Theorem stoweidlem7 47016

Description: This lemma is used to prove that q_n as in the proof of Lemma 1 in [BrosowskiDeutsh] p. 91, (at the top of page 91), is such that q_n < ε on 𝑇 ∖ 𝑈, and q_n > 1 - ε on 𝑉. Here it is proven that, for 𝑛 large enough, 1-(k*δ/2)^n > 1 - ε , and 1/(k*δ)^n < ε. The variable 𝐴 is used to represent (k*δ) in the paper, and 𝐵 is used to represent (k*δ/2). (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweidlem7.1	⊢ 𝐹 = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 𝐴)↑𝑖))
stoweidlem7.2	⊢ 𝐺 = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝐵↑𝑖))
stoweidlem7.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
stoweidlem7.4	⊢ (𝜑 → 1 < 𝐴)
stoweidlem7.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
stoweidlem7.6	⊢ (𝜑 → 𝐵 < 1)
stoweidlem7.7	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
stoweidlem7	⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℕ ((1 − 𝐸) < (1 − (𝐵↑𝑛)) ∧ (1 / (𝐴↑𝑛)) < 𝐸))

Distinct variable groups:   𝑖,𝑛,𝐴   𝐵,𝑖,𝑛   𝑖,𝐸,𝑛   𝜑,𝑖,𝑛   𝑛,𝐹   𝑛,𝐺

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑖)   𝐺(𝑖)

Proof of Theorem stoweidlem7

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 13004	. . . . 5 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2		1zzd 12727	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
3		stoweidlem7.7	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)
4		stoweidlem7.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝐵↑𝑖))
5		oveq2 7428	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → (𝐵↑𝑖) = (𝐵↑𝑘))
6		nnnn0 12613	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
7	6	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ0)
8		stoweidlem7.5	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
9	8	rpcnd 13166	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
10	9	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℂ)
11	10, 7	expcld 14289	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐵↑𝑘) ∈ ℂ)
12	4, 5, 7, 11	fvmptd3 7017	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺‘𝑘) = (𝐵↑𝑘))
13		1red 11309	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
14	13	renegcld 11743	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → -1 ∈ ℝ)
15		0red 11311	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
16	8	rpred 13164	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
17		neg1lt0 12308	. . . . . . . . . 10 ⊢ -1 < 0
18	17	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → -1 < 0)
19	8	rpgt0d 13167	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐵)
20	14, 15, 16, 18, 19	lttrd 11471	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → -1 < 𝐵)
21		stoweidlem7.6	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 < 1)
22	16, 13	absltd 15599	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝐵) < 1 ↔ ( -1 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 1)))
23	20, 21, 22	mpbir2and 726	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐵) < 1)
24	9, 23	expcnv 16033	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝐵↑𝑖)) ⇝ 0)
25	4, 24	eqbrtrid 5140	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ⇝ 0)
26	1, 2, 3, 12, 25	climi 15677	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐵↑𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐵↑𝑘) − 0)) < 𝐸))
27		r19.26 3123	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐵↑𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐵↑𝑘) − 0)) < 𝐸) ↔ (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(𝐵↑𝑘) ∈ ℂ ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(abs‘((𝐵↑𝑘) − 0)) < 𝐸))
28	27	simprbi 503	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐵↑𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐵↑𝑘) − 0)) < 𝐸) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(abs‘((𝐵↑𝑘) − 0)) < 𝐸)
29	28	ad2antlr 740	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐵↑𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐵↑𝑘) − 0)) < 𝐸)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(abs‘((𝐵↑𝑘) − 0)) < 𝐸)
30		oveq2 7428	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝐵↑𝑘) = (𝐵↑𝑖))
