Theorem stoweidlem7 46450

Description: This lemma is used to prove that q_n as in the proof of Lemma 1 in [BrosowskiDeutsh] p. 91, (at the top of page 91), is such that q_n < ε on 𝑇 ∖ 𝑈, and q_n > 1 - ε on 𝑉. Here it is proven that, for 𝑛 large enough, 1-(k*δ/2)^n > 1 - ε , and 1/(k*δ)^n < ε. The variable 𝐴 is used to represent (k*δ) in the paper, and 𝐵 is used to represent (k*δ/2). (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweidlem7.1	⊢ 𝐹 = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 𝐴)↑𝑖))
stoweidlem7.2	⊢ 𝐺 = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝐵↑𝑖))
stoweidlem7.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
stoweidlem7.4	⊢ (𝜑 → 1 < 𝐴)
stoweidlem7.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
stoweidlem7.6	⊢ (𝜑 → 𝐵 < 1)
stoweidlem7.7	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
stoweidlem7	⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℕ ((1 − 𝐸) < (1 − (𝐵↑𝑛)) ∧ (1 / (𝐴↑𝑛)) < 𝐸))

Distinct variable groups:   𝑖,𝑛,𝐴   𝐵,𝑖,𝑛   𝑖,𝐸,𝑛   𝜑,𝑖,𝑛   𝑛,𝐹   𝑛,𝐺

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑖)   𝐺(𝑖)

Proof of Theorem stoweidlem7

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 12818	. . . . 5 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2		1zzd 12549	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
3		stoweidlem7.7	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)
4		stoweidlem7.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝐵↑𝑖))
5		oveq2 7364	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → (𝐵↑𝑖) = (𝐵↑𝑘))
6		nnnn0 12435	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
7	6	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ0)
8		stoweidlem7.5	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
9	8	rpcnd 12979	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
10	9	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℂ)
11	10, 7	expcld 14099	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐵↑𝑘) ∈ ℂ)
12	4, 5, 7, 11	fvmptd3 6959	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺‘𝑘) = (𝐵↑𝑘))
13		1red 11136	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
14	13	renegcld 11568	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → -1 ∈ ℝ)
15		0red 11138	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
16	8	rpred 12977	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
17		neg1lt0 12138	. . . . . . . . . 10 ⊢ -1 < 0
18	17	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → -1 < 0)
19	8	rpgt0d 12980	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐵)
20	14, 15, 16, 18, 19	lttrd 11298	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → -1 < 𝐵)
21		stoweidlem7.6	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 < 1)
22	16, 13	absltd 15385	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝐵) < 1 ↔ (-1 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 1)))
23	20, 21, 22	mpbir2and 719	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐵) < 1)
24	9, 23	expcnv 15820	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝐵↑𝑖)) ⇝ 0)
25	4, 24	eqbrtrid 5107	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ⇝ 0)
26	1, 2, 3, 12, 25	climi 15463	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐵↑𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐵↑𝑘) − 0)) < 𝐸))
27		r19.26 3099	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐵↑𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐵↑𝑘) − 0)) < 𝐸) ↔ (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(𝐵↑𝑘) ∈ ℂ ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(abs‘((𝐵↑𝑘) − 0)) < 𝐸))
28	27	simprbi 498	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐵↑𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐵↑𝑘) − 0)) < 𝐸) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(abs‘((𝐵↑𝑘) − 0)) < 𝐸)
29	28	ad2antlr 733	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐵↑𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐵↑𝑘) − 0)) < 𝐸)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(abs‘((𝐵↑𝑘) − 0)) < 𝐸)
30		oveq2 7364	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝐵↑𝑘) = (𝐵↑𝑖))
