MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coe1fval3 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem coe1fval3 22136
Description: Univariate power series coefficient vectors expressed as a function composition. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
coe1fval.a 𝐴 = (coe1β€˜πΉ)
coe1f2.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
coe1f2.p 𝑃 = (PwSer1β€˜π‘…)
coe1fval3.g 𝐺 = (𝑦 ∈ β„•0 ↦ (1o Γ— {𝑦}))
Assertion
Ref Expression
coe1fval3 (𝐹 ∈ 𝐡 β†’ 𝐴 = (𝐹 ∘ 𝐺))
Distinct variable group:   𝑦,𝐹
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦)   𝐡(𝑦)   𝑃(𝑦)   𝑅(𝑦)   𝐺(𝑦)
Proof of Theorem coe1fval3
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 coe1fval.a . . 3 𝐴 = (coe1β€˜πΉ)
21coe1fval 22133 . 2 (𝐹 ∈ 𝐡 β†’ 𝐴 = (𝑦 ∈ β„•0 ↦ (πΉβ€˜(1o Γ— {𝑦}))))
3 coe1f2.p . . . . 5 𝑃 = (PwSer1β€˜π‘…)
4 coe1f2.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
5 eqid 2725 . . . . 5 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
63, 4, 5psr1basf 22129 . . . 4 (𝐹 ∈ 𝐡 β†’ 𝐹:(β„•0 ↑m 1o)⟢(Baseβ€˜π‘…))
7 ssv 3997 . . . 4 (Baseβ€˜π‘…) βŠ† V
8 fss 6734 . . . 4 ((𝐹:(β„•0 ↑m 1o)⟢(Baseβ€˜π‘…) ∧ (Baseβ€˜π‘…) βŠ† V) β†’ 𝐹:(β„•0 ↑m 1o)⟢V)
96, 7, 8sylancl 584 . . 3 (𝐹 ∈ 𝐡 β†’ 𝐹:(β„•0 ↑m 1o)⟢V)
10 fconst6g 6781 . . . . . 6 (𝑦 ∈ β„•0 β†’ (1o Γ— {𝑦}):1oβŸΆβ„•0)
1110adantl 480 . . . . 5 ((𝐹:(β„•0 ↑m 1o)⟢V ∧ 𝑦 ∈ β„•0) β†’ (1o Γ— {𝑦}):1oβŸΆβ„•0)
12 nn0ex 12508 . . . . . 6 β„•0 ∈ V
13 1oex 8495 . . . . . 6 1o ∈ V
1412, 13elmap 8888 . . . . 5 ((1o Γ— {𝑦}) ∈ (β„•0 ↑m 1o) ↔ (1o Γ— {𝑦}):1oβŸΆβ„•0)
1511, 14sylibr 233 . . . 4 ((𝐹:(β„•0 ↑m 1o)⟢V ∧ 𝑦 ∈ β„•0) β†’ (1o Γ— {𝑦}) ∈ (β„•0 ↑m 1o))
16 coe1fval3.g . . . . 5 𝐺 = (𝑦 ∈ β„•0 ↦ (1o Γ— {𝑦}))
1716a1i 11 . . . 4 (𝐹:(β„•0 ↑m 1o)⟢V β†’ 𝐺 = (𝑦 ∈ β„•0 ↦ (1o Γ— {𝑦})))
18 id 22 . . . . 5 (𝐹:(β„•0 ↑m 1o)⟢V β†’ 𝐹:(β„•0 ↑m 1o)⟢V)
1918feqmptd 6962 . . . 4 (𝐹:(β„•0 ↑m 1o)⟢V β†’ 𝐹 = (π‘₯ ∈ (β„•0 ↑m 1o) ↦ (πΉβ€˜π‘₯)))
20 fveq2 6892 . . . 4 (π‘₯ = (1o Γ— {𝑦}) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜(1o Γ— {𝑦})))
2115, 17, 19, 20fmptco 7134 . . 3 (𝐹:(β„•0 ↑m 1o)⟢V β†’ (𝐹 ∘ 𝐺) = (𝑦 ∈ β„•0 ↦ (πΉβ€˜(1o Γ— {𝑦}))))
229, 21syl 17 . 2 (𝐹 ∈ 𝐡 β†’ (𝐹 ∘ 𝐺) = (𝑦 ∈ β„•0 ↦ (πΉβ€˜(1o Γ— {𝑦}))))
232, 22eqtr4d 2768 1 (𝐹 ∈ 𝐡 β†’ 𝐴 = (𝐹 ∘ 𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3463   βŠ† wss 3939  {csn 4624   ↦ cmpt 5226   Γ— cxp 5670   ∘ ccom 5676  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  1oc1o 8478   ↑m cmap 8843  β„•0cn0 12502  Basecbs 17179  PwSer1cps1 22102  coe1cco1 22105
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7682  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-supp 8164  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-map 8845  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-fsupp 9386  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-fz 13517  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-tset 17251  df-ple 17252  df-psr 21846  df-opsr 21850  df-psr1 22107  df-coe1 22110
This theorem is referenced by:  coe1f2  22137  coe1fval2  22138  coe1mul2  22197
  Copyright terms: Public domain W3C validator