31	30	oveq1d 7435	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → ((𝐵↑𝑘) − 0) = ((𝐵↑𝑖) − 0))
32	31	fveq2d 6889	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (abs‘((𝐵↑𝑘) − 0)) = (abs‘((𝐵↑𝑖) − 0)))
33	32	breq1d 5113	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → ((abs‘((𝐵↑𝑘) − 0)) < 𝐸 ↔ (abs‘((𝐵↑𝑖) − 0)) < 𝐸))
34	33	rspccva 3576	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(abs‘((𝐵↑𝑘) − 0)) < 𝐸 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (abs‘((𝐵↑𝑖) − 0)) < 𝐸)
35	29, 34	sylancom 600	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐵↑𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐵↑𝑘) − 0)) < 𝐸)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (abs‘((𝐵↑𝑖) − 0)) < 𝐸)
36		simplll 787	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐵↑𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐵↑𝑘) − 0)) < 𝐸)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → 𝜑)
37	36, 8	syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐵↑𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐵↑𝑘) − 0)) < 𝐸)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → 𝐵 ∈ ℝ+)
38	37	rpred 13164	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐵↑𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐵↑𝑘) − 0)) < 𝐸)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → 𝐵 ∈ ℝ)
39		simpllr 788	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐵↑𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐵↑𝑘) − 0)) < 𝐸)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → 𝑛 ∈ ℕ)
40		nnnn0 12613	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ0)
41	39, 40	syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐵↑𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐵↑𝑘) − 0)) < 𝐸)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
42		eluznn0 13044	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → 𝑖 ∈ ℕ0)
43	41, 42	sylancom 600	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐵↑𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐵↑𝑘) − 0)) < 𝐸)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → 𝑖 ∈ ℕ0)
44	38, 43	reexpcld 14306	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐵↑𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐵↑𝑘) − 0)) < 𝐸)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (𝐵↑𝑖) ∈ ℝ)
45		rpre 13129	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐸 ∈ ℝ+ → 𝐸 ∈ ℝ)
46	36, 3, 45	3syl 19	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐵↑𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐵↑𝑘) − 0)) < 𝐸)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → 𝐸 ∈ ℝ)
47		recn 11290	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐵↑𝑖) ∈ ℝ → (𝐵↑𝑖) ∈ ℂ)
48	47	subid1d 11658	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐵↑𝑖) ∈ ℝ → ((𝐵↑𝑖) − 0) = (𝐵↑𝑖))
49	48	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐵↑𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ℝ) → ((𝐵↑𝑖) − 0) = (𝐵↑𝑖))
50	49	fveq2d 6889	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐵↑𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ℝ) → (abs‘((𝐵↑𝑖) − 0)) = (abs‘(𝐵↑𝑖)))
51	50	breq1d 5113	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐵↑𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ℝ) → ((abs‘((𝐵↑𝑖) − 0)) < 𝐸 ↔ (abs‘(𝐵↑𝑖)) < 𝐸))
52		abslt 15482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐵↑𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐵↑𝑖)) < 𝐸 ↔ ( -𝐸 < (𝐵↑𝑖) ∧ (𝐵↑𝑖) < 𝐸)))
53	51, 52	bitrd 282	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵↑𝑖) ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ℝ) → ((abs‘((𝐵↑𝑖) − 0)) < 𝐸 ↔ ( -𝐸 < (𝐵↑𝑖) ∧ (𝐵↑𝑖) < 𝐸)))
54	44, 46, 53	syl2anc 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐵↑𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐵↑𝑘) − 0)) < 𝐸)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → ((abs‘((𝐵↑𝑖) − 0)) < 𝐸 ↔ ( -𝐸 < (𝐵↑𝑖) ∧ (𝐵↑𝑖) < 𝐸)))
55	35, 54	mpbid 235	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐵↑𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐵↑𝑘) − 0)) < 𝐸)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → ( -𝐸 < (𝐵↑𝑖) ∧ (𝐵↑𝑖) < 𝐸))
