Theorem 2clim 15745

Description: If two sequences converge to each other, they converge to the same limit. (Contributed by NM, 24-Dec-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
2clim.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2clim.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2clim.3	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑉)
2clim.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ)
2clim.6	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))) < 𝑥)
2clim.7	⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
2clim	⊢ (𝜑 → 𝐺 ⇝ 𝐴)

Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝐴   𝑥,𝑗,𝐹,𝑘   𝑗,𝐺,𝑥   𝑗,𝑀   𝜑,𝑗,𝑘   𝑗,𝑍,𝑘,𝑥   𝑘,𝐺

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥)   𝑀(𝑥, 𝑘)   𝑉(𝑥, 𝑗, 𝑘)

Proof of Theorem 2clim

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2clim.6	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))) < 𝑥)
2		rphalfcl 13153	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → (𝑦 / 2) ∈ ℝ+)
3		breq2 5106	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑦 / 2) → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))) < 𝑥 ↔ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))) < (𝑦 / 2)))
4	3	rexralbidv 3228	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑦 / 2) → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))) < 𝑥 ↔ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))) < (𝑦 / 2)))
5	4	rspccva 3575	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))) < 𝑥 ∧ (𝑦 / 2) ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))) < (𝑦 / 2))
6	1, 2, 5	syl2an 608	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))) < (𝑦 / 2))
7		2clim.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
8		2clim.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
9	8	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑀 ∈ ℤ)
10	2	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑦 / 2) ∈ ℝ+)
11		eqidd 2761	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
12		2clim.7	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 𝐴)
13	12	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝐹 ⇝ 𝐴)
14	7, 9, 10, 11, 13	climi 15683	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < (𝑦 / 2)))
15	7	rexanuz2 15523	. . . . 5 ⊢ (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))) < (𝑦 / 2) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < (𝑦 / 2))) ↔ (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))) < (𝑦 / 2) ∧ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < (𝑦 / 2))))
16	6, 14, 15	sylanbrc 595	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))) < (𝑦 / 2) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < (𝑦 / 2))))
17	7	uztrn2 12988	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
18		an12 658	. . . . . . . . 9 ⊢ (((abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))) < (𝑦 / 2) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < (𝑦 / 2))) ↔ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))) < (𝑦 / 2) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < (𝑦 / 2))))
19		simprr 785	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
20		2clim.5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ)
21	20	ad2ant2r 760	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ)
22	19, 21	abssubd 15629	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)) → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))) = (abs‘((𝐺‘𝑘) − (𝐹‘𝑘))))
23	22	breq1d 5112	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)) → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))) < (𝑦 / 2) ↔ (abs‘((𝐺‘𝑘) − (𝐹‘𝑘))) < (𝑦 / 2)))
24	23	anbi1d 643	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)) → (((abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))) < (𝑦 / 2) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < (𝑦 / 2)) ↔ ((abs‘((𝐺‘𝑘) − (𝐹‘𝑘))) < (𝑦 / 2) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < (𝑦 / 2))))
25		climcl 15672	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐹 ⇝ 𝐴 → 𝐴 ∈ ℂ)
26	12, 25	syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
27	26	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)) → 𝐴 ∈ ℂ)
28		rpre 13133	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → 𝑦 ∈ ℝ)
29	28	ad2antlr 740	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)) → 𝑦 ∈ ℝ)
30		abs3lem 15512	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐺‘𝑘) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (((abs‘((𝐺‘𝑘) − (𝐹‘𝑘))) < (𝑦 / 2) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < (𝑦 / 2)) → (abs‘((𝐺‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦))
31	21, 27, 19, 29, 30	syl22anc 852	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)) → (((abs‘((𝐺‘𝑘) − (𝐹‘𝑘))) < (𝑦 / 2) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < (𝑦 / 2)) → (abs‘((𝐺‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦))
32	24, 31	sylbid 243	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)) → (((abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))) < (𝑦 / 2) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < (𝑦 / 2)) → (abs‘((𝐺‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦))
33	32	anassrs 473	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) → (((abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))) < (𝑦 / 2) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < (𝑦 / 2)) → (abs‘((𝐺‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦))
34	33	expimpd 459	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))) < (𝑦 / 2) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < (𝑦 / 2))) → (abs‘((𝐺‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦))
35	18, 34	biimtrid 245	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (((abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))) < (𝑦 / 2) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < (𝑦 / 2))) → (abs‘((𝐺‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦))
36	17, 35	sylan2 605	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → (((abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))) < (𝑦 / 2) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < (𝑦 / 2))) → (abs‘((𝐺‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦))
37	36	anassrs 473	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (((abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))) < (𝑦 / 2) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < (𝑦 / 2))) → (abs‘((𝐺‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦))
38	37	ralimdva 3174	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))) < (𝑦 / 2) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < (𝑦 / 2))) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐺‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦))
39	38	reximdva 3175	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))) < (𝑦 / 2) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < (𝑦 / 2))) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐺‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦))
40	16, 39	mpd 16	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐺‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦)
41	40	ralrimiva 3154	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐺‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦)
42		2clim.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑉)
43		eqidd 2761	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) = (𝐺‘𝑘))
44	7, 8, 42, 43, 26, 20	clim2c 15678	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ⇝ 𝐴 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐺‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦))
45	41, 44	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ⇝ 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076  ∃wrex 3086   class class class wbr 5102  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421  ℂcc 11202  ℝcr 11203   < clt 11347   − cmin 11545   / cdiv 11977  2c2 12401  ℤcz 12697  ℤ_≥cuz 12969  ℝ⁺crp 13124  abscabs 15407   ⇝ cli 15657

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281  ax-pre-sup 11282

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-2nd 8003  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8721  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-sup 9438  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-div 11978  df-nn 12340  df-2 12409  df-3 12410  df-n0 12611  df-z 12698  df-uz 12970  df-rp 13125  df-seq 14149  df-exp 14209  df-cj 15272  df-re 15273  df-im 15274  df-sqrt 15408  df-abs 15409  df-clim 15661

This theorem is used by:  mertens  16061