Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem7 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stoweidlem7 44713
Description: This lemma is used to prove that qn as in the proof of Lemma 1 in [BrosowskiDeutsh] p. 91, (at the top of page 91), is such that qn < Ξ΅ on 𝑇 βˆ– π‘ˆ, and qn > 1 - Ξ΅ on 𝑉. Here it is proven that, for 𝑛 large enough, 1-(k*Ξ΄/2)^n > 1 - Ξ΅ , and 1/(k*Ξ΄)^n < Ξ΅. The variable 𝐴 is used to represent (k*Ξ΄) in the paper, and 𝐡 is used to represent (k*Ξ΄/2). (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem7.1 𝐹 = (𝑖 ∈ β„•0 ↦ ((1 / 𝐴)↑𝑖))
stoweidlem7.2 𝐺 = (𝑖 ∈ β„•0 ↦ (𝐡↑𝑖))
stoweidlem7.3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
stoweidlem7.4 (πœ‘ β†’ 1 < 𝐴)
stoweidlem7.5 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ+)
stoweidlem7.6 (πœ‘ β†’ 𝐡 < 1)
stoweidlem7.7 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
stoweidlem7 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• ((1 βˆ’ 𝐸) < (1 βˆ’ (𝐡↑𝑛)) ∧ (1 / (𝐴↑𝑛)) < 𝐸))
Distinct variable groups:   𝑖,𝑛,𝐴   𝐡,𝑖,𝑛   𝑖,𝐸,𝑛   πœ‘,𝑖,𝑛   𝑛,𝐹   𝑛,𝐺
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑖)   𝐺(𝑖)

Proof of Theorem stoweidlem7
Dummy variable π‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 12864 . . . . 5 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
2 1zzd 12592 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„€)
3 stoweidlem7.7 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ ℝ+)
4 stoweidlem7.2 . . . . . 6 𝐺 = (𝑖 ∈ β„•0 ↦ (𝐡↑𝑖))
5 oveq2 7416 . . . . . 6 (𝑖 = π‘˜ β†’ (𝐡↑𝑖) = (π΅β†‘π‘˜))
6 nnnn0 12478 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ β„• β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
76adantl 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
8 stoweidlem7.5 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ+)
98rpcnd 13017 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
109adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
1110, 7expcld 14110 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π΅β†‘π‘˜) ∈ β„‚)
124, 5, 7, 11fvmptd3 7021 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (πΊβ€˜π‘˜) = (π΅β†‘π‘˜))
13 1red 11214 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 1 ∈ ℝ)
1413renegcld 11640 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ -1 ∈ ℝ)
15 0red 11216 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 0 ∈ ℝ)
168rpred 13015 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
17 neg1lt0 12328 . . . . . . . . . 10 -1 < 0
1817a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ -1 < 0)
198rpgt0d 13018 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 0 < 𝐡)
2014, 15, 16, 18, 19lttrd 11374 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ -1 < 𝐡)
21 stoweidlem7.6 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐡 < 1)
2216, 13absltd 15375 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((absβ€˜π΅) < 1 ↔ (-1 < 𝐡 ∧ 𝐡 < 1)))
2320, 21, 22mpbir2and 711 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (absβ€˜π΅) < 1)
249, 23expcnv 15809 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑖 ∈ β„•0 ↦ (𝐡↑𝑖)) ⇝ 0)
254, 24eqbrtrid 5183 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐺 ⇝ 0)
261, 2, 3, 12, 25climi 15453 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)((π΅β†‘π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((π΅β†‘π‘˜) βˆ’ 0)) < 𝐸))
27 r19.26 3111 . . . . . . . . . . . . . 14 (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)((π΅β†‘π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((π΅β†‘π‘˜) βˆ’ 0)) < 𝐸) ↔ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)(π΅β†‘π‘˜) ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)(absβ€˜((π΅β†‘π‘˜) βˆ’ 0)) < 𝐸))
