Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2clim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2clim 14907
 Description: If two sequences converge to each other, they converge to the same limit. (Contributed by NM, 24-Dec-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
2clim.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
2clim.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
2clim.3 (𝜑𝐺𝑉)
2clim.5 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) ∈ ℂ)
2clim.6 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))) < 𝑥)
2clim.7 (𝜑𝐹𝐴)
Assertion
Ref Expression
2clim (𝜑𝐺𝐴)
Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝐴   𝑥,𝑗,𝐹,𝑘   𝑗,𝐺,𝑥   𝑗,𝑀   𝜑,𝑗,𝑘   𝑗,𝑍,𝑘,𝑥   𝑘,𝐺
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥)   𝑀(𝑥,𝑘)   𝑉(𝑥,𝑗,𝑘)

Proof of Theorem 2clim
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2clim.6 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))) < 𝑥)
2 rphalfcl 12393 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℝ+ → (𝑦 / 2) ∈ ℝ+)
3 breq2 5044 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑦 / 2) → ((abs‘((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))) < 𝑥 ↔ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))) < (𝑦 / 2)))
43rexralbidv 3288 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑦 / 2) → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))) < 𝑥 ↔ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))) < (𝑦 / 2)))
54rspccva 3601 . . . . . 6 ((∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))) < 𝑥 ∧ (𝑦 / 2) ∈ ℝ+) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))) < (𝑦 / 2))
61, 2, 5syl2an 597 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))) < (𝑦 / 2))
7 2clim.1 . . . . . 6 𝑍 = (ℤ𝑀)
8 2clim.2 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
98adantr 483 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑀 ∈ ℤ)
102adantl 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑦 / 2) ∈ ℝ+)
11 eqidd 2821 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑘))
12 2clim.7 . . . . . . 7 (𝜑𝐹𝐴)
1312adantr 483 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → 𝐹𝐴)
147, 9, 10, 11, 13climi 14845 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < (𝑦 / 2)))
157rexanuz2 14687 . . . . 5 (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((abs‘((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))) < (𝑦 / 2) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < (𝑦 / 2))) ↔ (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))) < (𝑦 / 2) ∧ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < (𝑦 / 2))))
166, 14, 15sylanbrc 585 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((abs‘((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))) < (𝑦 / 2) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < (𝑦 / 2))))
177uztrn2 12239 . . . . . . . 8 ((𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘𝑍)
18 an12 643 . . . . . . . . 9 (((abs‘((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))) < (𝑦 / 2) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < (𝑦 / 2))) ↔ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ ((abs‘((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))) < (𝑦 / 2) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < (𝑦 / 2))))
19 simprr 771 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘𝑍 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℂ)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
20 2clim.5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) ∈ ℂ)
2120ad2ant2r 745 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘𝑍 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℂ)) → (𝐺𝑘) ∈ ℂ)
2219, 21abssubd 14791 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘𝑍 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℂ)) → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))) = (abs‘((𝐺𝑘) − (𝐹𝑘))))
2322breq1d 5050 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘𝑍 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℂ)) → ((abs‘((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))) < (𝑦 / 2) ↔ (abs‘((𝐺𝑘) − (𝐹𝑘))) < (𝑦 / 2)))
2423anbi1d 631 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘𝑍 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℂ)) → (((abs‘((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))) < (𝑦 / 2) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < (𝑦 / 2)) ↔ ((abs‘((𝐺𝑘) − (𝐹𝑘))) < (𝑦 / 2) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < (𝑦 / 2))))
25 climcl 14834 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹𝐴𝐴 ∈ ℂ)
2612, 25syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2726ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘𝑍 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℂ)) → 𝐴 ∈ ℂ)
28 rpre 12374 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ)
2928ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘𝑍 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℂ)) → 𝑦 ∈ ℝ)
30 abs3lem 14676 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐺𝑘) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (((abs‘((𝐺𝑘) − (𝐹𝑘))) < (𝑦 / 2) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < (𝑦 / 2)) → (abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑦))
