MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  climi2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climi2 15454
Description: Convergence of a sequence of complex numbers. (Contributed by NM, 11-Jan-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
climi.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
climi.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
climi.3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
climi.4 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = 𝐵)
climi.5 (𝜑𝐹𝐴)
Assertion
Ref Expression
climi2 (𝜑 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(𝐵𝐴)) < 𝐶)
Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝐴   𝐶,𝑗,𝑘   𝑗,𝐹,𝑘   𝜑,𝑗,𝑘   𝑗,𝑍,𝑘   𝑗,𝑀
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑗,𝑘)   𝑀(𝑘)

Proof of Theorem climi2
StepHypRef Expression
1 climi.1 . . 3 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 climi.2 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
3 climi.3 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
4 climi.4 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = 𝐵)
5 climi.5 . . 3 (𝜑𝐹𝐴)
61, 2, 3, 4, 5climi 15453 . 2 (𝜑 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐵 ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵𝐴)) < 𝐶))
7 simpr 485 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵𝐴)) < 𝐶) → (abs‘(𝐵𝐴)) < 𝐶)
87ralimi 3083 . . 3 (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐵 ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵𝐴)) < 𝐶) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(𝐵𝐴)) < 𝐶)
98reximi 3084 . 2 (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐵 ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵𝐴)) < 𝐶) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(𝐵𝐴)) < 𝐶)
106, 9syl 17 1 (𝜑 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(𝐵𝐴)) < 𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3061  wrex 3070   class class class wbr 5148  cfv 6543  (class class class)co 7408  cc 11107   < clt 11247  cmin 11443  cz 12557  cuz 12821  +crp 12973  abscabs 15180  cli 15427
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7411  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-neg 11446  df-z 12558  df-uz 12822  df-clim 15431
This theorem is referenced by:  rlimclim  15489  climcn1  15535  climcn2  15536  climsqz  15584  climsqz2  15585  mertenslem2  15830  uniioombllem6  25104  ulmcau  25906  ulmdvlem3  25913  rrncmslem  36695  cvgdvgrat  43062  stoweidlem7  44713
  Copyright terms: Public domain W3C validator