Theorem stoweidlem7 46003

Description: This lemma is used to prove that q_n as in the proof of Lemma 1 in [BrosowskiDeutsh] p. 91, (at the top of page 91), is such that q_n < ε on 𝑇 ∖ 𝑈, and q_n > 1 - ε on 𝑉. Here it is proven that, for 𝑛 large enough, 1-(k*δ/2)^n > 1 - ε , and 1/(k*δ)^n < ε. The variable 𝐴 is used to represent (k*δ) in the paper, and 𝐵 is used to represent (k*δ/2). (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweidlem7.1	⊢ 𝐹 = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 𝐴)↑𝑖))
stoweidlem7.2	⊢ 𝐺 = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝐵↑𝑖))
stoweidlem7.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
stoweidlem7.4	⊢ (𝜑 → 1 < 𝐴)
stoweidlem7.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
stoweidlem7.6	⊢ (𝜑 → 𝐵 < 1)
stoweidlem7.7	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
stoweidlem7	⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℕ ((1 − 𝐸) < (1 − (𝐵↑𝑛)) ∧ (1 / (𝐴↑𝑛)) < 𝐸))

Distinct variable groups:   𝑖,𝑛,𝐴   𝐵,𝑖,𝑛   𝑖,𝐸,𝑛   𝜑,𝑖,𝑛   𝑛,𝐹   𝑛,𝐺

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑖)   𝐺(𝑖)

Proof of Theorem stoweidlem7

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 12900	. . . . 5 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2		1zzd 12628	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
3		stoweidlem7.7	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)
4		stoweidlem7.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝐵↑𝑖))
5		oveq2 7418	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → (𝐵↑𝑖) = (𝐵↑𝑘))
6		nnnn0 12513	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
7	6	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ0)
8		stoweidlem7.5	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
9	8	rpcnd 13058	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
10	9	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℂ)
11	10, 7	expcld 14169	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐵↑𝑘) ∈ ℂ)
12	4, 5, 7, 11	fvmptd3 7014	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺‘𝑘) = (𝐵↑𝑘))
13		1red 11241	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
14	13	renegcld 11669	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → -1 ∈ ℝ)
15		0red 11243	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
16	8	rpred 13056	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
17		neg1lt0 12362	. . . . . . . . . 10 ⊢ -1 < 0
18	17	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → -1 < 0)
19	8	rpgt0d 13059	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐵)
20	14, 15, 16, 18, 19	lttrd 11401	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → -1 < 𝐵)
21		stoweidlem7.6	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 < 1)
22	16, 13	absltd 15453	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝐵) < 1 ↔ (-1 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 1)))
23	20, 21, 22	mpbir2and 713	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐵) < 1)
24	9, 23	expcnv 15885	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝐵↑𝑖)) ⇝ 0)
25	4, 24	eqbrtrid 5159	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ⇝ 0)
26	1, 2, 3, 12, 25	climi 15531	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐵↑𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐵↑𝑘) − 0)) < 𝐸))
27		r19.26 3099	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐵↑𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐵↑𝑘) − 0)) < 𝐸) ↔ (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(𝐵↑𝑘) ∈ ℂ ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(abs‘((𝐵↑𝑘) − 0)) < 𝐸))
28	27	simprbi 496	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐵↑𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐵↑𝑘) − 0)) < 𝐸) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(abs‘((𝐵↑𝑘) − 0)) < 𝐸)
29	28	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐵↑𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐵↑𝑘) − 0)) < 𝐸)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(abs‘((𝐵↑𝑘) − 0)) < 𝐸)
30		oveq2 7418	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝐵↑𝑘) = (𝐵↑𝑖))
