MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2clim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2clim 15608
Description: If two sequences converge to each other, they converge to the same limit. (Contributed by NM, 24-Dec-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
2clim.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
2clim.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
2clim.3 (𝜑𝐺𝑉)
2clim.5 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) ∈ ℂ)
2clim.6 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))) < 𝑥)
2clim.7 (𝜑𝐹𝐴)
Assertion
Ref Expression
2clim (𝜑𝐺𝐴)
Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝐴   𝑥,𝑗,𝐹,𝑘   𝑗,𝐺,𝑥   𝑗,𝑀   𝜑,𝑗,𝑘   𝑗,𝑍,𝑘,𝑥   𝑘,𝐺
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥)   𝑀(𝑥,𝑘)   𝑉(𝑥,𝑗,𝑘)

Proof of Theorem 2clim
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2clim.6 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))) < 𝑥)
2 rphalfcl 13062 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℝ+ → (𝑦 / 2) ∈ ℝ+)
3 breq2 5147 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑦 / 2) → ((abs‘((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))) < 𝑥 ↔ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))) < (𝑦 / 2)))
43rexralbidv 3223 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑦 / 2) → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))) < 𝑥 ↔ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))) < (𝑦 / 2)))
54rspccva 3621 . . . . . 6 ((∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))) < 𝑥 ∧ (𝑦 / 2) ∈ ℝ+) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))) < (𝑦 / 2))
61, 2, 5syl2an 596 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))) < (𝑦 / 2))
7 2clim.1 . . . . . 6 𝑍 = (ℤ𝑀)
8 2clim.2 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
98adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑀 ∈ ℤ)
102adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑦 / 2) ∈ ℝ+)
11 eqidd 2738 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑘))
12 2clim.7 . . . . . . 7 (𝜑𝐹𝐴)
1312adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → 𝐹𝐴)
147, 9, 10, 11, 13climi 15546 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < (𝑦 / 2)))
157rexanuz2 15388 . . . . 5 (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((abs‘((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))) < (𝑦 / 2) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < (𝑦 / 2))) ↔ (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))) < (𝑦 / 2) ∧ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < (𝑦 / 2))))
166, 14, 15sylanbrc 583 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((abs‘((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))) < (𝑦 / 2) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < (𝑦 / 2))))
177uztrn2 12897 . . . . . . . 8 ((𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘𝑍)
18 an12 645 . . . . . . . . 9 (((abs‘((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))) < (𝑦 / 2) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < (𝑦 / 2))) ↔ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ ((abs‘((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))) < (𝑦 / 2) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < (𝑦 / 2))))
19 simprr 773 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘𝑍 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℂ)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
20 2clim.5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) ∈ ℂ)
2120ad2ant2r 747 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘𝑍 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℂ)) → (𝐺𝑘) ∈ ℂ)
2219, 21abssubd 15492 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘𝑍 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℂ)) → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))) = (abs‘((𝐺𝑘) − (𝐹𝑘))))
2322breq1d 5153 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘𝑍 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℂ)) → ((abs‘((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))) < (𝑦 / 2) ↔ (abs‘((𝐺𝑘) − (𝐹𝑘))) < (𝑦 / 2)))
2423anbi1d 631 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘𝑍 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℂ)) → (((abs‘((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))) < (𝑦 / 2) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < (𝑦 / 2)) ↔ ((abs‘((𝐺𝑘) − (𝐹𝑘))) < (𝑦 / 2) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < (𝑦 / 2))))
25 climcl 15535 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹𝐴𝐴 ∈ ℂ)
2612, 25syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2726ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘𝑍 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℂ)) → 𝐴 ∈ ℂ)
28 rpre 13043 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ)
2928ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘𝑍 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℂ)) → 𝑦 ∈ ℝ)
30 abs3lem 15377 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐺𝑘) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (((abs‘((𝐺𝑘) − (𝐹𝑘))) < (𝑦 / 2) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < (𝑦 / 2)) → (abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑦))
3121, 27, 19, 29, 30syl22anc 839 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘𝑍 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℂ)) → (((abs‘((𝐺𝑘) − (𝐹𝑘))) < (𝑦 / 2) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < (𝑦 / 2)) → (abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑦))
3224, 31sylbid 240 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘𝑍 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℂ)) → (((abs‘((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))) < (𝑦 / 2) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < (𝑦 / 2)) → (abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑦))
3332anassrs 467 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘𝑍) ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℂ) → (((abs‘((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))) < (𝑦 / 2) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < (𝑦 / 2)) → (abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑦))
3433expimpd 453 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘𝑍) → (((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ ((abs‘((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))) < (𝑦 / 2) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < (𝑦 / 2))) → (abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑦))
3518, 34biimtrid 242 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘𝑍) → (((abs‘((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))) < (𝑦 / 2) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < (𝑦 / 2))) → (abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑦))
3617, 35sylan2 593 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → (((abs‘((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))) < (𝑦 / 2) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < (𝑦 / 2))) → (abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑦))
3736anassrs 467 . . . . . 6 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (((abs‘((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))) < (𝑦 / 2) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < (𝑦 / 2))) → (abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑦))
3837ralimdva 3167 . . . . 5 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((abs‘((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))) < (𝑦 / 2) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < (𝑦 / 2))) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑦))
3938reximdva 3168 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((abs‘((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))) < (𝑦 / 2) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < (𝑦 / 2))) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑦))
4016, 39mpd 15 . . 3 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑦)
4140ralrimiva 3146 . 2 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑦)
42 2clim.3 . . 3 (𝜑𝐺𝑉)
43 eqidd 2738 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) = (𝐺𝑘))
447, 8, 42, 43, 26, 20clim2c 15541 . 2 (𝜑 → (𝐺𝐴 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑦))
4541, 44mpbird 257 1 (𝜑𝐺𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  wrex 3070   class class class wbr 5143  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  cr 11154   < clt 11295  cmin 11492   / cdiv 11920  2c2 12321  cz 12613  cuz 12878  +crp 13034  abscabs 15273  cli 15520
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524
This theorem is referenced by:  mertens  15922
  Copyright terms: Public domain W3C validator