MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coe1fval3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem coe1fval3 22210
Description: Univariate power series coefficient vectors expressed as a function composition. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
coe1fval.a 𝐴 = (coe1𝐹)
coe1f2.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
coe1f2.p 𝑃 = (PwSer1𝑅)
coe1fval3.g 𝐺 = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑦}))
Assertion
Ref Expression
coe1fval3 (𝐹𝐵𝐴 = (𝐹𝐺))
Distinct variable group:   𝑦,𝐹
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦)   𝐵(𝑦)   𝑃(𝑦)   𝑅(𝑦)   𝐺(𝑦)

Proof of Theorem coe1fval3
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 coe1fval.a . . 3 𝐴 = (coe1𝐹)
21coe1fval 22207 . 2 (𝐹𝐵𝐴 = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ (𝐹‘(1o × {𝑦}))))
3 coe1f2.p . . . . 5 𝑃 = (PwSer1𝑅)
4 coe1f2.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑃)
5 eqid 2737 . . . . 5 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
63, 4, 5psr1basf 22203 . . . 4 (𝐹𝐵𝐹:(ℕ0m 1o)⟶(Base‘𝑅))
7 ssv 4008 . . . 4 (Base‘𝑅) ⊆ V
8 fss 6752 . . . 4 ((𝐹:(ℕ0m 1o)⟶(Base‘𝑅) ∧ (Base‘𝑅) ⊆ V) → 𝐹:(ℕ0m 1o)⟶V)
96, 7, 8sylancl 586 . . 3 (𝐹𝐵𝐹:(ℕ0m 1o)⟶V)
10 fconst6g 6797 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℕ0 → (1o × {𝑦}):1o⟶ℕ0)
1110adantl 481 . . . . 5 ((𝐹:(ℕ0m 1o)⟶V ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (1o × {𝑦}):1o⟶ℕ0)
12 nn0ex 12532 . . . . . 6 0 ∈ V
13 1oex 8516 . . . . . 6 1o ∈ V
1412, 13elmap 8911 . . . . 5 ((1o × {𝑦}) ∈ (ℕ0m 1o) ↔ (1o × {𝑦}):1o⟶ℕ0)
1511, 14sylibr 234 . . . 4 ((𝐹:(ℕ0m 1o)⟶V ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (1o × {𝑦}) ∈ (ℕ0m 1o))
16 coe1fval3.g . . . . 5 𝐺 = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑦}))
1716a1i 11 . . . 4 (𝐹:(ℕ0m 1o)⟶V → 𝐺 = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑦})))
18 id 22 . . . . 5 (𝐹:(ℕ0m 1o)⟶V → 𝐹:(ℕ0m 1o)⟶V)
1918feqmptd 6977 . . . 4 (𝐹:(ℕ0m 1o)⟶V → 𝐹 = (𝑥 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝐹𝑥)))
20 fveq2 6906 . . . 4 (𝑥 = (1o × {𝑦}) → (𝐹𝑥) = (𝐹‘(1o × {𝑦})))
2115, 17, 19, 20fmptco 7149 . . 3 (𝐹:(ℕ0m 1o)⟶V → (𝐹𝐺) = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ (𝐹‘(1o × {𝑦}))))
229, 21syl 17 . 2 (𝐹𝐵 → (𝐹𝐺) = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ (𝐹‘(1o × {𝑦}))))
232, 22eqtr4d 2780 1 (𝐹𝐵𝐴 = (𝐹𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  Vcvv 3480  wss 3951  {csn 4626  cmpt 5225   × cxp 5683  ccom 5689  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  1oc1o 8499  m cmap 8866  0cn0 12526  Basecbs 17247  PwSer1cps1 22176  coe1cco1 22179
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-fz 13548  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-tset 17316  df-ple 17317  df-psr 21929  df-opsr 21933  df-psr1 22181  df-coe1 22184
This theorem is referenced by:  coe1f2  22211  coe1fval2  22212  coe1mul2  22272
  Copyright terms: Public domain W3C validator