MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coe1fval3 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem coe1fval3 21723
Description: Univariate power series coefficient vectors expressed as a function composition. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
coe1fval.a 𝐴 = (coe1β€˜πΉ)
coe1f2.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
coe1f2.p 𝑃 = (PwSer1β€˜π‘…)
coe1fval3.g 𝐺 = (𝑦 ∈ β„•0 ↦ (1o Γ— {𝑦}))
Assertion
Ref Expression
coe1fval3 (𝐹 ∈ 𝐡 β†’ 𝐴 = (𝐹 ∘ 𝐺))
Distinct variable group:   𝑦,𝐹
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦)   𝐡(𝑦)   𝑃(𝑦)   𝑅(𝑦)   𝐺(𝑦)
Proof of Theorem coe1fval3
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 coe1fval.a . . 3 𝐴 = (coe1β€˜πΉ)
21coe1fval 21720 . 2 (𝐹 ∈ 𝐡 β†’ 𝐴 = (𝑦 ∈ β„•0 ↦ (πΉβ€˜(1o Γ— {𝑦}))))
3 coe1f2.p . . . . 5 𝑃 = (PwSer1β€˜π‘…)
4 coe1f2.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
5 eqid 2732 . . . . 5 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
63, 4, 5psr1basf 21716 . . . 4 (𝐹 ∈ 𝐡 β†’ 𝐹:(β„•0 ↑m 1o)⟢(Baseβ€˜π‘…))
7 ssv 4005 . . . 4 (Baseβ€˜π‘…) βŠ† V
8 fss 6731 . . . 4 ((𝐹:(β„•0 ↑m 1o)⟢(Baseβ€˜π‘…) ∧ (Baseβ€˜π‘…) βŠ† V) β†’ 𝐹:(β„•0 ↑m 1o)⟢V)
96, 7, 8sylancl 586 . . 3 (𝐹 ∈ 𝐡 β†’ 𝐹:(β„•0 ↑m 1o)⟢V)
10 fconst6g 6777 . . . . . 6 (𝑦 ∈ β„•0 β†’ (1o Γ— {𝑦}):1oβŸΆβ„•0)
1110adantl 482 . . . . 5 ((𝐹:(β„•0 ↑m 1o)⟢V ∧ 𝑦 ∈ β„•0) β†’ (1o Γ— {𝑦}):1oβŸΆβ„•0)
12 nn0ex 12474 . . . . . 6 β„•0 ∈ V
13 1oex 8472 . . . . . 6 1o ∈ V
1412, 13elmap 8861 . . . . 5 ((1o Γ— {𝑦}) ∈ (β„•0 ↑m 1o) ↔ (1o Γ— {𝑦}):1oβŸΆβ„•0)
1511, 14sylibr 233 . . . 4 ((𝐹:(β„•0 ↑m 1o)⟢V ∧ 𝑦 ∈ β„•0) β†’ (1o Γ— {𝑦}) ∈ (β„•0 ↑m 1o))
16 coe1fval3.g . . . . 5 𝐺 = (𝑦 ∈ β„•0 ↦ (1o Γ— {𝑦}))
1716a1i 11 . . . 4 (𝐹:(β„•0 ↑m 1o)⟢V β†’ 𝐺 = (𝑦 ∈ β„•0 ↦ (1o Γ— {𝑦})))
18 id 22 . . . . 5 (𝐹:(β„•0 ↑m 1o)⟢V β†’ 𝐹:(β„•0 ↑m 1o)⟢V)
1918feqmptd 6957 . . . 4 (𝐹:(β„•0 ↑m 1o)⟢V β†’ 𝐹 = (π‘₯ ∈ (β„•0 ↑m 1o) ↦ (πΉβ€˜π‘₯)))
20 fveq2 6888 . . . 4 (π‘₯ = (1o Γ— {𝑦}) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜(1o Γ— {𝑦})))
2115, 17, 19, 20fmptco 7123 . . 3 (𝐹:(β„•0 ↑m 1o)⟢V β†’ (𝐹 ∘ 𝐺) = (𝑦 ∈ β„•0 ↦ (πΉβ€˜(1o Γ— {𝑦}))))
229, 21syl 17 . 2 (𝐹 ∈ 𝐡 β†’ (𝐹 ∘ 𝐺) = (𝑦 ∈ β„•0 ↦ (πΉβ€˜(1o Γ— {𝑦}))))
232, 22eqtr4d 2775 1 (𝐹 ∈ 𝐡 β†’ 𝐴 = (𝐹 ∘ 𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474   βŠ† wss 3947  {csn 4627   ↦ cmpt 5230   Γ— cxp 5673   ∘ ccom 5679  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  1oc1o 8455   ↑m cmap 8816  β„•0cn0 12468  Basecbs 17140  PwSer1cps1 21690  coe1cco1 21693
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-fz 13481  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-tset 17212  df-ple 17213  df-psr 21453  df-opsr 21457  df-psr1 21695  df-coe1 21698
This theorem is referenced by:  coe1f2  21724  coe1fval2  21725  coe1mul2  21782
  Copyright terms: Public domain W3C validator