MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coe1fval3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem coe1fval3 19974
Description: Univariate power series coefficient vectors expressed as a function composition. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
coe1fval.a 𝐴 = (coe1𝐹)
coe1f2.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
coe1f2.p 𝑃 = (PwSer1𝑅)
coe1fval3.g 𝐺 = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑦}))
Assertion
Ref Expression
coe1fval3 (𝐹𝐵𝐴 = (𝐹𝐺))
Distinct variable group:   𝑦,𝐹
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦)   𝐵(𝑦)   𝑃(𝑦)   𝑅(𝑦)   𝐺(𝑦)

Proof of Theorem coe1fval3
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 coe1fval.a . . 3 𝐴 = (coe1𝐹)
21coe1fval 19971 . 2 (𝐹𝐵𝐴 = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ (𝐹‘(1o × {𝑦}))))
3 coe1f2.p . . . . 5 𝑃 = (PwSer1𝑅)
4 coe1f2.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑃)
5 eqid 2777 . . . . 5 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
63, 4, 5psr1basf 19967 . . . 4 (𝐹𝐵𝐹:(ℕ0𝑚 1o)⟶(Base‘𝑅))
7 ssv 3843 . . . 4 (Base‘𝑅) ⊆ V
8 fss 6304 . . . 4 ((𝐹:(ℕ0𝑚 1o)⟶(Base‘𝑅) ∧ (Base‘𝑅) ⊆ V) → 𝐹:(ℕ0𝑚 1o)⟶V)
96, 7, 8sylancl 580 . . 3 (𝐹𝐵𝐹:(ℕ0𝑚 1o)⟶V)
10 fconst6g 6344 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℕ0 → (1o × {𝑦}):1o⟶ℕ0)
1110adantl 475 . . . . 5 ((𝐹:(ℕ0𝑚 1o)⟶V ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (1o × {𝑦}):1o⟶ℕ0)
12 nn0ex 11649 . . . . . 6 0 ∈ V
13 1oex 7851 . . . . . 6 1o ∈ V
1412, 13elmap 8169 . . . . 5 ((1o × {𝑦}) ∈ (ℕ0𝑚 1o) ↔ (1o × {𝑦}):1o⟶ℕ0)
1511, 14sylibr 226 . . . 4 ((𝐹:(ℕ0𝑚 1o)⟶V ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (1o × {𝑦}) ∈ (ℕ0𝑚 1o))
16 coe1fval3.g . . . . 5 𝐺 = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑦}))
1716a1i 11 . . . 4 (𝐹:(ℕ0𝑚 1o)⟶V → 𝐺 = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ (1o × {𝑦})))
18 id 22 . . . . 5 (𝐹:(ℕ0𝑚 1o)⟶V → 𝐹:(ℕ0𝑚 1o)⟶V)
1918feqmptd 6509 . . . 4 (𝐹:(ℕ0𝑚 1o)⟶V → 𝐹 = (𝑥 ∈ (ℕ0𝑚 1o) ↦ (𝐹𝑥)))
20 fveq2 6446 . . . 4 (𝑥 = (1o × {𝑦}) → (𝐹𝑥) = (𝐹‘(1o × {𝑦})))
2115, 17, 19, 20fmptco 6661 . . 3 (𝐹:(ℕ0𝑚 1o)⟶V → (𝐹𝐺) = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ (𝐹‘(1o × {𝑦}))))
229, 21syl 17 . 2 (𝐹𝐵 → (𝐹𝐺) = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ (𝐹‘(1o × {𝑦}))))
232, 22eqtr4d 2816 1 (𝐹𝐵𝐴 = (𝐹𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386   = wceq 1601  wcel 2106  Vcvv 3397  wss 3791  {csn 4397  cmpt 4965   × cxp 5353  ccom 5359  wf 6131  cfv 6135  (class class class)co 6922  1oc1o 7836  𝑚 cmap 8140  0cn0 11642  Basecbs 16255  PwSer1cps1 19941  coe1cco1 19944
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-pss 3807  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-of 7174  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-supp 7577  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-oadd 7847  df-er 8026  df-map 8142  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-fsupp 8564  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-4 11440  df-5 11441  df-6 11442  df-7 11443  df-8 11444  df-9 11445  df-n0 11643  df-z 11729  df-dec 11846  df-uz 11993  df-fz 12644  df-struct 16257  df-ndx 16258  df-slot 16259  df-base 16261  df-sets 16262  df-plusg 16351  df-mulr 16352  df-sca 16354  df-vsca 16355  df-tset 16357  df-ple 16358  df-psr 19753  df-opsr 19757  df-psr1 19946  df-coe1 19949
This theorem is referenced by:  coe1f2  19975  coe1fval2  19976  coe1mul2  20035
  Copyright terms: Public domain W3C validator