Theorem 2clim 15649

Description: If two sequences converge to each other, they converge to the same limit. (Contributed by NM, 24-Dec-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
2clim.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2clim.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2clim.3	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑉)
2clim.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ)
2clim.6	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))) < 𝑥)
2clim.7	⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
2clim	⊢ (𝜑 → 𝐺 ⇝ 𝐴)

Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝐴   𝑥,𝑗,𝐹,𝑘   𝑗,𝐺,𝑥   𝑗,𝑀   𝜑,𝑗,𝑘   𝑗,𝑍,𝑘,𝑥   𝑘,𝐺

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥)   𝑀(𝑥, 𝑘)   𝑉(𝑥, 𝑗, 𝑘)

Proof of Theorem 2clim

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2clim.6	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))) < 𝑥)
2		rphalfcl 13063	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → (𝑦 / 2) ∈ ℝ+)
3		breq2 5118	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑦 / 2) → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))) < 𝑥 ↔ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))) < (𝑦 / 2)))
4	3	rexralbidv 3234	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑦 / 2) → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))) < 𝑥 ↔ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))) < (𝑦 / 2)))
5	4	rspccva 3583	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))) < 𝑥 ∧ (𝑦 / 2) ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))) < (𝑦 / 2))
6	1, 2, 5	syl2an 608	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))) < (𝑦 / 2))
7		2clim.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
8		2clim.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
9	8	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑀 ∈ ℤ)
10	2	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑦 / 2) ∈ ℝ+)
11		eqidd 2767	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
12		2clim.7	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 𝐴)
13	12	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝐹 ⇝ 𝐴)
14	7, 9, 10, 11, 13	climi 15587	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < (𝑦 / 2)))
15	7	rexanuz2 15427	. . . . 5 ⊢ (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))) < (𝑦 / 2) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < (𝑦 / 2))) ↔ (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))) < (𝑦 / 2) ∧ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < (𝑦 / 2))))
16	6, 14, 15	sylanbrc 595	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))) < (𝑦 / 2) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < (𝑦 / 2))))
17	7	uztrn2 12899	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
18		an12 658	. . . . . . . . 9 ⊢ (((abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))) < (𝑦 / 2) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < (𝑦 / 2))) ↔ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))) < (𝑦 / 2) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < (𝑦 / 2))))
19		simprr 785	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
20		2clim.5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ)
21	20	ad2ant2r 760	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ)
22	19, 21	abssubd 15533	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)) → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))) = (abs‘((𝐺‘𝑘) − (𝐹‘𝑘))))
23	22	breq1d 5124	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)) → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))) < (𝑦 / 2) ↔ (abs‘((𝐺‘𝑘) − (𝐹‘𝑘))) < (𝑦 / 2)))
24	23	anbi1d 643	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)) → (((abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))) < (𝑦 / 2) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < (𝑦 / 2)) ↔ ((abs‘((𝐺‘𝑘) − (𝐹‘𝑘))) < (𝑦 / 2) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < (𝑦 / 2))))
25		climcl 15576	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐹 ⇝ 𝐴 → 𝐴 ∈ ℂ)
26	12, 25	syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
27	26	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)) → 𝐴 ∈ ℂ)
28		rpre 13043	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → 𝑦 ∈ ℝ)
29	28	ad2antlr 740	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)) → 𝑦 ∈ ℝ)
30		abs3lem 15416	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐺‘𝑘) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (((abs‘((𝐺‘𝑘) − (𝐹‘𝑘))) < (𝑦 / 2) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < (𝑦 / 2)) → (abs‘((𝐺‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦))
31	21, 27, 19, 29, 30	syl22anc 852	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)) → (((abs‘((𝐺‘𝑘) − (𝐹‘𝑘))) < (𝑦 / 2) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < (𝑦 / 2)) → (abs‘((𝐺‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦))
32	24, 31	sylbid 243	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)) → (((abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))) < (𝑦 / 2) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < (𝑦 / 2)) → (abs‘((𝐺‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦))
33	32	anassrs 473	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) → (((abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))) < (𝑦 / 2) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < (𝑦 / 2)) → (abs‘((𝐺‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦))
34	33	expimpd 459	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))) < (𝑦 / 2) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < (𝑦 / 2))) → (abs‘((𝐺‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦))
35	18, 34	biimtrid 245	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (((abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))) < (𝑦 / 2) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < (𝑦 / 2))) → (abs‘((𝐺‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦))
36	17, 35	sylan2 605	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → (((abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))) < (𝑦 / 2) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < (𝑦 / 2))) → (abs‘((𝐺‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦))
37	36	anassrs 473	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (((abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))) < (𝑦 / 2) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < (𝑦 / 2))) → (abs‘((𝐺‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦))
38	37	ralimdva 3180	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))) < (𝑦 / 2) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < (𝑦 / 2))) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐺‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦))
39	38	reximdva 3181	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))) < (𝑦 / 2) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < (𝑦 / 2))) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐺‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦))
40	16, 39	mpd 16	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐺‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦)
41	40	ralrimiva 3160	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐺‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦)
42		2clim.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑉)
43		eqidd 2767	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) = (𝐺‘𝑘))
44	7, 8, 42, 43, 26, 20	clim2c 15582	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ⇝ 𝐴 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐺‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦))
45	41, 44	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ⇝ 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∀wral 3082  ∃wrex 3092   class class class wbr 5114  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  ℂcc 11116  ℝcr 11117   < clt 11261   − cmin 11459   / cdiv 11889  2c2 12313  ℤcz 12609  ℤ_≥cuz 12880  ℝ⁺crp 13034  abscabs 15311   ⇝ cli 15561

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195  ax-pre-sup 11196

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-sup 9412  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-div 11890  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-n0 12523  df-z 12610  df-uz 12881  df-rp 13035  df-seq 14058  df-exp 14118  df-cj 15176  df-re 15177  df-im 15178  df-sqrt 15312  df-abs 15313  df-clim 15565

This theorem is used by:  mertens  15966