MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  climmul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climmul 14992
Description: Limit of the product of two converging sequences. Proposition 12-2.1(c) of [Gleason] p. 168. (Contributed by NM, 27-Dec-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 1-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
climadd.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
climadd.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
climadd.4 (𝜑𝐹𝐴)
climadd.6 (𝜑𝐻𝑋)
climadd.7 (𝜑𝐺𝐵)
climadd.8 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
climadd.9 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) ∈ ℂ)
climmul.h ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐻𝑘) = ((𝐹𝑘) · (𝐺𝑘)))
Assertion
Ref Expression
climmul (𝜑𝐻 ⇝ (𝐴 · 𝐵))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘   𝐴,𝑘   𝑘,𝐺   𝑘,𝐻   𝑘,𝑀   𝑘,𝑍
Allowed substitution hint:   𝑋(𝑘)

Proof of Theorem climmul
Dummy variables 𝑢 𝑣 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climadd.1 . 2 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 climadd.2 . 2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
3 climadd.4 . . 3 (𝜑𝐹𝐴)
4 climcl 14859 . . 3 (𝐹𝐴𝐴 ∈ ℂ)
53, 4syl 17 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
6 climadd.7 . . 3 (𝜑𝐺𝐵)
7 climcl 14859 . . 3 (𝐺𝐵𝐵 ∈ ℂ)
86, 7syl 17 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
9 mulcl 10624 . . 3 ((𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → (𝑢 · 𝑣) ∈ ℂ)
109adantl 484 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (𝑢 · 𝑣) ∈ ℂ)
11 climadd.6 . 2 (𝜑𝐻𝑋)
12 simpr 487 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ+)
135adantr 483 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℂ)
148adantr 483 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℂ)
15 mulcn2 14955 . . 3 ((𝑥 ∈ ℝ+𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢𝐴)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 · 𝑣) − (𝐴 · 𝐵))) < 𝑥))
1612, 13, 14, 15syl3anc 1367 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢𝐴)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 · 𝑣) − (𝐴 · 𝐵))) < 𝑥))
17 climadd.8 . 2 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
18 climadd.9 . 2 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) ∈ ℂ)
19 climmul.h . 2 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐻𝑘) = ((𝐹𝑘) · (𝐺𝑘)))
201, 2, 5, 8, 10, 3, 6, 11, 16, 17, 18, 19climcn2 14952 1 (𝜑𝐻 ⇝ (𝐴 · 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 398   = wceq 1536  wcel 2113  wral 3141  wrex 3142   class class class wbr 5069  cfv 6358  (class class class)co 7159  cc 10538   · cmul 10545   < clt 10678  cmin 10873  cz 11984  cuz 12246  +crp 12392  abscabs 14596  cli 14844
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-cnex 10596  ax-resscn 10597  ax-1cn 10598  ax-icn 10599  ax-addcl 10600  ax-addrcl 10601  ax-mulcl 10602  ax-mulrcl 10603  ax-mulcom 10604  ax-addass 10605  ax-mulass 10606  ax-distr 10607  ax-i2m1 10608  ax-1ne0 10609  ax-1rid 10610  ax-rnegex 10611  ax-rrecex 10612  ax-cnre 10613  ax-pre-lttri 10614  ax-pre-lttrn 10615  ax-pre-ltadd 10616  ax-pre-mulgt0 10617  ax-pre-sup 10618
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-nel 3127  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rmo 3149  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4842  df-iun 4924  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-tr 5176  df-id 5463  df-eprel 5468  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5517  df-we 5519  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-pred 6151  df-ord 6197  df-on 6198  df-lim 6199  df-suc 6200  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7117  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-om 7584  df-2nd 7693  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-er 8292  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-sup 8909  df-pnf 10680  df-mnf 10681  df-xr 10682  df-ltxr 10683  df-le 10684  df-sub 10875  df-neg 10876  df-div 11301  df-nn 11642  df-2 11703  df-3 11704  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-rp 12393  df-seq 13373  df-exp 13433  df-cj 14461  df-re 14462  df-im 14463  df-sqrt 14597  df-abs 14598  df-clim 14848
This theorem is referenced by:  climmulc2  14996  ntrivcvgmullem  15260  iprodmul  15360  mbfmullem2  24328  basellem7  25667  basellem9  25669  faclim  32982  faclim2  32984  climmulf  41891
  Copyright terms: Public domain W3C validator