Theorem rlim0lt 15462

Description: Use strictly less-than in place of less equal in the real limit predicate. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
rlim0.1	⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
rlim0.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
rlim0lt	⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 0 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 < 𝑧 → (abs‘𝐵) < 𝑥)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝐵(𝑧)

Proof of Theorem rlim0lt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rlim0.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
2		rlim0.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
3		0cnd 11128	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
4	1, 2, 3	rlim2lt 15450	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 0 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 < 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 0)) < 𝑥)))
5		subid1 11405	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵 − 0) = 𝐵)
6	5	fveq2d 6831	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (abs‘(𝐵 − 0)) = (abs‘𝐵))
7	6	breq1d 5082	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → ((abs‘(𝐵 − 0)) < 𝑥 ↔ (abs‘𝐵) < 𝑥))
8	7	imbi2d 341	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → ((𝑦 < 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 0)) < 𝑥) ↔ (𝑦 < 𝑧 → (abs‘𝐵) < 𝑥)))
9	8	ralimi 3076	. . . . 5 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ → ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑦 < 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 0)) < 𝑥) ↔ (𝑦 < 𝑧 → (abs‘𝐵) < 𝑥)))
10		ralbi 3094	. . . . 5 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑦 < 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 0)) < 𝑥) ↔ (𝑦 < 𝑧 → (abs‘𝐵) < 𝑥)) → (∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 < 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 0)) < 𝑥) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 < 𝑧 → (abs‘𝐵) < 𝑥)))
11	1, 9, 10	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 < 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 0)) < 𝑥) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 < 𝑧 → (abs‘𝐵) < 𝑥)))
12	11	rexbidv 3163	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 < 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 0)) < 𝑥) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 < 𝑧 → (abs‘𝐵) < 𝑥)))
13	12	ralbidv 3162	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 < 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 0)) < 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 < 𝑧 → (abs‘𝐵) < 𝑥)))
14	4, 13	bitrd 280	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 0 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 < 𝑧 → (abs‘𝐵) < 𝑥)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∈ wcel 2119  ∀wral 3053  ∃wrex 3063   ⊆ wss 3883   class class class wbr 5072   ↦ cmpt 5153  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  ℂcc 11027  ℝcr 11028  0cc0 11029   < clt 11170   − cmin 11368  ℝ⁺crp 12933  abscabs 15187   ⇝_𝑟 crli 15438

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-id 5513  df-po 5526  df-so 5527  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-er 8633  df-pm 8766  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-rlim 15442

This theorem is referenced by:  divrcnv  15808  divlogrlim  26617  cxplim  26953  cxploglim  26959