3121, 27, 19, 29, 30syl22anc 836 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘𝑍 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℂ)) → (((abs‘((𝐺𝑘) − (𝐹𝑘))) < (𝑦 / 2) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < (𝑦 / 2)) → (abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑦))
3224, 31sylbid 242 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘𝑍 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℂ)) → (((abs‘((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))) < (𝑦 / 2) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < (𝑦 / 2)) → (abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑦))
3332anassrs 470 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘𝑍) ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℂ) → (((abs‘((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))) < (𝑦 / 2) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < (𝑦 / 2)) → (abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑦))
3433expimpd 456 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘𝑍) → (((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ ((abs‘((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))) < (𝑦 / 2) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < (𝑦 / 2))) → (abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑦))
3518, 34syl5bi 244 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘𝑍) → (((abs‘((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))) < (𝑦 / 2) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < (𝑦 / 2))) → (abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑦))
3617, 35sylan2 594 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → (((abs‘((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))) < (𝑦 / 2) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < (𝑦 / 2))) → (abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑦))
3736anassrs 470 . . . . . 6 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (((abs‘((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))) < (𝑦 / 2) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < (𝑦 / 2))) → (abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑦))
3837ralimdva 3164 . . . . 5 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((abs‘((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))) < (𝑦 / 2) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < (𝑦 / 2))) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑦))
3938reximdva 3261 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((abs‘((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))) < (𝑦 / 2) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < (𝑦 / 2))) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑦))
4016, 39mpd 15 . . 3 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑦)
4140ralrimiva 3169 . 2 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑦)
42 2clim.3 . . 3 (𝜑𝐺𝑉)
43 eqidd 2821 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) = (𝐺𝑘))
447, 8, 42, 43, 26, 20clim2c 14840 . 2 (𝜑 → (𝐺𝐴 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑦))
4541, 44mpbird 259 1 (𝜑𝐺𝐴)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ∀wral 3125  ∃wrex 3126   class class class wbr 5040  ‘cfv 6329  (class class class)co 7131  ℂcc 10511  ℝcr 10512   < clt 10651   − cmin 10846   / cdiv 11273  2c2 11669  ℤcz 11958  ℤ≥cuz 12220  ℝ+crp 12366  abscabs 14571   ⇝ cli 14819 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5240  ax-pr 5304  ax-un 7437  ax-cnex 10569  ax-resscn 10570  ax-1cn 10571  ax-icn 10572  ax-addcl 10573  ax-addrcl 10574  ax-mulcl 10575  ax-mulrcl 10576  ax-mulcom 10577  ax-addass 10578  ax-mulass 10579  ax-distr 10580  ax-i2m1 10581  ax-1ne0 10582  ax-1rid 10583  ax-rnegex 10584  ax-rrecex 10585  ax-cnre 10586  ax-pre-lttri 10587  ax-pre-lttrn 10588  ax-pre-ltadd 10589  ax-pre-mulgt0 10590  ax-pre-sup 10591 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-nel 3111  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rmo 3133  df-rab 3134  df-v 3475  df-sbc 3752  df-csb 3860  df-dif 3915  df-un 3917  df-in 3919  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4268  df-if 4442  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4813  df-iun 4895  df-br 5041  df-opab 5103  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5434  df-eprel 5439  df-po 5448  df-so 5449  df-fr 5488  df-we 5490  df-xp 5535  df-rel 5536  df-cnv 5537  df-co 5538  df-dm 5539  df-rn 5540  df-res 5541  df-ima 5542  df-pred 6122  df-ord 6168  df-on 6169  df-lim 6170  df-suc 6171  df-iota 6288  df-fun 6331  df-fn 6332  df-f 6333  df-f1 6334  df-fo 6335  df-f1o 6336  df-fv 6337  df-riota 7089  df-ov 7134  df-oprab 7135  df-mpo 7136  df-om 7557  df-2nd 7666  df-wrecs 7923  df-recs 7984  df-rdg 8022  df-er 8265  df-en 8486  df-dom 8487  df-sdom 8488  df-sup 8882  df-pnf 10653  df-mnf 10654  df-xr 10655  df-ltxr 10656  df-le 10657  df-sub 10848  df-neg 10849  df-div 11274  df-nn 11615  df-2 11677  df-3 11678  df-n0 11875  df-z 11959  df-uz 12221  df-rp 12367  df-seq 13352  df-exp 13413  df-cj 14436  df-re 14437  df-im 14438  df-sqrt 14572  df-abs 14573  df-clim 14823 This theorem is referenced by:  mertens  15220
 Copyright terms: Public domain W3C validator