MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  climmul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climmul 15516
Description: Limit of the product of two converging sequences. Proposition 12-2.1(c) of [Gleason] p. 168. (Contributed by NM, 27-Dec-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 1-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
climadd.1 ๐‘ = (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)
climadd.2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
climadd.4 (๐œ‘ โ†’ ๐น โ‡ ๐ด)
climadd.6 (๐œ‘ โ†’ ๐ป โˆˆ ๐‘‹)
climadd.7 (๐œ‘ โ†’ ๐บ โ‡ ๐ต)
climadd.8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
climadd.9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐บโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
climmul.h ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐ปโ€˜๐‘˜) = ((๐นโ€˜๐‘˜) ยท (๐บโ€˜๐‘˜)))
Assertion
Ref Expression
climmul (๐œ‘ โ†’ ๐ป โ‡ (๐ด ยท ๐ต))
Distinct variable groups:   ๐ต,๐‘˜   ๐‘˜,๐น   ๐œ‘,๐‘˜   ๐ด,๐‘˜   ๐‘˜,๐บ   ๐‘˜,๐ป   ๐‘˜,๐‘€   ๐‘˜,๐‘
Allowed substitution hint:   ๐‘‹(๐‘˜)

Proof of Theorem climmul
Dummy variables ๐‘ข ๐‘ฃ ๐‘ฅ ๐‘ฆ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climadd.1 . 2 ๐‘ = (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)
2 climadd.2 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
3 climadd.4 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐น โ‡ ๐ด)
4 climcl 15382 . . 3 (๐น โ‡ ๐ด โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
53, 4syl 17 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
6 climadd.7 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐บ โ‡ ๐ต)
7 climcl 15382 . . 3 (๐บ โ‡ ๐ต โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
86, 7syl 17 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
9 mulcl 11136 . . 3 ((๐‘ข โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฃ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘ข ยท ๐‘ฃ) โˆˆ โ„‚)
109adantl 483 . 2 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ข โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฃ โˆˆ โ„‚)) โ†’ (๐‘ข ยท ๐‘ฃ) โˆˆ โ„‚)
11 climadd.6 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐ป โˆˆ ๐‘‹)
12 simpr 486 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„+)
135adantr 482 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
148adantr 482 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
15 mulcn2 15479 . . 3 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘ข โˆˆ โ„‚ โˆ€๐‘ฃ โˆˆ โ„‚ (((absโ€˜(๐‘ข โˆ’ ๐ด)) < ๐‘ฆ โˆง (absโ€˜(๐‘ฃ โˆ’ ๐ต)) < ๐‘ง) โ†’ (absโ€˜((๐‘ข ยท ๐‘ฃ) โˆ’ (๐ด ยท ๐ต))) < ๐‘ฅ))
1612, 13, 14, 15syl3anc 1372 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘ข โˆˆ โ„‚ โˆ€๐‘ฃ โˆˆ โ„‚ (((absโ€˜(๐‘ข โˆ’ ๐ด)) < ๐‘ฆ โˆง (absโ€˜(๐‘ฃ โˆ’ ๐ต)) < ๐‘ง) โ†’ (absโ€˜((๐‘ข ยท ๐‘ฃ) โˆ’ (๐ด ยท ๐ต))) < ๐‘ฅ))
17 climadd.8 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
18 climadd.9 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐บโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
19 climmul.h . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐ปโ€˜๐‘˜) = ((๐นโ€˜๐‘˜) ยท (๐บโ€˜๐‘˜)))
201, 2, 5, 8, 10, 3, 6, 11, 16, 17, 18, 19climcn2 15476 1 (๐œ‘ โ†’ ๐ป โ‡ (๐ด ยท ๐ต))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆ€wral 3065  โˆƒwrex 3074   class class class wbr 5106  โ€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  โ„‚cc 11050   ยท cmul 11057   < clt 11190   โˆ’ cmin 11386  โ„คcz 12500  โ„คโ‰ฅcuz 12764  โ„+crp 12916  abscabs 15120   โ‡ cli 15367
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129  ax-pre-sup 11130
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-sup 9379  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-div 11814  df-nn 12155  df-2 12217  df-3 12218  df-n0 12415  df-z 12501  df-uz 12765  df-rp 12917  df-seq 13908  df-exp 13969  df-cj 14985  df-re 14986  df-im 14987  df-sqrt 15121  df-abs 15122  df-clim 15371
This theorem is referenced by:  climmulc2  15520  ntrivcvgmullem  15787  iprodmul  15887  mbfmullem2  25092  basellem7  26439  basellem9  26441  faclim  34322  faclim2  34324  climmulf  43852
  Copyright terms: Public domain W3C validator