| Step | Hyp | Ref
| Expression |
| 1 | | 1z 12647 |
. 2
⊢ 1 ∈
ℤ |
| 2 | | nnuz 12921 |
. . . . . . 7
⊢ ℕ =
(ℤ≥‘1) |
| 3 | | 1zzd 12648 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐹 ⇝ 𝐴 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 1 ∈ ℤ) |
| 4 | | climcl 15535 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝐹 ⇝ 𝐴 → 𝐴 ∈ ℂ) |
| 5 | 4 | 3ad2ant1 1134 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝐹 ⇝ 𝐴 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐴 ∈ ℂ) |
| 6 | | climcl 15535 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝐹 ⇝ 𝐵 → 𝐵 ∈ ℂ) |
| 7 | 6 | 3ad2ant2 1135 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝐹 ⇝ 𝐴 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐵 ∈ ℂ) |
| 8 | 5, 7 | subcld 11620 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝐹 ⇝ 𝐴 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ) |
| 9 | | simp3 1139 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝐹 ⇝ 𝐴 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐴 ≠ 𝐵) |
| 10 | 5, 7, 9 | subne0d 11629 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝐹 ⇝ 𝐴 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝐴 − 𝐵) ≠ 0) |
| 11 | 8, 10 | absrpcld 15487 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝐹 ⇝ 𝐴 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈
ℝ+) |
| 12 | 11 | rphalfcld 13089 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐹 ⇝ 𝐴 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2) ∈
ℝ+) |
| 13 | | eqidd 2738 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝐹 ⇝ 𝐴 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑘)) |
| 14 | | simp1 1137 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐹 ⇝ 𝐴 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐹 ⇝ 𝐴) |
| 15 | 2, 3, 12, 13, 14 | climi 15546 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐹 ⇝ 𝐴 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2))) |
| 16 | | simp2 1138 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐹 ⇝ 𝐴 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐹 ⇝ 𝐵) |
| 17 | 2, 3, 12, 13, 16 | climi 15546 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐹 ⇝ 𝐴 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2))) |
| 18 | 2 | rexanuz2 15388 |
. . . . . 6
⊢
(∃𝑗 ∈
ℕ ∀𝑘 ∈
(ℤ≥‘𝑗)(((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2)) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2))) ↔ (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2)) ∧ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2)))) |
| 19 | 15, 17, 18 | sylanbrc 583 |
. . . . 5
⊢ ((𝐹 ⇝ 𝐴 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2)) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2)))) |
| 20 | | nnz 12634 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈
ℤ) |
| 21 | | uzid 12893 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈
(ℤ≥‘𝑗)) |
| 22 | | ne0i 4341 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑗 ∈
(ℤ≥‘𝑗) → (ℤ≥‘𝑗) ≠ ∅) |
| 23 | | r19.2z 4495 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((ℤ≥‘𝑗) ≠ ∅ ∧ ∀𝑘 ∈
(ℤ≥‘𝑗)(((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2)) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2)))) → ∃𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2)) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2)))) |
| 24 | 23 | ex 412 |
. . . . . . . . 9
⊢
((ℤ≥‘𝑗) ≠ ∅ → (∀𝑘 ∈
(ℤ≥‘𝑗)(((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2)) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2))) → ∃𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2)) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2))))) |
| 25 | 20, 21, 22, 24 | 4syl 19 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑗 ∈ ℕ →
(∀𝑘 ∈
(ℤ≥‘𝑗)(((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2)) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2))) → ∃𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2)) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2))))) |
| 26 | | simpr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) |
| 27 | | simpll 767 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ) |
| 28 | 26, 27 | abssubd 15492 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) → (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) = (abs‘(𝐴 − (𝐹‘𝑘)))) |
| 29 | 28 | breq1d 5153 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2) ↔ (abs‘(𝐴 − (𝐹‘𝑘))) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2))) |
| 30 | | simplr 769 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ) |
| 31 | | subcl 11507 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ) |
| 32 | 31 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ) |
| 33 | 32 | abscld 15475 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ ℝ) |
| 34 | | abs3lem 15377 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ ℝ)) →
(((abs‘(𝐴 −
(𝐹‘𝑘))) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2)) → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) < (abs‘(𝐴 − 𝐵)))) |
| 35 | 27, 30, 26, 33, 34 | syl22anc 839 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) → (((abs‘(𝐴 − (𝐹‘𝑘))) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2)) → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) < (abs‘(𝐴 − 𝐵)))) |
| 36 | 33 | ltnrd 11395 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) → ¬
(abs‘(𝐴 − 𝐵)) < (abs‘(𝐴 − 𝐵))) |
| 37 | 36 | pm2.21d 121 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) → ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) < (abs‘(𝐴 − 𝐵)) → ¬ 1 ∈
ℤ)) |
| 38 | 35, 37 | syld 47 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) → (((abs‘(𝐴 − (𝐹‘𝑘))) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2)) → ¬ 1 ∈
ℤ)) |
| 39 | 38 | expd 415 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) → ((abs‘(𝐴 − (𝐹‘𝑘))) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2) → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2) → ¬ 1 ∈
ℤ))) |
| 40 | 29, 39 | sylbid 240 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ) → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2) → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2) → ¬ 1 ∈
ℤ))) |
| 41 | 40 | impr 454 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2))) → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2) → ¬ 1 ∈
ℤ)) |
| 42 | 41 | adantld 490 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2))) → (((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2)) → ¬ 1 ∈
ℤ)) |
| 43 | 42 | expimpd 453 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) →
((((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧
(abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2)) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2))) → ¬ 1 ∈
ℤ)) |
| 44 | 43 | rexlimdvw 3160 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) →
(∃𝑘 ∈
(ℤ≥‘𝑗)(((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2)) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2))) → ¬ 1 ∈
ℤ)) |
| 45 | 25, 44 | sylan9r 508 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) →
(∀𝑘 ∈
(ℤ≥‘𝑗)(((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2)) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2))) → ¬ 1 ∈
ℤ)) |
| 46 | 45 | rexlimdva 3155 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) →
(∃𝑗 ∈ ℕ
∀𝑘 ∈
(ℤ≥‘𝑗)(((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2)) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2))) → ¬ 1 ∈
ℤ)) |
| 47 | 5, 7, 46 | syl2anc 584 |
. . . . 5
⊢ ((𝐹 ⇝ 𝐴 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐴)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2)) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝐵)) < ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / 2))) → ¬ 1 ∈
ℤ)) |
| 48 | 19, 47 | mpd 15 |
. . . 4
⊢ ((𝐹 ⇝ 𝐴 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ¬ 1 ∈
ℤ) |
| 49 | 48 | 3expia 1122 |
. . 3
⊢ ((𝐹 ⇝ 𝐴 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐵) → (𝐴 ≠ 𝐵 → ¬ 1 ∈
ℤ)) |
| 50 | 49 | necon4ad 2959 |
. 2
⊢ ((𝐹 ⇝ 𝐴 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐵) → (1 ∈ ℤ → 𝐴 = 𝐵)) |
| 51 | 1, 50 | mpi 20 |
1
⊢ ((𝐹 ⇝ 𝐴 ∧ 𝐹 ⇝ 𝐵) → 𝐴 = 𝐵) |