31	30	oveq1d 7371	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → ((𝐵↑𝑘) − 0) = ((𝐵↑𝑖) − 0))
32	31	fveq2d 6831	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (abs‘((𝐵↑𝑘) − 0)) = (abs‘((𝐵↑𝑖) − 0)))
33	32	breq1d 5082	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → ((abs‘((𝐵↑𝑘) − 0)) < 𝐸 ↔ (abs‘((𝐵↑𝑖) − 0)) < 𝐸))
34	33	rspccva 3559	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(abs‘((𝐵↑𝑘) − 0)) < 𝐸 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (abs‘((𝐵↑𝑖) − 0)) < 𝐸)
35	29, 34	sylancom 594	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐵↑𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐵↑𝑘) − 0)) < 𝐸)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (abs‘((𝐵↑𝑖) − 0)) < 𝐸)
36		simplll 780	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐵↑𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐵↑𝑘) − 0)) < 𝐸)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → 𝜑)
37	36, 8	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐵↑𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐵↑𝑘) − 0)) < 𝐸)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → 𝐵 ∈ ℝ+)
38	37	rpred 12977	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐵↑𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐵↑𝑘) − 0)) < 𝐸)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → 𝐵 ∈ ℝ)
39		simpllr 781	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐵↑𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐵↑𝑘) − 0)) < 𝐸)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → 𝑛 ∈ ℕ)
40		nnnn0 12435	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ0)
41	39, 40	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐵↑𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐵↑𝑘) − 0)) < 𝐸)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
42		eluznn0 12858	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → 𝑖 ∈ ℕ0)
43	41, 42	sylancom 594	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐵↑𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐵↑𝑘) − 0)) < 𝐸)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → 𝑖 ∈ ℕ0)
44	38, 43	reexpcld 14116	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐵↑𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐵↑𝑘) − 0)) < 𝐸)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (𝐵↑𝑖) ∈ ℝ)
45		rpre 12942	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐸 ∈ ℝ+ → 𝐸 ∈ ℝ)
46	36, 3, 45	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐵↑𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐵↑𝑘) − 0)) < 𝐸)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → 𝐸 ∈ ℝ)
47		recn 11119	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐵↑𝑖) ∈ ℝ → (𝐵↑𝑖) ∈ ℂ)
48	47	subid1d 11485	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐵↑𝑖) ∈ ℝ → ((𝐵↑𝑖) − 0) = (𝐵↑𝑖))
49	48	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐵↑𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ℝ) → ((𝐵↑𝑖) − 0) = (𝐵↑𝑖))
50	49	fveq2d 6831	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐵↑𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ℝ) → (abs‘((𝐵↑𝑖) − 0)) = (abs‘(𝐵↑𝑖)))
51	50	breq1d 5082	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐵↑𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ℝ) → ((abs‘((𝐵↑𝑖) − 0)) < 𝐸 ↔ (abs‘(𝐵↑𝑖)) < 𝐸))
52		abslt 15268	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐵↑𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐵↑𝑖)) < 𝐸 ↔ (-𝐸 < (𝐵↑𝑖) ∧ (𝐵↑𝑖) < 𝐸)))
53	51, 52	bitrd 280	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵↑𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ℝ) → ((abs‘((𝐵↑𝑖) − 0)) < 𝐸 ↔ (-𝐸 < (𝐵↑𝑖) ∧ (𝐵↑𝑖) < 𝐸)))
54	44, 46, 53	syl2anc 590	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐵↑𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐵↑𝑘) − 0)) < 𝐸)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → ((abs‘((𝐵↑𝑖) − 0)) < 𝐸 ↔ (-𝐸 < (𝐵↑𝑖) ∧ (𝐵↑𝑖) < 𝐸)))
55	35, 54	mpbid 233	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐵↑𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐵↑𝑘) − 0)) < 𝐸)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (-𝐸 < (𝐵↑𝑖) ∧ (𝐵↑𝑖) < 𝐸))
