Theorem addcn2 15545

Description: Complex number addition is a continuous function. Part of Proposition 14-4.16 of [Gleason] p. 243. (We write out the definition directly because df-cn 22964 and df-cncf 24631 are not yet available to us. See addcn 24614 for the abbreviated version.) (Contributed by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)

Assertion

Ref	Expression
addcn2	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐶)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 + 𝑣) − (𝐵 + 𝐶))) < 𝐴))

Distinct variable groups:   𝑣,𝑢,𝑦,𝑧,𝐴   𝑢,𝐵,𝑣,𝑦,𝑧   𝑢,𝐶,𝑣,𝑦,𝑧

Proof of Theorem addcn2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rphalfcl 13008	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)
2	1	3ad2ant1 1132	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)
3		simprl 768	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → 𝑢 ∈ ℂ)
4		simpl2 1191	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → 𝐵 ∈ ℂ)
5		simprr 770	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → 𝑣 ∈ ℂ)
6	3, 4, 5	pnpcan2d 11616	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → ((𝑢 + 𝑣) − (𝐵 + 𝑣)) = (𝑢 − 𝐵))
7	6	fveq2d 6895	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (abs‘((𝑢 + 𝑣) − (𝐵 + 𝑣))) = (abs‘(𝑢 − 𝐵)))
8	7	breq1d 5158	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → ((abs‘((𝑢 + 𝑣) − (𝐵 + 𝑣))) < (𝐴 / 2) ↔ (abs‘(𝑢 − 𝐵)) < (𝐴 / 2)))
9		simpl3 1192	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → 𝐶 ∈ ℂ)
10	4, 5, 9	pnpcand 11615	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → ((𝐵 + 𝑣) − (𝐵 + 𝐶)) = (𝑣 − 𝐶))
11	10	fveq2d 6895	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (abs‘((𝐵 + 𝑣) − (𝐵 + 𝐶))) = (abs‘(𝑣 − 𝐶)))
12	11	breq1d 5158	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → ((abs‘((𝐵 + 𝑣) − (𝐵 + 𝐶))) < (𝐴 / 2) ↔ (abs‘(𝑣 − 𝐶)) < (𝐴 / 2)))
13	8, 12	anbi12d 630	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (((abs‘((𝑢 + 𝑣) − (𝐵 + 𝑣))) < (𝐴 / 2) ∧ (abs‘((𝐵 + 𝑣) − (𝐵 + 𝐶))) < (𝐴 / 2)) ↔ ((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < (𝐴 / 2) ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐶)) < (𝐴 / 2))))
14		addcl 11198	. . . . . 6 ⊢ ((𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → (𝑢 + 𝑣) ∈ ℂ)
15	14	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (𝑢 + 𝑣) ∈ ℂ)
16	4, 9	addcld 11240	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (𝐵 + 𝐶) ∈ ℂ)
17	4, 5	addcld 11240	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (𝐵 + 𝑣) ∈ ℂ)
18		simpl1 1190	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → 𝐴 ∈ ℝ+)
19	18	rpred 13023	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → 𝐴 ∈ ℝ)
20		abs3lem 15292	. . . . 5 ⊢ ((((𝑢 + 𝑣) ∈ ℂ ∧ (𝐵 + 𝐶) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵 + 𝑣) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℝ)) → (((abs‘((𝑢 + 𝑣) − (𝐵 + 𝑣))) < (𝐴 / 2) ∧ (abs‘((𝐵 + 𝑣) − (𝐵 + 𝐶))) < (𝐴 / 2)) → (abs‘((𝑢 + 𝑣) − (𝐵 + 𝐶))) < 𝐴))
21	15, 16, 17, 19, 20	syl22anc 836	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (((abs‘((𝑢 + 𝑣) − (𝐵 + 𝑣))) < (𝐴 / 2) ∧ (abs‘((𝐵 + 𝑣) − (𝐵 + 𝐶))) < (𝐴 / 2)) → (abs‘((𝑢 + 𝑣) − (𝐵 + 𝐶))) < 𝐴))
22	13, 21	sylbird 260	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < (𝐴 / 2) ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐶)) < (𝐴 / 2)) → (abs‘((𝑢 + 𝑣) − (𝐵 + 𝐶))) < 𝐴))
23	22	ralrimivva 3199	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < (𝐴 / 2) ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐶)) < (𝐴 / 2)) → (abs‘((𝑢 + 𝑣) − (𝐵 + 𝐶))) < 𝐴))
24		breq2 5152	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = (𝐴 / 2) → ((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < 𝑦 ↔ (abs‘(𝑢 − 𝐵)) < (𝐴 / 2)))
