Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  llnexchb2lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem llnexchb2lem 38334
Description: Lemma for llnexchb2 38335. (Contributed by NM, 17-Nov-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
llnexch.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
llnexch.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
llnexch.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
llnexch.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
llnexch.n 𝑁 = (LLinesβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
llnexchb2lem (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ↔ (𝑋 ∧ π‘Œ) = (𝑋 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄))))

Proof of Theorem llnexchb2lem
StepHypRef Expression
1 simpl11 1249 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
2 simpl21 1252 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
3 simpl12 1250 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ 𝑋 ∈ 𝑁)
4 eqid 2737 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
5 llnexch.n . . . . . . . 8 𝑁 = (LLinesβ€˜πΎ)
64, 5llnbase 37975 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ 𝑁 β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
73, 6syl 17 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
81hllatd 37829 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
9 simpl13 1251 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ π‘Œ ∈ 𝑁)
104, 5llnbase 37975 . . . . . . . 8 (π‘Œ ∈ 𝑁 β†’ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΎ))
119, 10syl 17 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΎ))
12 llnexch.m . . . . . . . 8 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
134, 12latmcl 18330 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
148, 7, 11, 13syl3anc 1372 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
15 llnexch.l . . . . . . . 8 ≀ = (leβ€˜πΎ)
164, 15, 12latmle1 18354 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ 𝑋)
178, 7, 11, 16syl3anc 1372 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ 𝑋)
18 llnexch.j . . . . . . 7 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
19 llnexch.a . . . . . . 7 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
204, 15, 18, 12, 19atmod2i2 38328 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ 𝑋) β†’ ((𝑋 ∧ 𝑃) ∨ (𝑋 ∧ π‘Œ)) = (𝑋 ∧ (𝑃 ∨ (𝑋 ∧ π‘Œ))))
211, 2, 7, 14, 17, 20syl131anc 1384 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ ((𝑋 ∧ 𝑃) ∨ (𝑋 ∧ π‘Œ)) = (𝑋 ∧ (𝑃 ∨ (𝑋 ∧ π‘Œ))))
224, 19atbase 37754 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ 𝐴 β†’ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
232, 22syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
244, 12latmcom 18353 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (𝑋 ∧ 𝑃) = (𝑃 ∧ 𝑋))
258, 7, 23, 24syl3anc 1372 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ (𝑋 ∧ 𝑃) = (𝑃 ∧ 𝑋))
26 simpl23 1254 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋)
27 hlatl 37825 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ AtLat)
281, 27syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ 𝐾 ∈ AtLat)
29 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 (0.β€˜πΎ) = (0.β€˜πΎ)
304, 15, 12, 29, 19atnle 37782 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋 ↔ (𝑃 ∧ 𝑋) = (0.β€˜πΎ)))
3128, 2, 7, 30syl3anc 1372 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ (Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋 ↔ (𝑃 ∧ 𝑋) = (0.β€˜πΎ)))
3226, 31mpbid 231 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ (𝑃 ∧ 𝑋) = (0.β€˜πΎ))
3325, 32eqtrd 2777 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ (𝑋 ∧ 𝑃) = (0.β€˜πΎ))
3433oveq1d 7373 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ ((𝑋 ∧ 𝑃) ∨ (𝑋 ∧ π‘Œ)) = ((0.β€˜πΎ) ∨ (𝑋 ∧ π‘Œ)))
35 simpr 486 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))
36 hlcvl 37824 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ CvLat)
371, 36syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ 𝐾 ∈ CvLat)
38 simpl3 1194 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴)
39 simpl22 1253 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
40 breq1 5109 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 = (𝑋 ∧ π‘Œ) β†’ (𝑃 ≀ 𝑋 ↔ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ 𝑋))
4117, 40syl5ibrcom 247 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ (𝑃 = (𝑋 ∧ π‘Œ) β†’ 𝑃 ≀ 𝑋))
4241necon3bd 2958 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ (Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋 β†’ 𝑃 β‰  (𝑋 ∧ π‘Œ)))
4326, 42mpd 15 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ 𝑃 β‰  (𝑋 ∧ π‘Œ))
4443necomd 3000 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  𝑃)
4515, 18, 19cvlatexchb1 37799 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  𝑃) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ↔ (𝑃 ∨ (𝑋 ∧ π‘Œ)) = (𝑃 ∨ 𝑄)))
4637, 38, 39, 2, 44, 45syl131anc 1384 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ↔ (𝑃 ∨ (𝑋 ∧ π‘Œ)) = (𝑃 ∨ 𝑄)))
4735, 46mpbid 231 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ (𝑃 ∨ (𝑋 ∧ π‘Œ)) = (𝑃 ∨ 𝑄))
4847oveq2d 7374 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ (𝑋 ∧ (𝑃 ∨ (𝑋 ∧ π‘Œ))) = (𝑋 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄)))
4921, 34, 483eqtr3rd 2786 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ (𝑋 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄)) = ((0.β€˜πΎ) ∨ (𝑋 ∧ π‘Œ)))
50 hlol 37826 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ OL)
511, 50syl 17 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ 𝐾 ∈ OL)
524, 18, 29olj02 37691 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((0.β€˜πΎ) ∨ (𝑋 ∧ π‘Œ)) = (𝑋 ∧ π‘Œ))
5351, 14, 52syl2anc 585 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ ((0.β€˜πΎ) ∨ (𝑋 ∧ π‘Œ)) = (𝑋 ∧ π‘Œ))
5449, 53eqtr2d 2778 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) = (𝑋 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄)))
5554ex 414 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) = (𝑋 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄))))
56 simp11 1204 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) β†’ 𝐾 ∈ HL)
5756hllatd 37829 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
58 simp12 1205 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) β†’ 𝑋 ∈ 𝑁)
5958, 6syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
60 simp21 1207 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
61 simp22 1208 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
624, 18, 19hlatjcl 37832 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
6356, 60, 61, 62syl3anc 1372 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
644, 15, 12latmle2 18355 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (𝑋 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄)) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))
6557, 59, 63, 64syl3anc 1372 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) β†’ (𝑋 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄)) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))
66 breq1 5109 . . 3 ((𝑋 ∧ π‘Œ) = (𝑋 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ↔ (𝑋 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄)) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))
6765, 66syl5ibrcom 247 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) = (𝑋 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))
6855, 67impbid 211 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ↔ (𝑋 ∧ π‘Œ) = (𝑋 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944   class class class wbr 5106  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Basecbs 17084  lecple 17141  joincjn 18201  meetcmee 18202  0.cp0 18313  Latclat 18321  OLcol 37639  Atomscatm 37728  AtLatcal 37729  CvLatclc 37730  HLchlt 37815  LLinesclln 37957
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-proset 18185  df-poset 18203  df-plt 18220  df-lub 18236  df-glb 18237  df-join 18238  df-meet 18239  df-p0 18315  df-lat 18322  df-clat 18389  df-oposet 37641  df-ol 37643  df-oml 37644  df-covers 37731  df-ats 37732  df-atl 37763  df-cvlat 37787  df-hlat 37816  df-llines 37964  df-psubsp 37969  df-pmap 37970  df-padd 38262
This theorem is referenced by:  llnexchb2  38335
  Copyright terms: Public domain W3C validator