Theorem climsub 15555

Description: Limit of the difference of two converging sequences. Proposition 12-2.1(b) of [Gleason] p. 168. (Contributed by NM, 4-Aug-2007.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 1-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
climadd.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
climadd.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
climadd.4	⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 𝐴)
climadd.6	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑋)
climadd.7	⊢ (𝜑 → 𝐺 ⇝ 𝐵)
climadd.8	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
climadd.9	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ)
climsub.h	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐻‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘)))

Assertion

Ref	Expression
climsub	⊢ (𝜑 → 𝐻 ⇝ (𝐴 − 𝐵))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘   𝐴,𝑘   𝑘,𝐺   𝑘,𝐻   𝑘,𝑀   𝑘,𝑍

Allowed substitution hint:   𝑋(𝑘)

Proof of Theorem climsub

Dummy variables 𝑢 𝑣 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climadd.1	. 2 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		climadd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		climadd.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 𝐴)
4		climcl 15420	. . 3 ⊢ (𝐹 ⇝ 𝐴 → 𝐴 ∈ ℂ)
5	3, 4	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
6		climadd.7	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ⇝ 𝐵)
7		climcl 15420	. . 3 ⊢ (𝐺 ⇝ 𝐵 → 𝐵 ∈ ℂ)
8	6, 7	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
9		subcl 11377	. . 3 ⊢ ((𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → (𝑢 − 𝑣) ∈ ℂ)
10	9	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (𝑢 − 𝑣) ∈ ℂ)
11		climadd.6	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑋)
12		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ+)
13	5	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℂ)
14	8	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℂ)
15		subcn2 15516	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢 − 𝐴)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 − 𝑣) − (𝐴 − 𝐵))) < 𝑥))
16	12, 13, 14, 15	syl3anc 1373	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢 − 𝐴)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 − 𝑣) − (𝐴 − 𝐵))) < 𝑥))
17		climadd.8	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
18		climadd.9	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ)
19		climsub.h	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐻‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘)))
20	1, 2, 5, 8, 10, 3, 6, 11, 16, 17, 18, 19	climcn2 15514	1 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ⇝ (𝐴 − 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3049  ∃wrex 3058   class class class wbr 5096  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  ℂcc 11022   < clt 11164   − cmin 11362  ℤcz 12486  ℤ_≥cuz 12749  ℝ⁺crp 12903  abscabs 15155   ⇝ cli 15405

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101  ax-pre-sup 11102

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-sup 9343  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-div 11793  df-nn 12144  df-2 12206  df-3 12207  df-n0 12400  df-z 12487  df-uz 12750  df-rp 12904  df-seq 13923  df-exp 13983  df-cj 15020  df-re 15021  df-im 15022  df-sqrt 15156  df-abs 15157  df-clim 15409

This theorem is referenced by:  climsubc1  15559  climsubc2  15560  climle  15561  supcvg  15777  mbfi1flimlem  25677  ulmdvlem1  26363  abelthlem6  26400  atantayl  26901  lgamcvg2  27019  hashnzfzclim  44505  binomcxplemrat  44533  climsubmpt  45846  ioodvbdlimc2lem  46120