Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dalem14 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dalem14 39015
Description: Lemma for dath 39074. Planes π‘Œ and 𝑍 form a 3-dimensional space (when they are different). (Contributed by NM, 22-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
dalema.ph (πœ‘ ↔ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐢 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑂 ∧ 𝑍 ∈ 𝑂) ∧ ((Β¬ 𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∧ (Β¬ 𝐢 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑆)) ∧ (𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝐢 ≀ (𝑄 ∨ 𝑇) ∧ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)))))
dalemc.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
dalemc.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
dalemc.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
dalem14.o 𝑂 = (LPlanesβ€˜πΎ)
dalem14.v 𝑉 = (LVolsβ€˜πΎ)
dalem14.y π‘Œ = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)
dalem14.z 𝑍 = ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ)
dalem14.w π‘Š = (π‘Œ ∨ 𝐢)
Assertion
Ref Expression
dalem14 ((πœ‘ ∧ π‘Œ β‰  𝑍) β†’ (π‘Œ ∨ 𝑍) ∈ 𝑉)

Proof of Theorem dalem14
StepHypRef Expression
1 dalema.ph . . 3 (πœ‘ ↔ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐢 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑂 ∧ 𝑍 ∈ 𝑂) ∧ ((Β¬ 𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∧ (Β¬ 𝐢 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑆)) ∧ (𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝐢 ≀ (𝑄 ∨ 𝑇) ∧ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)))))
2 dalemc.l . . 3 ≀ = (leβ€˜πΎ)
3 dalemc.j . . 3 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
4 dalemc.a . . 3 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
5 dalem14.o . . 3 𝑂 = (LPlanesβ€˜πΎ)
6 dalem14.y . . 3 π‘Œ = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)
7 dalem14.z . . 3 𝑍 = ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ)
8 dalem14.w . . 3 π‘Š = (π‘Œ ∨ 𝐢)
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8dalem13 39014 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘Œ β‰  𝑍) β†’ (π‘Œ ∨ 𝑍) = π‘Š)
10 dalem14.v . . 3 𝑉 = (LVolsβ€˜πΎ)
111, 2, 3, 4, 5, 10, 6, 7, 8dalem9 39010 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘Œ β‰  𝑍) β†’ π‘Š ∈ 𝑉)
129, 11eqeltrd 2832 1 ((πœ‘ ∧ π‘Œ β‰  𝑍) β†’ (π‘Œ ∨ 𝑍) ∈ 𝑉)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   β‰  wne 2939   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412  Basecbs 17151  lecple 17211  joincjn 18274  Atomscatm 38600  HLchlt 38687  LPlanesclpl 38830  LVolsclvol 38831
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-proset 18258  df-poset 18276  df-plt 18293  df-lub 18309  df-glb 18310  df-join 18311  df-meet 18312  df-p0 18388  df-lat 18395  df-clat 18462  df-oposet 38513  df-ol 38515  df-oml 38516  df-covers 38603  df-ats 38604  df-atl 38635  df-cvlat 38659  df-hlat 38688  df-llines 38836  df-lplanes 38837  df-lvols 38838
This theorem is referenced by:  dalem15  39016
  Copyright terms: Public domain W3C validator