31	30	oveq1d 7425	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → ((𝐵↑𝑘) − 0) = ((𝐵↑𝑖) − 0))
32	31	fveq2d 6885	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (abs‘((𝐵↑𝑘) − 0)) = (abs‘((𝐵↑𝑖) − 0)))
33	32	breq1d 5134	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → ((abs‘((𝐵↑𝑘) − 0)) < 𝐸 ↔ (abs‘((𝐵↑𝑖) − 0)) < 𝐸))
34	33	rspccva 3605	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(abs‘((𝐵↑𝑘) − 0)) < 𝐸 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (abs‘((𝐵↑𝑖) − 0)) < 𝐸)
35	29, 34	sylancom 588	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐵↑𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐵↑𝑘) − 0)) < 𝐸)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (abs‘((𝐵↑𝑖) − 0)) < 𝐸)
36		simplll 774	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐵↑𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐵↑𝑘) − 0)) < 𝐸)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → 𝜑)
37	36, 8	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐵↑𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐵↑𝑘) − 0)) < 𝐸)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → 𝐵 ∈ ℝ+)
38	37	rpred 13056	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐵↑𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐵↑𝑘) − 0)) < 𝐸)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → 𝐵 ∈ ℝ)
39		simpllr 775	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐵↑𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐵↑𝑘) − 0)) < 𝐸)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → 𝑛 ∈ ℕ)
40		nnnn0 12513	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ0)
41	39, 40	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐵↑𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐵↑𝑘) − 0)) < 𝐸)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
42		eluznn0 12938	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → 𝑖 ∈ ℕ0)
43	41, 42	sylancom 588	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐵↑𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐵↑𝑘) − 0)) < 𝐸)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → 𝑖 ∈ ℕ0)
44	38, 43	reexpcld 14186	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐵↑𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐵↑𝑘) − 0)) < 𝐸)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (𝐵↑𝑖) ∈ ℝ)
45		rpre 13022	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐸 ∈ ℝ+ → 𝐸 ∈ ℝ)
46	36, 3, 45	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐵↑𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐵↑𝑘) − 0)) < 𝐸)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → 𝐸 ∈ ℝ)
47		recn 11224	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐵↑𝑖) ∈ ℝ → (𝐵↑𝑖) ∈ ℂ)
48	47	subid1d 11588	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐵↑𝑖) ∈ ℝ → ((𝐵↑𝑖) − 0) = (𝐵↑𝑖))
49	48	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐵↑𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ℝ) → ((𝐵↑𝑖) − 0) = (𝐵↑𝑖))
50	49	fveq2d 6885	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐵↑𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ℝ) → (abs‘((𝐵↑𝑖) − 0)) = (abs‘(𝐵↑𝑖)))
51	50	breq1d 5134	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐵↑𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ℝ) → ((abs‘((𝐵↑𝑖) − 0)) < 𝐸 ↔ (abs‘(𝐵↑𝑖)) < 𝐸))
52		abslt 15338	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐵↑𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐵↑𝑖)) < 𝐸 ↔ (-𝐸 < (𝐵↑𝑖) ∧ (𝐵↑𝑖) < 𝐸)))
53	51, 52	bitrd 279	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵↑𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ℝ) → ((abs‘((𝐵↑𝑖) − 0)) < 𝐸 ↔ (-𝐸 < (𝐵↑𝑖) ∧ (𝐵↑𝑖) < 𝐸)))
54	44, 46, 53	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐵↑𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐵↑𝑘) − 0)) < 𝐸)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → ((abs‘((𝐵↑𝑖) − 0)) < 𝐸 ↔ (-𝐸 < (𝐵↑𝑖) ∧ (𝐵↑𝑖) < 𝐸)))
55	35, 54	mpbid 232	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐵↑𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐵↑𝑘) − 0)) < 𝐸)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (-𝐸 < (𝐵↑𝑖) ∧ (𝐵↑𝑖) < 𝐸))
