Theorem coe1fv 22366

Description: Value of an evaluated coefficient in a polynomial coefficient vector. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
coe1fval.a	⊢ 𝐴 = (coe1‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
coe1fv	⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴‘𝑁) = (𝐹‘(1o × {𝑁})))

Proof of Theorem coe1fv

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		coe1fval.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (coe1‘𝐹)
2	1	coe1fval 22365	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐹‘(1o × {𝑛}))))
3	2	fveq1d 6883	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → (𝐴‘𝑁) = ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐹‘(1o × {𝑛})))‘𝑁))
4		sneq 4599	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → {𝑛} = {𝑁})
5	4	xpeq2d 5691	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (1o × {𝑛}) = (1o × {𝑁}))
6	5	fveq2d 6885	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝐹‘(1o × {𝑛})) = (𝐹‘(1o × {𝑁})))
7		eqid 2763	. . 3 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐹‘(1o × {𝑛}))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐹‘(1o × {𝑛})))
8		fvex 6894	. . 3 ⊢ (𝐹‘(1o × {𝑁})) ∈ V
9	6, 7, 8	fvmpt 6989	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐹‘(1o × {𝑛})))‘𝑁) = (𝐹‘(1o × {𝑁})))
10	3, 9	sylan9eq 2818	1 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴‘𝑁) = (𝐹‘(1o × {𝑁})))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  {csn 4589   ↦ cmpt 5192   × cxp 5659  ‘cfv 6536  1_oc1o 8442  ℕ₀cn0 12499  coe₁cco1 22338

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-1cn 11153  ax-addcl 11155

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-nn 12229  df-n0 12500  df-coe1 22343

This theorem is referenced by:  fvcoe1  22367  coe1mul2  22430  deg1le0  26268