56	55	simprd 501	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐵↑𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐵↑𝑘) − 0)) < 𝐸)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (𝐵↑𝑖) < 𝐸)
57		eluznn 13045	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → 𝑖 ∈ ℕ)
58	39, 57	sylancom 600	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐵↑𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐵↑𝑘) − 0)) < 𝐸)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → 𝑖 ∈ ℕ)
59	16	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℝ)
60		nnnn0 12613	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ → 𝑖 ∈ ℕ0)
61	60	adantl 487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → 𝑖 ∈ ℕ0)
62	59, 61	reexpcld 14306	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (𝐵↑𝑖) ∈ ℝ)
63	3	rpred 13164	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ)
64	63	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → 𝐸 ∈ ℝ)
65		1red 11309	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℝ)
66	62, 64, 65	ltsub2d 11926	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → ((𝐵↑𝑖) < 𝐸 ↔ (1 − 𝐸) < (1 − (𝐵↑𝑖))))
67	36, 58, 66	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐵↑𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐵↑𝑘) − 0)) < 𝐸)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → ((𝐵↑𝑖) < 𝐸 ↔ (1 − 𝐸) < (1 − (𝐵↑𝑖))))
68	56, 67	mpbid 235	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐵↑𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐵↑𝑘) − 0)) < 𝐸)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (1 − 𝐸) < (1 − (𝐵↑𝑖)))
69	68	ralrimiva 3155	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐵↑𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐵↑𝑘) − 0)) < 𝐸)) → ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(1 − 𝐸) < (1 − (𝐵↑𝑖)))
70	30	oveq2d 7436	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (1 − (𝐵↑𝑘)) = (1 − (𝐵↑𝑖)))
71	70	breq2d 5115	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → ((1 − 𝐸) < (1 − (𝐵↑𝑘)) ↔ (1 − 𝐸) < (1 − (𝐵↑𝑖))))
72	71	cbvralvw 3241	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(1 − 𝐸) < (1 − (𝐵↑𝑘)) ↔ ∀𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(1 − 𝐸) < (1 − (𝐵↑𝑖)))
73	69, 72	sylibr 237	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐵↑𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐵↑𝑘) − 0)) < 𝐸)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(1 − 𝐸) < (1 − (𝐵↑𝑘)))
74	73	ex 418	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐵↑𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐵↑𝑘) − 0)) < 𝐸) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(1 − 𝐸) < (1 − (𝐵↑𝑘))))
75	74	reximdva 3176	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐵↑𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐵↑𝑘) − 0)) < 𝐸) → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(1 − 𝐸) < (1 − (𝐵↑𝑘))))
76	26, 75	mpd 16	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(1 − 𝐸) < (1 − (𝐵↑𝑘)))
77		stoweidlem7.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 𝐴)↑𝑖))
78		oveq2 7428	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → ((1 / 𝐴)↑𝑖) = ((1 / 𝐴)↑𝑘))
79		stoweidlem7.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
80	79	recnd 11337	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
81		0lt1 11838	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 < 1
82	81	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 < 1)
83		stoweidlem7.4	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 1 < 𝐴)
84	15, 13, 79, 82, 83	lttrd 11471	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)
85	84	gt0ne0d 11880	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
86	80, 85	reccld 12086	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)
87	86	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)
88	87, 7	expcld 14289	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / 𝐴)↑𝑘) ∈ ℂ)
89	77, 78, 7, 88	fvmptd3 7017	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) = ((1 / 𝐴)↑𝑘))
90	79, 85	rereccld 12144	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
