Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  llnexchb2lem Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem llnexchb2lem 39265
Description: Lemma for llnexchb2 39266. (Contributed by NM, 17-Nov-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
llnexch.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
llnexch.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
llnexch.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
llnexch.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
llnexch.n 𝑁 = (LLinesβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
llnexchb2lem (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ↔ (𝑋 ∧ π‘Œ) = (𝑋 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄))))
Proof of Theorem llnexchb2lem
StepHypRef Expression
1 simpl11 1246 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
2 simpl21 1249 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
3 simpl12 1247 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ 𝑋 ∈ 𝑁)
4 eqid 2727 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
5 llnexch.n . . . . . . . 8 𝑁 = (LLinesβ€˜πΎ)
64, 5llnbase 38906 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ 𝑁 β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
73, 6syl 17 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
81hllatd 38760 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
9 simpl13 1248 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ π‘Œ ∈ 𝑁)
104, 5llnbase 38906 . . . . . . . 8 (π‘Œ ∈ 𝑁 β†’ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΎ))
119, 10syl 17 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΎ))
12 llnexch.m . . . . . . . 8 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
134, 12latmcl 18417 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
148, 7, 11, 13syl3anc 1369 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
15 llnexch.l . . . . . . . 8 ≀ = (leβ€˜πΎ)
164, 15, 12latmle1 18441 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ 𝑋)
178, 7, 11, 16syl3anc 1369 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ 𝑋)
18 llnexch.j . . . . . . 7 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
19 llnexch.a . . . . . . 7 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
204, 15, 18, 12, 19atmod2i2 39259 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ 𝑋) β†’ ((𝑋 ∧ 𝑃) ∨ (𝑋 ∧ π‘Œ)) = (𝑋 ∧ (𝑃 ∨ (𝑋 ∧ π‘Œ))))
211, 2, 7, 14, 17, 20syl131anc 1381 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ ((𝑋 ∧ 𝑃) ∨ (𝑋 ∧ π‘Œ)) = (𝑋 ∧ (𝑃 ∨ (𝑋 ∧ π‘Œ))))
224, 19atbase 38685 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ 𝐴 β†’ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
232, 22syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
244, 12latmcom 18440 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (𝑋 ∧ 𝑃) = (𝑃 ∧ 𝑋))
258, 7, 23, 24syl3anc 1369 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ (𝑋 ∧ 𝑃) = (𝑃 ∧ 𝑋))
26 simpl23 1251 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋)
27 hlatl 38756 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ AtLat)
281, 27syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ 𝐾 ∈ AtLat)
29 eqid 2727 . . . . . . . . . 10 (0.β€˜πΎ) = (0.β€˜πΎ)
304, 15, 12, 29, 19atnle 38713 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋 ↔ (𝑃 ∧ 𝑋) = (0.β€˜πΎ)))
3128, 2, 7, 30syl3anc 1369 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ (Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋 ↔ (𝑃 ∧ 𝑋) = (0.β€˜πΎ)))
3226, 31mpbid 231 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ (𝑃 ∧ 𝑋) = (0.β€˜πΎ))
3325, 32eqtrd 2767 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ (𝑋 ∧ 𝑃) = (0.β€˜πΎ))
3433oveq1d 7429 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ ((𝑋 ∧ 𝑃) ∨ (𝑋 ∧ π‘Œ)) = ((0.β€˜πΎ) ∨ (𝑋 ∧ π‘Œ)))
35 simpr 484 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))
36 hlcvl 38755 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ CvLat)
371, 36syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ 𝐾 ∈ CvLat)
38 simpl3 1191 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴)
39 simpl22 1250 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
40 breq1 5145 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 = (𝑋 ∧ π‘Œ) β†’ (𝑃 ≀ 𝑋 ↔ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ 𝑋))
4117, 40syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ (𝑃 = (𝑋 ∧ π‘Œ) β†’ 𝑃 ≀ 𝑋))
4241necon3bd 2949 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ (Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋 β†’ 𝑃 β‰  (𝑋 ∧ π‘Œ)))
4326, 42mpd 15 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ 𝑃 β‰  (𝑋 ∧ π‘Œ))
4443necomd 2991 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  𝑃)
4515, 18, 19cvlatexchb1 38730 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  𝑃) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ↔ (𝑃 ∨ (𝑋 ∧ π‘Œ)) = (𝑃 ∨ 𝑄)))
4637, 38, 39, 2, 44, 45syl131anc 1381 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ↔ (𝑃 ∨ (𝑋 ∧ π‘Œ)) = (𝑃 ∨ 𝑄)))
4735, 46mpbid 231 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ (𝑃 ∨ (𝑋 ∧ π‘Œ)) = (𝑃 ∨ 𝑄))
4847oveq2d 7430 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ (𝑋 ∧ (𝑃 ∨ (𝑋 ∧ π‘Œ))) = (𝑋 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄)))
4921, 34, 483eqtr3rd 2776 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ (𝑋 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄)) = ((0.β€˜πΎ) ∨ (𝑋 ∧ π‘Œ)))
50 hlol 38757 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ OL)
511, 50syl 17 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ 𝐾 ∈ OL)
524, 18, 29olj02 38622 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((0.β€˜πΎ) ∨ (𝑋 ∧ π‘Œ)) = (𝑋 ∧ π‘Œ))
5351, 14, 52syl2anc 583 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ ((0.β€˜πΎ) ∨ (𝑋 ∧ π‘Œ)) = (𝑋 ∧ π‘Œ))
5449, 53eqtr2d 2768 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) = (𝑋 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄)))
5554ex 412 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) = (𝑋 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄))))
56 simp11 1201 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) β†’ 𝐾 ∈ HL)
5756hllatd 38760 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
58 simp12 1202 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) β†’ 𝑋 ∈ 𝑁)
5958, 6syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
60 simp21 1204 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
61 simp22 1205 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
624, 18, 19hlatjcl 38763 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
6356, 60, 61, 62syl3anc 1369 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
644, 15, 12latmle2 18442 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (𝑋 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄)) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))
6557, 59, 63, 64syl3anc 1369 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) β†’ (𝑋 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄)) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))
66 breq1 5145 . . 3 ((𝑋 ∧ π‘Œ) = (𝑋 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ↔ (𝑋 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄)) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))
6765, 66syl5ibrcom 246 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) = (𝑋 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))
6855, 67impbid 211 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ 𝑋) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ↔ (𝑋 ∧ π‘Œ) = (𝑋 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2935   class class class wbr 5142  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  Basecbs 17165  lecple 17225  joincjn 18288  meetcmee 18289  0.cp0 18400  Latclat 18408  OLcol 38570  Atomscatm 38659  AtLatcal 38660  CvLatclc 38661  HLchlt 38746  LLinesclln 38888
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-proset 18272  df-poset 18290  df-plt 18307  df-lub 18323  df-glb 18324  df-join 18325  df-meet 18326  df-p0 18402  df-lat 18409  df-clat 18476  df-oposet 38572  df-ol 38574  df-oml 38575  df-covers 38662  df-ats 38663  df-atl 38694  df-cvlat 38718  df-hlat 38747  df-llines 38895  df-psubsp 38900  df-pmap 38901  df-padd 39193
This theorem is referenced by:  llnexchb2  39266
  Copyright terms: Public domain W3C validator