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Theorem climcau 14624
Description: A converging sequence of complex numbers is a Cauchy sequence. Theorem 12-5.3 of [Gleason] p. 180 (necessity part). (Contributed by NM, 16-Apr-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
climcau.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
Assertion
Ref Expression
climcau ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥)
Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝑥,𝐹   𝑗,𝑀,𝑘,𝑥   𝑗,𝑍,𝑘,𝑥

Proof of Theorem climcau
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldm2g 5521 . . . 4 (𝐹 ∈ dom ⇝ → (𝐹 ∈ dom ⇝ ↔ ∃𝑦𝐹, 𝑦⟩ ∈ ⇝ ))
21ibi 258 . . 3 (𝐹 ∈ dom ⇝ → ∃𝑦𝐹, 𝑦⟩ ∈ ⇝ )
3 df-br 4845 . . . . 5 (𝐹𝑦 ↔ ⟨𝐹, 𝑦⟩ ∈ ⇝ )
4 climcau.1 . . . . . . . . 9 𝑍 = (ℤ𝑀)
5 simpll 774 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑀 ∈ ℤ)
6 rphalfcl 12072 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝑥 / 2) ∈ ℝ+)
76adantl 469 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥 / 2) ∈ ℝ+)
8 eqidd 2807 . . . . . . . . 9 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑘))
9 simplr 776 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐹𝑦)
104, 5, 7, 8, 9climi 14464 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2)))
11 eluzelz 11914 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑗 ∈ ℤ)
12 uzid 11919 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ (ℤ𝑗))
1311, 12syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑗 ∈ (ℤ𝑗))
1413, 4eleq2s 2903 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑗))
1514adantl 469 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) → 𝑗 ∈ (ℤ𝑗))
16 fveq2 6408 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 𝑗 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑗))
1716eleq1d 2870 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑗 → ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ↔ (𝐹𝑗) ∈ ℂ))
1816fvoveq1d 6896 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 𝑗 → (abs‘((𝐹𝑘) − 𝑦)) = (abs‘((𝐹𝑗) − 𝑦)))
1918breq1d 4854 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑗 → ((abs‘((𝐹𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2) ↔ (abs‘((𝐹𝑗) − 𝑦)) < (𝑥 / 2)))
2017, 19anbi12d 618 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑗 → (((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2)) ↔ ((𝐹𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑗) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))))
2120rspcv 3498 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ (ℤ𝑗) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2)) → ((𝐹𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑗) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))))
2215, 21syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2)) → ((𝐹𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑗) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))))
23 rpre 12053 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ)
2423ad2antlr 709 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) → 𝑥 ∈ ℝ)
25 simpllr 784 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) → 𝐹𝑦)
26 climcl 14453 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹𝑦𝑦 ∈ ℂ)
2725, 26syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) → 𝑦 ∈ ℂ)
28 simprl 778 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑗) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
29 simplrl 786 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑗) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))) → (𝐹𝑗) ∈ ℂ)
30 simpllr 784 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑗) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))) → 𝑦 ∈ ℂ)
31 simplll 782 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑗) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))) → 𝑥 ∈ ℝ)
32 simprr 780 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑗) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))) → (abs‘((𝐹𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))
3330, 29abssubd 14415 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑗) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))) → (abs‘(𝑦 − (𝐹𝑗))) = (abs‘((𝐹𝑗) − 𝑦)))
34 simplrr 787 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑗) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))) → (abs‘((𝐹𝑗) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))
3533, 34eqbrtrd 4866 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑗) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))) → (abs‘(𝑦 − (𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2))
3628, 29, 30, 31, 32, 35abs3lemd 14423 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑗) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))) → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥)
3736ex 399 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑗) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))) → (((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2)) → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥))
3837ralimdv 3151 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑗) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥))
3938ex 399 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (((𝐹𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑗) − 𝑦)) < (𝑥 / 2)) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥)))
4039com23 86 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2)) → (((𝐹𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑗) − 𝑦)) < (𝑥 / 2)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥)))
4124, 27, 40syl2anc 575 . . . . . . . . . 10 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2)) → (((𝐹𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑗) − 𝑦)) < (𝑥 / 2)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥)))
4222, 41mpdd 43 . . . . . . . . 9 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥))
4342reximdva 3204 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2)) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥))
4410, 43mpd 15 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥)
4544ralrimiva 3154 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑦) → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥)
4645ex 399 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℤ → (𝐹𝑦 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥))
473, 46syl5bir 234 . . . 4 (𝑀 ∈ ℤ → (⟨𝐹, 𝑦⟩ ∈ ⇝ → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥))
4847exlimdv 2024 . . 3 (𝑀 ∈ ℤ → (∃𝑦𝐹, 𝑦⟩ ∈ ⇝ → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥))
492, 48syl5 34 . 2 (𝑀 ∈ ℤ → (𝐹 ∈ dom ⇝ → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥))
5049imp 395 1 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1637  wex 1859  wcel 2156  wral 3096  wrex 3097  cop 4376   class class class wbr 4844  dom cdm 5311  cfv 6101  (class class class)co 6874  cc 10219  cr 10220   < clt 10359  cmin 10551   / cdiv 10969  2c2 11356  cz 11643  cuz 11904  +crp 12046  abscabs 14197  cli 14438
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2068  ax-7 2104  ax-8 2158  ax-9 2165  ax-10 2185  ax-11 2201  ax-12 2214  ax-13 2420  ax-ext 2784  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5096  ax-un 7179  ax-cnex 10277  ax-resscn 10278  ax-1cn 10279  ax-icn 10280  ax-addcl 10281  ax-addrcl 10282  ax-mulcl 10283  ax-mulrcl 10284  ax-mulcom 10285  ax-addass 10286  ax-mulass 10287  ax-distr 10288  ax-i2m1 10289  ax-1ne0 10290  ax-1rid 10291  ax-rnegex 10292  ax-rrecex 10293  ax-cnre 10294  ax-pre-lttri 10295  ax-pre-lttrn 10296  ax-pre-ltadd 10297  ax-pre-mulgt0 10298  ax-pre-sup 10299
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2061  df-eu 2634  df-mo 2635  df-clab 2793  df-cleq 2799  df-clel 2802  df-nfc 2937  df-ne 2979  df-nel 3082  df-ral 3101  df-rex 3102  df-reu 3103  df-rmo 3104  df-rab 3105  df-v 3393  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4117  df-if 4280  df-pw 4353  df-sn 4371  df-pr 4373  df-tp 4375  df-op 4377  df-uni 4631  df-iun 4714  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-tr 4947  df-id 5219  df-eprel 5224  df-po 5232  df-so 5233  df-fr 5270  df-we 5272  df-xp 5317  df-rel 5318  df-cnv 5319  df-co 5320  df-dm 5321  df-rn 5322  df-res 5323  df-ima 5324  df-pred 5893  df-ord 5939  df-on 5940  df-lim 5941  df-suc 5942  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6835  df-ov 6877  df-oprab 6878  df-mpt2 6879  df-om 7296  df-2nd 7399  df-wrecs 7642  df-recs 7704  df-rdg 7742  df-er 7979  df-en 8193  df-dom 8194  df-sdom 8195  df-sup 8587  df-pnf 10361  df-mnf 10362  df-xr 10363  df-ltxr 10364  df-le 10365  df-sub 10553  df-neg 10554  df-div 10970  df-nn 11306  df-2 11364  df-3 11365  df-n0 11560  df-z 11644  df-uz 11905  df-rp 12047  df-seq 13025  df-exp 13084  df-cj 14062  df-re 14063  df-im 14064  df-sqrt 14198  df-abs 14199  df-clim 14442
This theorem is referenced by:  climbdd  14625  caucvgb  14633  cvgcmp  14770  cvgcmpce  14772  mbflimlem  23648  mtest  24372  climlimsup  40472  ioodvbdlimc1lem1  40626
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