56	55	simprd 495	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐵↑𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐵↑𝑘) − 0)) < 𝐸)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (𝐵↑𝑖) < 𝐸)
57		eluznn 12939	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → 𝑖 ∈ ℕ)
58	39, 57	sylancom 588	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐵↑𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐵↑𝑘) − 0)) < 𝐸)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → 𝑖 ∈ ℕ)
59	16	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℝ)
60		nnnn0 12513	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ → 𝑖 ∈ ℕ0)
61	60	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → 𝑖 ∈ ℕ0)
62	59, 61	reexpcld 14186	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (𝐵↑𝑖) ∈ ℝ)
63	3	rpred 13056	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ)
64	63	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → 𝐸 ∈ ℝ)
65		1red 11241	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℝ)
66	62, 64, 65	ltsub2d 11852	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → ((𝐵↑𝑖) < 𝐸 ↔ (1 − 𝐸) < (1 − (𝐵↑𝑖))))
67	36, 58, 66	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐵↑𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐵↑𝑘) − 0)) < 𝐸)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → ((𝐵↑𝑖) < 𝐸 ↔ (1 − 𝐸) < (1 − (𝐵↑𝑖))))
68	56, 67	mpbid 232	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐵↑𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐵↑𝑘) − 0)) < 𝐸)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (1 − 𝐸) < (1 − (𝐵↑𝑖)))
69	68	ralrimiva 3133	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐵↑𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐵↑𝑘) − 0)) < 𝐸)) → ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(1 − 𝐸) < (1 − (𝐵↑𝑖)))
70	30	oveq2d 7426	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (1 − (𝐵↑𝑘)) = (1 − (𝐵↑𝑖)))
71	70	breq2d 5136	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → ((1 − 𝐸) < (1 − (𝐵↑𝑘)) ↔ (1 − 𝐸) < (1 − (𝐵↑𝑖))))
72	71	cbvralvw 3224	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(1 − 𝐸) < (1 − (𝐵↑𝑘)) ↔ ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(1 − 𝐸) < (1 − (𝐵↑𝑖)))
73	69, 72	sylibr 234	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐵↑𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐵↑𝑘) − 0)) < 𝐸)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(1 − 𝐸) < (1 − (𝐵↑𝑘)))
74	73	ex 412	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐵↑𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐵↑𝑘) − 0)) < 𝐸) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(1 − 𝐸) < (1 − (𝐵↑𝑘))))
75	74	reximdva 3154	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐵↑𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐵↑𝑘) − 0)) < 𝐸) → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(1 − 𝐸) < (1 − (𝐵↑𝑘))))
76	26, 75	mpd 15	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(1 − 𝐸) < (1 − (𝐵↑𝑘)))
77		stoweidlem7.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 𝐴)↑𝑖))
78		oveq2 7418	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → ((1 / 𝐴)↑𝑖) = ((1 / 𝐴)↑𝑘))
79		stoweidlem7.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
80	79	recnd 11268	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
81		0lt1 11764	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 < 1
82	81	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 < 1)
83		stoweidlem7.4	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 1 < 𝐴)
84	15, 13, 79, 82, 83	lttrd 11401	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)
85	84	gt0ne0d 11806	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
86	80, 85	reccld 12015	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)
87	86	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)
88	87, 7	expcld 14169	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / 𝐴)↑𝑘) ∈ ℂ)
89	77, 78, 7, 88	fvmptd3 7014	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) = ((1 / 𝐴)↑𝑘))
90	79, 85	rereccld 12073	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
91	79, 84	recgt0d 12181	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 < (1 / 𝐴))
