Theorem rlim0lt 15688

Description: Use strictly less-than in place of less equal in the real limit predicate. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
rlim0.1	⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
rlim0.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
rlim0lt	⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 0 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 < 𝑧 → (abs‘𝐵) < 𝑥)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝐵(𝑧)

Proof of Theorem rlim0lt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rlim0.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
2		rlim0.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
3		0cnd 11309	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
4	1, 2, 3	rlim2lt 15676	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 0 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 < 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 0)) < 𝑥)))
5		subid1 11588	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵 − 0) = 𝐵)
6	5	fveq2d 6897	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (abs‘(𝐵 − 0)) = (abs‘𝐵))
7	6	breq1d 5115	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → ((abs‘(𝐵 − 0)) < 𝑥 ↔ (abs‘𝐵) < 𝑥))
8	7	imbi2d 343	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → ((𝑦 < 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 0)) < 𝑥) ↔ (𝑦 < 𝑧 → (abs‘𝐵) < 𝑥)))
9	8	ralimi 3102	. . . . 5 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ → ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑦 < 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 0)) < 𝑥) ↔ (𝑦 < 𝑧 → (abs‘𝐵) < 𝑥)))
10		ralbi 3120	. . . . 5 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑦 < 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 0)) < 𝑥) ↔ (𝑦 < 𝑧 → (abs‘𝐵) < 𝑥)) → (∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 < 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 0)) < 𝑥) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 < 𝑧 → (abs‘𝐵) < 𝑥)))
11	1, 9, 10	3syl 19	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 < 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 0)) < 𝑥) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 < 𝑧 → (abs‘𝐵) < 𝑥)))
12	11	rexbidv 3189	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 < 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 0)) < 𝑥) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 < 𝑧 → (abs‘𝐵) < 𝑥)))
13	12	ralbidv 3188	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 < 𝑧 → (abs‘(𝐵 − 0)) < 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 < 𝑧 → (abs‘𝐵) < 𝑥)))
14	4, 13	bitrd 282	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 0 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 < 𝑧 → (abs‘𝐵) < 𝑥)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∈ wcel 2146  ∀wral 3079  ∃wrex 3089   ⊆ wss 3899   class class class wbr 5105   ↦ cmpt 5188  ‘cfv 6546  (class class class)co 7427  ℂcc 11208  ℝcr 11209  0cc0 11210   < clt 11353   − cmin 11551  ℝ⁺crp 13130  abscabs 15413   ⇝_𝑟 crli 15664

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pow 5330  ax-pr 5394  ax-un 7758  ax-cnex 11266  ax-resscn 11267  ax-1cn 11268  ax-icn 11269  ax-addcl 11270  ax-addrcl 11271  ax-mulcl 11272  ax-mulrcl 11273  ax-mulcom 11274  ax-addass 11275  ax-mulass 11276  ax-distr 11277  ax-i2m1 11278  ax-1ne0 11279  ax-1rid 11280  ax-rnegex 11281  ax-rrecex 11282  ax-cnre 11283  ax-pre-lttri 11284  ax-pre-lttrn 11285  ax-pre-ltadd 11286  ax-pre-mulgt0 11287

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-ss 3900  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4838  df-uni 4870  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5549  df-po 5562  df-so 5563  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7384  df-ov 7430  df-oprab 7431  df-mpo 7432  df-er 8728  df-pm 8861  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11355  df-mnf 11356  df-xr 11357  df-ltxr 11358  df-le 11359  df-sub 11553  df-neg 11554  df-rlim 15668

This theorem is used by:  divrcnv  16033  divlogrlim  26975  cxplim  27311  cxploglim  27317