Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem7 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stoweidlem7 42636
Description: This lemma is used to prove that qn as in the proof of Lemma 1 in [BrosowskiDeutsh] p. 91, (at the top of page 91), is such that qn < ε on 𝑇𝑈, and qn > 1 - ε on 𝑉. Here it is proven that, for 𝑛 large enough, 1-(k*δ/2)^n > 1 - ε , and 1/(k*δ)^n < ε. The variable 𝐴 is used to represent (k*δ) in the paper, and 𝐵 is used to represent (k*δ/2). (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem7.1 𝐹 = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 𝐴)↑𝑖))
stoweidlem7.2 𝐺 = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝐵𝑖))
stoweidlem7.3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
stoweidlem7.4 (𝜑 → 1 < 𝐴)
stoweidlem7.5 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
stoweidlem7.6 (𝜑𝐵 < 1)
stoweidlem7.7 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
stoweidlem7 (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℕ ((1 − 𝐸) < (1 − (𝐵𝑛)) ∧ (1 / (𝐴𝑛)) < 𝐸))
Distinct variable groups:   𝑖,𝑛,𝐴   𝐵,𝑖,𝑛   𝑖,𝐸,𝑛   𝜑,𝑖,𝑛   𝑛,𝐹   𝑛,𝐺
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑖)   𝐺(𝑖)

Proof of Theorem stoweidlem7
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 12273 . . . . 5 ℕ = (ℤ‘1)
2 1zzd 12005 . . . . 5 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
3 stoweidlem7.7 . . . . 5 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
4 stoweidlem7.2 . . . . . 6 𝐺 = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝐵𝑖))
5 oveq2 7147 . . . . . 6 (𝑖 = 𝑘 → (𝐵𝑖) = (𝐵𝑘))
6 nnnn0 11896 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
76adantl 485 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ0)
8 stoweidlem7.5 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
98rpcnd 12425 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
109adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℂ)
1110, 7expcld 13510 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐵𝑘) ∈ ℂ)
124, 5, 7, 11fvmptd3 6772 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺𝑘) = (𝐵𝑘))
13 1red 10635 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
1413renegcld 11060 . . . . . . . . 9 (𝜑 → -1 ∈ ℝ)
15 0red 10637 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
168rpred 12423 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
17 neg1lt0 11746 . . . . . . . . . 10 -1 < 0
1817a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → -1 < 0)
198rpgt0d 12426 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 < 𝐵)
2014, 15, 16, 18, 19lttrd 10794 . . . . . . . 8 (𝜑 → -1 < 𝐵)
21 stoweidlem7.6 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 < 1)
2216, 13absltd 14784 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((abs‘𝐵) < 1 ↔ (-1 < 𝐵𝐵 < 1)))
2320, 21, 22mpbir2and 712 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs‘𝐵) < 1)
249, 23expcnv 15214 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝐵𝑖)) ⇝ 0)
254, 24eqbrtrid 5068 . . . . 5 (𝜑𝐺 ⇝ 0)
261, 2, 3, 12, 25climi 14862 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐵𝑘) − 0)) < 𝐸))
27 r19.26 3140 . . . . . . . . . . . . . 14 (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐵𝑘) − 0)) < 𝐸) ↔ (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(abs‘((𝐵𝑘) − 0)) < 𝐸))
2827simprbi 500 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐵𝑘) − 0)) < 𝐸) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(abs‘((𝐵𝑘) − 0)) < 𝐸)
2928ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐵𝑘) − 0)) < 𝐸)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑛)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(abs‘((𝐵𝑘) − 0)) < 𝐸)
30 oveq2 7147 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = 𝑖 → (𝐵𝑘) = (𝐵𝑖))
3130oveq1d 7154 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = 𝑖 → ((𝐵𝑘) − 0) = ((𝐵𝑖) − 0))
