Theorem 2clim 15532

Description: If two sequences converge to each other, they converge to the same limit. (Contributed by NM, 24-Dec-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
2clim.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2clim.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2clim.3	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑉)
2clim.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ)
2clim.6	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))) < 𝑥)
2clim.7	⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
2clim	⊢ (𝜑 → 𝐺 ⇝ 𝐴)

Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝐴   𝑥,𝑗,𝐹,𝑘   𝑗,𝐺,𝑥   𝑗,𝑀   𝜑,𝑗,𝑘   𝑗,𝑍,𝑘,𝑥   𝑘,𝐺

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥)   𝑀(𝑥,𝑘)   𝑉(𝑥,𝑗,𝑘)

Proof of Theorem 2clim

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2clim.6	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))) < 𝑥)
2		rphalfcl 12969	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → (𝑦 / 2) ∈ ℝ+)
3		breq2 5083	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑦 / 2) → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))) < 𝑥 ↔ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))) < (𝑦 / 2)))
4	3	rexralbidv 3206	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑦 / 2) → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))) < 𝑥 ↔ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))) < (𝑦 / 2)))
5	4	rspccva 3566	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))) < 𝑥 ∧ (𝑦 / 2) ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))) < (𝑦 / 2))
6	1, 2, 5	syl2an 602	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))) < (𝑦 / 2))
7		2clim.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
8		2clim.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
9	8	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑀 ∈ ℤ)
10	2	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑦 / 2) ∈ ℝ+)
11		eqidd 2741	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
12		2clim.7	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 𝐴)
13	12	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝐹 ⇝ 𝐴)
14	7, 9, 10, 11, 13	climi 15470	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < (𝑦 / 2)))
15	7	rexanuz2 15310	. . . . 5 ⊢ (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))) < (𝑦 / 2) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < (𝑦 / 2))) ↔ (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))) < (𝑦 / 2) ∧ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < (𝑦 / 2))))
16	6, 14, 15	sylanbrc 589	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))) < (𝑦 / 2) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < (𝑦 / 2))))
17	7	uztrn2 12805	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
18		an12 651	. . . . . . . . 9 ⊢ (((abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))) < (𝑦 / 2) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < (𝑦 / 2))) ↔ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))) < (𝑦 / 2) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < (𝑦 / 2))))
19		simprr 778	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
20		2clim.5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ)
21	20	ad2ant2r 753	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ)
22	19, 21	abssubd 15416	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)) → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))) = (abs‘((𝐺‘𝑘) − (𝐹‘𝑘))))
23	22	breq1d 5089	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)) → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))) < (𝑦 / 2) ↔ (abs‘((𝐺‘𝑘) − (𝐹‘𝑘))) < (𝑦 / 2)))
24	23	anbi1d 637	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)) → (((abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))) < (𝑦 / 2) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < (𝑦 / 2)) ↔ ((abs‘((𝐺‘𝑘) − (𝐹‘𝑘))) < (𝑦 / 2) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < (𝑦 / 2))))
25		climcl 15459	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐹 ⇝ 𝐴 → 𝐴 ∈ ℂ)
26	12, 25	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
27	26	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)) → 𝐴 ∈ ℂ)
28		rpre 12949	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → 𝑦 ∈ ℝ)
29	28	ad2antlr 733	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)) → 𝑦 ∈ ℝ)
30		abs3lem 15299	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐺‘𝑘) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (((abs‘((𝐺‘𝑘) − (𝐹‘𝑘))) < (𝑦 / 2) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < (𝑦 / 2)) → (abs‘((𝐺‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦))
31	21, 27, 19, 29, 30	syl22anc 844	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)) → (((abs‘((𝐺‘𝑘) − (𝐹‘𝑘))) < (𝑦 / 2) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < (𝑦 / 2)) → (abs‘((𝐺‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦))
32	24, 31	sylbid 241	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ 𝑍 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)) → (((abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))) < (𝑦 / 2) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < (𝑦 / 2)) → (abs‘((𝐺‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦))
33	32	anassrs 468	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) → (((abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))) < (𝑦 / 2) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < (𝑦 / 2)) → (abs‘((𝐺‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦))
34	33	expimpd 454	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ ((abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))) < (𝑦 / 2) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < (𝑦 / 2))) → (abs‘((𝐺‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦))
35	18, 34	biimtrid 243	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (((abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))) < (𝑦 / 2) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < (𝑦 / 2))) → (abs‘((𝐺‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦))
36	17, 35	sylan2 599	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → (((abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))) < (𝑦 / 2) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < (𝑦 / 2))) → (abs‘((𝐺‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦))
37	36	anassrs 468	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (((abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))) < (𝑦 / 2) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < (𝑦 / 2))) → (abs‘((𝐺‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦))
38	37	ralimdva 3152	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))) < (𝑦 / 2) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < (𝑦 / 2))) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐺‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦))
39	38	reximdva 3153	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘))) < (𝑦 / 2) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < (𝑦 / 2))) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐺‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦))
40	16, 39	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐺‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦)
41	40	ralrimiva 3132	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐺‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦)
42		2clim.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑉)
43		eqidd 2741	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) = (𝐺‘𝑘))
44	7, 8, 42, 43, 26, 20	clim2c 15465	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ⇝ 𝐴 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐺‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦))
45	41, 44	mpbird 258	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ⇝ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∀wral 3054  ∃wrex 3064   class class class wbr 5079  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363  ℂcc 11034  ℝcr 11035   < clt 11177   − cmin 11375   / cdiv 11805  2c2 12234  ℤcz 12522  ℤ_≥cuz 12786  ℝ⁺crp 12940  abscabs 15194   ⇝ cli 15444

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113  ax-pre-sup 11114

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-sup 9352  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-div 11806  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-n0 12436  df-z 12523  df-uz 12787  df-rp 12941  df-seq 13962  df-exp 14022  df-cj 15059  df-re 15060  df-im 15061  df-sqrt 15195  df-abs 15196  df-clim 15448

This theorem is referenced by:  mertens  15849