢𝐴)) < 𝑦 ↔ (abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑦))
2221anbi1d 630 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑢 = (𝐺𝑘) → (((abs‘(𝑢𝐴)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣𝐵)) < 𝑧) ↔ ((abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣𝐵)) < 𝑧)))
23 oveq1 7361 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑢 = (𝐺𝑘) → (𝑢𝐹𝑣) = ((𝐺𝑘)𝐹𝑣))
2423fvoveq1d 7376 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑢 = (𝐺𝑘) → (abs‘((𝑢𝐹𝑣) − (𝐴𝐹𝐵))) = (abs‘(((𝐺𝑘)𝐹𝑣) − (𝐴𝐹𝐵))))
2524breq1d 5114 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑢 = (𝐺𝑘) → ((abs‘((𝑢𝐹𝑣) − (𝐴𝐹𝐵))) < 𝑥 ↔ (abs‘(((𝐺𝑘)𝐹𝑣) − (𝐴𝐹𝐵))) < 𝑥))
2622, 25imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑢 = (𝐺𝑘) → ((((abs‘(𝑢𝐴)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢𝐹𝑣) − (𝐴𝐹𝐵))) < 𝑥) ↔ (((abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣𝐵)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐺𝑘)𝐹𝑣) − (𝐴𝐹𝐵))) < 𝑥)))
27 fvoveq1 7377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑣 = (𝐻𝑘) → (abs‘(𝑣𝐵)) = (abs‘((𝐻𝑘) − 𝐵)))
2827breq1d 5114 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑣 = (𝐻𝑘) → ((abs‘(𝑣𝐵)) < 𝑧 ↔ (abs‘((𝐻𝑘) − 𝐵)) < 𝑧))
2928anbi2d 629 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑣 = (𝐻𝑘) → (((abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣𝐵)) < 𝑧) ↔ ((abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐻𝑘) − 𝐵)) < 𝑧)))
30 oveq2 7362 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑣 = (𝐻𝑘) → ((𝐺𝑘)𝐹𝑣) = ((𝐺𝑘)𝐹(𝐻𝑘)))
3130fvoveq1d 7376 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑣 = (𝐻𝑘) → (abs‘(((𝐺𝑘)𝐹𝑣) − (𝐴𝐹𝐵))) = (abs‘(((𝐺𝑘)𝐹(𝐻𝑘)) − (𝐴𝐹𝐵))))
3231breq1d 5114 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑣 = (𝐻𝑘) → ((abs‘(((𝐺𝑘)𝐹𝑣) − (𝐴𝐹𝐵))) < 𝑥 ↔ (abs‘(((𝐺𝑘)𝐹(𝐻𝑘)) − (𝐴𝐹𝐵))) < 𝑥))
3329, 32imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑣 = (𝐻𝑘) → ((((abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣𝐵)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐺𝑘)𝐹𝑣) − (𝐴𝐹𝐵))) < 𝑥) ↔ (((abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐻𝑘) − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐺𝑘)𝐹(𝐻𝑘)) − (𝐴𝐹𝐵))) < 𝑥)))
3426, 33rspc2v 3589 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐺𝑘) ∈ 𝐶 ∧ (𝐻𝑘) ∈ 𝐷) → (∀𝑢𝐶𝑣𝐷 (((abs‘(𝑢𝐴)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢𝐹𝑣) − (𝐴𝐹𝐵))) < 𝑥) → (((abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐻𝑘) − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐺𝑘)𝐹(𝐻𝑘)) − (𝐴𝐹𝐵))) < 𝑥)))
3518, 19, 34syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘𝑍) → (∀𝑢𝐶𝑣𝐷 (((abs‘(𝑢𝐴)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢𝐹𝑣) − (𝐴𝐹𝐵))) < 𝑥) → (((abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐻𝑘) − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐺𝑘)𝐹(𝐻𝑘)) − (𝐴𝐹𝐵))) < 𝑥)))
3635imp 407 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ ∀𝑢𝐶𝑣𝐷 (((abs‘(𝑢𝐴)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢𝐹𝑣) − (𝐴𝐹𝐵))) < 𝑥)) → (((abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐻𝑘) − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐺𝑘)𝐹(𝐻𝑘)) − (𝐴𝐹𝐵))) < 𝑥))
3736an32s 650 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ ∀𝑢𝐶𝑣𝐷 (((abs‘(𝑢𝐴)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢𝐹𝑣) − (𝐴𝐹𝐵))) < 𝑥)) ∧ 𝑘𝑍) → (((abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐻𝑘) − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐺𝑘)𝐹(𝐻𝑘)) − (𝐴𝐹𝐵))) < 𝑥))
3817, 37sylan2 593 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ ∀𝑢𝐶𝑣𝐷 (((abs‘(𝑢𝐴)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢𝐹𝑣) − (𝐴𝐹𝐵))) < 𝑥)) ∧ (𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → (((abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐻𝑘) − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐺𝑘)𝐹(𝐻𝑘)) − (𝐴𝐹𝐵))) < 𝑥))
3938anassrs 468 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ ∀𝑢𝐶𝑣𝐷 (((abs‘(𝑢𝐴)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢𝐹𝑣) − (𝐴𝐹𝐵))) < 𝑥)) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (((abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐻𝑘) − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐺𝑘)𝐹(𝐻𝑘)) − (𝐴𝐹𝐵))) < 𝑥))
