MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cusgr0v Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cusgr0v 29361
Description: A graph with no vertices and no edges is a complete simple graph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 13-Oct-2017.) (Revised by AV, 1-Nov-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
cplgr0v.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
cusgr0v ((𝐺𝑊𝑉 = ∅ ∧ (iEdg‘𝐺) = ∅) → 𝐺 ∈ ComplUSGraph)

Proof of Theorem cusgr0v
StepHypRef Expression
1 cplgr0v.v . . . 4 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
21eqeq1i 2731 . . 3 (𝑉 = ∅ ↔ (Vtx‘𝐺) = ∅)
3 usgr0v 29174 . . 3 ((𝐺𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = ∅ ∧ (iEdg‘𝐺) = ∅) → 𝐺 ∈ USGraph)
42, 3syl3an2b 1401 . 2 ((𝐺𝑊𝑉 = ∅ ∧ (iEdg‘𝐺) = ∅) → 𝐺 ∈ USGraph)
51cplgr0v 29360 . . 3 ((𝐺𝑊𝑉 = ∅) → 𝐺 ∈ ComplGraph)
653adant3 1129 . 2 ((𝐺𝑊𝑉 = ∅ ∧ (iEdg‘𝐺) = ∅) → 𝐺 ∈ ComplGraph)
7 iscusgr 29351 . 2 (𝐺 ∈ ComplUSGraph ↔ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐺 ∈ ComplGraph))
84, 6, 7sylanbrc 581 1 ((𝐺𝑊𝑉 = ∅ ∧ (iEdg‘𝐺) = ∅) → 𝐺 ∈ ComplUSGraph)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1084   = wceq 1534  wcel 2099  c0 4322  cfv 6546  Vtxcvtx 28929  iEdgciedg 28930  USGraphcusgr 29082  ComplGraphccplgr 29342  ComplUSGraphccusgr 29343
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7738  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4906  df-br 5146  df-opab 5208  df-mpt 5229  df-id 5572  df-po 5586  df-so 5587  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-iota 6498  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-ov 7419  df-er 8726  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-pnf 11291  df-mnf 11292  df-xr 11293  df-ltxr 11294  df-le 11295  df-2 12321  df-uhgr 28991  df-upgr 29015  df-uspgr 29083  df-usgr 29084  df-uvtx 29319  df-cplgr 29344  df-cusgr 29345
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator