Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem7 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stoweidlem7 44338
Description: This lemma is used to prove that qn as in the proof of Lemma 1 in [BrosowskiDeutsh] p. 91, (at the top of page 91), is such that qn < Ξ΅ on 𝑇 βˆ– π‘ˆ, and qn > 1 - Ξ΅ on 𝑉. Here it is proven that, for 𝑛 large enough, 1-(k*Ξ΄/2)^n > 1 - Ξ΅ , and 1/(k*Ξ΄)^n < Ξ΅. The variable 𝐴 is used to represent (k*Ξ΄) in the paper, and 𝐡 is used to represent (k*Ξ΄/2). (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem7.1 𝐹 = (𝑖 ∈ β„•0 ↦ ((1 / 𝐴)↑𝑖))
stoweidlem7.2 𝐺 = (𝑖 ∈ β„•0 ↦ (𝐡↑𝑖))
stoweidlem7.3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
stoweidlem7.4 (πœ‘ β†’ 1 < 𝐴)
stoweidlem7.5 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ+)
stoweidlem7.6 (πœ‘ β†’ 𝐡 < 1)
stoweidlem7.7 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
stoweidlem7 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• ((1 βˆ’ 𝐸) < (1 βˆ’ (𝐡↑𝑛)) ∧ (1 / (𝐴↑𝑛)) < 𝐸))
Distinct variable groups:   𝑖,𝑛,𝐴   𝐡,𝑖,𝑛   𝑖,𝐸,𝑛   πœ‘,𝑖,𝑛   𝑛,𝐹   𝑛,𝐺
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑖)   𝐺(𝑖)

Proof of Theorem stoweidlem7
Dummy variable π‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 12814 . . . . 5 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
2 1zzd 12542 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„€)
3 stoweidlem7.7 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ ℝ+)
4 stoweidlem7.2 . . . . . 6 𝐺 = (𝑖 ∈ β„•0 ↦ (𝐡↑𝑖))
5 oveq2 7369 . . . . . 6 (𝑖 = π‘˜ β†’ (𝐡↑𝑖) = (π΅β†‘π‘˜))
6 nnnn0 12428 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ β„• β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
76adantl 483 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
8 stoweidlem7.5 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ+)
98rpcnd 12967 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
109adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
1110, 7expcld 14060 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π΅β†‘π‘˜) ∈ β„‚)
124, 5, 7, 11fvmptd3 6975 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (πΊβ€˜π‘˜) = (π΅β†‘π‘˜))
13 1red 11164 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 1 ∈ ℝ)
1413renegcld 11590 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ -1 ∈ ℝ)
15 0red 11166 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 0 ∈ ℝ)
168rpred 12965 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
17 neg1lt0 12278 . . . . . . . . . 10 -1 < 0
1817a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ -1 < 0)
198rpgt0d 12968 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 0 < 𝐡)
2014, 15, 16, 18, 19lttrd 11324 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ -1 < 𝐡)
21 stoweidlem7.6 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐡 < 1)
2216, 13absltd 15323 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((absβ€˜π΅) < 1 ↔ (-1 < 𝐡 ∧ 𝐡 < 1)))
2320, 21, 22mpbir2and 712 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (absβ€˜π΅) < 1)
249, 23expcnv 15757 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑖 ∈ β„•0 ↦ (𝐡↑𝑖)) ⇝ 0)
254, 24eqbrtrid 5144 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐺 ⇝ 0)
261, 2, 3, 12, 25climi 15401 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)((π΅β†‘π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((π΅β†‘π‘˜) βˆ’ 0)) < 𝐸))
27 r19.26 3111 . . . . . . . . . . . . . 14 (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)((π΅β†‘π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((π΅β†‘π‘˜) βˆ’ 0)) < 𝐸) ↔ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)(π΅β†‘π‘˜) ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)(absβ€˜((π΅β†‘π‘˜) βˆ’ 0)) < 𝐸))
