Theorem rlim0lt 15720

Description: Use strictly less-than in place of less equal in the real limit predicate. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
rlim0.1	⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
rlim0.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
rlim0lt	⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 0 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 < 𝑧 → (abs‘𝐵) < 𝑥)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝐵(𝑧)

Proof of Theorem rlim0lt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rlim0.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
2		rlim0.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
3		0cnd 11338	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
4	1, 2, 3	rlim2lt 15708	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 0 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 < 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 0)) < 𝑥)))
5		subid1 11617	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵 − 0) = 𝐵)
6	5	fveq2d 6920	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (abs‘(𝐵 − 0)) = (abs‘𝐵))
7	6	breq1d 5118	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → ((abs‘(𝐵 − 0)) < 𝑥 ↔ (abs‘𝐵) < 𝑥))
8	7	imbi2d 343	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → ((𝑦 < 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 0)) < 𝑥) ↔ (𝑦 < 𝑧 → (abs‘𝐵) < 𝑥)))
9	8	ralimi 3103	. . . . 5 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ → ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑦 < 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 0)) < 𝑥) ↔ (𝑦 < 𝑧 → (abs‘𝐵) < 𝑥)))
10		ralbi 3121	. . . . 5 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑦 < 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 0)) < 𝑥) ↔ (𝑦 < 𝑧 → (abs‘𝐵) < 𝑥)) → (∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 < 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 0)) < 𝑥) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 < 𝑧 → (abs‘𝐵) < 𝑥)))
11	1, 9, 10	3syl 19	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 < 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 0)) < 𝑥) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 < 𝑧 → (abs‘𝐵) < 𝑥)))
12	11	rexbidv 3190	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 < 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 0)) < 𝑥) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 < 𝑧 → (abs‘𝐵) < 𝑥)))
13	12	ralbidv 3189	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 < 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 0)) < 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 < 𝑧 → (abs‘𝐵) < 𝑥)))
14	4, 13	bitrd 282	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 0 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 < 𝑧 → (abs‘𝐵) < 𝑥)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080  ∃wrex 3090   ⊆ wss 3900   class class class wbr 5108   ↦ cmpt 5192  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  ℂcc 11237  ℝcr 11238  0cc0 11239   < clt 11382   − cmin 11580  ℝ⁺crp 13160  abscabs 15444   ⇝_𝑟 crli 15696

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5553  df-po 5566  df-so 5567  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-er 8755  df-pm 8888  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-rlim 15700

This theorem is used by:  divrcnv  16065  divlogrlim  27020  cxplim  27356  cxploglim  27362