Theorem addcn2 15741

Description: Complex number addition is a continuous function. Part of Proposition 14-4.16 of [Gleason] p. 243. (We write out the definition directly because df-cn 23525 and df-cncf 25179 are not yet available to us. See addcn 25165 for the abbreviated version.) (Contributed by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)

Assertion

Ref	Expression
addcn2	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐶)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 + 𝑣) − (𝐵 + 𝐶))) < 𝐴))

Distinct variable groups:   𝑣,𝑢,𝑦,𝑧,𝐴   𝑢,𝐵,𝑣,𝑦,𝑧   𝑢,𝐶,𝑣,𝑦,𝑧

Proof of Theorem addcn2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rphalfcl 13130	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)
2	1	3ad2ant1 1151	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)
3		simprl 783	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → 𝑢 ∈ ℂ)
4		simpl2 1211	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → 𝐵 ∈ ℂ)
5		simprr 785	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → 𝑣 ∈ ℂ)
6	3, 4, 5	pnpcan2d 11688	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → ((𝑢 + 𝑣) − (𝐵 + 𝑣)) = (𝑢 − 𝐵))
7	6	fveq2d 6881	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (abs‘((𝑢 + 𝑣) − (𝐵 + 𝑣))) = (abs‘(𝑢 − 𝐵)))
8	7	breq1d 5113	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → ((abs‘((𝑢 + 𝑣) − (𝐵 + 𝑣))) < (𝐴 / 2) ↔ (abs‘(𝑢 − 𝐵)) < (𝐴 / 2)))
9		simpl3 1212	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → 𝐶 ∈ ℂ)
10	4, 5, 9	pnpcand 11687	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → ((𝐵 + 𝑣) − (𝐵 + 𝐶)) = (𝑣 − 𝐶))
11	10	fveq2d 6881	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (abs‘((𝐵 + 𝑣) − (𝐵 + 𝐶))) = (abs‘(𝑣 − 𝐶)))
12	11	breq1d 5113	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → ((abs‘((𝐵 + 𝑣) − (𝐵 + 𝐶))) < (𝐴 / 2) ↔ (abs‘(𝑣 − 𝐶)) < (𝐴 / 2)))
13	8, 12	anbi12d 644	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (((abs‘((𝑢 + 𝑣) − (𝐵 + 𝑣))) < (𝐴 / 2) ∧ (abs‘((𝐵 + 𝑣) − (𝐵 + 𝐶))) < (𝐴 / 2)) ↔ ((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < (𝐴 / 2) ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐶)) < (𝐴 / 2))))
14		addcl 11263	. . . . . 6 ⊢ ((𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → (𝑢 + 𝑣) ∈ ℂ)
15	14	adantl 487	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (𝑢 + 𝑣) ∈ ℂ)
16	4, 9	addcld 11309	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (𝐵 + 𝐶) ∈ ℂ)
17	4, 5	addcld 11309	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (𝐵 + 𝑣) ∈ ℂ)
18		simpl1 1210	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → 𝐴 ∈ ℝ+)
19	18	rpred 13145	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → 𝐴 ∈ ℝ)
20		abs3lem 15486	. . . . 5 ⊢ ((((𝑢 + 𝑣) ∈ ℂ ∧ (𝐵 + 𝐶) ∈ ℂ) ∧ ((𝐵 + 𝑣) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℝ)) → (((abs‘((𝑢 + 𝑣) − (𝐵 + 𝑣))) < (𝐴 / 2) ∧ (abs‘((𝐵 + 𝑣) − (𝐵 + 𝐶))) < (𝐴 / 2)) → (abs‘((𝑢 + 𝑣) − (𝐵 + 𝐶))) < 𝐴))
21	15, 16, 17, 19, 20	syl22anc 852	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (((abs‘((𝑢 + 𝑣) − (𝐵 + 𝑣))) < (𝐴 / 2) ∧ (abs‘((𝐵 + 𝑣) − (𝐵 + 𝐶))) < (𝐴 / 2)) → (abs‘((𝑢 + 𝑣) − (𝐵 + 𝐶))) < 𝐴))
22	13, 21	sylbird 263	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < (𝐴 / 2) ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐶)) < (𝐴 / 2)) → (abs‘((𝑢 + 𝑣) − (𝐵 + 𝐶))) < 𝐴))
23	22	ralrimivva 3206	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < (𝐴 / 2) ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐶)) < (𝐴 / 2)) → (abs‘((𝑢 + 𝑣) − (𝐵 + 𝐶))) < 𝐴))
24		breq2 5107	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = (𝐴 / 2) → ((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < 𝑦 ↔ (abs‘(𝑢 − 𝐵)) < (𝐴 / 2)))