2827simprbi 498 . . . . . . . . . . . . 13 (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)((π΅β†‘π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((π΅β†‘π‘˜) βˆ’ 0)) < 𝐸) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)(absβ€˜((π΅β†‘π‘˜) βˆ’ 0)) < 𝐸)
2928ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)((π΅β†‘π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((π΅β†‘π‘˜) βˆ’ 0)) < 𝐸)) ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)(absβ€˜((π΅β†‘π‘˜) βˆ’ 0)) < 𝐸)
30 oveq2 7369 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ = 𝑖 β†’ (π΅β†‘π‘˜) = (𝐡↑𝑖))
3130oveq1d 7376 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ = 𝑖 β†’ ((π΅β†‘π‘˜) βˆ’ 0) = ((𝐡↑𝑖) βˆ’ 0))
3231fveq2d 6850 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ = 𝑖 β†’ (absβ€˜((π΅β†‘π‘˜) βˆ’ 0)) = (absβ€˜((𝐡↑𝑖) βˆ’ 0)))
3332breq1d 5119 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ = 𝑖 β†’ ((absβ€˜((π΅β†‘π‘˜) βˆ’ 0)) < 𝐸 ↔ (absβ€˜((𝐡↑𝑖) βˆ’ 0)) < 𝐸))
3433rspccva 3582 . . . . . . . . . . . 12 ((βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)(absβ€˜((π΅β†‘π‘˜) βˆ’ 0)) < 𝐸 ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)) β†’ (absβ€˜((𝐡↑𝑖) βˆ’ 0)) < 𝐸)
3529, 34sylancom 589 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)((π΅β†‘π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((π΅β†‘π‘˜) βˆ’ 0)) < 𝐸)) ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)) β†’ (absβ€˜((𝐡↑𝑖) βˆ’ 0)) < 𝐸)
36 simplll 774 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)((π΅β†‘π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((π΅β†‘π‘˜) βˆ’ 0)) < 𝐸)) ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)) β†’ πœ‘)
3736, 8syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)((π΅β†‘π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((π΅β†‘π‘˜) βˆ’ 0)) < 𝐸)) ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)) β†’ 𝐡 ∈ ℝ+)
3837rpred 12965 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)((π΅β†‘π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((π΅β†‘π‘˜) βˆ’ 0)) < 𝐸)) ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
39 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)((π΅β†‘π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((π΅β†‘π‘˜) βˆ’ 0)) < 𝐸)) ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
40 nnnn0 12428 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ β„• β†’ 𝑛 ∈ β„•0)
4139, 40syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)((π΅β†‘π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((π΅β†‘π‘˜) βˆ’ 0)) < 𝐸)) ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)) β†’ 𝑛 ∈ β„•0)
42 eluznn0 12850 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)) β†’ 𝑖 ∈ β„•0)
4341, 42sylancom 589 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)((π΅β†‘π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((π΅β†‘π‘˜) βˆ’ 0)) < 𝐸)) ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)) β†’ 𝑖 ∈ β„•0)
4438, 43reexpcld 14077 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)((π΅β†‘π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((π΅β†‘π‘˜) βˆ’ 0)) < 𝐸)) ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)) β†’ (𝐡↑𝑖) ∈ ℝ)
45 rpre 12931 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐸 ∈ ℝ+ β†’ 𝐸 ∈ ℝ)
4636, 3, 453syl 18 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)((π΅β†‘π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((π΅β†‘π‘˜) βˆ’ 0)) < 𝐸)) ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)) β†’ 𝐸 ∈ ℝ)
47 recn 11149 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐡↑𝑖) ∈ ℝ β†’ (𝐡↑𝑖) ∈ β„‚)
4847subid1d 11509 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐡↑𝑖) ∈ ℝ β†’ ((𝐡↑𝑖) βˆ’ 0) = (𝐡↑𝑖))
4948adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐡↑𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ℝ) β†’ ((𝐡↑𝑖) βˆ’ 0) = (𝐡↑𝑖))
