Theorem addcn2 15476

Description: Complex number addition is a continuous function. Part of Proposition 14-4.16 of [Gleason] p. 243. (We write out the definition directly because df-cn 22578 and df-cncf 24241 are not yet available to us. See addcn 24228 for the abbreviated version.) (Contributed by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)

Assertion

Ref	Expression
addcn2	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐶)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 + 𝑣) − (𝐵 + 𝐶))) < 𝐴))

Distinct variable groups:   𝑣,𝑢,𝑦,𝑧,𝐴   𝑢,𝐵,𝑣,𝑦,𝑧   𝑢,𝐶,𝑣,𝑦,𝑧

Proof of Theorem addcn2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rphalfcl 12942	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)
2	1	3ad2ant1 1133	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)
3		simprl 769	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → 𝑢 ∈ ℂ)
4		simpl2 1192	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → 𝐵 ∈ ℂ)
5		simprr 771	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → 𝑣 ∈ ℂ)
6	3, 4, 5	pnpcan2d 11550	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → ((𝑢 + 𝑣) − (𝐵 + 𝑣)) = (𝑢 − 𝐵))
7	6	fveq2d 6846	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (abs‘((𝑢 + 𝑣) − (𝐵 + 𝑣))) = (abs‘(𝑢 − 𝐵)))
8	7	breq1d 5115	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → ((abs‘((𝑢 + 𝑣) − (𝐵 + 𝑣))) < (𝐴 / 2) ↔ (abs‘(𝑢 − 𝐵)) < (𝐴 / 2)))
9		simpl3 1193	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → 𝐶 ∈ ℂ)
10	4, 5, 9	pnpcand 11549	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → ((𝐵 + 𝑣) − (𝐵 + 𝐶)) = (𝑣 − 𝐶))
11	10	fveq2d 6846	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (abs‘((𝐵 + 𝑣) − (𝐵 + 𝐶))) = (abs‘(𝑣 − 𝐶)))
12	11	breq1d 5115	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → ((abs‘((𝐵 + 𝑣) − (𝐵 + 𝐶))) < (𝐴 / 2) ↔ (abs‘(𝑣 − 𝐶)) < (𝐴 / 2)))
13	8, 12	anbi12d 631	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (((abs‘((𝑢 + 𝑣) − (𝐵 + 𝑣))) < (𝐴 / 2) ∧ (abs‘((𝐵 + 𝑣) − (𝐵 + 𝐶))) < (𝐴 / 2)) ↔ ((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < (𝐴 / 2) ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐶)) < (𝐴 / 2))))
14		addcl 11133	. . . . . 6 ⊢ ((𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → (𝑢 + 𝑣) ∈ ℂ)
15	14	adantl 482	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (𝑢 + 𝑣) ∈ ℂ)
16	4, 9	addcld 11174	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (𝐵 + 𝐶) ∈ ℂ)
17	4, 5	addcld 11174	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (𝐵 + 𝑣) ∈ ℂ)
18		simpl1 1191	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → 𝐴 ∈ ℝ+)
19	18	rpred 12957	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → 𝐴 ∈ ℝ)
20		abs3lem 15223	. . . . 5 ⊢ ((((𝑢 + 𝑣) ∈ ℂ ∧ (𝐵 + 𝐶) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵 + 𝑣) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℝ)) → (((abs‘((𝑢 + 𝑣) − (𝐵 + 𝑣))) < (𝐴 / 2) ∧ (abs‘((𝐵 + 𝑣) − (𝐵 + 𝐶))) < (𝐴 / 2)) → (abs‘((𝑢 + 𝑣) − (𝐵 + 𝐶))) < 𝐴))
21	15, 16, 17, 19, 20	syl22anc 837	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (((abs‘((𝑢 + 𝑣) − (𝐵 + 𝑣))) < (𝐴 / 2) ∧ (abs‘((𝐵 + 𝑣) − (𝐵 + 𝐶))) < (𝐴 / 2)) → (abs‘((𝑢 + 𝑣) − (𝐵 + 𝐶))) < 𝐴))
22	13, 21	sylbird 259	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < (𝐴 / 2) ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐶)) < (𝐴 / 2)) → (abs‘((𝑢 + 𝑣) − (𝐵 + 𝐶))) < 𝐴))
23	22	ralrimivva 3197	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < (𝐴 / 2) ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐶)) < (𝐴 / 2)) → (abs‘((𝑢 + 𝑣) − (𝐵 + 𝐶))) < 𝐴))