56	55	simprd 496	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐵↑𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐵↑𝑘) − 0)) < 𝐸)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (𝐵↑𝑖) < 𝐸)
57		eluznn 12859	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → 𝑖 ∈ ℕ)
58	39, 57	sylancom 594	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐵↑𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐵↑𝑘) − 0)) < 𝐸)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → 𝑖 ∈ ℕ)
59	16	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℝ)
60		nnnn0 12435	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ → 𝑖 ∈ ℕ0)
61	60	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → 𝑖 ∈ ℕ0)
62	59, 61	reexpcld 14116	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (𝐵↑𝑖) ∈ ℝ)
63	3	rpred 12977	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ)
64	63	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → 𝐸 ∈ ℝ)
65		1red 11136	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℝ)
66	62, 64, 65	ltsub2d 11751	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → ((𝐵↑𝑖) < 𝐸 ↔ (1 − 𝐸) < (1 − (𝐵↑𝑖))))
67	36, 58, 66	syl2anc 590	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐵↑𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐵↑𝑘) − 0)) < 𝐸)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → ((𝐵↑𝑖) < 𝐸 ↔ (1 − 𝐸) < (1 − (𝐵↑𝑖))))
68	56, 67	mpbid 233	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐵↑𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐵↑𝑘) − 0)) < 𝐸)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (1 − 𝐸) < (1 − (𝐵↑𝑖)))
69	68	ralrimiva 3131	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐵↑𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐵↑𝑘) − 0)) < 𝐸)) → ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(1 − 𝐸) < (1 − (𝐵↑𝑖)))
70	30	oveq2d 7372	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (1 − (𝐵↑𝑘)) = (1 − (𝐵↑𝑖)))
71	70	breq2d 5084	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → ((1 − 𝐸) < (1 − (𝐵↑𝑘)) ↔ (1 − 𝐸) < (1 − (𝐵↑𝑖))))
72	71	cbvralvw 3217	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(1 − 𝐸) < (1 − (𝐵↑𝑘)) ↔ ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(1 − 𝐸) < (1 − (𝐵↑𝑖)))
73	69, 72	sylibr 235	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐵↑𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐵↑𝑘) − 0)) < 𝐸)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(1 − 𝐸) < (1 − (𝐵↑𝑘)))
74	73	ex 413	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐵↑𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐵↑𝑘) − 0)) < 𝐸) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(1 − 𝐸) < (1 − (𝐵↑𝑘))))
75	74	reximdva 3152	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐵↑𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐵↑𝑘) − 0)) < 𝐸) → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(1 − 𝐸) < (1 − (𝐵↑𝑘))))
76	26, 75	mpd 15	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(1 − 𝐸) < (1 − (𝐵↑𝑘)))
77		stoweidlem7.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 𝐴)↑𝑖))
78		oveq2 7364	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → ((1 / 𝐴)↑𝑖) = ((1 / 𝐴)↑𝑘))
79		stoweidlem7.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
80	79	recnd 11164	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
81		0lt1 11663	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 < 1
82	81	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 < 1)
83		stoweidlem7.4	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 1 < 𝐴)
84	15, 13, 79, 82, 83	lttrd 11298	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)
85	84	gt0ne0d 11705	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
86	80, 85	reccld 11915	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)
87	86	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)
88	87, 7	expcld 14099	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / 𝐴)↑𝑘) ∈ ℂ)
89	77, 78, 7, 88	fvmptd3 6959	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) = ((1 / 𝐴)↑𝑘))
90	79, 85	rereccld 11973	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