91	79, 84	recgt0d 12251	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 < (1 / 𝐴))
92	14, 15, 90, 18, 91	lttrd 11471	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → -1 < (1 / 𝐴))
93		ltdiv23 12208	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1)) → ((1 / 𝐴) < 1 ↔ (1 / 1) < 𝐴))
94	13, 79, 84, 13, 82, 93	syl122anc 1406	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((1 / 𝐴) < 1 ↔ (1 / 1) < 𝐴))
95		1cnd 11302	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
96	95	div1d 12085	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (1 / 1) = 1)
97	96	breq1d 5113	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((1 / 1) < 𝐴 ↔ 1 < 𝐴))
98	94, 97	bitrd 282	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((1 / 𝐴) < 1 ↔ 1 < 𝐴))
99	83, 98	mpbird 260	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) < 1)
100	90, 13	absltd 15599	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(1 / 𝐴)) < 1 ↔ ( -1 < (1 / 𝐴) ∧ (1 / 𝐴) < 1)))
101	92, 99, 100	mpbir2and 726	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘(1 / 𝐴)) < 1)
102	86, 101	expcnv 16033	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 𝐴)↑𝑖)) ⇝ 0)
103	77, 102	eqbrtrid 5140	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 0)
104	1, 2, 3, 89, 103	climi2 15678	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(abs‘(((1 / 𝐴)↑𝑘) − 0)) < 𝐸)
105		simpll 779	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → 𝜑)
106		uznnssnn 13022	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (ℤ≥‘𝑛) ⊆ ℕ)
107	106	ad2antlr 740	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (ℤ≥‘𝑛) ⊆ ℕ)
108		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛))
109	107, 108	sseldd 3932	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → 𝑘 ∈ ℕ)
110	88	subid1d 11658	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((1 / 𝐴)↑𝑘) − 0) = ((1 / 𝐴)↑𝑘))
111	110	fveq2d 6889	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘(((1 / 𝐴)↑𝑘) − 0)) = (abs‘((1 / 𝐴)↑𝑘)))
112	90	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
113	112, 7	reexpcld 14306	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / 𝐴)↑𝑘) ∈ ℝ)
114	15, 90, 91	ltled 11458	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (1 / 𝐴))
115	114	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ (1 / 𝐴))
116	112, 7, 115	expge0d 14307	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ ((1 / 𝐴)↑𝑘))
117	113, 116	absidd 15590	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘((1 / 𝐴)↑𝑘)) = ((1 / 𝐴)↑𝑘))
118	111, 117	eqtrd 2796	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘(((1 / 𝐴)↑𝑘) − 0)) = ((1 / 𝐴)↑𝑘))
119	118	breq1d 5113	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((abs‘(((1 / 𝐴)↑𝑘) − 0)) < 𝐸 ↔ ((1 / 𝐴)↑𝑘) < 𝐸))
120	119	biimpd 232	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((abs‘(((1 / 𝐴)↑𝑘) − 0)) < 𝐸 → ((1 / 𝐴)↑𝑘) < 𝐸))
121	105, 109, 120	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → ((abs‘(((1 / 𝐴)↑𝑘) − 0)) < 𝐸 → ((1 / 𝐴)↑𝑘) < 𝐸))
122	121	ralimdva 3175	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(abs‘(((1 / 𝐴)↑𝑘) − 0)) < 𝐸 → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((1 / 𝐴)↑𝑘) < 𝐸))
123	122	reximdva 3176	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(abs‘(((1 / 𝐴)↑𝑘) − 0)) < 𝐸 → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((1 / 𝐴)↑𝑘) < 𝐸))
124	104, 123	mpd 16	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((1 / 𝐴)↑𝑘) < 𝐸)
125	1	rexanuz2 15517	. . 3 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((1 − 𝐸) < (1 − (𝐵↑𝑘)) ∧ ((1 / 𝐴)↑𝑘) < 𝐸) ↔ (∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(1 − 𝐸) < (1 − (𝐵↑𝑘)) ∧ ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((1 / 𝐴)↑𝑘) < 𝐸))
126	76, 124, 125	sylanbrc 595	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((1 − 𝐸) < (1 − (𝐵↑𝑘)) ∧ ((1 / 𝐴)↑𝑘) < 𝐸))
127		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((1 − 𝐸) < (1 − (𝐵↑𝑘)) ∧ ((1 / 𝐴)↑𝑘) < 𝐸)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((1 − 𝐸) < (1 − (𝐵↑𝑘)) ∧ ((1 / 𝐴)↑𝑘) < 𝐸))
128		nnz 12714	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℤ)
