Theorem climsub 15724

Description: Limit of the difference of two converging sequences. Proposition 12-2.1(b) of [Gleason] p. 168. (Contributed by NM, 4-Aug-2007.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 1-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
climadd.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
climadd.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
climadd.4	⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 𝐴)
climadd.6	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑋)
climadd.7	⊢ (𝜑 → 𝐺 ⇝ 𝐵)
climadd.8	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
climadd.9	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ)
climsub.h	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐻‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘)))

Assertion

Ref	Expression
climsub	⊢ (𝜑 → 𝐻 ⇝ (𝐴 − 𝐵))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘   𝐴,𝑘   𝑘,𝐺   𝑘,𝐻   𝑘,𝑀   𝑘,𝑍

Allowed substitution hint:   𝑋(𝑘)

Proof of Theorem climsub

Dummy variables 𝑢 𝑣 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climadd.1	. 2 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		climadd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		climadd.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 𝐴)
4		climcl 15589	. . 3 ⊢ (𝐹 ⇝ 𝐴 → 𝐴 ∈ ℂ)
5	3, 4	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
6		climadd.7	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ⇝ 𝐵)
7		climcl 15589	. . 3 ⊢ (𝐺 ⇝ 𝐵 → 𝐵 ∈ ℂ)
8	6, 7	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
9		subcl 11483	. . 3 ⊢ ((𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → (𝑢 − 𝑣) ∈ ℂ)
10	9	adantl 487	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (𝑢 − 𝑣) ∈ ℂ)
11		climadd.6	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑋)
12		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ+)
13	5	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℂ)
14	8	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℂ)
15		subcn2 15685	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢 − 𝐴)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 − 𝑣) − (𝐴 − 𝐵))) < 𝑥))
16	12, 13, 14, 15	syl3anc 1398	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢 − 𝐴)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 − 𝑣) − (𝐴 − 𝐵))) < 𝑥))
17		climadd.8	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
18		climadd.9	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ)
19		climsub.h	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐻‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘)))
20	1, 2, 5, 8, 10, 3, 6, 11, 16, 17, 18, 19	climcn2 15683	1 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ⇝ (𝐴 − 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076  ∃wrex 3086   class class class wbr 5103  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  ℂcc 11125   < clt 11270   − cmin 11468  ℤcz 12618  ℤ_≥cuz 12890  ℝ⁺crp 13045  abscabs 15324   ⇝ cli 15574

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-sup 9415  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-n0 12532  df-z 12619  df-uz 12891  df-rp 13046  df-seq 14069  df-exp 14129  df-cj 15189  df-re 15190  df-im 15191  df-sqrt 15325  df-abs 15326  df-clim 15578

This theorem is used by:  climsubc1  15728  climsubc2  15729  climle  15730  supcvg  15948  mbfi1flimlem  25953  ulmdvlem1  26639  abelthlem6  26675  atantayl  27177  lgamcvg2  27294  hashnzfzclim  45149  binomcxplemrat  45177  climsubmpt  46491  ioodvbdlimc2lem  46765