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Theorem climcau 15022
 Description: A converging sequence of complex numbers is a Cauchy sequence. Theorem 12-5.3 of [Gleason] p. 180 (necessity part). (Contributed by NM, 16-Apr-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
climcau.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
Assertion
Ref Expression
climcau ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥)
Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝑥,𝐹   𝑗,𝑀,𝑘,𝑥   𝑗,𝑍,𝑘,𝑥

Proof of Theorem climcau
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-br 5032 . . . 4 (𝐹𝑦 ↔ ⟨𝐹, 𝑦⟩ ∈ ⇝ )
2 climcau.1 . . . . . . . 8 𝑍 = (ℤ𝑀)
3 simpll 766 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑀 ∈ ℤ)
4 rphalfcl 12407 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝑥 / 2) ∈ ℝ+)
54adantl 485 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥 / 2) ∈ ℝ+)
6 eqidd 2799 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑘))
7 simplr 768 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐹𝑦)
82, 3, 5, 6, 7climi 14862 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2)))
9 eluzelz 12244 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑗 ∈ ℤ)
10 uzid 12249 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ (ℤ𝑗))
119, 10syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑗 ∈ (ℤ𝑗))
1211, 2eleq2s 2908 . . . . . . . . . . 11 (𝑗𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑗))
1312adantl 485 . . . . . . . . . 10 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) → 𝑗 ∈ (ℤ𝑗))
14 fveq2 6646 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑗 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑗))
1514eleq1d 2874 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑗 → ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ↔ (𝐹𝑗) ∈ ℂ))
1614fvoveq1d 7158 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑗 → (abs‘((𝐹𝑘) − 𝑦)) = (abs‘((𝐹𝑗) − 𝑦)))
1716breq1d 5041 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑗 → ((abs‘((𝐹𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2) ↔ (abs‘((𝐹𝑗) − 𝑦)) < (𝑥 / 2)))
1815, 17anbi12d 633 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑗 → (((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2)) ↔ ((𝐹𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑗) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))))
1918rspcv 3566 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ (ℤ𝑗) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2)) → ((𝐹𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑗) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))))
2013, 19syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2)) → ((𝐹𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑗) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))))
21 rpre 12388 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ)
2221ad2antlr 726 . . . . . . . . . 10 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) → 𝑥 ∈ ℝ)
23 simpllr 775 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) → 𝐹𝑦)
24 climcl 14851 . . . . . . . . . . 11 (𝐹𝑦𝑦 ∈ ℂ)
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) → 𝑦 ∈ ℂ)
26 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑗) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
27 simplrl 776 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑗) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))) → (𝐹𝑗) ∈ ℂ)
28 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑗) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))) → 𝑦 ∈ ℂ)
29 simplll 774 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑗) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))) → 𝑥 ∈ ℝ)
30 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑗) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))) → (abs‘((𝐹𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))
3128, 27abssubd 14808 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑗) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))) → (abs‘(𝑦 − (𝐹𝑗))) = (abs‘((𝐹𝑗) − 𝑦)))
32 simplrr 777 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑗) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))) → (abs‘((𝐹𝑗) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))
3331, 32eqbrtrd 5053 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑗) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))) → (abs‘(𝑦 − (𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2))
3426, 27, 28, 29, 30, 33abs3lemd 14816 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑗) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))) → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥)
3534ex 416 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑗) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))) → (((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2)) → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥))
3635ralimdv 3145 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑗) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥))
3736ex 416 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (((𝐹𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑗) − 𝑦)) < (𝑥 / 2)) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥)))
3837com23 86 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2)) → (((𝐹𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑗) − 𝑦)) < (𝑥 / 2)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥)))
3922, 25, 38syl2anc 587 . . . . . . . . 9 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2)) → (((𝐹𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑗) − 𝑦)) < (𝑥 / 2)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥)))
4020, 39mpdd 43 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥))
4140reximdva 3233 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2)) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥))
428, 41mpd 15 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥)
4342ralrimiva 3149 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑦) → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥)
4443ex 416 . . . 4 (𝑀 ∈ ℤ → (𝐹𝑦 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥))
451, 44syl5bir 246 . . 3 (𝑀 ∈ ℤ → (⟨𝐹, 𝑦⟩ ∈ ⇝ → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥))
4645exlimdv 1934 . 2 (𝑀 ∈ ℤ → (∃𝑦𝐹, 𝑦⟩ ∈ ⇝ → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥))
47 eldm2g 5733 . . 3 (𝐹 ∈ dom ⇝ → (𝐹 ∈ dom ⇝ ↔ ∃𝑦𝐹, 𝑦⟩ ∈ ⇝ ))
4847ibi 270 . 2 (𝐹 ∈ dom ⇝ → ∃𝑦𝐹, 𝑦⟩ ∈ ⇝ )
4946, 48impel 509 1 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538  ∃wex 1781   ∈ wcel 2111  ∀wral 3106  ∃wrex 3107  ⟨cop 4531   class class class wbr 5031  dom cdm 5520  ‘cfv 6325  (class class class)co 7136  ℂcc 10527  ℝcr 10528   < clt 10667   − cmin 10862   / cdiv 11289  2c2 11683  ℤcz 11972  ℤ≥cuz 12234  ℝ+crp 12380  abscabs 14588   ⇝ cli 14836 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7444  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-iun 4884  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5426  df-eprel 5431  df-po 5439  df-so 5440  df-fr 5479  df-we 5481  df-xp 5526  df-rel 5527  df-cnv 5528  df-co 5529  df-dm 5530  df-rn 5531  df-res 5532  df-ima 5533  df-pred 6117  df-ord 6163  df-on 6164  df-lim 6165  df-suc 6166  df-iota 6284  df-fun 6327  df-fn 6328  df-f 6329  df-f1 6330  df-fo 6331  df-f1o 6332  df-fv 6333  df-riota 7094  df-ov 7139  df-oprab 7140  df-mpo 7141  df-om 7564  df-2nd 7675  df-wrecs 7933  df-recs 7994  df-rdg 8032  df-er 8275  df-en 8496  df-dom 8497  df-sdom 8498  df-sup 8893  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11629  df-2 11691  df-3 11692  df-n0 11889  df-z 11973  df-uz 12235  df-rp 12381  df-seq 13368  df-exp 13429  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sqrt 14589  df-abs 14590  df-clim 14840 This theorem is referenced by:  climbdd  15023  caucvgb  15031  cvgcmp  15166  cvgcmpce  15168  mbflimlem  24281  mtest  25009  climlimsup  42445  ioodvbdlimc1lem1  42616
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