3231fveq2d 6653 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 𝑖 → (abs‘((𝐵𝑘) − 0)) = (abs‘((𝐵𝑖) − 0)))
3332breq1d 5043 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑖 → ((abs‘((𝐵𝑘) − 0)) < 𝐸 ↔ (abs‘((𝐵𝑖) − 0)) < 𝐸))
3433rspccva 3573 . . . . . . . . . . . 12 ((∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(abs‘((𝐵𝑘) − 0)) < 𝐸𝑖 ∈ (ℤ𝑛)) → (abs‘((𝐵𝑖) − 0)) < 𝐸)
3529, 34sylancom 591 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐵𝑘) − 0)) < 𝐸)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑛)) → (abs‘((𝐵𝑖) − 0)) < 𝐸)
36 simplll 774 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐵𝑘) − 0)) < 𝐸)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝜑)
3736, 8syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐵𝑘) − 0)) < 𝐸)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝐵 ∈ ℝ+)
3837rpred 12423 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐵𝑘) − 0)) < 𝐸)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝐵 ∈ ℝ)
39 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐵𝑘) − 0)) < 𝐸)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑛 ∈ ℕ)
40 nnnn0 11896 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ0)
4139, 40syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐵𝑘) − 0)) < 𝐸)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
42 eluznn0 12309 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑛 ∈ ℕ0𝑖 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑖 ∈ ℕ0)
4341, 42sylancom 591 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐵𝑘) − 0)) < 𝐸)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑖 ∈ ℕ0)
4438, 43reexpcld 13527 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐵𝑘) − 0)) < 𝐸)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝐵𝑖) ∈ ℝ)
45 rpre 12389 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐸 ∈ ℝ+𝐸 ∈ ℝ)
4636, 3, 453syl 18 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐵𝑘) − 0)) < 𝐸)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝐸 ∈ ℝ)
47 recn 10620 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐵𝑖) ∈ ℝ → (𝐵𝑖) ∈ ℂ)
4847subid1d 10979 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐵𝑖) ∈ ℝ → ((𝐵𝑖) − 0) = (𝐵𝑖))
4948adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐵𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ℝ) → ((𝐵𝑖) − 0) = (𝐵𝑖))
5049fveq2d 6653 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐵𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ℝ) → (abs‘((𝐵𝑖) − 0)) = (abs‘(𝐵𝑖)))
5150breq1d 5043 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐵𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ℝ) → ((abs‘((𝐵𝑖) − 0)) < 𝐸 ↔ (abs‘(𝐵𝑖)) < 𝐸))
52 abslt 14669 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐵𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐵𝑖)) < 𝐸 ↔ (-𝐸 < (𝐵𝑖) ∧ (𝐵𝑖) < 𝐸)))
5351, 52bitrd 282 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐵𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ℝ) → ((abs‘((𝐵𝑖) − 0)) < 𝐸 ↔ (-𝐸 < (𝐵𝑖) ∧ (𝐵𝑖) < 𝐸)))
5444, 46, 53syl2anc 587 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐵𝑘) − 0)) < 𝐸)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑛)) → ((abs‘((𝐵𝑖) − 0)) < 𝐸 ↔ (-𝐸 < (𝐵𝑖) ∧ (𝐵𝑖) < 𝐸)))
5535, 54mpbid 235 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐵𝑘) − 0)) < 𝐸)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑛)) → (-𝐸 < (𝐵𝑖) ∧ (𝐵𝑖) < 𝐸))
5655simprd 499 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐵𝑘) − 0)) < 𝐸)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝐵𝑖) < 𝐸)
57 eluznn 12310 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑖 ∈ ℕ)
5839, 57sylancom 591 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐵𝑘) − 0)) < 𝐸)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑖 ∈ ℕ)
5916adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℝ)
