Theorem climi2 15658

Description: Convergence of a sequence of complex numbers. (Contributed by NM, 11-Jan-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
climi.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
climi.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
climi.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
climi.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = 𝐵)
climi.5	⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
climi2	⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(𝐵 − 𝐴)) < 𝐶)

Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝐴   𝐶,𝑗,𝑘   𝑗,𝐹,𝑘   𝜑,𝑗,𝑘   𝑗,𝑍,𝑘   𝑗,𝑀

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑗, 𝑘)   𝑀(𝑘)

Proof of Theorem climi2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climi.1	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		climi.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		climi.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
4		climi.4	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = 𝐵)
5		climi.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 𝐴)
6	1, 2, 3, 4, 5	climi 15657	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐵 ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵 − 𝐴)) < 𝐶))
7		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵 − 𝐴)) < 𝐶) → (abs‘(𝐵 − 𝐴)) < 𝐶)
8	7	ralimi 3100	. . 3 ⊢ (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐵 ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵 − 𝐴)) < 𝐶) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(𝐵 − 𝐴)) < 𝐶)
9	8	reximi 3101	. 2 ⊢ (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐵 ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵 − 𝐴)) < 𝐶) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(𝐵 − 𝐴)) < 𝐶)
10	6, 9	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(𝐵 − 𝐴)) < 𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077  ∃wrex 3087   class class class wbr 5103  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412  ℂcc 11179   < clt 11324   − cmin 11522  ℤcz 12674  ℤ_≥cuz 12946  ℝ⁺crp 13101  abscabs 15381   ⇝ cli 15631

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-ov 7415  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-neg 11525  df-z 12675  df-uz 12947  df-clim 15635

This theorem is used by:  rlimclim  15693  climcn1  15739  climcn2  15740  climsqz  15788  climsqz2  15789  mertenslem2  16034  uniioombllem6  25889  ulmcau  26704  ulmdvlem3  26711  rrncmslem  38734  cvgdvgrat  45256  stoweidlem7  46961