Theorem coe1fv 22159

Description: Value of an evaluated coefficient in a polynomial coefficient vector. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
coe1fval.a	⊢ 𝐴 = (coe1‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
coe1fv	⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴‘𝑁) = (𝐹‘(1o × {𝑁})))

Proof of Theorem coe1fv

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		coe1fval.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (coe1‘𝐹)
2	1	coe1fval 22158	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐹‘(1o × {𝑛}))))
3	2	fveq1d 6844	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → (𝐴‘𝑁) = ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐹‘(1o × {𝑛})))‘𝑁))
4		sneq 4592	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → {𝑛} = {𝑁})
5	4	xpeq2d 5662	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (1o × {𝑛}) = (1o × {𝑁}))
6	5	fveq2d 6846	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝐹‘(1o × {𝑛})) = (𝐹‘(1o × {𝑁})))
7		eqid 2737	. . 3 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐹‘(1o × {𝑛}))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐹‘(1o × {𝑛})))
8		fvex 6855	. . 3 ⊢ (𝐹‘(1o × {𝑁})) ∈ V
9	6, 7, 8	fvmpt 6949	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐹‘(1o × {𝑛})))‘𝑁) = (𝐹‘(1o × {𝑁})))
10	3, 9	sylan9eq 2792	1 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴‘𝑁) = (𝐹‘(1o × {𝑁})))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {csn 4582   ↦ cmpt 5181   × cxp 5630  ‘cfv 6500  1_oc1o 8400  ℕ₀cn0 12413  coe₁cco1 22130

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-1cn 11096  ax-addcl 11098

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7371  df-om 7819  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-nn 12158  df-n0 12414  df-coe1 22135

This theorem is referenced by:  fvcoe1  22160  coe1mul2  22223  deg1le0  26084