Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coe1fval3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem coe1fval3 20293
 Description: Univariate power series coefficient vectors expressed as a function composition. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
coe1fval.a 𝐴 = (coe1𝐹)
coe1f2.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
coe1f2.p 𝑃 = (PwSer1𝑅)
coe1fval3.g 𝐺 = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑦}))
Assertion
Ref Expression
coe1fval3 (𝐹𝐵𝐴 = (𝐹𝐺))
Distinct variable group:   𝑦,𝐹
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦)   𝐵(𝑦)   𝑃(𝑦)   𝑅(𝑦)   𝐺(𝑦)

Proof of Theorem coe1fval3
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 coe1fval.a . . 3 𝐴 = (coe1𝐹)
21coe1fval 20290 . 2 (𝐹𝐵𝐴 = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ (𝐹‘(1o × {𝑦}))))
3 coe1f2.p . . . . 5 𝑃 = (PwSer1𝑅)
4 coe1f2.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑃)
5 eqid 2825 . . . . 5 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
63, 4, 5psr1basf 20286 . . . 4 (𝐹𝐵𝐹:(ℕ0m 1o)⟶(Base‘𝑅))
7 ssv 3994 . . . 4 (Base‘𝑅) ⊆ V
8 fss 6523 . . . 4 ((𝐹:(ℕ0m 1o)⟶(Base‘𝑅) ∧ (Base‘𝑅) ⊆ V) → 𝐹:(ℕ0m 1o)⟶V)
96, 7, 8sylancl 586 . . 3 (𝐹𝐵𝐹:(ℕ0m 1o)⟶V)
10 fconst6g 6564 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℕ0 → (1o × {𝑦}):1o⟶ℕ0)
1110adantl 482 . . . . 5 ((𝐹:(ℕ0m 1o)⟶V ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (1o × {𝑦}):1o⟶ℕ0)
12 nn0ex 11895 . . . . . 6 0 ∈ V
13 1oex 8104 . . . . . 6 1o ∈ V
1412, 13elmap 8428 . . . . 5 ((1o × {𝑦}) ∈ (ℕ0m 1o) ↔ (1o × {𝑦}):1o⟶ℕ0)
1511, 14sylibr 235 . . . 4 ((𝐹:(ℕ0m 1o)⟶V ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (1o × {𝑦}) ∈ (ℕ0m 1o))
16 coe1fval3.g . . . . 5 𝐺 = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑦}))
1716a1i 11 . . . 4 (𝐹:(ℕ0m 1o)⟶V → 𝐺 = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑦})))
18 id 22 . . . . 5 (𝐹:(ℕ0m 1o)⟶V → 𝐹:(ℕ0m 1o)⟶V)
1918feqmptd 6729 . . . 4 (𝐹:(ℕ0m 1o)⟶V → 𝐹 = (𝑥 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝐹𝑥)))
20 fveq2 6666 . . . 4 (𝑥 = (1o × {𝑦}) → (𝐹𝑥) = (𝐹‘(1o × {𝑦})))
2115, 17, 19, 20fmptco 6886 . . 3 (𝐹:(ℕ0m 1o)⟶V → (𝐹𝐺) = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ (𝐹‘(1o × {𝑦}))))
229, 21syl 17 . 2 (𝐹𝐵 → (𝐹𝐺) = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ (𝐹‘(1o × {𝑦}))))
232, 22eqtr4d 2863 1 (𝐹𝐵𝐴 = (𝐹𝐺))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1530   ∈ wcel 2107  Vcvv 3499   ⊆ wss 3939  {csn 4563   ↦ cmpt 5142   × cxp 5551   ∘ ccom 5557  ⟶wf 6347  ‘cfv 6351  (class class class)co 7151  1oc1o 8089   ↑m cmap 8399  ℕ0cn0 11889  Basecbs 16475  PwSer1cps1 20260  coe1cco1 20263 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2797  ax-rep 5186  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606 This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2619  df-eu 2651  df-clab 2804  df-cleq 2818  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4837  df-int 4874  df-iun 4918  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-tr 5169  df-id 5458  df-eprel 5463  df-po 5472  df-so 5473  df-fr 5512  df-we 5514  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-of 7402  df-om 7572  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-supp 7825  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-oadd 8100  df-er 8282  df-map 8401  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-fsupp 8826  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-fz 12886  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-tset 16576  df-ple 16577  df-psr 20057  df-opsr 20061  df-psr1 20265  df-coe1 20268 This theorem is referenced by:  coe1f2  20294  coe1fval2  20295  coe1mul2  20354
 Copyright terms: Public domain W3C validator