5049fveq2d 6850 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐡↑𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ℝ) β†’ (absβ€˜((𝐡↑𝑖) βˆ’ 0)) = (absβ€˜(𝐡↑𝑖)))
5150breq1d 5119 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐡↑𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ℝ) β†’ ((absβ€˜((𝐡↑𝑖) βˆ’ 0)) < 𝐸 ↔ (absβ€˜(𝐡↑𝑖)) < 𝐸))
52 abslt 15208 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐡↑𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ℝ) β†’ ((absβ€˜(𝐡↑𝑖)) < 𝐸 ↔ (-𝐸 < (𝐡↑𝑖) ∧ (𝐡↑𝑖) < 𝐸)))
5351, 52bitrd 279 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐡↑𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ℝ) β†’ ((absβ€˜((𝐡↑𝑖) βˆ’ 0)) < 𝐸 ↔ (-𝐸 < (𝐡↑𝑖) ∧ (𝐡↑𝑖) < 𝐸)))
5444, 46, 53syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)((π΅β†‘π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((π΅β†‘π‘˜) βˆ’ 0)) < 𝐸)) ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)) β†’ ((absβ€˜((𝐡↑𝑖) βˆ’ 0)) < 𝐸 ↔ (-𝐸 < (𝐡↑𝑖) ∧ (𝐡↑𝑖) < 𝐸)))
5535, 54mpbid 231 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)((π΅β†‘π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((π΅β†‘π‘˜) βˆ’ 0)) < 𝐸)) ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)) β†’ (-𝐸 < (𝐡↑𝑖) ∧ (𝐡↑𝑖) < 𝐸))
5655simprd 497 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)((π΅β†‘π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((π΅β†‘π‘˜) βˆ’ 0)) < 𝐸)) ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)) β†’ (𝐡↑𝑖) < 𝐸)
57 eluznn 12851 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ β„• ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)) β†’ 𝑖 ∈ β„•)
5839, 57sylancom 589 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)((π΅β†‘π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((π΅β†‘π‘˜) βˆ’ 0)) < 𝐸)) ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)) β†’ 𝑖 ∈ β„•)
5916adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
60 nnnn0 12428 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ β„• β†’ 𝑖 ∈ β„•0)
6160adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•) β†’ 𝑖 ∈ β„•0)
6259, 61reexpcld 14077 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•) β†’ (𝐡↑𝑖) ∈ ℝ)
633rpred 12965 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ ℝ)
6463adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•) β†’ 𝐸 ∈ ℝ)
65 1red 11164 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•) β†’ 1 ∈ ℝ)
6662, 64, 65ltsub2d 11773 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•) β†’ ((𝐡↑𝑖) < 𝐸 ↔ (1 βˆ’ 𝐸) < (1 βˆ’ (𝐡↑𝑖))))
6736, 58, 66syl2anc 585 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)((π΅β†‘π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((π΅β†‘π‘˜) βˆ’ 0)) < 𝐸)) ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)) β†’ ((𝐡↑𝑖) < 𝐸 ↔ (1 βˆ’ 𝐸) < (1 βˆ’ (𝐡↑𝑖))))
6856, 67mpbid 231 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)((π΅β†‘π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((π΅β†‘π‘˜) βˆ’ 0)) < 𝐸)) ∧ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)) β†’ (1 βˆ’ 𝐸) < (1 βˆ’ (𝐡↑𝑖)))
6968ralrimiva 3140 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)((π΅β†‘π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((π΅β†‘π‘˜) βˆ’ 0)) < 𝐸)) β†’ βˆ€π‘– ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)(1 βˆ’ 𝐸) < (1 βˆ’ (𝐡↑𝑖)))
7030oveq2d 7377 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = 𝑖 β†’ (1 βˆ’ (π΅β†‘π‘˜)) = (1 βˆ’ (𝐡↑𝑖)))
7170breq2d 5121 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 𝑖 β†’ ((1 βˆ’ 𝐸) < (1 βˆ’ (π΅β†‘π‘˜)) ↔ (1 βˆ’ 𝐸) < (1 βˆ’ (𝐡↑𝑖))))
7271cbvralvw 3224 . . . . . . 7 (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)(1 βˆ’ 𝐸) < (1 βˆ’ (π΅β†‘π‘˜)) ↔ βˆ€π‘– ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)(1 βˆ’ 𝐸) < (1 βˆ’ (𝐡↑𝑖)))