25	24	anbi1d 629	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = (𝐴 / 2) → (((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐶)) < 𝑧) ↔ ((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < (𝐴 / 2) ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐶)) < 𝑧)))
26	25	imbi1d 341	. . . 4 ⊢ (𝑦 = (𝐴 / 2) → ((((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐶)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 + 𝑣) − (𝐵 + 𝐶))) < 𝐴) ↔ (((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < (𝐴 / 2) ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐶)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 + 𝑣) − (𝐵 + 𝐶))) < 𝐴)))
27	26	2ralbidv 3217	. . 3 ⊢ (𝑦 = (𝐴 / 2) → (∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐶)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 + 𝑣) − (𝐵 + 𝐶))) < 𝐴) ↔ ∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < (𝐴 / 2) ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐶)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 + 𝑣) − (𝐵 + 𝐶))) < 𝐴)))
28		breq2 5152	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = (𝐴 / 2) → ((abs‘(𝑣 − 𝐶)) < 𝑧 ↔ (abs‘(𝑣 − 𝐶)) < (𝐴 / 2)))
29	28	anbi2d 628	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = (𝐴 / 2) → (((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < (𝐴 / 2) ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐶)) < 𝑧) ↔ ((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < (𝐴 / 2) ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐶)) < (𝐴 / 2))))
30	29	imbi1d 341	. . . 4 ⊢ (𝑧 = (𝐴 / 2) → ((((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < (𝐴 / 2) ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐶)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 + 𝑣) − (𝐵 + 𝐶))) < 𝐴) ↔ (((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < (𝐴 / 2) ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐶)) < (𝐴 / 2)) → (abs‘((𝑢 + 𝑣) − (𝐵 + 𝐶))) < 𝐴)))
31	30	2ralbidv 3217	. . 3 ⊢ (𝑧 = (𝐴 / 2) → (∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < (𝐴 / 2) ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐶)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 + 𝑣) − (𝐵 + 𝐶))) < 𝐴) ↔ ∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < (𝐴 / 2) ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐶)) < (𝐴 / 2)) → (abs‘((𝑢 + 𝑣) − (𝐵 + 𝐶))) < 𝐴)))
32	27, 31	rspc2ev 3624	. 2 ⊢ (((𝐴 / 2) ∈ ℝ+ ∧ (𝐴 / 2) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < (𝐴 / 2) ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐶)) < (𝐴 / 2)) → (abs‘((𝑢 + 𝑣) − (𝐵 + 𝐶))) < 𝐴)) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐶)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 + 𝑣) − (𝐵 + 𝐶))) < 𝐴))
33	2, 2, 23, 32	syl3anc 1370	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐶)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 + 𝑣) − (𝐵 + 𝐶))) < 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  ∀wral 3060  ∃wrex 3069   class class class wbr 5148  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412  ℂcc 11114  ℝcr 11115   + caddc 11119   < clt 11255   − cmin 11451   / cdiv 11878  2c2 12274  ℝ⁺crp 12981  abscabs 15188

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-pre-sup 11194

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-er 8709  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-sup 9443  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11879  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-n0 12480  df-z 12566  df-uz 12830  df-rp 12982  df-seq 13974  df-exp 14035  df-cj 15053  df-re 15054  df-im 15055  df-sqrt 15189  df-abs 15190

This theorem is referenced by:  subcn2  15546  climadd  15583  rlimadd  15594  rlimaddOLD  15595  addcn  24614