2827simprbi 497 . . . . . . . . . . . . 13 (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)((π΅β†‘π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((π΅β†‘π‘˜) βˆ’ 0)) < 𝐸) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)(absβ€˜((π΅β†‘π‘˜) βˆ’ 0)) < 𝐸)
2928ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)((π΅β†‘π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((π΅β†‘π‘˜) βˆ’ 0)) < 𝐸)) ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)(absβ€˜((π΅β†‘π‘˜) βˆ’ 0)) < 𝐸)
30 oveq2 7416 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ = 𝑖 β†’ (π΅β†‘π‘˜) = (𝐡↑𝑖))
3130oveq1d 7423 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ = 𝑖 β†’ ((π΅β†‘π‘˜) βˆ’ 0) = ((𝐡↑𝑖) βˆ’ 0))
3231fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ = 𝑖 β†’ (absβ€˜((π΅β†‘π‘˜) βˆ’ 0)) = (absβ€˜((𝐡↑𝑖) βˆ’ 0)))
3332breq1d 5158 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ = 𝑖 β†’ ((absβ€˜((π΅β†‘π‘˜) βˆ’ 0)) < 𝐸 ↔ (absβ€˜((𝐡↑𝑖) βˆ’ 0)) < 𝐸))
3433rspccva 3611 . . . . . . . . . . . 12 ((βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)(absβ€˜((π΅β†‘π‘˜) βˆ’ 0)) < 𝐸 ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)) β†’ (absβ€˜((𝐡↑𝑖) βˆ’ 0)) < 𝐸)
3529, 34sylancom 588 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)((π΅β†‘π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((π΅β†‘π‘˜) βˆ’ 0)) < 𝐸)) ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)) β†’ (absβ€˜((𝐡↑𝑖) βˆ’ 0)) < 𝐸)
36 simplll 773 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)((π΅β†‘π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((π΅β†‘π‘˜) βˆ’ 0)) < 𝐸)) ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)) β†’ πœ‘)
3736, 8syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)((π΅β†‘π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((π΅β†‘π‘˜) βˆ’ 0)) < 𝐸)) ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)) β†’ 𝐡 ∈ ℝ+)
3837rpred 13015 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)((π΅β†‘π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((π΅β†‘π‘˜) βˆ’ 0)) < 𝐸)) ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
39 simpllr 774 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)((π΅β†‘π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((π΅β†‘π‘˜) βˆ’ 0)) < 𝐸)) ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
40 nnnn0 12478 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ β„• β†’ 𝑛 ∈ β„•0)
4139, 40syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)((π΅β†‘π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((π΅β†‘π‘˜) βˆ’ 0)) < 𝐸)) ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)) β†’ 𝑛 ∈ β„•0)
42 eluznn0 12900 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)) β†’ 𝑖 ∈ β„•0)
4341, 42sylancom 588 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)((π΅β†‘π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((π΅β†‘π‘˜) βˆ’ 0)) < 𝐸)) ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)) β†’ 𝑖 ∈ β„•0)
4438, 43reexpcld 14127 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)((π΅β†‘π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((π΅β†‘π‘˜) βˆ’ 0)) < 𝐸)) ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)) β†’ (𝐡↑𝑖) ∈ ℝ)
45 rpre 12981 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐸 ∈ ℝ+ β†’ 𝐸 ∈ ℝ)
4636, 3, 453syl 18 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)((π΅β†‘π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((π΅β†‘π‘˜) βˆ’ 0)) < 𝐸)) ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)) β†’ 𝐸 ∈ ℝ)
47 recn 11199 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐡↑𝑖) ∈ ℝ β†’ (𝐡↑𝑖) ∈ β„‚)
4847subid1d 11559 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐡↑𝑖) ∈ ℝ β†’ ((𝐡↑𝑖) βˆ’ 0) = (𝐡↑𝑖))
4948adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐡↑𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ℝ) β†’ ((𝐡↑𝑖) βˆ’ 0) = (𝐡↑𝑖))