60 nnnn0 11896 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ ℕ → 𝑖 ∈ ℕ0)
6160adantl 485 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → 𝑖 ∈ ℕ0)
6259, 61reexpcld 13527 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → (𝐵𝑖) ∈ ℝ)
633rpred 12423 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐸 ∈ ℝ)
6463adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → 𝐸 ∈ ℝ)
65 1red 10635 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℝ)
6662, 64, 65ltsub2d 11243 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → ((𝐵𝑖) < 𝐸 ↔ (1 − 𝐸) < (1 − (𝐵𝑖))))
6736, 58, 66syl2anc 587 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐵𝑘) − 0)) < 𝐸)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑛)) → ((𝐵𝑖) < 𝐸 ↔ (1 − 𝐸) < (1 − (𝐵𝑖))))
6856, 67mpbid 235 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐵𝑘) − 0)) < 𝐸)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑛)) → (1 − 𝐸) < (1 − (𝐵𝑖)))
6968ralrimiva 3152 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐵𝑘) − 0)) < 𝐸)) → ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑛)(1 − 𝐸) < (1 − (𝐵𝑖)))
7030oveq2d 7155 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑖 → (1 − (𝐵𝑘)) = (1 − (𝐵𝑖)))
7170breq2d 5045 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑖 → ((1 − 𝐸) < (1 − (𝐵𝑘)) ↔ (1 − 𝐸) < (1 − (𝐵𝑖))))
7271cbvralvw 3399 . . . . . . 7 (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(1 − 𝐸) < (1 − (𝐵𝑘)) ↔ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑛)(1 − 𝐸) < (1 − (𝐵𝑖)))
7369, 72sylibr 237 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐵𝑘) − 0)) < 𝐸)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(1 − 𝐸) < (1 − (𝐵𝑘)))
7473ex 416 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐵𝑘) − 0)) < 𝐸) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(1 − 𝐸) < (1 − (𝐵𝑘))))
7574reximdva 3236 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐵𝑘) − 0)) < 𝐸) → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(1 − 𝐸) < (1 − (𝐵𝑘))))
7626, 75mpd 15 . . 3 (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(1 − 𝐸) < (1 − (𝐵𝑘)))
77 stoweidlem7.1 . . . . . 6 𝐹 = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 𝐴)↑𝑖))
78 oveq2 7147 . . . . . 6 (𝑖 = 𝑘 → ((1 / 𝐴)↑𝑖) = ((1 / 𝐴)↑𝑘))
79 stoweidlem7.3 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
8079recnd 10662 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
81 0lt1 11155 . . . . . . . . . . . 12 0 < 1
8281a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 < 1)
83 stoweidlem7.4 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 1 < 𝐴)
8415, 13, 79, 82, 83lttrd 10794 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 < 𝐴)
8584gt0ne0d 11197 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ≠ 0)
8680, 85reccld 11402 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)
8786adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)
8887, 7expcld 13510 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / 𝐴)↑𝑘) ∈ ℂ)
8977, 78, 7, 88fvmptd3 6772 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) = ((1 / 𝐴)↑𝑘))
9079, 85rereccld 11460 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
9179, 84recgt0d 11567 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 < (1 / 𝐴))
9214, 15, 90, 18, 91lttrd 10794 . . . . . . . 8 (𝜑 → -1 < (1 / 𝐴))
93 ltdiv23 11524 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1)) → ((1 / 𝐴) < 1 ↔ (1 / 1) < 𝐴))
9413, 79, 84, 13, 82, 93syl122anc 1376 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((1 / 𝐴) < 1 ↔ (1 / 1) < 𝐴))
95 1cnd 10629 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
9695div1d 11401 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (1 / 1) = 1)
9796breq1d 5043 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((1 / 1) < 𝐴 ↔ 1 < 𝐴))
