Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  climsub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climsub 14970
 Description: Limit of the difference of two converging sequences. Proposition 12-2.1(b) of [Gleason] p. 168. (Contributed by NM, 4-Aug-2007.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 1-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
climadd.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
climadd.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
climadd.8 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
climadd.9 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) ∈ ℂ)
climsub.h ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐻𝑘) = ((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘)))
Assertion
Ref Expression
climsub (𝜑𝐻 ⇝ (𝐴𝐵))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘   𝐴,𝑘   𝑘,𝐺   𝑘,𝐻   𝑘,𝑀   𝑘,𝑍
Allowed substitution hint:   𝑋(𝑘)

Proof of Theorem climsub
Dummy variables 𝑢 𝑣 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climadd.1 . 2 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 climadd.2 . 2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
3 climadd.4 . . 3 (𝜑𝐹𝐴)
4 climcl 14836 . . 3 (𝐹𝐴𝐴 ∈ ℂ)
53, 4syl 17 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
6 climadd.7 . . 3 (𝜑𝐺𝐵)
7 climcl 14836 . . 3 (𝐺𝐵𝐵 ∈ ℂ)
86, 7syl 17 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
9 subcl 10863 . . 3 ((𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → (𝑢𝑣) ∈ ℂ)
109adantl 484 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (𝑢𝑣) ∈ ℂ)
11 climadd.6 . 2 (𝜑𝐻𝑋)
12 simpr 487 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ+)
135adantr 483 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℂ)
148adantr 483 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℂ)
15 subcn2 14931 . . 3 ((𝑥 ∈ ℝ+𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢𝐴)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢𝑣) − (𝐴𝐵))) < 𝑥))
1612, 13, 14, 15syl3anc 1367 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢𝐴)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢𝑣) − (𝐴𝐵))) < 𝑥))
17 climadd.8 . 2 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
18 climadd.9 . 2 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) ∈ ℂ)
19 climsub.h . 2 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐻𝑘) = ((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘)))
201, 2, 5, 8, 10, 3, 6, 11, 16, 17, 18, 19climcn2 14929 1 (𝜑𝐻 ⇝ (𝐴𝐵))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ∀wral 3125  ∃wrex 3126   class class class wbr 5042  ‘cfv 6331  (class class class)co 7133  ℂcc 10513   < clt 10653   − cmin 10848  ℤcz 11960  ℤ≥cuz 12222  ℝ+crp 12368  abscabs 14573   ⇝ cli 14821 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7439  ax-cnex 10571  ax-resscn 10572  ax-1cn 10573  ax-icn 10574  ax-addcl 10575  ax-addrcl 10576  ax-mulcl 10577  ax-mulrcl 10578  ax-mulcom 10579  ax-addass 10580  ax-mulass 10581  ax-distr 10582  ax-i2m1 10583  ax-1ne0 10584  ax-1rid 10585  ax-rnegex 10586  ax-rrecex 10587  ax-cnre 10588  ax-pre-lttri 10589  ax-pre-lttrn 10590  ax-pre-ltadd 10591  ax-pre-mulgt0 10592  ax-pre-sup 10593 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-nel 3111  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rmo 3133  df-rab 3134  df-v 3475  df-sbc 3753  df-csb 3861  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4270  df-if 4444  df-pw 4517  df-sn 4544  df-pr 4546  df-tp 4548  df-op 4550  df-uni 4815  df-iun 4897  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5436  df-eprel 5441  df-po 5450  df-so 5451  df-fr 5490  df-we 5492  df-xp 5537  df-rel 5538  df-cnv 5539  df-co 5540  df-dm 5541  df-rn 5542  df-res 5543  df-ima 5544  df-pred 6124  df-ord 6170  df-on 6171  df-lim 6172  df-suc 6173  df-iota 6290  df-fun 6333  df-fn 6334  df-f 6335  df-f1 6336  df-fo 6337  df-f1o 6338  df-fv 6339  df-riota 7091  df-ov 7136  df-oprab 7137  df-mpo 7138  df-om 7559  df-2nd 7668  df-wrecs 7925  df-recs 7986  df-rdg 8024  df-er 8267  df-en 8488  df-dom 8489  df-sdom 8490  df-sup 8884  df-pnf 10655  df-mnf 10656  df-xr 10657  df-ltxr 10658  df-le 10659  df-sub 10850  df-neg 10851  df-div 11276  df-nn 11617  df-2 11679  df-3 11680  df-n0 11877  df-z 11961  df-uz 12223  df-rp 12369  df-seq 13354  df-exp 13415  df-cj 14438  df-re 14439  df-im 14440  df-sqrt 14574  df-abs 14575  df-clim 14825 This theorem is referenced by:  climsubc1  14974  climsubc2  14975  climle  14976  supcvg  15191  mbfi1flimlem  24305  ulmdvlem1  24974  abelthlem6  25010  atantayl  25502  lgamcvg2  25619  hashnzfzclim  40809  binomcxplemrat  40837  climsubmpt  42093  ioodvbdlimc2lem  42367
 Copyright terms: Public domain W3C validator