92	14, 15, 90, 18, 91	lttrd 11401	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → -1 < (1 / 𝐴))
93		ltdiv23 12138	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1)) → ((1 / 𝐴) < 1 ↔ (1 / 1) < 𝐴))
94	13, 79, 84, 13, 82, 93	syl122anc 1381	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((1 / 𝐴) < 1 ↔ (1 / 1) < 𝐴))
95		1cnd 11235	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
96	95	div1d 12014	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (1 / 1) = 1)
97	96	breq1d 5134	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((1 / 1) < 𝐴 ↔ 1 < 𝐴))
98	94, 97	bitrd 279	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((1 / 𝐴) < 1 ↔ 1 < 𝐴))
99	83, 98	mpbird 257	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) < 1)
100	90, 13	absltd 15453	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(1 / 𝐴)) < 1 ↔ (-1 < (1 / 𝐴) ∧ (1 / 𝐴) < 1)))
101	92, 99, 100	mpbir2and 713	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘(1 / 𝐴)) < 1)
102	86, 101	expcnv 15885	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 𝐴)↑𝑖)) ⇝ 0)
103	77, 102	eqbrtrid 5159	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 0)
104	1, 2, 3, 89, 103	climi2 15532	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(abs‘(((1 / 𝐴)↑𝑘) − 0)) < 𝐸)
105		simpll 766	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → 𝜑)
106		uznnssnn 12916	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (ℤ≥‘𝑛) ⊆ ℕ)
107	106	ad2antlr 727	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (ℤ≥‘𝑛) ⊆ ℕ)
108		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛))
109	107, 108	sseldd 3964	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → 𝑘 ∈ ℕ)
110	88	subid1d 11588	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((1 / 𝐴)↑𝑘) − 0) = ((1 / 𝐴)↑𝑘))
111	110	fveq2d 6885	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘(((1 / 𝐴)↑𝑘) − 0)) = (abs‘((1 / 𝐴)↑𝑘)))
112	90	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
113	112, 7	reexpcld 14186	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / 𝐴)↑𝑘) ∈ ℝ)
114	15, 90, 91	ltled 11388	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (1 / 𝐴))
115	114	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ (1 / 𝐴))
116	112, 7, 115	expge0d 14187	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ ((1 / 𝐴)↑𝑘))
117	113, 116	absidd 15446	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘((1 / 𝐴)↑𝑘)) = ((1 / 𝐴)↑𝑘))
118	111, 117	eqtrd 2771	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘(((1 / 𝐴)↑𝑘) − 0)) = ((1 / 𝐴)↑𝑘))
119	118	breq1d 5134	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((abs‘(((1 / 𝐴)↑𝑘) − 0)) < 𝐸 ↔ ((1 / 𝐴)↑𝑘) < 𝐸))
120	119	biimpd 229	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((abs‘(((1 / 𝐴)↑𝑘) − 0)) < 𝐸 → ((1 / 𝐴)↑𝑘) < 𝐸))
121	105, 109, 120	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → ((abs‘(((1 / 𝐴)↑𝑘) − 0)) < 𝐸 → ((1 / 𝐴)↑𝑘) < 𝐸))
122	121	ralimdva 3153	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(abs‘(((1 / 𝐴)↑𝑘) − 0)) < 𝐸 → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((1 / 𝐴)↑𝑘) < 𝐸))
123	122	reximdva 3154	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(abs‘(((1 / 𝐴)↑𝑘) − 0)) < 𝐸 → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((1 / 𝐴)↑𝑘) < 𝐸))
124	104, 123	mpd 15	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((1 / 𝐴)↑𝑘) < 𝐸)
125	1	rexanuz2 15373	. . 3 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((1 − 𝐸) < (1 − (𝐵↑𝑘)) ∧ ((1 / 𝐴)↑𝑘) < 𝐸) ↔ (∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(1 − 𝐸) < (1 − (𝐵↑𝑘)) ∧ ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((1 / 𝐴)↑𝑘) < 𝐸))
126	76, 124, 125	sylanbrc 583	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((1 − 𝐸) < (1 − (𝐵↑𝑘)) ∧ ((1 / 𝐴)↑𝑘) < 𝐸))
127		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((1 − 𝐸) < (1 − (𝐵↑𝑘)) ∧ ((1 / 𝐴)↑𝑘) < 𝐸)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((1 − 𝐸) < (1 − (𝐵↑𝑘)) ∧ ((1 / 𝐴)↑𝑘) < 𝐸))
128		nnz 12614	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℤ)
129		uzid 12872	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑛))
130	128, 129	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑛))