4039ralimdva 3163 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ∀𝑢𝐶𝑣𝐷 (((abs‘(𝑢𝐴)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢𝐹𝑣) − (𝐴𝐹𝐵))) < 𝑥)) ∧ 𝑗𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐻𝑘) − 𝐵)) < 𝑧) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(((𝐺𝑘)𝐹(𝐻𝑘)) − (𝐴𝐹𝐵))) < 𝑥))
4140reximdva 3164 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ∀𝑢𝐶𝑣𝐷 (((abs‘(𝑢𝐴)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢𝐹𝑣) − (𝐴𝐹𝐵))) < 𝑥)) → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐻𝑘) − 𝐵)) < 𝑧) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(((𝐺𝑘)𝐹(𝐻𝑘)) − (𝐴𝐹𝐵))) < 𝑥))
4241ex 413 . . . . . . . 8 (𝜑 → (∀𝑢𝐶𝑣𝐷 (((abs‘(𝑢𝐴)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢𝐹𝑣) − (𝐴𝐹𝐵))) < 𝑥) → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐻𝑘) − 𝐵)) < 𝑧) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(((𝐺𝑘)𝐹(𝐻𝑘)) − (𝐴𝐹𝐵))) < 𝑥)))
4342adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+)) → (∀𝑢𝐶𝑣𝐷 (((abs‘(𝑢𝐴)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢𝐹𝑣) − (𝐴𝐹𝐵))) < 𝑥) → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐻𝑘) − 𝐵)) < 𝑧) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(((𝐺𝑘)𝐹(𝐻𝑘)) − (𝐴𝐹𝐵))) < 𝑥)))
4416, 43mpid 44 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+)) → (∀𝑢𝐶𝑣𝐷 (((abs‘(𝑢𝐴)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢𝐹𝑣) − (𝐴𝐹𝐵))) < 𝑥) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(((𝐺𝑘)𝐹(𝐻𝑘)) − (𝐴𝐹𝐵))) < 𝑥))
4544rexlimdvva 3204 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑢𝐶𝑣𝐷 (((abs‘(𝑢𝐴)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢𝐹𝑣) − (𝐴𝐹𝐵))) < 𝑥) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(((𝐺𝑘)𝐹(𝐻𝑘)) − (𝐴𝐹𝐵))) < 𝑥))
4645adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑢𝐶𝑣𝐷 (((abs‘(𝑢𝐴)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢𝐹𝑣) − (𝐴𝐹𝐵))) < 𝑥) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(((𝐺𝑘)𝐹(𝐻𝑘)) − (𝐴𝐹𝐵))) < 𝑥))
471, 46mpd 15 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(((𝐺𝑘)𝐹(𝐻𝑘)) − (𝐴𝐹𝐵))) < 𝑥)
4847ralrimiva 3142 . 2 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(((𝐺𝑘)𝐹(𝐻𝑘)) − (𝐴𝐹𝐵))) < 𝑥)
49 climcn2.6 . . 3 (𝜑𝐾𝑊)
50 climcn2.9 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐾𝑘) = ((𝐺𝑘)𝐹(𝐻𝑘)))
51 climcn2.4 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑢𝐶𝑣𝐷)) → (𝑢𝐹𝑣) ∈ ℂ)
52 climcn2.3a . . . 4 (𝜑𝐴𝐶)
53 climcn2.3b . . . 4 (𝜑𝐵𝐷)
5451, 52, 53caovcld 7544 . . 3 (𝜑 → (𝐴𝐹𝐵) ∈ ℂ)
5518, 19jca 512 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝐺𝑘) ∈ 𝐶 ∧ (𝐻𝑘) ∈ 𝐷))
5651ralrimivva 3196 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑢𝐶𝑣𝐷 (𝑢𝐹𝑣) ∈ ℂ)
5756adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → ∀𝑢𝐶𝑣𝐷 (𝑢𝐹𝑣) ∈ ℂ)
5823eleq1d 2822 . . . . 5 (𝑢 = (𝐺𝑘) → ((𝑢𝐹𝑣) ∈ ℂ ↔ ((𝐺𝑘)𝐹𝑣) ∈ ℂ))
5930eleq1d 2822 . . . . 5 (𝑣 = (𝐻𝑘) → (((𝐺𝑘)𝐹𝑣) ∈ ℂ ↔ ((𝐺𝑘)𝐹(𝐻𝑘)) ∈ ℂ))
6058, 59rspc2v 3589 . . . 4 (((𝐺𝑘) ∈ 𝐶 ∧ (𝐻𝑘) ∈ 𝐷) → (∀𝑢𝐶𝑣𝐷 (𝑢𝐹𝑣) ∈ ℂ → ((𝐺𝑘)𝐹(𝐻𝑘)) ∈ ℂ))
6155, 57, 60sylc 65 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝐺𝑘)𝐹(𝐻𝑘)) ∈ ℂ)
622, 3, 49, 50, 54, 61clim2c 15384 . 2 (𝜑 → (𝐾 ⇝ (𝐴𝐹𝐵) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(((𝐺𝑘)𝐹(𝐻𝑘)) − (𝐴𝐹𝐵))) < 𝑥))
6348, 62mpbird 256 1 (𝜑𝐾 ⇝ (𝐴𝐹𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3063  wrex 3072   class class class wbr 5104  cfv 6494  (class class class)co 7354  cc 11046   < clt 11186  cmin 11382  cz 12496  cuz 12760  +crp 12912  abscabs 15116  cli 15363
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7669  ax-cnex 11104  ax-resscn 11105  ax-pre-lttri 11122  ax-pre-lttrn 11123
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-id 5530  df-po 5544  df-so 5545  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6446  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-ov 7357  df-er 8645  df-en 8881  df-dom 8882  df-sdom 8883  df-pnf 11188  df-mnf 11189  df-xr 11190  df-ltxr 11191  df-le 11192  df-neg 11385  df-z 12497  df-uz 12761  df-clim 15367
This theorem is referenced by:  climadd  15511  climmul  15512  climsub  15513
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