![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > climmul | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Limit of the product of two converging sequences. Proposition 12-2.1(c) of [Gleason] p. 168. (Contributed by NM, 27-Dec-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 1-Feb-2014.) |
Ref | Expression |
---|---|
climadd.1 | โข ๐ = (โคโฅโ๐) |
climadd.2 | โข (๐ โ ๐ โ โค) |
climadd.4 | โข (๐ โ ๐น โ ๐ด) |
climadd.6 | โข (๐ โ ๐ป โ ๐) |
climadd.7 | โข (๐ โ ๐บ โ ๐ต) |
climadd.8 | โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ (๐นโ๐) โ โ) |
climadd.9 | โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ (๐บโ๐) โ โ) |
climmul.h | โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ (๐ปโ๐) = ((๐นโ๐) ยท (๐บโ๐))) |
Ref | Expression |
---|---|
climmul | โข (๐ โ ๐ป โ (๐ด ยท ๐ต)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | climadd.1 | . 2 โข ๐ = (โคโฅโ๐) | |
2 | climadd.2 | . 2 โข (๐ โ ๐ โ โค) | |
3 | climadd.4 | . . 3 โข (๐ โ ๐น โ ๐ด) | |
4 | climcl 15382 | . . 3 โข (๐น โ ๐ด โ ๐ด โ โ) | |
5 | 3, 4 | syl 17 | . 2 โข (๐ โ ๐ด โ โ) |
6 | climadd.7 | . . 3 โข (๐ โ ๐บ โ ๐ต) | |
7 | climcl 15382 | . . 3 โข (๐บ โ ๐ต โ ๐ต โ โ) | |
8 | 6, 7 | syl 17 | . 2 โข (๐ โ ๐ต โ โ) |
9 | mulcl 11136 | . . 3 โข ((๐ข โ โ โง ๐ฃ โ โ) โ (๐ข ยท ๐ฃ) โ โ) | |
10 | 9 | adantl 483 | . 2 โข ((๐ โง (๐ข โ โ โง ๐ฃ โ โ)) โ (๐ข ยท ๐ฃ) โ โ) |
11 | climadd.6 | . 2 โข (๐ โ ๐ป โ ๐) | |
12 | simpr 486 | . . 3 โข ((๐ โง ๐ฅ โ โ+) โ ๐ฅ โ โ+) | |
13 | 5 | adantr 482 | . . 3 โข ((๐ โง ๐ฅ โ โ+) โ ๐ด โ โ) |
14 | 8 | adantr 482 | . . 3 โข ((๐ โง ๐ฅ โ โ+) โ ๐ต โ โ) |
15 | mulcn2 15479 | . . 3 โข ((๐ฅ โ โ+ โง ๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ โ๐ฆ โ โ+ โ๐ง โ โ+ โ๐ข โ โ โ๐ฃ โ โ (((absโ(๐ข โ ๐ด)) < ๐ฆ โง (absโ(๐ฃ โ ๐ต)) < ๐ง) โ (absโ((๐ข ยท ๐ฃ) โ (๐ด ยท ๐ต))) < ๐ฅ)) | |
16 | 12, 13, 14, 15 | syl3anc 1372 | . 2 โข ((๐ โง ๐ฅ โ โ+) โ โ๐ฆ โ โ+ โ๐ง โ โ+ โ๐ข โ โ โ๐ฃ โ โ (((absโ(๐ข โ ๐ด)) < ๐ฆ โง (absโ(๐ฃ โ ๐ต)) < ๐ง) โ (absโ((๐ข ยท ๐ฃ) โ (๐ด ยท ๐ต))) < ๐ฅ)) |
17 | climadd.8 | . 2 โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ (๐นโ๐) โ โ) | |
18 | climadd.9 | . 2 โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ (๐บโ๐) โ โ) | |
19 | climmul.h | . 2 โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ (๐ปโ๐) = ((๐นโ๐) ยท (๐บโ๐))) | |
20 | 1, 2, 5, 8, 10, 3, 6, 11, 16, 17, 18, 19 | climcn2 15476 | 1 โข (๐ โ ๐ป โ (๐ด ยท ๐ต)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 397 = wceq 1542 โ wcel 2107 โwral 3065 โwrex 3074 class class class wbr 5106 โcfv 6497 (class class class)co 7358 โcc 11050 ยท cmul 11057 < clt 11190 โ cmin 11386 โคcz 12500 โคโฅcuz 12764 โ+crp 12916 abscabs 15120 โ cli 15367 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2138 ax-11 2155 ax-12 2172 ax-ext 2708 ax-sep 5257 ax-nul 5264 ax-pow 5321 ax-pr 5385 ax-un 7673 ax-cnex 11108 ax-resscn 11109 ax-1cn 11110 ax-icn 11111 ax-addcl 11112 ax-addrcl 11113 ax-mulcl 11114 ax-mulrcl 11115 ax-mulcom 11116 ax-addass 11117 ax-mulass 11118 ax-distr 11119 ax-i2m1 11120 ax-1ne0 11121 ax-1rid 11122 ax-rnegex 11123 ax-rrecex 11124 ax-cnre 11125 ax-pre-lttri 11126 ax-pre-lttrn 11127 ax-pre-ltadd 11128 ax-pre-mulgt0 11129 ax-pre-sup 11130 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 847 df-3or 1089 df-3an 1090 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2069 df-mo 2539 df-eu 2568 df-clab 2715 df-cleq 2729 df-clel 2815 df-nfc 2890 df-ne 2945 df-nel 3051 df-ral 3066 df-rex 3075 df-rmo 3354 df-reu 3355 df-rab 3409 df-v 3448 df-sbc 3741 df-csb 3857 df-dif 3914 df-un 3916 df-in 3918 df-ss 3928 df-pss 3930 df-nul 4284 df-if 4488 df-pw 4563 df-sn 4588 df-pr 4590 df-op 4594 df-uni 4867 df-iun 4957 df-br 5107 df-opab 5169 df-mpt 5190 df-tr 5224 df-id 5532 df-eprel 5538 df-po 5546 df-so 5547 df-fr 5589 df-we 5591 df-xp 5640 df-rel 5641 df-cnv 5642 df-co 5643 df-dm 5644 df-rn 5645 df-res 5646 df-ima 5647 df-pred 6254 df-ord 6321 df-on 6322 df-lim 6323 df-suc 6324 df-iota 6449 df-fun 6499 df-fn 6500 df-f 6501 df-f1 6502 df-fo 6503 df-f1o 6504 df-fv 6505 df-riota 7314 df-ov 7361 df-oprab 7362 df-mpo 7363 df-om 7804 df-2nd 7923 df-frecs 8213 df-wrecs 8244 df-recs 8318 df-rdg 8357 df-er 8649 df-en 8885 df-dom 8886 df-sdom 8887 df-sup 9379 df-pnf 11192 df-mnf 11193 df-xr 11194 df-ltxr 11195 df-le 11196 df-sub 11388 df-neg 11389 df-div 11814 df-nn 12155 df-2 12217 df-3 12218 df-n0 12415 df-z 12501 df-uz 12765 df-rp 12917 df-seq 13908 df-exp 13969 df-cj 14985 df-re 14986 df-im 14987 df-sqrt 15121 df-abs 15122 df-clim 15371 |
This theorem is referenced by: climmulc2 15520 ntrivcvgmullem 15787 iprodmul 15887 mbfmullem2 25092 basellem7 26439 basellem9 26441 faclim 34322 faclim2 34324 climmulf 43852 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |