Theorem coe1fval3 22231

Description: Univariate power series coefficient vectors expressed as a function composition. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
coe1fval.a	⊢ 𝐴 = (coe1‘𝐹)
coe1f2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
coe1f2.p	⊢ 𝑃 = (PwSer1‘𝑅)
coe1fval3.g	⊢ 𝐺 = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑦}))

Assertion

Ref	Expression
coe1fval3	⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐴 = (𝐹 ∘ 𝐺))

Distinct variable group:   𝑦,𝐹

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦)   𝐵(𝑦)   𝑃(𝑦)   𝑅(𝑦)   𝐺(𝑦)

Proof of Theorem coe1fval3

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		coe1fval.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (coe1‘𝐹)
2	1	coe1fval 22228	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐴 = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ (𝐹‘(1o × {𝑦}))))
3		coe1f2.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (PwSer1‘𝑅)
4		coe1f2.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
5		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
6	3, 4, 5	psr1basf 22224	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐹:(ℕ0 ↑m 1o)⟶(Base‘𝑅))
7		ssv 4033	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) ⊆ V
8		fss 6763	. . . 4 ⊢ ((𝐹:(ℕ0 ↑m 1o)⟶(Base‘𝑅) ∧ (Base‘𝑅) ⊆ V) → 𝐹:(ℕ0 ↑m 1o)⟶V)
9	6, 7, 8	sylancl 585	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐹:(ℕ0 ↑m 1o)⟶V)
10		fconst6g 6810	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → (1o × {𝑦}):1o⟶ℕ0)
11	10	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:(ℕ0 ↑m 1o)⟶V ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (1o × {𝑦}):1o⟶ℕ0)
12		nn0ex 12559	. . . . . 6 ⊢ ℕ0 ∈ V
13		1oex 8532	. . . . . 6 ⊢ 1o ∈ V
14	12, 13	elmap 8929	. . . . 5 ⊢ ((1o × {𝑦}) ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↔ (1o × {𝑦}):1o⟶ℕ0)
15	11, 14	sylibr 234	. . . 4 ⊢ ((𝐹:(ℕ0 ↑m 1o)⟶V ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (1o × {𝑦}) ∈ (ℕ0 ↑m 1o))
16		coe1fval3.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑦}))
17	16	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐹:(ℕ0 ↑m 1o)⟶V → 𝐺 = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑦})))
18		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝐹:(ℕ0 ↑m 1o)⟶V → 𝐹:(ℕ0 ↑m 1o)⟶V)
19	18	feqmptd 6990	. . . 4 ⊢ (𝐹:(ℕ0 ↑m 1o)⟶V → 𝐹 = (𝑥 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝐹‘𝑥)))
20		fveq2 6920	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (1o × {𝑦}) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘(1o × {𝑦})))
21	15, 17, 19, 20	fmptco 7163	. . 3 ⊢ (𝐹:(ℕ0 ↑m 1o)⟶V → (𝐹 ∘ 𝐺) = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ (𝐹‘(1o × {𝑦}))))
22	9, 21	syl 17	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → (𝐹 ∘ 𝐺) = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ (𝐹‘(1o × {𝑦}))))
23	2, 22	eqtr4d 2783	1 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐴 = (𝐹 ∘ 𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  Vcvv 3488   ⊆ wss 3976  {csn 4648   ↦ cmpt 5249   × cxp 5698   ∘ ccom 5704  ⟶wf 6569  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  1_oc1o 8515   ↑_m cmap 8884  ℕ₀cn0 12553  Basecbs 17258  PwSer₁cps1 22197  coe₁cco1 22200

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-of 7714  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-supp 8202  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-er 8763  df-map 8886  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-fsupp 9432  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-fz 13568  df-struct 17194  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-tset 17330  df-ple 17331  df-psr 21952  df-opsr 21956  df-psr1 22202  df-coe1 22205

This theorem is referenced by:  coe1f2  22232  coe1fval2  22233  coe1mul2  22293