Theorem cusgr0v 27698

Description: A graph with no vertices and no edges is a complete simple graph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 13-Oct-2017.) (Revised by AV, 1-Nov-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
cplgr0v.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
cusgr0v	⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 = ∅ ∧ (iEdg‘𝐺) = ∅) → 𝐺 ∈ ComplUSGraph)

Proof of Theorem cusgr0v

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cplgr0v.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2	1	eqeq1i 2743	. . 3 ⊢ (𝑉 = ∅ ↔ (Vtx‘𝐺) = ∅)
3		usgr0v 27511	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = ∅ ∧ (iEdg‘𝐺) = ∅) → 𝐺 ∈ USGraph)
4	2, 3	syl3an2b 1402	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 = ∅ ∧ (iEdg‘𝐺) = ∅) → 𝐺 ∈ USGraph)
5	1	cplgr0v 27697	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 = ∅) → 𝐺 ∈ ComplGraph)
6	5	3adant3 1130	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 = ∅ ∧ (iEdg‘𝐺) = ∅) → 𝐺 ∈ ComplGraph)
7		iscusgr 27688	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph ↔ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐺 ∈ ComplGraph))
8	4, 6, 7	sylanbrc 582	1 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 = ∅ ∧ (iEdg‘𝐺) = ∅) → 𝐺 ∈ ComplUSGraph)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∅c0 4253  ‘cfv 6418  Vtxcvtx 27269  iEdgciedg 27270  USGraphcusgr 27422  ComplGraphccplgr 27679  ComplUSGraphccusgr 27680

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-po 5494  df-so 5495  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-ov 7258  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-2 11966  df-uhgr 27331  df-upgr 27355  df-uspgr 27423  df-usgr 27424  df-uvtx 27656  df-cplgr 27681  df-cusgr 27682

This theorem is referenced by: (None)