Theorem addcn2 15231

Description: Complex number addition is a continuous function. Part of Proposition 14-4.16 of [Gleason] p. 243. (We write out the definition directly because df-cn 22286 and df-cncf 23947 are not yet available to us. See addcn 23934 for the abbreviated version.) (Contributed by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)

Assertion

Ref	Expression
addcn2	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐶)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 + 𝑣) − (𝐵 + 𝐶))) < 𝐴))

Distinct variable groups:   𝑣,𝑢,𝑦,𝑧,𝐴   𝑢,𝐵,𝑣,𝑦,𝑧   𝑢,𝐶,𝑣,𝑦,𝑧

Proof of Theorem addcn2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rphalfcl 12686	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)
2	1	3ad2ant1 1131	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)
3		simprl 767	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → 𝑢 ∈ ℂ)
4		simpl2 1190	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → 𝐵 ∈ ℂ)
5		simprr 769	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → 𝑣 ∈ ℂ)
6	3, 4, 5	pnpcan2d 11300	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → ((𝑢 + 𝑣) − (𝐵 + 𝑣)) = (𝑢 − 𝐵))
7	6	fveq2d 6760	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (abs‘((𝑢 + 𝑣) − (𝐵 + 𝑣))) = (abs‘(𝑢 − 𝐵)))
8	7	breq1d 5080	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → ((abs‘((𝑢 + 𝑣) − (𝐵 + 𝑣))) < (𝐴 / 2) ↔ (abs‘(𝑢 − 𝐵)) < (𝐴 / 2)))
9		simpl3 1191	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → 𝐶 ∈ ℂ)
10	4, 5, 9	pnpcand 11299	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → ((𝐵 + 𝑣) − (𝐵 + 𝐶)) = (𝑣 − 𝐶))
11	10	fveq2d 6760	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (abs‘((𝐵 + 𝑣) − (𝐵 + 𝐶))) = (abs‘(𝑣 − 𝐶)))
12	11	breq1d 5080	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → ((abs‘((𝐵 + 𝑣) − (𝐵 + 𝐶))) < (𝐴 / 2) ↔ (abs‘(𝑣 − 𝐶)) < (𝐴 / 2)))
13	8, 12	anbi12d 630	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (((abs‘((𝑢 + 𝑣) − (𝐵 + 𝑣))) < (𝐴 / 2) ∧ (abs‘((𝐵 + 𝑣) − (𝐵 + 𝐶))) < (𝐴 / 2)) ↔ ((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < (𝐴 / 2) ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐶)) < (𝐴 / 2))))
14		addcl 10884	. . . . . 6 ⊢ ((𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → (𝑢 + 𝑣) ∈ ℂ)
15	14	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (𝑢 + 𝑣) ∈ ℂ)
16	4, 9	addcld 10925	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (𝐵 + 𝐶) ∈ ℂ)
17	4, 5	addcld 10925	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (𝐵 + 𝑣) ∈ ℂ)
18		simpl1 1189	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → 𝐴 ∈ ℝ+)
19	18	rpred 12701	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → 𝐴 ∈ ℝ)
20		abs3lem 14978	. . . . 5 ⊢ ((((𝑢 + 𝑣) ∈ ℂ ∧ (𝐵 + 𝐶) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵 + 𝑣) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℝ)) → (((abs‘((𝑢 + 𝑣) − (𝐵 + 𝑣))) < (𝐴 / 2) ∧ (abs‘((𝐵 + 𝑣) − (𝐵 + 𝐶))) < (𝐴 / 2)) → (abs‘((𝑢 + 𝑣) − (𝐵 + 𝐶))) < 𝐴))
21	15, 16, 17, 19, 20	syl22anc 835	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (((abs‘((𝑢 + 𝑣) − (𝐵 + 𝑣))) < (𝐴 / 2) ∧ (abs‘((𝐵 + 𝑣) − (𝐵 + 𝐶))) < (𝐴 / 2)) → (abs‘((𝑢 + 𝑣) − (𝐵 + 𝐶))) < 𝐴))
22	13, 21	sylbird 259	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < (𝐴 / 2) ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐶)) < (𝐴 / 2)) → (abs‘((𝑢 + 𝑣) − (𝐵 + 𝐶))) < 𝐴))
23	22	ralrimivva 3114	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < (𝐴 / 2) ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐶)) < (𝐴 / 2)) → (abs‘((𝑢 + 𝑣) − (𝐵 + 𝐶))) < 𝐴))
