MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rlim0lt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rlim0lt 14581
Description: Use strictly less-than in place of less equal in the real limit predicate. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
rlim0.1 (𝜑 → ∀𝑧𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
rlim0.2 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
Assertion
Ref Expression
rlim0lt (𝜑 → ((𝑧𝐴𝐵) ⇝𝑟 0 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 (𝑦 < 𝑧 → (abs‘𝐵) < 𝑥)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝐵(𝑧)

Proof of Theorem rlim0lt
StepHypRef Expression
1 rlim0.1 . . 3 (𝜑 → ∀𝑧𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
2 rlim0.2 . . 3 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
3 0cnd 10321 . . 3 (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
41, 2, 3rlim2lt 14569 . 2 (𝜑 → ((𝑧𝐴𝐵) ⇝𝑟 0 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 (𝑦 < 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 0)) < 𝑥)))
5 subid1 10593 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵 − 0) = 𝐵)
65fveq2d 6415 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℂ → (abs‘(𝐵 − 0)) = (abs‘𝐵))
76breq1d 4853 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℂ → ((abs‘(𝐵 − 0)) < 𝑥 ↔ (abs‘𝐵) < 𝑥))
87imbi2d 332 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℂ → ((𝑦 < 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 0)) < 𝑥) ↔ (𝑦 < 𝑧 → (abs‘𝐵) < 𝑥)))
98ralimi 3133 . . . . 5 (∀𝑧𝐴 𝐵 ∈ ℂ → ∀𝑧𝐴 ((𝑦 < 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 0)) < 𝑥) ↔ (𝑦 < 𝑧 → (abs‘𝐵) < 𝑥)))
10 ralbi 3249 . . . . 5 (∀𝑧𝐴 ((𝑦 < 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 0)) < 𝑥) ↔ (𝑦 < 𝑧 → (abs‘𝐵) < 𝑥)) → (∀𝑧𝐴 (𝑦 < 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 0)) < 𝑥) ↔ ∀𝑧𝐴 (𝑦 < 𝑧 → (abs‘𝐵) < 𝑥)))
111, 9, 103syl 18 . . . 4 (𝜑 → (∀𝑧𝐴 (𝑦 < 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 0)) < 𝑥) ↔ ∀𝑧𝐴 (𝑦 < 𝑧 → (abs‘𝐵) < 𝑥)))
1211rexbidv 3233 . . 3 (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 (𝑦 < 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 0)) < 𝑥) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 (𝑦 < 𝑧 → (abs‘𝐵) < 𝑥)))
1312ralbidv 3167 . 2 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 (𝑦 < 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 0)) < 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 (𝑦 < 𝑧 → (abs‘𝐵) < 𝑥)))
144, 13bitrd 271 1 (𝜑 → ((𝑧𝐴𝐵) ⇝𝑟 0 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 (𝑦 < 𝑧 → (abs‘𝐵) < 𝑥)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wcel 2157  wral 3089  wrex 3090  wss 3769   class class class wbr 4843  cmpt 4922  cfv 6101  (class class class)co 6878  cc 10222  cr 10223  0cc0 10224   < clt 10363  cmin 10556  +crp 12074  abscabs 14315  𝑟 crli 14557
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-op 4375  df-uni 4629  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-id 5220  df-po 5233  df-so 5234  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-er 7982  df-pm 8098  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-rlim 14561
This theorem is referenced by:  divrcnv  14922  divlogrlim  24722  cxplim  25050  cxploglim  25056
  Copyright terms: Public domain W3C validator