MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  climmul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climmul 15617
Description: Limit of the product of two converging sequences. Proposition 12-2.1(c) of [Gleason] p. 168. (Contributed by NM, 27-Dec-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 1-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
climadd.1 ๐‘ = (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)
climadd.2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
climadd.4 (๐œ‘ โ†’ ๐น โ‡ ๐ด)
climadd.6 (๐œ‘ โ†’ ๐ป โˆˆ ๐‘‹)
climadd.7 (๐œ‘ โ†’ ๐บ โ‡ ๐ต)
climadd.8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
climadd.9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐บโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
climmul.h ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐ปโ€˜๐‘˜) = ((๐นโ€˜๐‘˜) ยท (๐บโ€˜๐‘˜)))
Assertion
Ref Expression
climmul (๐œ‘ โ†’ ๐ป โ‡ (๐ด ยท ๐ต))
Distinct variable groups:   ๐ต,๐‘˜   ๐‘˜,๐น   ๐œ‘,๐‘˜   ๐ด,๐‘˜   ๐‘˜,๐บ   ๐‘˜,๐ป   ๐‘˜,๐‘€   ๐‘˜,๐‘
Allowed substitution hint:   ๐‘‹(๐‘˜)

Proof of Theorem climmul
Dummy variables ๐‘ข ๐‘ฃ ๐‘ฅ ๐‘ฆ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climadd.1 . 2 ๐‘ = (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)
2 climadd.2 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
3 climadd.4 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐น โ‡ ๐ด)
4 climcl 15483 . . 3 (๐น โ‡ ๐ด โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
53, 4syl 17 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
6 climadd.7 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐บ โ‡ ๐ต)
7 climcl 15483 . . 3 (๐บ โ‡ ๐ต โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
86, 7syl 17 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
9 mulcl 11230 . . 3 ((๐‘ข โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฃ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘ข ยท ๐‘ฃ) โˆˆ โ„‚)
109adantl 480 . 2 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ข โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฃ โˆˆ โ„‚)) โ†’ (๐‘ข ยท ๐‘ฃ) โˆˆ โ„‚)
11 climadd.6 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐ป โˆˆ ๐‘‹)
12 simpr 483 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„+)
135adantr 479 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
148adantr 479 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
15 mulcn2 15580 . . 3 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘ข โˆˆ โ„‚ โˆ€๐‘ฃ โˆˆ โ„‚ (((absโ€˜(๐‘ข โˆ’ ๐ด)) < ๐‘ฆ โˆง (absโ€˜(๐‘ฃ โˆ’ ๐ต)) < ๐‘ง) โ†’ (absโ€˜((๐‘ข ยท ๐‘ฃ) โˆ’ (๐ด ยท ๐ต))) < ๐‘ฅ))
1612, 13, 14, 15syl3anc 1368 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘ข โˆˆ โ„‚ โˆ€๐‘ฃ โˆˆ โ„‚ (((absโ€˜(๐‘ข โˆ’ ๐ด)) < ๐‘ฆ โˆง (absโ€˜(๐‘ฃ โˆ’ ๐ต)) < ๐‘ง) โ†’ (absโ€˜((๐‘ข ยท ๐‘ฃ) โˆ’ (๐ด ยท ๐ต))) < ๐‘ฅ))
17 climadd.8 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
18 climadd.9 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐บโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
19 climmul.h . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐ปโ€˜๐‘˜) = ((๐นโ€˜๐‘˜) ยท (๐บโ€˜๐‘˜)))
201, 2, 5, 8, 10, 3, 6, 11, 16, 17, 18, 19climcn2 15577 1 (๐œ‘ โ†’ ๐ป โ‡ (๐ด ยท ๐ต))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆ€wral 3058  โˆƒwrex 3067   class class class wbr 5152  โ€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  โ„‚cc 11144   ยท cmul 11151   < clt 11286   โˆ’ cmin 11482  โ„คcz 12596  โ„คโ‰ฅcuz 12860  โ„+crp 13014  abscabs 15221   โ‡ cli 15468
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-sup 9473  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-rp 13015  df-seq 14007  df-exp 14067  df-cj 15086  df-re 15087  df-im 15088  df-sqrt 15222  df-abs 15223  df-clim 15472
This theorem is referenced by:  climmulc2  15621  ntrivcvgmullem  15887  iprodmul  15987  mbfmullem2  25674  basellem7  27039  basellem9  27041  faclim  35373  faclim2  35375  climmulf  45021
  Copyright terms: Public domain W3C validator