Theorem cusgr0v 29522

Description: A graph with no vertices and no edges is a complete simple graph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 13-Oct-2017.) (Revised by AV, 1-Nov-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
cplgr0v.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
cusgr0v	⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 = ∅ ∧ (iEdg‘𝐺) = ∅) → 𝐺 ∈ ComplUSGraph)

Proof of Theorem cusgr0v

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cplgr0v.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2	1	eqeq1i 2745	. . 3 ⊢ (𝑉 = ∅ ↔ (Vtx‘𝐺) = ∅)
3		usgr0v 29335	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = ∅ ∧ (iEdg‘𝐺) = ∅) → 𝐺 ∈ USGraph)
4	2, 3	syl3an2b 1412	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 = ∅ ∧ (iEdg‘𝐺) = ∅) → 𝐺 ∈ USGraph)
5	1	cplgr0v 29521	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 = ∅) → 𝐺 ∈ ComplGraph)
6	5	3adant3 1138	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 = ∅ ∧ (iEdg‘𝐺) = ∅) → 𝐺 ∈ ComplGraph)
7		iscusgr 29512	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph ↔ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐺 ∈ ComplGraph))
8	4, 6, 7	sylanbrc 589	1 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ 𝑉 = ∅ ∧ (iEdg‘𝐺) = ∅) → 𝐺 ∈ ComplUSGraph)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∅c0 4268  ‘cfv 6492  Vtxcvtx 29090  iEdgciedg 29091  USGraphcusgr 29243  ComplGraphccplgr 29503  ComplUSGraphccusgr 29504

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-id 5520  df-po 5533  df-so 5534  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7366  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-2 12242  df-uhgr 29152  df-upgr 29176  df-uspgr 29244  df-usgr 29245  df-uvtx 29480  df-cplgr 29505  df-cusgr 29506

This theorem is referenced by: (None)