5049fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐡↑𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ℝ) β†’ (absβ€˜((𝐡↑𝑖) βˆ’ 0)) = (absβ€˜(𝐡↑𝑖)))
5150breq1d 5158 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐡↑𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ℝ) β†’ ((absβ€˜((𝐡↑𝑖) βˆ’ 0)) < 𝐸 ↔ (absβ€˜(𝐡↑𝑖)) < 𝐸))
52 abslt 15260 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐡↑𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ℝ) β†’ ((absβ€˜(𝐡↑𝑖)) < 𝐸 ↔ (-𝐸 < (𝐡↑𝑖) ∧ (𝐡↑𝑖) < 𝐸)))
5351, 52bitrd 278 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐡↑𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ℝ) β†’ ((absβ€˜((𝐡↑𝑖) βˆ’ 0)) < 𝐸 ↔ (-𝐸 < (𝐡↑𝑖) ∧ (𝐡↑𝑖) < 𝐸)))
5444, 46, 53syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)((π΅β†‘π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((π΅β†‘π‘˜) βˆ’ 0)) < 𝐸)) ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)) β†’ ((absβ€˜((𝐡↑𝑖) βˆ’ 0)) < 𝐸 ↔ (-𝐸 < (𝐡↑𝑖) ∧ (𝐡↑𝑖) < 𝐸)))
5535, 54mpbid 231 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)((π΅β†‘π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((π΅β†‘π‘˜) βˆ’ 0)) < 𝐸)) ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)) β†’ (-𝐸 < (𝐡↑𝑖) ∧ (𝐡↑𝑖) < 𝐸))
5655simprd 496 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)((π΅β†‘π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((π΅β†‘π‘˜) βˆ’ 0)) < 𝐸)) ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)) β†’ (𝐡↑𝑖) < 𝐸)
57 eluznn 12901 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ β„• ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)) β†’ 𝑖 ∈ β„•)
5839, 57sylancom 588 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)((π΅β†‘π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((π΅β†‘π‘˜) βˆ’ 0)) < 𝐸)) ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)) β†’ 𝑖 ∈ β„•)
5916adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
60 nnnn0 12478 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ β„• β†’ 𝑖 ∈ β„•0)
6160adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•) β†’ 𝑖 ∈ β„•0)
6259, 61reexpcld 14127 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•) β†’ (𝐡↑𝑖) ∈ ℝ)
633rpred 13015 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ ℝ)
6463adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•) β†’ 𝐸 ∈ ℝ)
65 1red 11214 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•) β†’ 1 ∈ ℝ)
6662, 64, 65ltsub2d 11823 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•) β†’ ((𝐡↑𝑖) < 𝐸 ↔ (1 βˆ’ 𝐸) < (1 βˆ’ (𝐡↑𝑖))))
6736, 58, 66syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)((π΅β†‘π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((π΅β†‘π‘˜) βˆ’ 0)) < 𝐸)) ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)) β†’ ((𝐡↑𝑖) < 𝐸 ↔ (1 βˆ’ 𝐸) < (1 βˆ’ (𝐡↑𝑖))))
6856, 67mpbid 231 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)((π΅β†‘π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((π΅β†‘π‘˜) βˆ’ 0)) < 𝐸)) ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)) β†’ (1 βˆ’ 𝐸) < (1 βˆ’ (𝐡↑𝑖)))
6968ralrimiva 3146 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)((π΅β†‘π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((π΅β†‘π‘˜) βˆ’ 0)) < 𝐸)) β†’ βˆ€π‘– ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)(1 βˆ’ 𝐸) < (1 βˆ’ (𝐡↑𝑖)))
7030oveq2d 7424 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = 𝑖 β†’ (1 βˆ’ (π΅β†‘π‘˜)) = (1 βˆ’ (𝐡↑𝑖)))
7170breq2d 5160 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 𝑖 β†’ ((1 βˆ’ 𝐸) < (1 βˆ’ (π΅β†‘π‘˜)) ↔ (1 βˆ’ 𝐸) < (1 βˆ’ (𝐡↑𝑖))))
7271cbvralvw 3234 . . . . . . 7 (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)(1 βˆ’ 𝐸) < (1 βˆ’ (π΅β†‘π‘˜)) ↔ βˆ€π‘– ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)(1 βˆ’ 𝐸) < (1 βˆ’ (𝐡↑𝑖)))