9894, 97bitrd 282 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((1 / 𝐴) < 1 ↔ 1 < 𝐴))
9983, 98mpbird 260 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1 / 𝐴) < 1)
10090, 13absltd 14784 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((abs‘(1 / 𝐴)) < 1 ↔ (-1 < (1 / 𝐴) ∧ (1 / 𝐴) < 1)))
10192, 99, 100mpbir2and 712 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs‘(1 / 𝐴)) < 1)
10286, 101expcnv 15214 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 𝐴)↑𝑖)) ⇝ 0)
10377, 102eqbrtrid 5068 . . . . 5 (𝜑𝐹 ⇝ 0)
1041, 2, 3, 89, 103climi2 14863 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(abs‘(((1 / 𝐴)↑𝑘) − 0)) < 𝐸)
105 simpll 766 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝜑)
106 uznnssnn 12287 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → (ℤ𝑛) ⊆ ℕ)
107106ad2antlr 726 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (ℤ𝑛) ⊆ ℕ)
108 simpr 488 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑛))
109107, 108sseldd 3919 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑘 ∈ ℕ)
11088subid1d 10979 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (((1 / 𝐴)↑𝑘) − 0) = ((1 / 𝐴)↑𝑘))
111110fveq2d 6653 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘(((1 / 𝐴)↑𝑘) − 0)) = (abs‘((1 / 𝐴)↑𝑘)))
11290adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
113112, 7reexpcld 13527 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / 𝐴)↑𝑘) ∈ ℝ)
11415, 90, 91ltled 10781 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 0 ≤ (1 / 𝐴))
115114adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ (1 / 𝐴))
116112, 7, 115expge0d 13528 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ ((1 / 𝐴)↑𝑘))
117113, 116absidd 14777 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘((1 / 𝐴)↑𝑘)) = ((1 / 𝐴)↑𝑘))
118111, 117eqtrd 2836 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘(((1 / 𝐴)↑𝑘) − 0)) = ((1 / 𝐴)↑𝑘))
119118breq1d 5043 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((abs‘(((1 / 𝐴)↑𝑘) − 0)) < 𝐸 ↔ ((1 / 𝐴)↑𝑘) < 𝐸))
120119biimpd 232 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((abs‘(((1 / 𝐴)↑𝑘) − 0)) < 𝐸 → ((1 / 𝐴)↑𝑘) < 𝐸))
121105, 109, 120syl2anc 587 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → ((abs‘(((1 / 𝐴)↑𝑘) − 0)) < 𝐸 → ((1 / 𝐴)↑𝑘) < 𝐸))
122121ralimdva 3147 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(abs‘(((1 / 𝐴)↑𝑘) − 0)) < 𝐸 → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((1 / 𝐴)↑𝑘) < 𝐸))
123122reximdva 3236 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(abs‘(((1 / 𝐴)↑𝑘) − 0)) < 𝐸 → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((1 / 𝐴)↑𝑘) < 𝐸))
124104, 123mpd 15 . . 3 (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((1 / 𝐴)↑𝑘) < 𝐸)
1251rexanuz2 14704 . . 3 (∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((1 − 𝐸) < (1 − (𝐵𝑘)) ∧ ((1 / 𝐴)↑𝑘) < 𝐸) ↔ (∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(1 − 𝐸) < (1 − (𝐵𝑘)) ∧ ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((1 / 𝐴)↑𝑘) < 𝐸))
12676, 124, 125sylanbrc 586 . 2 (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((1 − 𝐸) < (1 − (𝐵𝑘)) ∧ ((1 / 𝐴)↑𝑘) < 𝐸))
127 simpr 488 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((1 − 𝐸) < (1 − (𝐵𝑘)) ∧ ((1 / 𝐴)↑𝑘) < 𝐸)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((1 − 𝐸) < (1 − (𝐵𝑘)) ∧ ((1 / 𝐴)↑𝑘) < 𝐸))
128 nnz 11996 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℤ)
129 uzid 12250 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ (ℤ𝑛))
130128, 129syl 17 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ (ℤ𝑛))
131130ad2antlr 726 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((1 − 𝐸) < (1 − (𝐵𝑘)) ∧ ((1 / 𝐴)↑𝑘) < 𝐸)) → 𝑛 ∈ (ℤ𝑛))
132 oveq2 7147 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑛 → (𝐵𝑘) = (𝐵𝑛))
133132oveq2d 7155 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑛 → (1 − (𝐵𝑘)) = (1 − (𝐵𝑛)))