25	24	anbi1d 643	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = (𝐴 / 2) → (((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐶)) < 𝑧) ↔ ((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < (𝐴 / 2) ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐶)) < 𝑧)))
26	25	imbi1d 344	. . . 4 ⊢ (𝑦 = (𝐴 / 2) → ((((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐶)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 + 𝑣) − (𝐵 + 𝐶))) < 𝐴) ↔ (((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < (𝐴 / 2) ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐶)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 + 𝑣) − (𝐵 + 𝐶))) < 𝐴)))
27	26	2ralbidv 3227	. . 3 ⊢ (𝑦 = (𝐴 / 2) → (∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐶)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 + 𝑣) − (𝐵 + 𝐶))) < 𝐴) ↔ ∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < (𝐴 / 2) ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐶)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 + 𝑣) − (𝐵 + 𝐶))) < 𝐴)))
28		breq2 5107	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = (𝐴 / 2) → ((abs‘(𝑣 − 𝐶)) < 𝑧 ↔ (abs‘(𝑣 − 𝐶)) < (𝐴 / 2)))
29	28	anbi2d 642	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = (𝐴 / 2) → (((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < (𝐴 / 2) ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐶)) < 𝑧) ↔ ((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < (𝐴 / 2) ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐶)) < (𝐴 / 2))))
30	29	imbi1d 344	. . . 4 ⊢ (𝑧 = (𝐴 / 2) → ((((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < (𝐴 / 2) ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐶)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 + 𝑣) − (𝐵 + 𝐶))) < 𝐴) ↔ (((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < (𝐴 / 2) ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐶)) < (𝐴 / 2)) → (abs‘((𝑢 + 𝑣) − (𝐵 + 𝐶))) < 𝐴)))
31	30	2ralbidv 3227	. . 3 ⊢ (𝑧 = (𝐴 / 2) → (∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < (𝐴 / 2) ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐶)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 + 𝑣) − (𝐵 + 𝐶))) < 𝐴) ↔ ∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < (𝐴 / 2) ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐶)) < (𝐴 / 2)) → (abs‘((𝑢 + 𝑣) − (𝐵 + 𝐶))) < 𝐴)))
32	27, 31	rspc2ev 3589	. 2 ⊢ (((𝐴 / 2) ∈ ℝ+ ∧ (𝐴 / 2) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < (𝐴 / 2) ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐶)) < (𝐴 / 2)) → (abs‘((𝑢 + 𝑣) − (𝐵 + 𝐶))) < 𝐴)) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐶)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 + 𝑣) − (𝐵 + 𝐶))) < 𝐴))
33	2, 2, 23, 32	syl3anc 1398	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢 − 𝐵)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐶)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 + 𝑣) − (𝐵 + 𝐶))) < 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077  ∃wrex 3087   class class class wbr 5103  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412  ℂcc 11179  ℝcr 11180   + caddc 11184   < clt 11324   − cmin 11522   / cdiv 11954  2c2 12378  ℝ⁺crp 13101  abscabs 15381

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258  ax-pre-sup 11259

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-sup 9418  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-div 11955  df-nn 12317  df-2 12386  df-3 12387  df-n0 12588  df-z 12675  df-uz 12947  df-rp 13102  df-seq 14125  df-exp 14185  df-cj 15246  df-re 15247  df-im 15248  df-sqrt 15382  df-abs 15383

This theorem is used by:  subcn2  15742  climadd  15779  rlimadd  15790  addcn  25165