91	79, 84	recgt0d 12081	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 < (1 / 𝐴))
92	14, 15, 90, 18, 91	lttrd 11298	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → -1 < (1 / 𝐴))
93		ltdiv23 12038	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1)) → ((1 / 𝐴) < 1 ↔ (1 / 1) < 𝐴))
94	13, 79, 84, 13, 82, 93	syl122anc 1387	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((1 / 𝐴) < 1 ↔ (1 / 1) < 𝐴))
95		1cnd 11130	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
96	95	div1d 11914	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (1 / 1) = 1)
97	96	breq1d 5082	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((1 / 1) < 𝐴 ↔ 1 < 𝐴))
98	94, 97	bitrd 280	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((1 / 𝐴) < 1 ↔ 1 < 𝐴))
99	83, 98	mpbird 258	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) < 1)
100	90, 13	absltd 15385	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(1 / 𝐴)) < 1 ↔ (-1 < (1 / 𝐴) ∧ (1 / 𝐴) < 1)))
101	92, 99, 100	mpbir2and 719	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘(1 / 𝐴)) < 1)
102	86, 101	expcnv 15820	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 𝐴)↑𝑖)) ⇝ 0)
103	77, 102	eqbrtrid 5107	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 0)
104	1, 2, 3, 89, 103	climi2 15464	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(abs‘(((1 / 𝐴)↑𝑘) − 0)) < 𝐸)
105		simpll 772	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → 𝜑)
106		uznnssnn 12836	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (ℤ≥‘𝑛) ⊆ ℕ)
107	106	ad2antlr 733	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (ℤ≥‘𝑛) ⊆ ℕ)
108		simpr 485	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛))
109	107, 108	sseldd 3916	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → 𝑘 ∈ ℕ)
110	88	subid1d 11485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((1 / 𝐴)↑𝑘) − 0) = ((1 / 𝐴)↑𝑘))
111	110	fveq2d 6831	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘(((1 / 𝐴)↑𝑘) − 0)) = (abs‘((1 / 𝐴)↑𝑘)))
112	90	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
113	112, 7	reexpcld 14116	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / 𝐴)↑𝑘) ∈ ℝ)
114	15, 90, 91	ltled 11285	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (1 / 𝐴))
115	114	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ (1 / 𝐴))
116	112, 7, 115	expge0d 14117	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ ((1 / 𝐴)↑𝑘))
117	113, 116	absidd 15376	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘((1 / 𝐴)↑𝑘)) = ((1 / 𝐴)↑𝑘))
118	111, 117	eqtrd 2774	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘(((1 / 𝐴)↑𝑘) − 0)) = ((1 / 𝐴)↑𝑘))
119	118	breq1d 5082	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((abs‘(((1 / 𝐴)↑𝑘) − 0)) < 𝐸 ↔ ((1 / 𝐴)↑𝑘) < 𝐸))
120	119	biimpd 230	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((abs‘(((1 / 𝐴)↑𝑘) − 0)) < 𝐸 → ((1 / 𝐴)↑𝑘) < 𝐸))
121	105, 109, 120	syl2anc 590	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → ((abs‘(((1 / 𝐴)↑𝑘) − 0)) < 𝐸 → ((1 / 𝐴)↑𝑘) < 𝐸))
122	121	ralimdva 3151	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(abs‘(((1 / 𝐴)↑𝑘) − 0)) < 𝐸 → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((1 / 𝐴)↑𝑘) < 𝐸))
123	122	reximdva 3152	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(abs‘(((1 / 𝐴)↑𝑘) − 0)) < 𝐸 → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((1 / 𝐴)↑𝑘) < 𝐸))
124	104, 123	mpd 15	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((1 / 𝐴)↑𝑘) < 𝐸)
125	1	rexanuz2 15303	. . 3 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((1 − 𝐸) < (1 − (𝐵↑𝑘)) ∧ ((1 / 𝐴)↑𝑘) < 𝐸) ↔ (∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(1 − 𝐸) < (1 − (𝐵↑𝑘)) ∧ ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((1 / 𝐴)↑𝑘) < 𝐸))
126	76, 124, 125	sylanbrc 589	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((1 − 𝐸) < (1 − (𝐵↑𝑘)) ∧ ((1 / 𝐴)↑𝑘) < 𝐸))
127		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((1 − 𝐸) < (1 − (𝐵↑𝑘)) ∧ ((1 / 𝐴)↑𝑘) < 𝐸)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((1 − 𝐸) < (1 − (𝐵↑𝑘)) ∧ ((1 / 𝐴)↑𝑘) < 𝐸))
128		nnz 12536	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℤ)
129		uzid 12794	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑛))