134133breq2d 5045 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑛 → ((1 − 𝐸) < (1 − (𝐵𝑘)) ↔ (1 − 𝐸) < (1 − (𝐵𝑛))))
135 oveq2 7147 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑛 → ((1 / 𝐴)↑𝑘) = ((1 / 𝐴)↑𝑛))
136135breq1d 5043 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑛 → (((1 / 𝐴)↑𝑘) < 𝐸 ↔ ((1 / 𝐴)↑𝑛) < 𝐸))
137134, 136anbi12d 633 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑛 → (((1 − 𝐸) < (1 − (𝐵𝑘)) ∧ ((1 / 𝐴)↑𝑘) < 𝐸) ↔ ((1 − 𝐸) < (1 − (𝐵𝑛)) ∧ ((1 / 𝐴)↑𝑛) < 𝐸)))
138137rspccva 3573 . . . . . 6 ((∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((1 − 𝐸) < (1 − (𝐵𝑘)) ∧ ((1 / 𝐴)↑𝑘) < 𝐸) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ𝑛)) → ((1 − 𝐸) < (1 − (𝐵𝑛)) ∧ ((1 / 𝐴)↑𝑛) < 𝐸))
139127, 131, 138syl2anc 587 . . . . 5 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((1 − 𝐸) < (1 − (𝐵𝑘)) ∧ ((1 / 𝐴)↑𝑘) < 𝐸)) → ((1 − 𝐸) < (1 − (𝐵𝑛)) ∧ ((1 / 𝐴)↑𝑛) < 𝐸))
140 1cnd 10629 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
14180, 85jca 515 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0))
142141adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0))
14340adantl 485 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ0)
144 expdiv 13480 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℂ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((1 / 𝐴)↑𝑛) = ((1↑𝑛) / (𝐴𝑛)))
145140, 142, 143, 144syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((1 / 𝐴)↑𝑛) = ((1↑𝑛) / (𝐴𝑛)))
146128adantl 485 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℤ)
147 1exp 13458 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℤ → (1↑𝑛) = 1)
148146, 147syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (1↑𝑛) = 1)
149148oveq1d 7154 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((1↑𝑛) / (𝐴𝑛)) = (1 / (𝐴𝑛)))
150145, 149eqtrd 2836 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((1 / 𝐴)↑𝑛) = (1 / (𝐴𝑛)))
151150breq1d 5043 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (((1 / 𝐴)↑𝑛) < 𝐸 ↔ (1 / (𝐴𝑛)) < 𝐸))
152151adantr 484 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((1 − 𝐸) < (1 − (𝐵𝑘)) ∧ ((1 / 𝐴)↑𝑘) < 𝐸)) → (((1 / 𝐴)↑𝑛) < 𝐸 ↔ (1 / (𝐴𝑛)) < 𝐸))
153152anbi2d 631 . . . . 5 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((1 − 𝐸) < (1 − (𝐵𝑘)) ∧ ((1 / 𝐴)↑𝑘) < 𝐸)) → (((1 − 𝐸) < (1 − (𝐵𝑛)) ∧ ((1 / 𝐴)↑𝑛) < 𝐸) ↔ ((1 − 𝐸) < (1 − (𝐵𝑛)) ∧ (1 / (𝐴𝑛)) < 𝐸)))
154139, 153mpbid 235 . . . 4 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((1 − 𝐸) < (1 − (𝐵𝑘)) ∧ ((1 / 𝐴)↑𝑘) < 𝐸)) → ((1 − 𝐸) < (1 − (𝐵𝑛)) ∧ (1 / (𝐴𝑛)) < 𝐸))
155154ex 416 . . 3 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((1 − 𝐸) < (1 − (𝐵𝑘)) ∧ ((1 / 𝐴)↑𝑘) < 𝐸) → ((1 − 𝐸) < (1 − (𝐵𝑛)) ∧ (1 / (𝐴𝑛)) < 𝐸)))
156155reximdva 3236 . 2 (𝜑 → (∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((1 − 𝐸) < (1 − (𝐵𝑘)) ∧ ((1 / 𝐴)↑𝑘) < 𝐸) → ∃𝑛 ∈ ℕ ((1 − 𝐸) < (1 − (𝐵𝑛)) ∧ (1 / (𝐴𝑛)) < 𝐸)))
157126, 156mpd 15 1 (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℕ ((1 − 𝐸) < (1 − (𝐵𝑛)) ∧ (1 / (𝐴𝑛)) < 𝐸))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1538  wcel 2112  wne 2990  wral 3109  wrex 3110  wss 3884   class class class wbr 5033  cmpt 5113  cfv 6328  (class class class)co 7139  cc 10528  cr 10529  0cc0 10530  1c1 10531   < clt 10668  cle 10669  cmin 10863  -cneg 10864   / cdiv 11290  cn 11629  0cn0 11889  cz 11973  cuz 12235  +crp 12381  cexp 13429  abscabs 14588  cli 14836
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-pm 8396  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-sup 8894  df-inf 8895  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-rp 12382  df-fl 13161  df-seq 13369  df-exp 13430  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sqrt 14589  df-abs 14590  df-clim 14840  df-rlim 14841
This theorem is referenced by:  stoweidlem49  42678
  Copyright terms: Public domain W3C validator