24		breq2 5109	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = (𝐴 / 2) → ((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < 𝑦 ↔ (abs‘(𝑢 − 𝐵)) < (𝐴 / 2)))
25	24	anbi1d 630	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = (𝐴 / 2) → (((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐶)) < 𝑧) ↔ ((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < (𝐴 / 2) ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐶)) < 𝑧)))
26	25	imbi1d 341	. . . 4 ⊢ (𝑦 = (𝐴 / 2) → ((((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐶)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 + 𝑣) − (𝐵 + 𝐶))) < 𝐴) ↔ (((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < (𝐴 / 2) ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐶)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 + 𝑣) − (𝐵 + 𝐶))) < 𝐴)))
27	26	2ralbidv 3212	. . 3 ⊢ (𝑦 = (𝐴 / 2) → (∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐶)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 + 𝑣) − (𝐵 + 𝐶))) < 𝐴) ↔ ∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < (𝐴 / 2) ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐶)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 + 𝑣) − (𝐵 + 𝐶))) < 𝐴)))
28		breq2 5109	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = (𝐴 / 2) → ((abs‘(𝑣 − 𝐶)) < 𝑧 ↔ (abs‘(𝑣 − 𝐶)) < (𝐴 / 2)))
29	28	anbi2d 629	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = (𝐴 / 2) → (((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < (𝐴 / 2) ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐶)) < 𝑧) ↔ ((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < (𝐴 / 2) ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐶)) < (𝐴 / 2))))
30	29	imbi1d 341	. . . 4 ⊢ (𝑧 = (𝐴 / 2) → ((((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < (𝐴 / 2) ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐶)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 + 𝑣) − (𝐵 + 𝐶))) < 𝐴) ↔ (((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < (𝐴 / 2) ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐶)) < (𝐴 / 2)) → (abs‘((𝑢 + 𝑣) − (𝐵 + 𝐶))) < 𝐴)))
31	30	2ralbidv 3212	. . 3 ⊢ (𝑧 = (𝐴 / 2) → (∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < (𝐴 / 2) ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐶)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 + 𝑣) − (𝐵 + 𝐶))) < 𝐴) ↔ ∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < (𝐴 / 2) ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐶)) < (𝐴 / 2)) → (abs‘((𝑢 + 𝑣) − (𝐵 + 𝐶))) < 𝐴)))
32	27, 31	rspc2ev 3592	. 2 ⊢ (((𝐴 / 2) ∈ ℝ+ ∧ (𝐴 / 2) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < (𝐴 / 2) ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐶)) < (𝐴 / 2)) → (abs‘((𝑢 + 𝑣) − (𝐵 + 𝐶))) < 𝐴)) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐶)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 + 𝑣) − (𝐵 + 𝐶))) < 𝐴))
33	2, 2, 23, 32	syl3anc 1371	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐶)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 + 𝑣) − (𝐵 + 𝐶))) < 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  ∃wrex 3073   class class class wbr 5105  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357  ℂcc 11049  ℝcr 11050   + caddc 11054   < clt 11189   − cmin 11385   / cdiv 11812  2c2 12208  ℝ⁺crp 12915  abscabs 15119

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9378  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-seq 13907  df-exp 13968  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121

This theorem is referenced by:  subcn2  15477  climadd  15514  rlimadd  15525  rlimaddOLD  15526  addcn  24228