MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coe1fval3 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem coe1fval3 22082
Description: Univariate power series coefficient vectors expressed as a function composition. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
coe1fval.a 𝐴 = (coe1β€˜πΉ)
coe1f2.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
coe1f2.p 𝑃 = (PwSer1β€˜π‘…)
coe1fval3.g 𝐺 = (𝑦 ∈ β„•0 ↦ (1o Γ— {𝑦}))
Assertion
Ref Expression
coe1fval3 (𝐹 ∈ 𝐡 β†’ 𝐴 = (𝐹 ∘ 𝐺))
Distinct variable group:   𝑦,𝐹
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦)   𝐡(𝑦)   𝑃(𝑦)   𝑅(𝑦)   𝐺(𝑦)
Proof of Theorem coe1fval3
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 coe1fval.a . . 3 𝐴 = (coe1β€˜πΉ)
21coe1fval 22079 . 2 (𝐹 ∈ 𝐡 β†’ 𝐴 = (𝑦 ∈ β„•0 ↦ (πΉβ€˜(1o Γ— {𝑦}))))
3 coe1f2.p . . . . 5 𝑃 = (PwSer1β€˜π‘…)
4 coe1f2.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
5 eqid 2726 . . . . 5 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
63, 4, 5psr1basf 22075 . . . 4 (𝐹 ∈ 𝐡 β†’ 𝐹:(β„•0 ↑m 1o)⟢(Baseβ€˜π‘…))
7 ssv 4001 . . . 4 (Baseβ€˜π‘…) βŠ† V
8 fss 6728 . . . 4 ((𝐹:(β„•0 ↑m 1o)⟢(Baseβ€˜π‘…) ∧ (Baseβ€˜π‘…) βŠ† V) β†’ 𝐹:(β„•0 ↑m 1o)⟢V)
96, 7, 8sylancl 585 . . 3 (𝐹 ∈ 𝐡 β†’ 𝐹:(β„•0 ↑m 1o)⟢V)
10 fconst6g 6774 . . . . . 6 (𝑦 ∈ β„•0 β†’ (1o Γ— {𝑦}):1oβŸΆβ„•0)
1110adantl 481 . . . . 5 ((𝐹:(β„•0 ↑m 1o)⟢V ∧ 𝑦 ∈ β„•0) β†’ (1o Γ— {𝑦}):1oβŸΆβ„•0)
12 nn0ex 12482 . . . . . 6 β„•0 ∈ V
13 1oex 8477 . . . . . 6 1o ∈ V
1412, 13elmap 8867 . . . . 5 ((1o Γ— {𝑦}) ∈ (β„•0 ↑m 1o) ↔ (1o Γ— {𝑦}):1oβŸΆβ„•0)
1511, 14sylibr 233 . . . 4 ((𝐹:(β„•0 ↑m 1o)⟢V ∧ 𝑦 ∈ β„•0) β†’ (1o Γ— {𝑦}) ∈ (β„•0 ↑m 1o))
16 coe1fval3.g . . . . 5 𝐺 = (𝑦 ∈ β„•0 ↦ (1o Γ— {𝑦}))
1716a1i 11 . . . 4 (𝐹:(β„•0 ↑m 1o)⟢V β†’ 𝐺 = (𝑦 ∈ β„•0 ↦ (1o Γ— {𝑦})))
18 id 22 . . . . 5 (𝐹:(β„•0 ↑m 1o)⟢V β†’ 𝐹:(β„•0 ↑m 1o)⟢V)
1918feqmptd 6954 . . . 4 (𝐹:(β„•0 ↑m 1o)⟢V β†’ 𝐹 = (π‘₯ ∈ (β„•0 ↑m 1o) ↦ (πΉβ€˜π‘₯)))
20 fveq2 6885 . . . 4 (π‘₯ = (1o Γ— {𝑦}) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜(1o Γ— {𝑦})))
2115, 17, 19, 20fmptco 7123 . . 3 (𝐹:(β„•0 ↑m 1o)⟢V β†’ (𝐹 ∘ 𝐺) = (𝑦 ∈ β„•0 ↦ (πΉβ€˜(1o Γ— {𝑦}))))
229, 21syl 17 . 2 (𝐹 ∈ 𝐡 β†’ (𝐹 ∘ 𝐺) = (𝑦 ∈ β„•0 ↦ (πΉβ€˜(1o Γ— {𝑦}))))
232, 22eqtr4d 2769 1 (𝐹 ∈ 𝐡 β†’ 𝐴 = (𝐹 ∘ 𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3468   βŠ† wss 3943  {csn 4623   ↦ cmpt 5224   Γ— cxp 5667   ∘ ccom 5673  βŸΆwf 6533  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  1oc1o 8460   ↑m cmap 8822  β„•0cn0 12476  Basecbs 17153  PwSer1cps1 22049  coe1cco1 22052
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-fz 13491  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-tset 17225  df-ple 17226  df-psr 21803  df-opsr 21807  df-psr1 22054  df-coe1 22057
This theorem is referenced by:  coe1f2  22083  coe1fval2  22084  coe1mul2  22143
  Copyright terms: Public domain W3C validator