Theorem climuni 15514

Description: An infinite sequence of complex numbers converges to at most one limit. (Contributed by NM, 2-Oct-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)

Assertion

Ref	Expression
climuni	⊢ ((𝐹 ⇝ 𝐴 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)

Proof of Theorem climuni

Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 12557	. 2 ⊢ 1 ∈ ℤ
2		nnuz 12827	. . . . . . 7 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
3		1zzd 12558	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ⇝ 𝐴 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 1 ∈ ℤ)
4		climcl 15461	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ⇝ 𝐴 → 𝐴 ∈ ℂ)
5	4	3ad2ant1 1134	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ⇝ 𝐴 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐴 ∈ ℂ)
6		climcl 15461	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ⇝ 𝐵 → 𝐵 ∈ ℂ)
7	6	3ad2ant2 1135	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ⇝ 𝐴 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐵 ∈ ℂ)
8	5, 7	subcld 11505	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ⇝ 𝐴 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
9		simp3 1139	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ⇝ 𝐴 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐴 ≠ 𝐵)
10	5, 7, 9	subne0d 11514	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ⇝ 𝐴 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝐴 − 𝐵) ≠ 0)
11	8, 10	absrpcld 15413	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ⇝ 𝐴 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ ℝ+)
12	11	rphalfcld 12998	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ⇝ 𝐴 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2) ∈ ℝ+)
13		eqidd 2737	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ⇝ 𝐴 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
14		simp1 1137	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ⇝ 𝐴 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐹 ⇝ 𝐴)
15	2, 3, 12, 13, 14	climi 15472	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ⇝ 𝐴 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2)))
16		simp2 1138	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ⇝ 𝐴 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐹 ⇝ 𝐵)
17	2, 3, 12, 13, 16	climi 15472	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ⇝ 𝐴 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2)))
18	2	rexanuz2 15312	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2)) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2))) ↔ (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2))))
19	15, 17, 18	sylanbrc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ⇝ 𝐴 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2)) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2))))
20		nnz 12545	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℤ)
21		uzid 12803	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗))
22		ne0i 4281	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗) → (ℤ≥‘𝑗) ≠ ∅)
23		r19.2z 4439	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((ℤ≥‘𝑗) ≠ ∅ ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2)) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2)))) → ∃𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2)) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2))))
24	23	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℤ≥‘𝑗) ≠ ∅ → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2)) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2))) → ∃𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2)) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2)))))
25	20, 21, 22, 24	4syl 19	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2)) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2))) → ∃𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2)) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2)))))
26		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
27		simpll 767	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
28	26, 27	abssubd 15418	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) → (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) = (abs‘(𝐴 − (𝐹‘𝑘))))
29	28	breq1d 5095	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2) ↔ (abs‘(𝐴 − (𝐹‘𝑘))) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2)))
30		simplr 769	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
31		subcl 11392	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
32	31	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
33	32	abscld 15401	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ ℝ)
34		abs3lem 15301	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ ℝ)) → (((abs‘(𝐴 − (𝐹‘𝑘))) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2)) → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) < (abs‘(𝐴 − 𝐵))))
35	27, 30, 26, 33, 34	syl22anc 839	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) → (((abs‘(𝐴 − (𝐹‘𝑘))) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2)) → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) < (abs‘(𝐴 − 𝐵))))
36	33	ltnrd 11280	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) → ¬ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) < (abs‘(𝐴 − 𝐵)))
37	36	pm2.21d 121	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) → ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) < (abs‘(𝐴 − 𝐵)) → ¬ 1 ∈ ℤ))
38	35, 37	syld 47	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) → (((abs‘(𝐴 − (𝐹‘𝑘))) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2)) → ¬ 1 ∈ ℤ))
39	38	expd 415	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) → ((abs‘(𝐴 − (𝐹‘𝑘))) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2) → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2) → ¬ 1 ∈ ℤ)))
40	29, 39	sylbid 240	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2) → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2) → ¬ 1 ∈ ℤ)))
41	40	impr 454	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2))) → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2) → ¬ 1 ∈ ℤ))
42	41	adantld 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2))) → (((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2)) → ¬ 1 ∈ ℤ))
43	42	expimpd 453	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2)) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2))) → ¬ 1 ∈ ℤ))
44	43	rexlimdvw 3143	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (∃𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2)) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2))) → ¬ 1 ∈ ℤ))
45	25, 44	sylan9r 508	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2)) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2))) → ¬ 1 ∈ ℤ))
46	45	rexlimdva 3138	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2)) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2))) → ¬ 1 ∈ ℤ))
47	5, 7, 46	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ⇝ 𝐴 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2)) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2))) → ¬ 1 ∈ ℤ))
48	19, 47	mpd 15	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ⇝ 𝐴 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ¬ 1 ∈ ℤ)
49	48	3expia 1122	. . 3 ⊢ ((𝐹 ⇝ 𝐴 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐵) → (𝐴 ≠ 𝐵 → ¬ 1 ∈ ℤ))
50	49	necon4ad 2951	. 2 ⊢ ((𝐹 ⇝ 𝐴 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐵) → (1 ∈ ℤ → 𝐴 = 𝐵))
51	1, 50	mpi 20	1 ⊢ ((𝐹 ⇝ 𝐴 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932  ∀wral 3051  ∃wrex 3061  ∅c0 4273   class class class wbr 5085  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  ℂcc 11036  ℝcr 11037  1c1 11039   < clt 11179   − cmin 11377   / cdiv 11807  ℕcn 12174  2c2 12236  ℤcz 12524  ℤ_≥cuz 12788  abscabs 15196   ⇝ cli 15446

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-sup 9355  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-rp 12943  df-seq 13964  df-exp 14024  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-clim 15450

This theorem is referenced by:  fclim  15515  climeu  15517  summolem2  15678  summo  15679  prodmolem2  15900  prodmo  15901  ef0  16056  efcj  16057  efaddlem  16058  ioombl1lem4  25528  mbflimlem  25634  itg2i1fseq  25722  itg2addlem  25725  plyeq0lem  26175  ulmuni  26357  leibpi  26906  lgamp1  27020  lgam1  27027  sumnnodd  46060  climfveq  46097  climfveqf  46108  climfv  46119  climlimsupcex  46197  climliminflimsupd  46229  stirlinglem15  46516  fouriersw  46659  sge0isum  46855  vonioolem2  47109  vonicclem2  47112