Theorem climcau 15633

Description: A converging sequence of complex numbers is a Cauchy sequence. Theorem 12-5.3 of [Gleason] p. 180 (necessity part). (Contributed by NM, 16-Apr-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
climcau.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
climcau	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥)

Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝑥,𝐹   𝑗,𝑀,𝑘,𝑥   𝑗,𝑍,𝑘,𝑥

Proof of Theorem climcau

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-br 5086	. . . 4 ⊢ (𝐹 ⇝ 𝑦 ↔ ⟨𝐹, 𝑦⟩ ∈ ⇝ )
2		climcau.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
3		simpll 767	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ⇝ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑀 ∈ ℤ)
4		rphalfcl 12971	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝑥 / 2) ∈ ℝ+)
5	4	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ⇝ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥 / 2) ∈ ℝ+)
6		eqidd 2737	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ⇝ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
7		simplr 769	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ⇝ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐹 ⇝ 𝑦)
8	2, 3, 5, 6, 7	climi 15472	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ⇝ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2)))
9		eluzelz 12798	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑗 ∈ ℤ)
10		uzid 12803	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗))
11	9, 10	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗))
12	11, 2	eleq2s 2854	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗))
13	12	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ⇝ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗))
14		fveq2 6840	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑗))
15	14	eleq1d 2821	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ↔ (𝐹‘𝑗) ∈ ℂ))
16	14	fvoveq1d 7389	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝑦)) = (abs‘((𝐹‘𝑗) − 𝑦)))
17	16	breq1d 5095	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2) ↔ (abs‘((𝐹‘𝑗) − 𝑦)) < (𝑥 / 2)))
18	15, 17	anbi12d 633	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2)) ↔ ((𝐹‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑗) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))))
19	18	rspcv 3560	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2)) → ((𝐹‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑗) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))))
20	13, 19	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ⇝ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2)) → ((𝐹‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑗) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))))
21		rpre 12951	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → 𝑥 ∈ ℝ)
22	21	ad2antlr 728	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ⇝ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → 𝑥 ∈ ℝ)
23		simpllr 776	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ⇝ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → 𝐹 ⇝ 𝑦)
24		climcl 15461	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ⇝ 𝑦 → 𝑦 ∈ ℂ)
25	23, 24	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ⇝ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → 𝑦 ∈ ℂ)
26		simprl 771	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ ((𝐹‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑗) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
27		simplrl 777	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ ((𝐹‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑗) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))) → (𝐹‘𝑗) ∈ ℂ)
28		simpllr 776	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ ((𝐹‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑗) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))) → 𝑦 ∈ ℂ)
29		simplll 775	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ ((𝐹‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑗) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))) → 𝑥 ∈ ℝ)
30		simprr 773	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ ((𝐹‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑗) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))) → (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))
31	28, 27	abssubd 15418	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ ((𝐹‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑗) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))) → (abs‘(𝑦 − (𝐹‘𝑗))) = (abs‘((𝐹‘𝑗) − 𝑦)))
32		simplrr 778	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ ((𝐹‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑗) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))) → (abs‘((𝐹‘𝑗) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))
33	31, 32	eqbrtrd 5107	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ ((𝐹‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑗) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))) → (abs‘(𝑦 − (𝐹‘𝑗))) < (𝑥 / 2))
34	26, 27, 28, 29, 30, 33	abs3lemd 15426	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ ((𝐹‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑗) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))) ∧ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))) → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥)
35	34	ex 412	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ ((𝐹‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑗) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))) → (((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2)) → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥))
36	35	ralimdv 3151	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ ((𝐹‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑗) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥))
37	36	ex 412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (((𝐹‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑗) − 𝑦)) < (𝑥 / 2)) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥)))
38	37	com23 86	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2)) → (((𝐹‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑗) − 𝑦)) < (𝑥 / 2)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥)))
39	22, 25, 38	syl2anc 585	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ⇝ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2)) → (((𝐹‘𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑗) − 𝑦)) < (𝑥 / 2)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥)))
40	20, 39	mpdd 43	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ⇝ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥))
41	40	reximdva 3150	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ⇝ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2)) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥))
42	8, 41	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ⇝ 𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥)
43	42	ralrimiva 3129	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ⇝ 𝑦) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥)
44	43	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝐹 ⇝ 𝑦 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥))
45	1, 44	biimtrrid 243	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (⟨𝐹, 𝑦⟩ ∈ ⇝ → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥))
46	45	exlimdv 1935	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (∃𝑦⟨𝐹, 𝑦⟩ ∈ ⇝ → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥))
47		eldm2g 5854	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ dom ⇝ → (𝐹 ∈ dom ⇝ ↔ ∃𝑦⟨𝐹, 𝑦⟩ ∈ ⇝ ))
48	47	ibi 267	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ dom ⇝ → ∃𝑦⟨𝐹, 𝑦⟩ ∈ ⇝ )
49	46, 48	impel 505	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114  ∀wral 3051  ∃wrex 3061  ⟨cop 4573   class class class wbr 5085  dom cdm 5631  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  ℂcc 11036  ℝcr 11037   < clt 11179   − cmin 11377   / cdiv 11807  2c2 12236  ℤcz 12524  ℤ_≥cuz 12788  ℝ⁺crp 12942  abscabs 15196   ⇝ cli 15446

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-sup 9355  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-rp 12943  df-seq 13964  df-exp 14024  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-clim 15450

This theorem is referenced by:  climbdd  15634  caucvgb  15642  cvgcmp  15779  cvgcmpce  15781  mbflimlem  25634  mtest  26369  climlimsup  46188  ioodvbdlimc1lem1  46359