MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2clim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2clim 15604
Description: If two sequences converge to each other, they converge to the same limit. (Contributed by NM, 24-Dec-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
2clim.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
2clim.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
2clim.3 (𝜑𝐺𝑉)
2clim.5 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) ∈ ℂ)
2clim.6 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))) < 𝑥)
2clim.7 (𝜑𝐹𝐴)
Assertion
Ref Expression
2clim (𝜑𝐺𝐴)
Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝐴   𝑥,𝑗,𝐹,𝑘   𝑗,𝐺,𝑥   𝑗,𝑀   𝜑,𝑗,𝑘   𝑗,𝑍,𝑘,𝑥   𝑘,𝐺
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥)   𝑀(𝑥,𝑘)   𝑉(𝑥,𝑗,𝑘)

Proof of Theorem 2clim
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2clim.6 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))) < 𝑥)
2 rphalfcl 13059 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℝ+ → (𝑦 / 2) ∈ ℝ+)
3 breq2 5151 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑦 / 2) → ((abs‘((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))) < 𝑥 ↔ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))) < (𝑦 / 2)))
43rexralbidv 3220 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑦 / 2) → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))) < 𝑥 ↔ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))) < (𝑦 / 2)))
54rspccva 3620 . . . . . 6 ((∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))) < 𝑥 ∧ (𝑦 / 2) ∈ ℝ+) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))) < (𝑦 / 2))
61, 2, 5syl2an 596 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))) < (𝑦 / 2))
7 2clim.1 . . . . . 6 𝑍 = (ℤ𝑀)
8 2clim.2 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
98adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑀 ∈ ℤ)
102adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑦 / 2) ∈ ℝ+)
11 eqidd 2735 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑘))
12 2clim.7 . . . . . . 7 (𝜑𝐹𝐴)
1312adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → 𝐹𝐴)
147, 9, 10, 11, 13climi 15542 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < (𝑦 / 2)))
157rexanuz2 15384 . . . . 5 (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((abs‘((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))) < (𝑦 / 2) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < (𝑦 / 2))) ↔ (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))) < (𝑦 / 2) ∧ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < (𝑦 / 2))))
166, 14, 15sylanbrc 583 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((abs‘((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))) < (𝑦 / 2) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < (𝑦 / 2))))
177uztrn2 12894 . . . . . . . 8 ((𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘𝑍)
18 an12 645 . . . . . . . . 9 (((abs‘((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))) < (𝑦 / 2) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < (𝑦 / 2))) ↔ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ ((abs‘((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))) < (𝑦 / 2) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < (𝑦 / 2))))
19 simprr 773 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘𝑍 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℂ)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
20 2clim.5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) ∈ ℂ)
2120ad2ant2r 747 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘𝑍 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℂ)) → (𝐺𝑘) ∈ ℂ)
2219, 21abssubd 15488 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘𝑍 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℂ)) → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))) = (abs‘((𝐺𝑘) − (𝐹𝑘))))
2322breq1d 5157 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘𝑍 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℂ)) → ((abs‘((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))) < (𝑦 / 2) ↔ (abs‘((𝐺𝑘) − (𝐹𝑘))) < (𝑦 / 2)))
2423anbi1d 631 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘𝑍 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℂ)) → (((abs‘((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))) < (𝑦 / 2) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < (𝑦 / 2)) ↔ ((abs‘((𝐺𝑘) − (𝐹𝑘))) < (𝑦 / 2) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < (𝑦 / 2))))
25 climcl 15531 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹𝐴𝐴 ∈ ℂ)
2612, 25syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2726ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘𝑍 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℂ)) → 𝐴 ∈ ℂ)
28 rpre 13040 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ)
2928ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘𝑍 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℂ)) → 𝑦 ∈ ℝ)
30 abs3lem 15373 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐺𝑘) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (((abs‘((𝐺𝑘) − (𝐹𝑘))) < (𝑦 / 2) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < (𝑦 / 2)) → (abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑦))
3121, 27, 19, 29, 30syl22anc 839 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘𝑍 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℂ)) → (((abs‘((𝐺𝑘) − (𝐹𝑘))) < (𝑦 / 2) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < (𝑦 / 2)) → (abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑦))
3224, 31sylbid 240 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘𝑍 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℂ)) → (((abs‘((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))) < (𝑦 / 2) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < (𝑦 / 2)) → (abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑦))
3332anassrs 467 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘𝑍) ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℂ) → (((abs‘((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))) < (𝑦 / 2) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < (𝑦 / 2)) → (abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑦))
3433expimpd 453 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘𝑍) → (((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ ((abs‘((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))) < (𝑦 / 2) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < (𝑦 / 2))) → (abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑦))
3518, 34biimtrid 242 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘𝑍) → (((abs‘((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))) < (𝑦 / 2) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < (𝑦 / 2))) → (abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑦))
3617, 35sylan2 593 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → (((abs‘((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))) < (𝑦 / 2) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < (𝑦 / 2))) → (abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑦))
3736anassrs 467 . . . . . 6 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (((abs‘((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))) < (𝑦 / 2) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < (𝑦 / 2))) → (abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑦))
3837ralimdva 3164 . . . . 5 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((abs‘((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))) < (𝑦 / 2) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < (𝑦 / 2))) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑦))
3938reximdva 3165 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((abs‘((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))) < (𝑦 / 2) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝐴)) < (𝑦 / 2))) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑦))
4016, 39mpd 15 . . 3 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑦)
4140ralrimiva 3143 . 2 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑦)
42 2clim.3 . . 3 (𝜑𝐺𝑉)
43 eqidd 2735 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) = (𝐺𝑘))
447, 8, 42, 43, 26, 20clim2c 15537 . 2 (𝜑 → (𝐺𝐴 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑦))
4541, 44mpbird 257 1 (𝜑𝐺𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1536  wcel 2105  wral 3058  wrex 3067   class class class wbr 5147  cfv 6562  (class class class)co 7430  cc 11150  cr 11151   < clt 11292  cmin 11489   / cdiv 11917  2c2 12318  cz 12610  cuz 12875  +crp 13031  abscabs 15269  cli 15516
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-sup 9479  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-rp 13032  df-seq 14039  df-exp 14099  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-clim 15520
This theorem is referenced by:  mertens  15918
  Copyright terms: Public domain W3C validator