7369, 72sylibr 233 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)((π΅β†‘π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((π΅β†‘π‘˜) βˆ’ 0)) < 𝐸)) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)(1 βˆ’ 𝐸) < (1 βˆ’ (π΅β†‘π‘˜)))
7473ex 413 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)((π΅β†‘π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((π΅β†‘π‘˜) βˆ’ 0)) < 𝐸) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)(1 βˆ’ 𝐸) < (1 βˆ’ (π΅β†‘π‘˜))))
7574reximdva 3168 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘› ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)((π΅β†‘π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((π΅β†‘π‘˜) βˆ’ 0)) < 𝐸) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)(1 βˆ’ 𝐸) < (1 βˆ’ (π΅β†‘π‘˜))))
7626, 75mpd 15 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)(1 βˆ’ 𝐸) < (1 βˆ’ (π΅β†‘π‘˜)))
77 stoweidlem7.1 . . . . . 6 𝐹 = (𝑖 ∈ β„•0 ↦ ((1 / 𝐴)↑𝑖))
78 oveq2 7416 . . . . . 6 (𝑖 = π‘˜ β†’ ((1 / 𝐴)↑𝑖) = ((1 / 𝐴)β†‘π‘˜))
79 stoweidlem7.3 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
8079recnd 11241 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
81 0lt1 11735 . . . . . . . . . . . 12 0 < 1
8281a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 0 < 1)
83 stoweidlem7.4 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 1 < 𝐴)
8415, 13, 79, 82, 83lttrd 11374 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 0 < 𝐴)
8584gt0ne0d 11777 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐴 β‰  0)
8680, 85reccld 11982 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (1 / 𝐴) ∈ β„‚)
8786adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (1 / 𝐴) ∈ β„‚)
8887, 7expcld 14110 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((1 / 𝐴)β†‘π‘˜) ∈ β„‚)
8977, 78, 7, 88fvmptd3 7021 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = ((1 / 𝐴)β†‘π‘˜))
9079, 85rereccld 12040 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
9179, 84recgt0d 12147 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 0 < (1 / 𝐴))
9214, 15, 90, 18, 91lttrd 11374 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ -1 < (1 / 𝐴))
93 ltdiv23 12104 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1)) β†’ ((1 / 𝐴) < 1 ↔ (1 / 1) < 𝐴))
9413, 79, 84, 13, 82, 93syl122anc 1379 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((1 / 𝐴) < 1 ↔ (1 / 1) < 𝐴))
95 1cnd 11208 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„‚)
9695div1d 11981 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (1 / 1) = 1)
9796breq1d 5158 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((1 / 1) < 𝐴 ↔ 1 < 𝐴))
9894, 97bitrd 278 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((1 / 𝐴) < 1 ↔ 1 < 𝐴))
9983, 98mpbird 256 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (1 / 𝐴) < 1)
10090, 13absltd 15375 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((absβ€˜(1 / 𝐴)) < 1 ↔ (-1 < (1 / 𝐴) ∧ (1 / 𝐴) < 1)))
10192, 99, 100mpbir2and 711 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (absβ€˜(1 / 𝐴)) < 1)
10286, 101expcnv 15809 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑖 ∈ β„•0 ↦ ((1 / 𝐴)↑𝑖)) ⇝ 0)
10377, 102eqbrtrid 5183 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹 ⇝ 0)
1041, 2, 3, 89, 103climi2 15454 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)(absβ€˜(((1 / 𝐴)β†‘π‘˜) βˆ’ 0)) < 𝐸)
105 simpll 765 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)) β†’ πœ‘)
106 uznnssnn 12878 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ β„• β†’ (β„€β‰₯β€˜π‘›) βŠ† β„•)
107106ad2antlr 725 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)) β†’ (β„€β‰₯β€˜π‘›) βŠ† β„•)
108 simpr 485 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)) β†’ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›))
