Theorem coe1fval3 22120

Description: Univariate power series coefficient vectors expressed as a function composition. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
coe1fval.a	⊢ 𝐴 = (coe1‘𝐹)
coe1f2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
coe1f2.p	⊢ 𝑃 = (PwSer1‘𝑅)
coe1fval3.g	⊢ 𝐺 = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑦}))

Assertion

Ref	Expression
coe1fval3	⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐴 = (𝐹 ∘ 𝐺))

Distinct variable group:   𝑦,𝐹

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦)   𝐵(𝑦)   𝑃(𝑦)   𝑅(𝑦)   𝐺(𝑦)

Proof of Theorem coe1fval3

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		coe1fval.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (coe1‘𝐹)
2	1	coe1fval 22117	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐴 = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ (𝐹‘(1o × {𝑦}))))
3		coe1f2.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (PwSer1‘𝑅)
4		coe1f2.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
5		eqid 2728	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
6	3, 4, 5	psr1basf 22113	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐹:(ℕ0 ↑m 1o)⟶(Base‘𝑅))
7		ssv 4002	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) ⊆ V
8		fss 6733	. . . 4 ⊢ ((𝐹:(ℕ0 ↑m 1o)⟶(Base‘𝑅) ∧ (Base‘𝑅) ⊆ V) → 𝐹:(ℕ0 ↑m 1o)⟶V)
9	6, 7, 8	sylancl 585	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐹:(ℕ0 ↑m 1o)⟶V)
10		fconst6g 6780	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → (1o × {𝑦}):1o⟶ℕ0)
11	10	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:(ℕ0 ↑m 1o)⟶V ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (1o × {𝑦}):1o⟶ℕ0)
12		nn0ex 12502	. . . . . 6 ⊢ ℕ0 ∈ V
13		1oex 8490	. . . . . 6 ⊢ 1o ∈ V
14	12, 13	elmap 8883	. . . . 5 ⊢ ((1o × {𝑦}) ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↔ (1o × {𝑦}):1o⟶ℕ0)
15	11, 14	sylibr 233	. . . 4 ⊢ ((𝐹:(ℕ0 ↑m 1o)⟶V ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (1o × {𝑦}) ∈ (ℕ0 ↑m 1o))
16		coe1fval3.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑦}))
17	16	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐹:(ℕ0 ↑m 1o)⟶V → 𝐺 = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑦})))
18		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝐹:(ℕ0 ↑m 1o)⟶V → 𝐹:(ℕ0 ↑m 1o)⟶V)
19	18	feqmptd 6961	. . . 4 ⊢ (𝐹:(ℕ0 ↑m 1o)⟶V → 𝐹 = (𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝐹‘𝑥)))
20		fveq2 6891	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (1o × {𝑦}) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘(1o × {𝑦})))
21	15, 17, 19, 20	fmptco 7132	. . 3 ⊢ (𝐹:(ℕ0 ↑m 1o)⟶V → (𝐹 ∘ 𝐺) = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ (𝐹‘(1o × {𝑦}))))
22	9, 21	syl 17	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → (𝐹 ∘ 𝐺) = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ (𝐹‘(1o × {𝑦}))))
23	2, 22	eqtr4d 2771	1 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐴 = (𝐹 ∘ 𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  Vcvv 3470   ⊆ wss 3945  {csn 4624   ↦ cmpt 5225   × cxp 5670   ∘ ccom 5676  ⟶wf 6538  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414  1_oc1o 8473   ↑_m cmap 8838  ℕ₀cn0 12496  Basecbs 17173  PwSer₁cps1 22087  coe₁cco1 22090

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8840  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fsupp 9380  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12237  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305  df-9 12306  df-n0 12497  df-z 12583  df-dec 12702  df-uz 12847  df-fz 13511  df-struct 17109  df-sets 17126  df-slot 17144  df-ndx 17156  df-base 17174  df-plusg 17239  df-mulr 17240  df-sca 17242  df-vsca 17243  df-tset 17245  df-ple 17246  df-psr 21835  df-opsr 21839  df-psr1 22092  df-coe1 22095

This theorem is referenced by:  coe1f2  22121  coe1fval2  22122  coe1mul2  22181