130	128, 129	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑛))
131	130	ad2antlr 733	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((1 − 𝐸) < (1 − (𝐵↑𝑘)) ∧ ((1 / 𝐴)↑𝑘) < 𝐸)) → 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑛))
132		oveq2 7364	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝐵↑𝑘) = (𝐵↑𝑛))
133	132	oveq2d 7372	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (1 − (𝐵↑𝑘)) = (1 − (𝐵↑𝑛)))
134	133	breq2d 5084	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((1 − 𝐸) < (1 − (𝐵↑𝑘)) ↔ (1 − 𝐸) < (1 − (𝐵↑𝑛))))
135		oveq2 7364	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((1 / 𝐴)↑𝑘) = ((1 / 𝐴)↑𝑛))
136	135	breq1d 5082	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (((1 / 𝐴)↑𝑘) < 𝐸 ↔ ((1 / 𝐴)↑𝑛) < 𝐸))
137	134, 136	anbi12d 638	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (((1 − 𝐸) < (1 − (𝐵↑𝑘)) ∧ ((1 / 𝐴)↑𝑘) < 𝐸) ↔ ((1 − 𝐸) < (1 − (𝐵↑𝑛)) ∧ ((1 / 𝐴)↑𝑛) < 𝐸)))
138	137	rspccva 3559	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((1 − 𝐸) < (1 − (𝐵↑𝑘)) ∧ ((1 / 𝐴)↑𝑘) < 𝐸) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → ((1 − 𝐸) < (1 − (𝐵↑𝑛)) ∧ ((1 / 𝐴)↑𝑛) < 𝐸))
139	127, 131, 138	syl2anc 590	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((1 − 𝐸) < (1 − (𝐵↑𝑘)) ∧ ((1 / 𝐴)↑𝑘) < 𝐸)) → ((1 − 𝐸) < (1 − (𝐵↑𝑛)) ∧ ((1 / 𝐴)↑𝑛) < 𝐸))
140		1cnd 11130	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
141	80, 85	jca 516	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0))
142	141	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0))
143	40	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ0)
144		expdiv 14066	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((1 / 𝐴)↑𝑛) = ((1↑𝑛) / (𝐴↑𝑛)))
145	140, 142, 143, 144	syl3anc 1379	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((1 / 𝐴)↑𝑛) = ((1↑𝑛) / (𝐴↑𝑛)))
146	128	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℤ)
147		1exp 14044	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (1↑𝑛) = 1)
148	146, 147	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (1↑𝑛) = 1)
149	148	oveq1d 7371	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((1↑𝑛) / (𝐴↑𝑛)) = (1 / (𝐴↑𝑛)))
150	145, 149	eqtrd 2774	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((1 / 𝐴)↑𝑛) = (1 / (𝐴↑𝑛)))
151	150	breq1d 5082	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (((1 / 𝐴)↑𝑛) < 𝐸 ↔ (1 / (𝐴↑𝑛)) < 𝐸))
152	151	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((1 − 𝐸) < (1 − (𝐵↑𝑘)) ∧ ((1 / 𝐴)↑𝑘) < 𝐸)) → (((1 / 𝐴)↑𝑛) < 𝐸 ↔ (1 / (𝐴↑𝑛)) < 𝐸))
153	152	anbi2d 636	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((1 − 𝐸) < (1 − (𝐵↑𝑘)) ∧ ((1 / 𝐴)↑𝑘) < 𝐸)) → (((1 − 𝐸) < (1 − (𝐵↑𝑛)) ∧ ((1 / 𝐴)↑𝑛) < 𝐸) ↔ ((1 − 𝐸) < (1 − (𝐵↑𝑛)) ∧ (1 / (𝐴↑𝑛)) < 𝐸)))
154	139, 153	mpbid 233	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((1 − 𝐸) < (1 − (𝐵↑𝑘)) ∧ ((1 / 𝐴)↑𝑘) < 𝐸)) → ((1 − 𝐸) < (1 − (𝐵↑𝑛)) ∧ (1 / (𝐴↑𝑛)) < 𝐸))
155	154	ex 413	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((1 − 𝐸) < (1 − (𝐵↑𝑘)) ∧ ((1 / 𝐴)↑𝑘) < 𝐸) → ((1 − 𝐸) < (1 − (𝐵↑𝑛)) ∧ (1 / (𝐴↑𝑛)) < 𝐸)))
156	155	reximdva 3152	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((1 − 𝐸) < (1 − (𝐵↑𝑘)) ∧ ((1 / 𝐴)↑𝑘) < 𝐸) → ∃𝑛 ∈ ℕ ((1 − 𝐸) < (1 − (𝐵↑𝑛)) ∧ (1 / (𝐴↑𝑛)) < 𝐸)))
157	126, 156	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℕ ((1 − 𝐸) < (1 − (𝐵↑𝑛)) ∧ (1 / (𝐴↑𝑛)) < 𝐸))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2934  ∀wral 3053  ∃wrex 3063   ⊆ wss 3883   class class class wbr 5072   ↦ cmpt 5153  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  ℂcc 11027  ℝcr 11028  0cc0 11029  1c1 11030   < clt 11170   ≤ cle 11171   − cmin 11368  -cneg 11369   / cdiv 11798  ℕcn 12165  ℕ₀cn0 12428  ℤcz 12515  ℤ_≥cuz 12779  ℝ⁺crp 12933  ↑cexp 14014  abscabs 15187   ⇝ cli 15437

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-pm 8766  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9345  df-inf 9346  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-rp 12934  df-fl 13742  df-seq 13955  df-exp 14015  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15441  df-rlim 15442

This theorem is referenced by:  stoweidlem49  46492