Theorem coe1fval3 22093

Description: Univariate power series coefficient vectors expressed as a function composition. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
coe1fval.a	⊢ 𝐴 = (coe1‘𝐹)
coe1f2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
coe1f2.p	⊢ 𝑃 = (PwSer1‘𝑅)
coe1fval3.g	⊢ 𝐺 = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑦}))

Assertion

Ref	Expression
coe1fval3	⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐴 = (𝐹 ∘ 𝐺))

Distinct variable group:   𝑦,𝐹

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦)   𝐵(𝑦)   𝑃(𝑦)   𝑅(𝑦)   𝐺(𝑦)

Proof of Theorem coe1fval3

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		coe1fval.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (coe1‘𝐹)
2	1	coe1fval 22090	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐴 = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ (𝐹‘(1o × {𝑦}))))
3		coe1f2.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (PwSer1‘𝑅)
4		coe1f2.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
5		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
6	3, 4, 5	psr1basf 22086	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐹:(ℕ0 ↑m 1o)⟶(Base‘𝑅))
7		ssv 3971	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) ⊆ V
8		fss 6704	. . . 4 ⊢ ((𝐹:(ℕ0 ↑m 1o)⟶(Base‘𝑅) ∧ (Base‘𝑅) ⊆ V) → 𝐹:(ℕ0 ↑m 1o)⟶V)
9	6, 7, 8	sylancl 586	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐹:(ℕ0 ↑m 1o)⟶V)
10		fconst6g 6749	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → (1o × {𝑦}):1o⟶ℕ0)
11	10	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:(ℕ0 ↑m 1o)⟶V ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (1o × {𝑦}):1o⟶ℕ0)
12		nn0ex 12448	. . . . . 6 ⊢ ℕ0 ∈ V
13		1oex 8444	. . . . . 6 ⊢ 1o ∈ V
14	12, 13	elmap 8844	. . . . 5 ⊢ ((1o × {𝑦}) ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↔ (1o × {𝑦}):1o⟶ℕ0)
15	11, 14	sylibr 234	. . . 4 ⊢ ((𝐹:(ℕ0 ↑m 1o)⟶V ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (1o × {𝑦}) ∈ (ℕ0 ↑m 1o))
16		coe1fval3.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑦}))
17	16	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐹:(ℕ0 ↑m 1o)⟶V → 𝐺 = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑦})))
18		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝐹:(ℕ0 ↑m 1o)⟶V → 𝐹:(ℕ0 ↑m 1o)⟶V)
19	18	feqmptd 6929	. . . 4 ⊢ (𝐹:(ℕ0 ↑m 1o)⟶V → 𝐹 = (𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝐹‘𝑥)))
20		fveq2 6858	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (1o × {𝑦}) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘(1o × {𝑦})))
21	15, 17, 19, 20	fmptco 7101	. . 3 ⊢ (𝐹:(ℕ0 ↑m 1o)⟶V → (𝐹 ∘ 𝐺) = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ (𝐹‘(1o × {𝑦}))))
22	9, 21	syl 17	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → (𝐹 ∘ 𝐺) = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ (𝐹‘(1o × {𝑦}))))
23	2, 22	eqtr4d 2767	1 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐴 = (𝐹 ∘ 𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3447   ⊆ wss 3914  {csn 4589   ↦ cmpt 5188   × cxp 5636   ∘ ccom 5642  ⟶wf 6507  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  1_oc1o 8427   ↑_m cmap 8799  ℕ₀cn0 12442  Basecbs 17179  PwSer₁cps1 22059  coe₁cco1 22062

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-of 7653  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8140  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-er 8671  df-map 8801  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-fsupp 9313  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-7 12254  df-8 12255  df-9 12256  df-n0 12443  df-z 12530  df-dec 12650  df-uz 12794  df-fz 13469  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-tset 17239  df-ple 17240  df-psr 21818  df-opsr 21822  df-psr1 22064  df-coe1 22067

This theorem is referenced by:  coe1f2  22094  coe1fval2  22095  coe1mul2  22155