24		breq2 5074	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = (𝐴 / 2) → ((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < 𝑦 ↔ (abs‘(𝑢 − 𝐵)) < (𝐴 / 2)))
25	24	anbi1d 629	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = (𝐴 / 2) → (((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐶)) < 𝑧) ↔ ((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < (𝐴 / 2) ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐶)) < 𝑧)))
26	25	imbi1d 341	. . . 4 ⊢ (𝑦 = (𝐴 / 2) → ((((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐶)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 + 𝑣) − (𝐵 + 𝐶))) < 𝐴) ↔ (((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < (𝐴 / 2) ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐶)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 + 𝑣) − (𝐵 + 𝐶))) < 𝐴)))
27	26	2ralbidv 3122	. . 3 ⊢ (𝑦 = (𝐴 / 2) → (∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐶)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 + 𝑣) − (𝐵 + 𝐶))) < 𝐴) ↔ ∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < (𝐴 / 2) ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐶)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 + 𝑣) − (𝐵 + 𝐶))) < 𝐴)))
28		breq2 5074	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = (𝐴 / 2) → ((abs‘(𝑣 − 𝐶)) < 𝑧 ↔ (abs‘(𝑣 − 𝐶)) < (𝐴 / 2)))
29	28	anbi2d 628	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = (𝐴 / 2) → (((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < (𝐴 / 2) ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐶)) < 𝑧) ↔ ((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < (𝐴 / 2) ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐶)) < (𝐴 / 2))))
30	29	imbi1d 341	. . . 4 ⊢ (𝑧 = (𝐴 / 2) → ((((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < (𝐴 / 2) ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐶)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 + 𝑣) − (𝐵 + 𝐶))) < 𝐴) ↔ (((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < (𝐴 / 2) ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐶)) < (𝐴 / 2)) → (abs‘((𝑢 + 𝑣) − (𝐵 + 𝐶))) < 𝐴)))
31	30	2ralbidv 3122	. . 3 ⊢ (𝑧 = (𝐴 / 2) → (∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < (𝐴 / 2) ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐶)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 + 𝑣) − (𝐵 + 𝐶))) < 𝐴) ↔ ∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < (𝐴 / 2) ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐶)) < (𝐴 / 2)) → (abs‘((𝑢 + 𝑣) − (𝐵 + 𝐶))) < 𝐴)))
32	27, 31	rspc2ev 3564	. 2 ⊢ (((𝐴 / 2) ∈ ℝ+ ∧ (𝐴 / 2) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < (𝐴 / 2) ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐶)) < (𝐴 / 2)) → (abs‘((𝑢 + 𝑣) − (𝐵 + 𝐶))) < 𝐴)) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐶)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 + 𝑣) − (𝐵 + 𝐶))) < 𝐴))
33	2, 2, 23, 32	syl3anc 1369	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐶)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 + 𝑣) − (𝐵 + 𝐶))) < 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∀wral 3063  ∃wrex 3064   class class class wbr 5070  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  ℂcc 10800  ℝcr 10801   + caddc 10805   < clt 10940   − cmin 11135   / cdiv 11562  2c2 11958  ℝ⁺crp 12659  abscabs 14873

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-sup 9131  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-rp 12660  df-seq 13650  df-exp 13711  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875

This theorem is referenced by:  subcn2  15232  climadd  15269  rlimadd  15280  rlimaddOLD  15281  addcn  23934