Theorem coe1fval 22528

Description: Value of the univariate polynomial coefficient function. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
coe1fval.a	⊢ 𝐴 = (coe1‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
coe1fval	⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐹‘(1o × {𝑛}))))

Distinct variable group:   𝑛,𝐹

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛)   𝑉(𝑛)

Proof of Theorem coe1fval

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 3471	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → 𝐹 ∈ V)
2		coe1fval.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (coe1‘𝐹)
3		fveq1 6884	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑓‘(1o × {𝑛})) = (𝐹‘(1o × {𝑛})))
4	3	mpteq2dv 5198	. . . 4 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑓‘(1o × {𝑛}))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐹‘(1o × {𝑛}))))
5		df-coe1 22506	. . . 4 ⊢ coe1 = (𝑓 ∈ V ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑓‘(1o × {𝑛}))))
6		nn0ex 12615	. . . . 5 ⊢ ℕ0 ∈ V
7	6	mptex 7229	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐹‘(1o × {𝑛}))) ∈ V
8	4, 5, 7	fvmpt 6993	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ V → (coe1‘𝐹) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐹‘(1o × {𝑛}))))
9	2, 8	eqtrid 2807	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ V → 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐹‘(1o × {𝑛}))))
10	1, 9	syl 18	1 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐹‘(1o × {𝑛}))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450  {csn 4584   ↦ cmpt 5185   × cxp 5648  ‘cfv 6538  1_oc1o 8472  ℕ₀cn0 12609  coe₁cco1 22501

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-1cn 11261  ax-addcl 11263

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7423  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-nn 12339  df-n0 12610  df-coe1 22506

This theorem is used by:  coe1fv  22529  coe1fval3  22531