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Theorem climcau 15620
Description: A converging sequence of complex numbers is a Cauchy sequence. Theorem 12-5.3 of [Gleason] p. 180 (necessity part). (Contributed by NM, 16-Apr-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
climcau.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
Assertion
Ref Expression
climcau ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥)
Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝑥,𝐹   𝑗,𝑀,𝑘,𝑥   𝑗,𝑍,𝑘,𝑥

Proof of Theorem climcau
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-br 5142 . . . 4 (𝐹𝑦 ↔ ⟨𝐹, 𝑦⟩ ∈ ⇝ )
2 climcau.1 . . . . . . . 8 𝑍 = (ℤ𝑀)
3 simpll 764 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑀 ∈ ℤ)
4 rphalfcl 13004 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝑥 / 2) ∈ ℝ+)
54adantl 481 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥 / 2) ∈ ℝ+)
6 eqidd 2727 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑘))
7 simplr 766 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐹𝑦)
82, 3, 5, 6, 7climi 15457 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2)))
9 eluzelz 12833 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑗 ∈ ℤ)
10 uzid 12838 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ (ℤ𝑗))
119, 10syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑗 ∈ (ℤ𝑗))
1211, 2eleq2s 2845 . . . . . . . . . . 11 (𝑗𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑗))
1312adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) → 𝑗 ∈ (ℤ𝑗))
14 fveq2 6884 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑗 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑗))
1514eleq1d 2812 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑗 → ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ↔ (𝐹𝑗) ∈ ℂ))
1614fvoveq1d 7426 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑗 → (abs‘((𝐹𝑘) − 𝑦)) = (abs‘((𝐹𝑗) − 𝑦)))
1716breq1d 5151 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑗 → ((abs‘((𝐹𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2) ↔ (abs‘((𝐹𝑗) − 𝑦)) < (𝑥 / 2)))
1815, 17anbi12d 630 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑗 → (((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2)) ↔ ((𝐹𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑗) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))))
1918rspcv 3602 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ (ℤ𝑗) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2)) → ((𝐹𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑗) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))))
2013, 19syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2)) → ((𝐹𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑗) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))))
21 rpre 12985 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ)
2221ad2antlr 724 . . . . . . . . . 10 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) → 𝑥 ∈ ℝ)
23 simpllr 773 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) → 𝐹𝑦)
24 climcl 15446 . . . . . . . . . . 11 (𝐹𝑦𝑦 ∈ ℂ)
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) → 𝑦 ∈ ℂ)
26 simprl 768 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑗) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
27 simplrl 774 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑗) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))) → (𝐹𝑗) ∈ ℂ)
28 simpllr 773 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑗) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))) → 𝑦 ∈ ℂ)
29 simplll 772 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑗) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))) → 𝑥 ∈ ℝ)
30 simprr 770 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑗) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))) → (abs‘((𝐹𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))
3128, 27abssubd 15403 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑗) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))) → (abs‘(𝑦 − (𝐹𝑗))) = (abs‘((𝐹𝑗) − 𝑦)))
32 simplrr 775 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑗) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))) → (abs‘((𝐹𝑗) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))
3331, 32eqbrtrd 5163 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑗) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))) → (abs‘(𝑦 − (𝐹𝑗))) < (𝑥 / 2))
3426, 27, 28, 29, 30, 33abs3lemd 15411 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑗) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))) → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥)
3534ex 412 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑗) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))) → (((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2)) → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥))
3635ralimdv 3163 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ ((𝐹𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑗) − 𝑦)) < (𝑥 / 2))) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥))
3736ex 412 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (((𝐹𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑗) − 𝑦)) < (𝑥 / 2)) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥)))
3837com23 86 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2)) → (((𝐹𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑗) − 𝑦)) < (𝑥 / 2)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥)))
3922, 25, 38syl2anc 583 . . . . . . . . 9 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2)) → (((𝐹𝑗) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑗) − 𝑦)) < (𝑥 / 2)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥)))
4020, 39mpdd 43 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥))
4140reximdva 3162 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − 𝑦)) < (𝑥 / 2)) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥))
428, 41mpd 15 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑦) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥)
4342ralrimiva 3140 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑦) → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥)
4443ex 412 . . . 4 (𝑀 ∈ ℤ → (𝐹𝑦 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥))
451, 44biimtrrid 242 . . 3 (𝑀 ∈ ℤ → (⟨𝐹, 𝑦⟩ ∈ ⇝ → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥))
4645exlimdv 1928 . 2 (𝑀 ∈ ℤ → (∃𝑦𝐹, 𝑦⟩ ∈ ⇝ → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥))
47 eldm2g 5892 . . 3 (𝐹 ∈ dom ⇝ → (𝐹 ∈ dom ⇝ ↔ ∃𝑦𝐹, 𝑦⟩ ∈ ⇝ ))
4847ibi 267 . 2 (𝐹 ∈ dom ⇝ → ∃𝑦𝐹, 𝑦⟩ ∈ ⇝ )
4946, 48impel 505 1 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑗))) < 𝑥)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1533  wex 1773  wcel 2098  wral 3055  wrex 3064  cop 4629   class class class wbr 5141  dom cdm 5669  cfv 6536  (class class class)co 7404  cc 11107  cr 11108   < clt 11249  cmin 11445   / cdiv 11872  2c2 12268  cz 12559  cuz 12823  +crp 12977  abscabs 15184  cli 15431
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-sup 9436  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-rp 12978  df-seq 13970  df-exp 14030  df-cj 15049  df-re 15050  df-im 15051  df-sqrt 15185  df-abs 15186  df-clim 15435
This theorem is referenced by:  climbdd  15621  caucvgb  15629  cvgcmp  15765  cvgcmpce  15767  mbflimlem  25546  mtest  26290  climlimsup  45030  ioodvbdlimc1lem1  45201
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