131	130	ad2antlr 727	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((1 − 𝐸) < (1 − (𝐵↑𝑘)) ∧ ((1 / 𝐴)↑𝑘) < 𝐸)) → 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑛))
132		oveq2 7418	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝐵↑𝑘) = (𝐵↑𝑛))
133	132	oveq2d 7426	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (1 − (𝐵↑𝑘)) = (1 − (𝐵↑𝑛)))
134	133	breq2d 5136	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((1 − 𝐸) < (1 − (𝐵↑𝑘)) ↔ (1 − 𝐸) < (1 − (𝐵↑𝑛))))
135		oveq2 7418	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((1 / 𝐴)↑𝑘) = ((1 / 𝐴)↑𝑛))
136	135	breq1d 5134	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (((1 / 𝐴)↑𝑘) < 𝐸 ↔ ((1 / 𝐴)↑𝑛) < 𝐸))
137	134, 136	anbi12d 632	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (((1 − 𝐸) < (1 − (𝐵↑𝑘)) ∧ ((1 / 𝐴)↑𝑘) < 𝐸) ↔ ((1 − 𝐸) < (1 − (𝐵↑𝑛)) ∧ ((1 / 𝐴)↑𝑛) < 𝐸)))
138	137	rspccva 3605	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((1 − 𝐸) < (1 − (𝐵↑𝑘)) ∧ ((1 / 𝐴)↑𝑘) < 𝐸) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → ((1 − 𝐸) < (1 − (𝐵↑𝑛)) ∧ ((1 / 𝐴)↑𝑛) < 𝐸))
139	127, 131, 138	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((1 − 𝐸) < (1 − (𝐵↑𝑘)) ∧ ((1 / 𝐴)↑𝑘) < 𝐸)) → ((1 − 𝐸) < (1 − (𝐵↑𝑛)) ∧ ((1 / 𝐴)↑𝑛) < 𝐸))
140		1cnd 11235	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
141	80, 85	jca 511	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0))
142	141	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0))
143	40	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ0)
144		expdiv 14136	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((1 / 𝐴)↑𝑛) = ((1↑𝑛) / (𝐴↑𝑛)))
145	140, 142, 143, 144	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((1 / 𝐴)↑𝑛) = ((1↑𝑛) / (𝐴↑𝑛)))
146	128	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℤ)
147		1exp 14114	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (1↑𝑛) = 1)
148	146, 147	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (1↑𝑛) = 1)
149	148	oveq1d 7425	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((1↑𝑛) / (𝐴↑𝑛)) = (1 / (𝐴↑𝑛)))
150	145, 149	eqtrd 2771	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((1 / 𝐴)↑𝑛) = (1 / (𝐴↑𝑛)))
151	150	breq1d 5134	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (((1 / 𝐴)↑𝑛) < 𝐸 ↔ (1 / (𝐴↑𝑛)) < 𝐸))
152	151	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((1 − 𝐸) < (1 − (𝐵↑𝑘)) ∧ ((1 / 𝐴)↑𝑘) < 𝐸)) → (((1 / 𝐴)↑𝑛) < 𝐸 ↔ (1 / (𝐴↑𝑛)) < 𝐸))
153	152	anbi2d 630	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((1 − 𝐸) < (1 − (𝐵↑𝑘)) ∧ ((1 / 𝐴)↑𝑘) < 𝐸)) → (((1 − 𝐸) < (1 − (𝐵↑𝑛)) ∧ ((1 / 𝐴)↑𝑛) < 𝐸) ↔ ((1 − 𝐸) < (1 − (𝐵↑𝑛)) ∧ (1 / (𝐴↑𝑛)) < 𝐸)))
154	139, 153	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((1 − 𝐸) < (1 − (𝐵↑𝑘)) ∧ ((1 / 𝐴)↑𝑘) < 𝐸)) → ((1 − 𝐸) < (1 − (𝐵↑𝑛)) ∧ (1 / (𝐴↑𝑛)) < 𝐸))
155	154	ex 412	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((1 − 𝐸) < (1 − (𝐵↑𝑘)) ∧ ((1 / 𝐴)↑𝑘) < 𝐸) → ((1 − 𝐸) < (1 − (𝐵↑𝑛)) ∧ (1 / (𝐴↑𝑛)) < 𝐸)))
156	155	reximdva 3154	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((1 − 𝐸) < (1 − (𝐵↑𝑘)) ∧ ((1 / 𝐴)↑𝑘) < 𝐸) → ∃𝑛 ∈ ℕ ((1 − 𝐸) < (1 − (𝐵↑𝑛)) ∧ (1 / (𝐴↑𝑛)) < 𝐸)))
157	126, 156	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℕ ((1 − 𝐸) < (1 − (𝐵↑𝑛)) ∧ (1 / (𝐴↑𝑛)) < 𝐸))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2933  ∀wral 3052  ∃wrex 3061   ⊆ wss 3931   class class class wbr 5124   ↦ cmpt 5206  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℂcc 11132  ℝcr 11133  0cc0 11134  1c1 11135   < clt 11274   ≤ cle 11275   − cmin 11471  -cneg 11472   / cdiv 11899  ℕcn 12245  ℕ₀cn0 12506  ℤcz 12593  ℤ_≥cuz 12857  ℝ⁺crp 13013  ↑cexp 14084  abscabs 15258   ⇝ cli 15505

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211  ax-pre-sup 11212

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8724  df-pm 8848  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-sup 9459  df-inf 9460  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-div 11900  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-n0 12507  df-z 12594  df-uz 12858  df-rp 13014  df-fl 13814  df-seq 14025  df-exp 14085  df-cj 15123  df-re 15124  df-im 15125  df-sqrt 15259  df-abs 15260  df-clim 15509  df-rlim 15510

This theorem is referenced by:  stoweidlem49  46045