7369, 72sylibr 233 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)((π΅β†‘π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((π΅β†‘π‘˜) βˆ’ 0)) < 𝐸)) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)(1 βˆ’ 𝐸) < (1 βˆ’ (π΅β†‘π‘˜)))
7473ex 414 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)((π΅β†‘π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((π΅β†‘π‘˜) βˆ’ 0)) < 𝐸) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)(1 βˆ’ 𝐸) < (1 βˆ’ (π΅β†‘π‘˜))))
7574reximdva 3162 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘› ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)((π΅β†‘π‘˜) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜((π΅β†‘π‘˜) βˆ’ 0)) < 𝐸) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)(1 βˆ’ 𝐸) < (1 βˆ’ (π΅β†‘π‘˜))))
7626, 75mpd 15 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)(1 βˆ’ 𝐸) < (1 βˆ’ (π΅β†‘π‘˜)))
77 stoweidlem7.1 . . . . . 6 𝐹 = (𝑖 ∈ β„•0 ↦ ((1 / 𝐴)↑𝑖))
78 oveq2 7369 . . . . . 6 (𝑖 = π‘˜ β†’ ((1 / 𝐴)↑𝑖) = ((1 / 𝐴)β†‘π‘˜))
79 stoweidlem7.3 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
8079recnd 11191 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
81 0lt1 11685 . . . . . . . . . . . 12 0 < 1
8281a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 0 < 1)
83 stoweidlem7.4 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 1 < 𝐴)
8415, 13, 79, 82, 83lttrd 11324 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 0 < 𝐴)
8584gt0ne0d 11727 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐴 β‰  0)
8680, 85reccld 11932 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (1 / 𝐴) ∈ β„‚)
8786adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (1 / 𝐴) ∈ β„‚)
8887, 7expcld 14060 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((1 / 𝐴)β†‘π‘˜) ∈ β„‚)
8977, 78, 7, 88fvmptd3 6975 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = ((1 / 𝐴)β†‘π‘˜))
9079, 85rereccld 11990 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
9179, 84recgt0d 12097 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 0 < (1 / 𝐴))
9214, 15, 90, 18, 91lttrd 11324 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ -1 < (1 / 𝐴))
93 ltdiv23 12054 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1)) β†’ ((1 / 𝐴) < 1 ↔ (1 / 1) < 𝐴))
9413, 79, 84, 13, 82, 93syl122anc 1380 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((1 / 𝐴) < 1 ↔ (1 / 1) < 𝐴))
95 1cnd 11158 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„‚)
9695div1d 11931 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (1 / 1) = 1)
9796breq1d 5119 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((1 / 1) < 𝐴 ↔ 1 < 𝐴))
9894, 97bitrd 279 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((1 / 𝐴) < 1 ↔ 1 < 𝐴))
9983, 98mpbird 257 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (1 / 𝐴) < 1)
10090, 13absltd 15323 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((absβ€˜(1 / 𝐴)) < 1 ↔ (-1 < (1 / 𝐴) ∧ (1 / 𝐴) < 1)))
10192, 99, 100mpbir2and 712 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (absβ€˜(1 / 𝐴)) < 1)
10286, 101expcnv 15757 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑖 ∈ β„•0 ↦ ((1 / 𝐴)↑𝑖)) ⇝ 0)
10377, 102eqbrtrid 5144 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹 ⇝ 0)
1041, 2, 3, 89, 103climi2 15402 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)(absβ€˜(((1 / 𝐴)β†‘π‘˜) βˆ’ 0)) < 𝐸)
105 simpll 766 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)) β†’ πœ‘)
106 uznnssnn 12828 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ β„• β†’ (β„€β‰₯β€˜π‘›) βŠ† β„•)
107106ad2antlr 726 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)) β†’ (β„€β‰₯β€˜π‘›) βŠ† β„•)
108 simpr 486 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)) β†’ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›))
