Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  llnexchb2lem Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem llnexchb2lem 38727
Description: Lemma for llnexchb2 38728. (Contributed by NM, 17-Nov-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
llnexch.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
llnexch.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
llnexch.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
llnexch.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
llnexch.n 𝑁 = (LLinesβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
llnexchb2lem (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ↔ (𝑋 ∧ π‘Œ) = (𝑋 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄))))
Proof of Theorem llnexchb2lem
StepHypRef Expression
1 simpl11 1248 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
2 simpl21 1251 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
3 simpl12 1249 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ 𝑋 ∈ 𝑁)
4 eqid 2732 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
5 llnexch.n . . . . . . . 8 𝑁 = (LLinesβ€˜πΎ)
64, 5llnbase 38368 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ 𝑁 β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
73, 6syl 17 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
81hllatd 38222 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
9 simpl13 1250 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ π‘Œ ∈ 𝑁)
104, 5llnbase 38368 . . . . . . . 8 (π‘Œ ∈ 𝑁 β†’ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΎ))
119, 10syl 17 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΎ))
12 llnexch.m . . . . . . . 8 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
134, 12latmcl 18389 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
148, 7, 11, 13syl3anc 1371 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
15 llnexch.l . . . . . . . 8 ≀ = (leβ€˜πΎ)
164, 15, 12latmle1 18413 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ 𝑋)
178, 7, 11, 16syl3anc 1371 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ 𝑋)
18 llnexch.j . . . . . . 7 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
19 llnexch.a . . . . . . 7 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
204, 15, 18, 12, 19atmod2i2 38721 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ 𝑋) β†’ ((𝑋 ∧ 𝑃) ∨ (𝑋 ∧ π‘Œ)) = (𝑋 ∧ (𝑃 ∨ (𝑋 ∧ π‘Œ))))
211, 2, 7, 14, 17, 20syl131anc 1383 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ ((𝑋 ∧ 𝑃) ∨ (𝑋 ∧ π‘Œ)) = (𝑋 ∧ (𝑃 ∨ (𝑋 ∧ π‘Œ))))
224, 19atbase 38147 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ 𝐴 β†’ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
232, 22syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
244, 12latmcom 18412 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (𝑋 ∧ 𝑃) = (𝑃 ∧ 𝑋))
258, 7, 23, 24syl3anc 1371 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ (𝑋 ∧ 𝑃) = (𝑃 ∧ 𝑋))
26 simpl23 1253 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋)
27 hlatl 38218 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ AtLat)
281, 27syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ 𝐾 ∈ AtLat)
29 eqid 2732 . . . . . . . . . 10 (0.β€˜πΎ) = (0.β€˜πΎ)
304, 15, 12, 29, 19atnle 38175 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋 ↔ (𝑃 ∧ 𝑋) = (0.β€˜πΎ)))
3128, 2, 7, 30syl3anc 1371 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ (Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋 ↔ (𝑃 ∧ 𝑋) = (0.β€˜πΎ)))
3226, 31mpbid 231 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ (𝑃 ∧ 𝑋) = (0.β€˜πΎ))
3325, 32eqtrd 2772 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ (𝑋 ∧ 𝑃) = (0.β€˜πΎ))
3433oveq1d 7420 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ ((𝑋 ∧ 𝑃) ∨ (𝑋 ∧ π‘Œ)) = ((0.β€˜πΎ) ∨ (𝑋 ∧ π‘Œ)))
35 simpr 485 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))
36 hlcvl 38217 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ CvLat)
371, 36syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ 𝐾 ∈ CvLat)
38 simpl3 1193 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴)
39 simpl22 1252 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
40 breq1 5150 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 = (𝑋 ∧ π‘Œ) β†’ (𝑃 ≀ 𝑋 ↔ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ 𝑋))
4117, 40syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ (𝑃 = (𝑋 ∧ π‘Œ) β†’ 𝑃 ≀ 𝑋))
4241necon3bd 2954 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ (Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋 β†’ 𝑃 β‰  (𝑋 ∧ π‘Œ)))
4326, 42mpd 15 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ 𝑃 β‰  (𝑋 ∧ π‘Œ))
4443necomd 2996 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  𝑃)
4515, 18, 19cvlatexchb1 38192 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  𝑃) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ↔ (𝑃 ∨ (𝑋 ∧ π‘Œ)) = (𝑃 ∨ 𝑄)))
4637, 38, 39, 2, 44, 45syl131anc 1383 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ↔ (𝑃 ∨ (𝑋 ∧ π‘Œ)) = (𝑃 ∨ 𝑄)))
4735, 46mpbid 231 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ (𝑃 ∨ (𝑋 ∧ π‘Œ)) = (𝑃 ∨ 𝑄))
4847oveq2d 7421 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ (𝑋 ∧ (𝑃 ∨ (𝑋 ∧ π‘Œ))) = (𝑋 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄)))
4921, 34, 483eqtr3rd 2781 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ (𝑋 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄)) = ((0.β€˜πΎ) ∨ (𝑋 ∧ π‘Œ)))
50 hlol 38219 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ OL)
511, 50syl 17 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ 𝐾 ∈ OL)
524, 18, 29olj02 38084 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((0.β€˜πΎ) ∨ (𝑋 ∧ π‘Œ)) = (𝑋 ∧ π‘Œ))
5351, 14, 52syl2anc 584 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ ((0.β€˜πΎ) ∨ (𝑋 ∧ π‘Œ)) = (𝑋 ∧ π‘Œ))
5449, 53eqtr2d 2773 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) = (𝑋 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄)))
5554ex 413 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) = (𝑋 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄))))
56 simp11 1203 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) β†’ 𝐾 ∈ HL)
5756hllatd 38222 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
58 simp12 1204 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) β†’ 𝑋 ∈ 𝑁)
5958, 6syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
60 simp21 1206 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
61 simp22 1207 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
624, 18, 19hlatjcl 38225 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
6356, 60, 61, 62syl3anc 1371 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
644, 15, 12latmle2 18414 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (𝑋 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄)) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))
6557, 59, 63, 64syl3anc 1371 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) β†’ (𝑋 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄)) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))
66 breq1 5150 . . 3 ((𝑋 ∧ π‘Œ) = (𝑋 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ↔ (𝑋 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄)) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))
6765, 66syl5ibrcom 246 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) = (𝑋 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))
6855, 67impbid 211 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ↔ (𝑋 ∧ π‘Œ) = (𝑋 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940   class class class wbr 5147  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  Basecbs 17140  lecple 17200  joincjn 18260  meetcmee 18261  0.cp0 18372  Latclat 18380  OLcol 38032  Atomscatm 38121  AtLatcal 38122  CvLatclc 38123  HLchlt 38208  LLinesclln 38350
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-proset 18244  df-poset 18262  df-plt 18279  df-lub 18295  df-glb 18296  df-join 18297  df-meet 18298  df-p0 18374  df-lat 18381  df-clat 18448  df-oposet 38034  df-ol 38036  df-oml 38037  df-covers 38124  df-ats 38125  df-atl 38156  df-cvlat 38180  df-hlat 38209  df-llines 38357  df-psubsp 38362  df-pmap 38363  df-padd 38655
This theorem is referenced by:  llnexchb2  38728
  Copyright terms: Public domain W3C validator