Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  llnexchb2lem Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem llnexchb2lem 39393
Description: Lemma for llnexchb2 39394. (Contributed by NM, 17-Nov-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
llnexch.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
llnexch.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
llnexch.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
llnexch.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
llnexch.n 𝑁 = (LLinesβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
llnexchb2lem (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ↔ (𝑋 ∧ π‘Œ) = (𝑋 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄))))
Proof of Theorem llnexchb2lem
StepHypRef Expression
1 simpl11 1245 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
2 simpl21 1248 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
3 simpl12 1246 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ 𝑋 ∈ 𝑁)
4 eqid 2725 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
5 llnexch.n . . . . . . . 8 𝑁 = (LLinesβ€˜πΎ)
64, 5llnbase 39034 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ 𝑁 β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
73, 6syl 17 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
81hllatd 38888 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
9 simpl13 1247 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ π‘Œ ∈ 𝑁)
104, 5llnbase 39034 . . . . . . . 8 (π‘Œ ∈ 𝑁 β†’ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΎ))
119, 10syl 17 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΎ))
12 llnexch.m . . . . . . . 8 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
134, 12latmcl 18426 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
148, 7, 11, 13syl3anc 1368 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
15 llnexch.l . . . . . . . 8 ≀ = (leβ€˜πΎ)
164, 15, 12latmle1 18450 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ 𝑋)
178, 7, 11, 16syl3anc 1368 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ 𝑋)
18 llnexch.j . . . . . . 7 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
19 llnexch.a . . . . . . 7 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
204, 15, 18, 12, 19atmod2i2 39387 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ 𝑋) β†’ ((𝑋 ∧ 𝑃) ∨ (𝑋 ∧ π‘Œ)) = (𝑋 ∧ (𝑃 ∨ (𝑋 ∧ π‘Œ))))
211, 2, 7, 14, 17, 20syl131anc 1380 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ ((𝑋 ∧ 𝑃) ∨ (𝑋 ∧ π‘Œ)) = (𝑋 ∧ (𝑃 ∨ (𝑋 ∧ π‘Œ))))
224, 19atbase 38813 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ 𝐴 β†’ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
232, 22syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
244, 12latmcom 18449 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (𝑋 ∧ 𝑃) = (𝑃 ∧ 𝑋))
258, 7, 23, 24syl3anc 1368 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ (𝑋 ∧ 𝑃) = (𝑃 ∧ 𝑋))
26 simpl23 1250 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋)
27 hlatl 38884 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ AtLat)
281, 27syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ 𝐾 ∈ AtLat)
29 eqid 2725 . . . . . . . . . 10 (0.β€˜πΎ) = (0.β€˜πΎ)
304, 15, 12, 29, 19atnle 38841 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋 ↔ (𝑃 ∧ 𝑋) = (0.β€˜πΎ)))
3128, 2, 7, 30syl3anc 1368 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ (Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋 ↔ (𝑃 ∧ 𝑋) = (0.β€˜πΎ)))
3226, 31mpbid 231 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ (𝑃 ∧ 𝑋) = (0.β€˜πΎ))
3325, 32eqtrd 2765 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ (𝑋 ∧ 𝑃) = (0.β€˜πΎ))
3433oveq1d 7428 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ ((𝑋 ∧ 𝑃) ∨ (𝑋 ∧ π‘Œ)) = ((0.β€˜πΎ) ∨ (𝑋 ∧ π‘Œ)))
35 simpr 483 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))
36 hlcvl 38883 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ CvLat)
371, 36syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ 𝐾 ∈ CvLat)
38 simpl3 1190 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴)
39 simpl22 1249 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
40 breq1 5147 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 = (𝑋 ∧ π‘Œ) β†’ (𝑃 ≀ 𝑋 ↔ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ 𝑋))
4117, 40syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ (𝑃 = (𝑋 ∧ π‘Œ) β†’ 𝑃 ≀ 𝑋))
4241necon3bd 2944 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ (Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋 β†’ 𝑃 β‰  (𝑋 ∧ π‘Œ)))
4326, 42mpd 15 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ 𝑃 β‰  (𝑋 ∧ π‘Œ))
4443necomd 2986 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  𝑃)
4515, 18, 19cvlatexchb1 38858 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  𝑃) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ↔ (𝑃 ∨ (𝑋 ∧ π‘Œ)) = (𝑃 ∨ 𝑄)))
4637, 38, 39, 2, 44, 45syl131anc 1380 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ↔ (𝑃 ∨ (𝑋 ∧ π‘Œ)) = (𝑃 ∨ 𝑄)))
4735, 46mpbid 231 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ (𝑃 ∨ (𝑋 ∧ π‘Œ)) = (𝑃 ∨ 𝑄))
4847oveq2d 7429 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ (𝑋 ∧ (𝑃 ∨ (𝑋 ∧ π‘Œ))) = (𝑋 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄)))
4921, 34, 483eqtr3rd 2774 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ (𝑋 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄)) = ((0.β€˜πΎ) ∨ (𝑋 ∧ π‘Œ)))
50 hlol 38885 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ OL)
511, 50syl 17 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ 𝐾 ∈ OL)
524, 18, 29olj02 38750 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((0.β€˜πΎ) ∨ (𝑋 ∧ π‘Œ)) = (𝑋 ∧ π‘Œ))
5351, 14, 52syl2anc 582 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ ((0.β€˜πΎ) ∨ (𝑋 ∧ π‘Œ)) = (𝑋 ∧ π‘Œ))
5449, 53eqtr2d 2766 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) = (𝑋 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄)))
5554ex 411 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) = (𝑋 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄))))
56 simp11 1200 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) β†’ 𝐾 ∈ HL)
5756hllatd 38888 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
58 simp12 1201 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) β†’ 𝑋 ∈ 𝑁)
5958, 6syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
60 simp21 1203 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
61 simp22 1204 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
624, 18, 19hlatjcl 38891 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
6356, 60, 61, 62syl3anc 1368 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
644, 15, 12latmle2 18451 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (𝑋 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄)) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))
6557, 59, 63, 64syl3anc 1368 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) β†’ (𝑋 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄)) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))
66 breq1 5147 . . 3 ((𝑋 ∧ π‘Œ) = (𝑋 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ↔ (𝑋 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄)) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))
6765, 66syl5ibrcom 246 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) = (𝑋 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))
6855, 67impbid 211 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ↔ (𝑋 ∧ π‘Œ) = (𝑋 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2930   class class class wbr 5144  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7413  Basecbs 17174  lecple 17234  joincjn 18297  meetcmee 18298  0.cp0 18409  Latclat 18417  OLcol 38698  Atomscatm 38787  AtLatcal 38788  CvLatclc 38789  HLchlt 38874  LLinesclln 39016
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-iun 4994  df-iin 4995  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-id 5571  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-proset 18281  df-poset 18299  df-plt 18316  df-lub 18332  df-glb 18333  df-join 18334  df-meet 18335  df-p0 18411  df-lat 18418  df-clat 18485  df-oposet 38700  df-ol 38702  df-oml 38703  df-covers 38790  df-ats 38791  df-atl 38822  df-cvlat 38846  df-hlat 38875  df-llines 39023  df-psubsp 39028  df-pmap 39029  df-padd 39321
This theorem is referenced by:  llnexchb2  39394
  Copyright terms: Public domain W3C validator