109107, 108sseldd 3949 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
11088subid1d 11509 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (((1 / 𝐴)β†‘π‘˜) βˆ’ 0) = ((1 / 𝐴)β†‘π‘˜))
111110fveq2d 6850 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (absβ€˜(((1 / 𝐴)β†‘π‘˜) βˆ’ 0)) = (absβ€˜((1 / 𝐴)β†‘π‘˜)))
11290adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
113112, 7reexpcld 14077 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((1 / 𝐴)β†‘π‘˜) ∈ ℝ)
11415, 90, 91ltled 11311 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (1 / 𝐴))
115114adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ 0 ≀ (1 / 𝐴))
116112, 7, 115expge0d 14078 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ 0 ≀ ((1 / 𝐴)β†‘π‘˜))
117113, 116absidd 15316 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (absβ€˜((1 / 𝐴)β†‘π‘˜)) = ((1 / 𝐴)β†‘π‘˜))
118111, 117eqtrd 2773 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (absβ€˜(((1 / 𝐴)β†‘π‘˜) βˆ’ 0)) = ((1 / 𝐴)β†‘π‘˜))
119118breq1d 5119 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((absβ€˜(((1 / 𝐴)β†‘π‘˜) βˆ’ 0)) < 𝐸 ↔ ((1 / 𝐴)β†‘π‘˜) < 𝐸))
120119biimpd 228 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((absβ€˜(((1 / 𝐴)β†‘π‘˜) βˆ’ 0)) < 𝐸 β†’ ((1 / 𝐴)β†‘π‘˜) < 𝐸))
121105, 109, 120syl2anc 585 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)) β†’ ((absβ€˜(((1 / 𝐴)β†‘π‘˜) βˆ’ 0)) < 𝐸 β†’ ((1 / 𝐴)β†‘π‘˜) < 𝐸))
122121ralimdva 3161 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)(absβ€˜(((1 / 𝐴)β†‘π‘˜) βˆ’ 0)) < 𝐸 β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)((1 / 𝐴)β†‘π‘˜) < 𝐸))
123122reximdva 3162 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘› ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)(absβ€˜(((1 / 𝐴)β†‘π‘˜) βˆ’ 0)) < 𝐸 β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)((1 / 𝐴)β†‘π‘˜) < 𝐸))
124104, 123mpd 15 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)((1 / 𝐴)β†‘π‘˜) < 𝐸)
1251rexanuz2 15243 . . 3 (βˆƒπ‘› ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)((1 βˆ’ 𝐸) < (1 βˆ’ (π΅β†‘π‘˜)) ∧ ((1 / 𝐴)β†‘π‘˜) < 𝐸) ↔ (βˆƒπ‘› ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)(1 βˆ’ 𝐸) < (1 βˆ’ (π΅β†‘π‘˜)) ∧ βˆƒπ‘› ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)((1 / 𝐴)β†‘π‘˜) < 𝐸))
12676, 124, 125sylanbrc 584 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)((1 βˆ’ 𝐸) < (1 βˆ’ (π΅β†‘π‘˜)) ∧ ((1 / 𝐴)β†‘π‘˜) < 𝐸))
127 simpr 486 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)((1 βˆ’ 𝐸) < (1 βˆ’ (π΅β†‘π‘˜)) ∧ ((1 / 𝐴)β†‘π‘˜) < 𝐸)) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)((1 βˆ’ 𝐸) < (1 βˆ’ (π΅β†‘π‘˜)) ∧ ((1 / 𝐴)β†‘π‘˜) < 𝐸))
128 nnz 12528 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ β„• β†’ 𝑛 ∈ β„€)
129 uzid 12786 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ β„€ β†’ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›))
130128, 129syl 17 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ β„• β†’ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›))
131130ad2antlr 726 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)((1 βˆ’ 𝐸) < (1 βˆ’ (π΅β†‘π‘˜)) ∧ ((1 / 𝐴)β†‘π‘˜) < 𝐸)) β†’ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›))
132 oveq2 7369 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ = 𝑛 β†’ (π΅β†‘π‘˜) = (𝐡↑𝑛))
133132oveq2d 7377 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = 𝑛 β†’ (1 βˆ’ (π΅β†‘π‘˜)) = (1 βˆ’ (𝐡↑𝑛)))
134133breq2d 5121 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 𝑛 β†’ ((1 βˆ’ 𝐸) < (1 βˆ’ (π΅β†‘π‘˜)) ↔ (1 βˆ’ 𝐸) < (1 βˆ’ (𝐡↑𝑛))))
135 oveq2 7369 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = 𝑛 β†’ ((1 / 𝐴)β†‘π‘˜) = ((1 / 𝐴)↑𝑛))
136135breq1d 5119 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 𝑛 β†’ (((1 / 𝐴)β†‘π‘˜) < 𝐸 ↔ ((1 / 𝐴)↑𝑛) < 𝐸))