109107, 108sseldd 3983 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
11088subid1d 11559 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (((1 / 𝐴)β†‘π‘˜) βˆ’ 0) = ((1 / 𝐴)β†‘π‘˜))
111110fveq2d 6895 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (absβ€˜(((1 / 𝐴)β†‘π‘˜) βˆ’ 0)) = (absβ€˜((1 / 𝐴)β†‘π‘˜)))
11290adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
113112, 7reexpcld 14127 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((1 / 𝐴)β†‘π‘˜) ∈ ℝ)
11415, 90, 91ltled 11361 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (1 / 𝐴))
115114adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ 0 ≀ (1 / 𝐴))
116112, 7, 115expge0d 14128 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ 0 ≀ ((1 / 𝐴)β†‘π‘˜))
117113, 116absidd 15368 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (absβ€˜((1 / 𝐴)β†‘π‘˜)) = ((1 / 𝐴)β†‘π‘˜))
118111, 117eqtrd 2772 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (absβ€˜(((1 / 𝐴)β†‘π‘˜) βˆ’ 0)) = ((1 / 𝐴)β†‘π‘˜))
119118breq1d 5158 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((absβ€˜(((1 / 𝐴)β†‘π‘˜) βˆ’ 0)) < 𝐸 ↔ ((1 / 𝐴)β†‘π‘˜) < 𝐸))
120119biimpd 228 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((absβ€˜(((1 / 𝐴)β†‘π‘˜) βˆ’ 0)) < 𝐸 β†’ ((1 / 𝐴)β†‘π‘˜) < 𝐸))
121105, 109, 120syl2anc 584 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)) β†’ ((absβ€˜(((1 / 𝐴)β†‘π‘˜) βˆ’ 0)) < 𝐸 β†’ ((1 / 𝐴)β†‘π‘˜) < 𝐸))
122121ralimdva 3167 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)(absβ€˜(((1 / 𝐴)β†‘π‘˜) βˆ’ 0)) < 𝐸 β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)((1 / 𝐴)β†‘π‘˜) < 𝐸))
123122reximdva 3168 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘› ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)(absβ€˜(((1 / 𝐴)β†‘π‘˜) βˆ’ 0)) < 𝐸 β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)((1 / 𝐴)β†‘π‘˜) < 𝐸))
124104, 123mpd 15 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)((1 / 𝐴)β†‘π‘˜) < 𝐸)
1251rexanuz2 15295 . . 3 (βˆƒπ‘› ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)((1 βˆ’ 𝐸) < (1 βˆ’ (π΅β†‘π‘˜)) ∧ ((1 / 𝐴)β†‘π‘˜) < 𝐸) ↔ (βˆƒπ‘› ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)(1 βˆ’ 𝐸) < (1 βˆ’ (π΅β†‘π‘˜)) ∧ βˆƒπ‘› ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)((1 / 𝐴)β†‘π‘˜) < 𝐸))
12676, 124, 125sylanbrc 583 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)((1 βˆ’ 𝐸) < (1 βˆ’ (π΅β†‘π‘˜)) ∧ ((1 / 𝐴)β†‘π‘˜) < 𝐸))
127 simpr 485 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)((1 βˆ’ 𝐸) < (1 βˆ’ (π΅β†‘π‘˜)) ∧ ((1 / 𝐴)β†‘π‘˜) < 𝐸)) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)((1 βˆ’ 𝐸) < (1 βˆ’ (π΅β†‘π‘˜)) ∧ ((1 / 𝐴)β†‘π‘˜) < 𝐸))
128 nnz 12578 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ β„• β†’ 𝑛 ∈ β„€)
129 uzid 12836 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ β„€ β†’ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›))
130128, 129syl 17 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ β„• β†’ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›))
131130ad2antlr 725 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)((1 βˆ’ 𝐸) < (1 βˆ’ (π΅β†‘π‘˜)) ∧ ((1 / 𝐴)β†‘π‘˜) < 𝐸)) β†’ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›))
132 oveq2 7416 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ = 𝑛 β†’ (π΅β†‘π‘˜) = (𝐡↑𝑛))
133132oveq2d 7424 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = 𝑛 β†’ (1 βˆ’ (π΅β†‘π‘˜)) = (1 βˆ’ (𝐡↑𝑛)))
134133breq2d 5160 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 𝑛 β†’ ((1 βˆ’ 𝐸) < (1 βˆ’ (π΅β†‘π‘˜)) ↔ (1 βˆ’ 𝐸) < (1 βˆ’ (𝐡↑𝑛))))
135 oveq2 7416 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = 𝑛 β†’ ((1 / 𝐴)β†‘π‘˜) = ((1 / 𝐴)↑𝑛))