129		uzid 12980	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑛))
130	128, 129	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑛))
131	130	ad2antlr 740	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((1 − 𝐸) < (1 − (𝐵↑𝑘)) ∧ ((1 / 𝐴)↑𝑘) < 𝐸)) → 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑛))
132		oveq2 7428	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝐵↑𝑘) = (𝐵↑𝑛))
133	132	oveq2d 7436	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (1 − (𝐵↑𝑘)) = (1 − (𝐵↑𝑛)))
134	133	breq2d 5115	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((1 − 𝐸) < (1 − (𝐵↑𝑘)) ↔ (1 − 𝐸) < (1 − (𝐵↑𝑛))))
135		oveq2 7428	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((1 / 𝐴)↑𝑘) = ((1 / 𝐴)↑𝑛))
136	135	breq1d 5113	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (((1 / 𝐴)↑𝑘) < 𝐸 ↔ ((1 / 𝐴)↑𝑛) < 𝐸))
137	134, 136	anbi12d 644	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (((1 − 𝐸) < (1 − (𝐵↑𝑘)) ∧ ((1 / 𝐴)↑𝑘) < 𝐸) ↔ ((1 − 𝐸) < (1 − (𝐵↑𝑛)) ∧ ((1 / 𝐴)↑𝑛) < 𝐸)))
138	137	rspccva 3576	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((1 − 𝐸) < (1 − (𝐵↑𝑘)) ∧ ((1 / 𝐴)↑𝑘) < 𝐸) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → ((1 − 𝐸) < (1 − (𝐵↑𝑛)) ∧ ((1 / 𝐴)↑𝑛) < 𝐸))
139	127, 131, 138	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((1 − 𝐸) < (1 − (𝐵↑𝑘)) ∧ ((1 / 𝐴)↑𝑘) < 𝐸)) → ((1 − 𝐸) < (1 − (𝐵↑𝑛)) ∧ ((1 / 𝐴)↑𝑛) < 𝐸))
140		1cnd 11302	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
141	80, 85	jca 521	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0))
142	141	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0))
143	40	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ0)
144		expdiv 14256	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((1 / 𝐴)↑𝑛) = ((1↑𝑛) / (𝐴↑𝑛)))
145	140, 142, 143, 144	syl3anc 1398	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((1 / 𝐴)↑𝑛) = ((1↑𝑛) / (𝐴↑𝑛)))
146	128	adantl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℤ)
147		1exp 14234	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (1↑𝑛) = 1)
148	146, 147	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (1↑𝑛) = 1)
149	148	oveq1d 7435	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((1↑𝑛) / (𝐴↑𝑛)) = (1 / (𝐴↑𝑛)))
150	145, 149	eqtrd 2796	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((1 / 𝐴)↑𝑛) = (1 / (𝐴↑𝑛)))
151	150	breq1d 5113	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (((1 / 𝐴)↑𝑛) < 𝐸 ↔ (1 / (𝐴↑𝑛)) < 𝐸))
152	151	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((1 − 𝐸) < (1 − (𝐵↑𝑘)) ∧ ((1 / 𝐴)↑𝑘) < 𝐸)) → (((1 / 𝐴)↑𝑛) < 𝐸 ↔ (1 / (𝐴↑𝑛)) < 𝐸))
153	152	anbi2d 642	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((1 − 𝐸) < (1 − (𝐵↑𝑘)) ∧ ((1 / 𝐴)↑𝑘) < 𝐸)) → (((1 − 𝐸) < (1 − (𝐵↑𝑛)) ∧ ((1 / 𝐴)↑𝑛) < 𝐸) ↔ ((1 − 𝐸) < (1 − (𝐵↑𝑛)) ∧ (1 / (𝐴↑𝑛)) < 𝐸)))
154	139, 153	mpbid 235	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((1 − 𝐸) < (1 − (𝐵↑𝑘)) ∧ ((1 / 𝐴)↑𝑘) < 𝐸)) → ((1 − 𝐸) < (1 − (𝐵↑𝑛)) ∧ (1 / (𝐴↑𝑛)) < 𝐸))
155	154	ex 418	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((1 − 𝐸) < (1 − (𝐵↑𝑘)) ∧ ((1 / 𝐴)↑𝑘) < 𝐸) → ((1 − 𝐸) < (1 − (𝐵↑𝑛)) ∧ (1 / (𝐴↑𝑛)) < 𝐸)))
156	155	reximdva 3176	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((1 − 𝐸) < (1 − (𝐵↑𝑘)) ∧ ((1 / 𝐴)↑𝑘) < 𝐸) → ∃𝑛 ∈ ℕ ((1 − 𝐸) < (1 − (𝐵↑𝑛)) ∧ (1 / (𝐴↑𝑛)) < 𝐸)))
157	126, 156	mpd 16	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℕ ((1 − 𝐸) < (1 − (𝐵↑𝑛)) ∧ (1 / (𝐴↑𝑛)) < 𝐸))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  ∀wral 3077  ∃wrex 3087   ⊆ wss 3899   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℂcc 11198  ℝcr 11199  0cc0 11200  1c1 11201   < clt 11343   ≤ cle 11344   − cmin 11541   -cneg 11542   / cdiv 11973  ℕcn 12335  ℕ₀cn0 12606  ℤcz 12693  ℤ_≥cuz 12965  ℝ⁺crp 13120  ↑cexp 14204  abscabs 15401   ⇝ cli 15651

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-pm 8850  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-sup 9434  df-inf 9435  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-rp 13121  df-fl 13932  df-seq 14145  df-exp 14205  df-cj 15266  df-re 15267  df-im 15268  df-sqrt 15402  df-abs 15403  df-clim 15655  df-rlim 15656

This theorem is used by:  stoweidlem49  47058