137134, 136anbi12d 632 . . . . . . 7 (π‘˜ = 𝑛 β†’ (((1 βˆ’ 𝐸) < (1 βˆ’ (π΅β†‘π‘˜)) ∧ ((1 / 𝐴)β†‘π‘˜) < 𝐸) ↔ ((1 βˆ’ 𝐸) < (1 βˆ’ (𝐡↑𝑛)) ∧ ((1 / 𝐴)↑𝑛) < 𝐸)))
138137rspccva 3582 . . . . . 6 ((βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)((1 βˆ’ 𝐸) < (1 βˆ’ (π΅β†‘π‘˜)) ∧ ((1 / 𝐴)β†‘π‘˜) < 𝐸) ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)) β†’ ((1 βˆ’ 𝐸) < (1 βˆ’ (𝐡↑𝑛)) ∧ ((1 / 𝐴)↑𝑛) < 𝐸))
139127, 131, 138syl2anc 585 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)((1 βˆ’ 𝐸) < (1 βˆ’ (π΅β†‘π‘˜)) ∧ ((1 / 𝐴)β†‘π‘˜) < 𝐸)) β†’ ((1 βˆ’ 𝐸) < (1 βˆ’ (𝐡↑𝑛)) ∧ ((1 / 𝐴)↑𝑛) < 𝐸))
140 1cnd 11158 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 1 ∈ β„‚)
14180, 85jca 513 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 β‰  0))
142141adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 β‰  0))
14340adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑛 ∈ β„•0)
144 expdiv 14028 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ β„‚ ∧ (𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ ((1 / 𝐴)↑𝑛) = ((1↑𝑛) / (𝐴↑𝑛)))
145140, 142, 143, 144syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((1 / 𝐴)↑𝑛) = ((1↑𝑛) / (𝐴↑𝑛)))
146128adantl 483 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑛 ∈ β„€)
147 1exp 14006 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ β„€ β†’ (1↑𝑛) = 1)
148146, 147syl 17 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (1↑𝑛) = 1)
149148oveq1d 7376 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((1↑𝑛) / (𝐴↑𝑛)) = (1 / (𝐴↑𝑛)))
150145, 149eqtrd 2773 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((1 / 𝐴)↑𝑛) = (1 / (𝐴↑𝑛)))
151150breq1d 5119 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (((1 / 𝐴)↑𝑛) < 𝐸 ↔ (1 / (𝐴↑𝑛)) < 𝐸))
152151adantr 482 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)((1 βˆ’ 𝐸) < (1 βˆ’ (π΅β†‘π‘˜)) ∧ ((1 / 𝐴)β†‘π‘˜) < 𝐸)) β†’ (((1 / 𝐴)↑𝑛) < 𝐸 ↔ (1 / (𝐴↑𝑛)) < 𝐸))
153152anbi2d 630 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)((1 βˆ’ 𝐸) < (1 βˆ’ (π΅β†‘π‘˜)) ∧ ((1 / 𝐴)β†‘π‘˜) < 𝐸)) β†’ (((1 βˆ’ 𝐸) < (1 βˆ’ (𝐡↑𝑛)) ∧ ((1 / 𝐴)↑𝑛) < 𝐸) ↔ ((1 βˆ’ 𝐸) < (1 βˆ’ (𝐡↑𝑛)) ∧ (1 / (𝐴↑𝑛)) < 𝐸)))
154139, 153mpbid 231 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)((1 βˆ’ 𝐸) < (1 βˆ’ (π΅β†‘π‘˜)) ∧ ((1 / 𝐴)β†‘π‘˜) < 𝐸)) β†’ ((1 βˆ’ 𝐸) < (1 βˆ’ (𝐡↑𝑛)) ∧ (1 / (𝐴↑𝑛)) < 𝐸))
155154ex 414 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)((1 βˆ’ 𝐸) < (1 βˆ’ (π΅β†‘π‘˜)) ∧ ((1 / 𝐴)β†‘π‘˜) < 𝐸) β†’ ((1 βˆ’ 𝐸) < (1 βˆ’ (𝐡↑𝑛)) ∧ (1 / (𝐴↑𝑛)) < 𝐸)))
156155reximdva 3162 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘› ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)((1 βˆ’ 𝐸) < (1 βˆ’ (π΅β†‘π‘˜)) ∧ ((1 / 𝐴)β†‘π‘˜) < 𝐸) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• ((1 βˆ’ 𝐸) < (1 βˆ’ (𝐡↑𝑛)) ∧ (1 / (𝐴↑𝑛)) < 𝐸)))
157126, 156mpd 15 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• ((1 βˆ’ 𝐸) < (1 βˆ’ (𝐡↑𝑛)) ∧ (1 / (𝐴↑𝑛)) < 𝐸))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070   βŠ† wss 3914   class class class wbr 5109   ↦ cmpt 5192  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  β„‚cc 11057  β„cr 11058  0cc0 11059  1c1 11060   < clt 11197   ≀ cle 11198   βˆ’ cmin 11393  -cneg 11394   / cdiv 11820  β„•cn 12161  β„•0cn0 12421  β„€cz 12507  β„€β‰₯cuz 12771  β„+crp 12923  β†‘cexp 13976  abscabs 15128   ⇝ cli 15375
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-pm 8774  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-sup 9386  df-inf 9387  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-rp 12924  df-fl 13706  df-seq 13916  df-exp 13977  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-clim 15379  df-rlim 15380
This theorem is referenced by:  stoweidlem49  44380
  Copyright terms: Public domain W3C validator