136135breq1d 5158 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 𝑛 β†’ (((1 / 𝐴)β†‘π‘˜) < 𝐸 ↔ ((1 / 𝐴)↑𝑛) < 𝐸))
137134, 136anbi12d 631 . . . . . . 7 (π‘˜ = 𝑛 β†’ (((1 βˆ’ 𝐸) < (1 βˆ’ (π΅β†‘π‘˜)) ∧ ((1 / 𝐴)β†‘π‘˜) < 𝐸) ↔ ((1 βˆ’ 𝐸) < (1 βˆ’ (𝐡↑𝑛)) ∧ ((1 / 𝐴)↑𝑛) < 𝐸)))
138137rspccva 3611 . . . . . 6 ((βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)((1 βˆ’ 𝐸) < (1 βˆ’ (π΅β†‘π‘˜)) ∧ ((1 / 𝐴)β†‘π‘˜) < 𝐸) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)) β†’ ((1 βˆ’ 𝐸) < (1 βˆ’ (𝐡↑𝑛)) ∧ ((1 / 𝐴)↑𝑛) < 𝐸))
139127, 131, 138syl2anc 584 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)((1 βˆ’ 𝐸) < (1 βˆ’ (π΅β†‘π‘˜)) ∧ ((1 / 𝐴)β†‘π‘˜) < 𝐸)) β†’ ((1 βˆ’ 𝐸) < (1 βˆ’ (𝐡↑𝑛)) ∧ ((1 / 𝐴)↑𝑛) < 𝐸))
140 1cnd 11208 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 1 ∈ β„‚)
14180, 85jca 512 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 β‰  0))
142141adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 β‰  0))
14340adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑛 ∈ β„•0)
144 expdiv 14078 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ β„‚ ∧ (𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ ((1 / 𝐴)↑𝑛) = ((1↑𝑛) / (𝐴↑𝑛)))
145140, 142, 143, 144syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((1 / 𝐴)↑𝑛) = ((1↑𝑛) / (𝐴↑𝑛)))
146128adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑛 ∈ β„€)
147 1exp 14056 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ β„€ β†’ (1↑𝑛) = 1)
148146, 147syl 17 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (1↑𝑛) = 1)
149148oveq1d 7423 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((1↑𝑛) / (𝐴↑𝑛)) = (1 / (𝐴↑𝑛)))
150145, 149eqtrd 2772 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((1 / 𝐴)↑𝑛) = (1 / (𝐴↑𝑛)))
151150breq1d 5158 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (((1 / 𝐴)↑𝑛) < 𝐸 ↔ (1 / (𝐴↑𝑛)) < 𝐸))
152151adantr 481 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)((1 βˆ’ 𝐸) < (1 βˆ’ (π΅β†‘π‘˜)) ∧ ((1 / 𝐴)β†‘π‘˜) < 𝐸)) β†’ (((1 / 𝐴)↑𝑛) < 𝐸 ↔ (1 / (𝐴↑𝑛)) < 𝐸))
153152anbi2d 629 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)((1 βˆ’ 𝐸) < (1 βˆ’ (π΅β†‘π‘˜)) ∧ ((1 / 𝐴)β†‘π‘˜) < 𝐸)) β†’ (((1 βˆ’ 𝐸) < (1 βˆ’ (𝐡↑𝑛)) ∧ ((1 / 𝐴)↑𝑛) < 𝐸) ↔ ((1 βˆ’ 𝐸) < (1 βˆ’ (𝐡↑𝑛)) ∧ (1 / (𝐴↑𝑛)) < 𝐸)))
154139, 153mpbid 231 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)((1 βˆ’ 𝐸) < (1 βˆ’ (π΅β†‘π‘˜)) ∧ ((1 / 𝐴)β†‘π‘˜) < 𝐸)) β†’ ((1 βˆ’ 𝐸) < (1 βˆ’ (𝐡↑𝑛)) ∧ (1 / (𝐴↑𝑛)) < 𝐸))
155154ex 413 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)((1 βˆ’ 𝐸) < (1 βˆ’ (π΅β†‘π‘˜)) ∧ ((1 / 𝐴)β†‘π‘˜) < 𝐸) β†’ ((1 βˆ’ 𝐸) < (1 βˆ’ (𝐡↑𝑛)) ∧ (1 / (𝐴↑𝑛)) < 𝐸)))
156155reximdva 3168 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘› ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)((1 βˆ’ 𝐸) < (1 βˆ’ (π΅β†‘π‘˜)) ∧ ((1 / 𝐴)β†‘π‘˜) < 𝐸) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• ((1 βˆ’ 𝐸) < (1 βˆ’ (𝐡↑𝑛)) ∧ (1 / (𝐴↑𝑛)) < 𝐸)))
157126, 156mpd 15 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• ((1 βˆ’ 𝐸) < (1 βˆ’ (𝐡↑𝑛)) ∧ (1 / (𝐴↑𝑛)) < 𝐸))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070   βŠ† wss 3948   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  β„‚cc 11107  β„cr 11108  0cc0 11109  1c1 11110   < clt 11247   ≀ cle 11248   βˆ’ cmin 11443  -cneg 11444   / cdiv 11870  β„•cn 12211  β„•0cn0 12471  β„€cz 12557  β„€β‰₯cuz 12821  β„+crp 12973  β†‘cexp 14026  abscabs 15180   ⇝ cli 15427
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-pm 8822  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-sup 9436  df-inf 9437  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-rp 12974  df-fl 13756  df-seq 13966  df-exp 14027  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-clim 15431  df-rlim 15432
This theorem is referenced by:  stoweidlem49  44755
  Copyright terms: Public domain W3C validator