MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  climi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climi 15512
Description: Convergence of a sequence of complex numbers. (Contributed by NM, 11-Jan-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
climi.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
climi.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
climi.3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
climi.4 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = 𝐵)
climi.5 (𝜑𝐹𝐴)
Assertion
Ref Expression
climi (𝜑 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐵 ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵𝐴)) < 𝐶))
Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝐴   𝐶,𝑗,𝑘   𝑗,𝐹,𝑘   𝜑,𝑗,𝑘   𝑗,𝑍,𝑘   𝑗,𝑀
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑗,𝑘)   𝑀(𝑘)

Proof of Theorem climi
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 5157 . . . 4 (𝑥 = 𝐶 → ((abs‘(𝐵𝐴)) < 𝑥 ↔ (abs‘(𝐵𝐴)) < 𝐶))
21anbi2d 628 . . 3 (𝑥 = 𝐶 → ((𝐵 ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵𝐴)) < 𝑥) ↔ (𝐵 ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵𝐴)) < 𝐶)))
32rexralbidv 3211 . 2 (𝑥 = 𝐶 → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐵 ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵𝐴)) < 𝑥) ↔ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐵 ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵𝐴)) < 𝐶)))
4 climi.5 . . . 4 (𝜑𝐹𝐴)
5 climi.1 . . . . 5 𝑍 = (ℤ𝑀)
6 climi.2 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
7 climrel 15494 . . . . . . 7 Rel ⇝
87brrelex1i 5738 . . . . . 6 (𝐹𝐴𝐹 ∈ V)
94, 8syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐹 ∈ V)
10 climi.4 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = 𝐵)
115, 6, 9, 10clim2 15506 . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝐴 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐵 ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵𝐴)) < 𝑥))))
124, 11mpbid 231 . . 3 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐵 ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵𝐴)) < 𝑥)))
1312simprd 494 . 2 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐵 ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵𝐴)) < 𝑥))
14 climi.3 . 2 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
153, 13, 14rspcdva 3609 1 (𝜑 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐵 ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐵𝐴)) < 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1534  wcel 2099  wral 3051  wrex 3060  Vcvv 3462   class class class wbr 5153  cfv 6554  (class class class)co 7424  cc 11156   < clt 11298  cmin 11494  cz 12610  cuz 12874  +crp 13028  abscabs 15239  cli 15486
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-id 5580  df-po 5594  df-so 5595  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-ov 7427  df-er 8734  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-neg 11497  df-z 12611  df-uz 12875  df-clim 15490
This theorem is referenced by:  climi2  15513  climi0  15514  climuni  15554  2clim  15574  climcau  15675  caucvgb  15684  stoweidlem7  45628
  Copyright terms: Public domain W3C validator