Theorem climi2 15547

Description: Convergence of a sequence of complex numbers. (Contributed by NM, 11-Jan-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
climi.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
climi.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
climi.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
climi.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = 𝐵)
climi.5	⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
climi2	⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(𝐵 − 𝐴)) < 𝐶)

Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝐴   𝐶,𝑗,𝑘   𝑗,𝐹,𝑘   𝜑,𝑗,𝑘   𝑗,𝑍,𝑘   𝑗,𝑀

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑗,𝑘)   𝑀(𝑘)

Proof of Theorem climi2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climi.1	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		climi.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		climi.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
4		climi.4	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = 𝐵)
5		climi.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 𝐴)
6	1, 2, 3, 4, 5	climi 15546	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐵 ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵 − 𝐴)) < 𝐶))
7		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵 − 𝐴)) < 𝐶) → (abs‘(𝐵 − 𝐴)) < 𝐶)
8	7	ralimi 3083	. . 3 ⊢ (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐵 ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵 − 𝐴)) < 𝐶) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(𝐵 − 𝐴)) < 𝐶)
9	8	reximi 3084	. 2 ⊢ (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐵 ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵 − 𝐴)) < 𝐶) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(𝐵 − 𝐴)) < 𝐶)
10	6, 9	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(𝐵 − 𝐴)) < 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3061  ∃wrex 3070   class class class wbr 5143  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  ℂcc 11153   < clt 11295   − cmin 11492  ℤcz 12613  ℤ_≥cuz 12878  ℝ⁺crp 13034  abscabs 15273   ⇝ cli 15520

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-neg 11495  df-z 12614  df-uz 12879  df-clim 15524

This theorem is referenced by:  rlimclim  15582  climcn1  15628  climcn2  15629  climsqz  15677  climsqz2  15678  mertenslem2  15921  uniioombllem6  25623  ulmcau  26438  ulmdvlem3  26445  rrncmslem  37839  cvgdvgrat  44332  stoweidlem7  46022