Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dalem15 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dalem15 37946
Description: Lemma for dath 38004. The axis of perspectivity 𝑋 is a line. (Contributed by NM, 21-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
dalema.ph (πœ‘ ↔ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐢 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑂 ∧ 𝑍 ∈ 𝑂) ∧ ((Β¬ 𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∧ (Β¬ 𝐢 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑆)) ∧ (𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝐢 ≀ (𝑄 ∨ 𝑇) ∧ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)))))
dalemc.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
dalemc.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
dalemc.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
dalem15.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
dalem15.n 𝑁 = (LLinesβ€˜πΎ)
dalem15.o 𝑂 = (LPlanesβ€˜πΎ)
dalem15.y π‘Œ = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)
dalem15.z 𝑍 = ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ)
dalem15.x 𝑋 = (π‘Œ ∧ 𝑍)
Assertion
Ref Expression
dalem15 ((πœ‘ ∧ π‘Œ β‰  𝑍) β†’ 𝑋 ∈ 𝑁)

Proof of Theorem dalem15
StepHypRef Expression
1 dalem15.x . 2 𝑋 = (π‘Œ ∧ 𝑍)
2 dalema.ph . . . 4 (πœ‘ ↔ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐢 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑂 ∧ 𝑍 ∈ 𝑂) ∧ ((Β¬ 𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∧ (Β¬ 𝐢 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑆)) ∧ (𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝐢 ≀ (𝑄 ∨ 𝑇) ∧ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)))))
3 dalemc.l . . . 4 ≀ = (leβ€˜πΎ)
4 dalemc.j . . . 4 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
5 dalemc.a . . . 4 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
6 dalem15.o . . . 4 𝑂 = (LPlanesβ€˜πΎ)
7 eqid 2736 . . . 4 (LVolsβ€˜πΎ) = (LVolsβ€˜πΎ)
8 dalem15.y . . . 4 π‘Œ = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)
9 dalem15.z . . . 4 𝑍 = ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ)
10 eqid 2736 . . . 4 (π‘Œ ∨ 𝐢) = (π‘Œ ∨ 𝐢)
112, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10dalem14 37945 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Œ β‰  𝑍) β†’ (π‘Œ ∨ 𝑍) ∈ (LVolsβ€˜πΎ))
122dalemkehl 37891 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ HL)
132dalemyeo 37900 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑂)
142dalemzeo 37901 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝑂)
15 dalem15.m . . . . . 6 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
16 dalem15.n . . . . . 6 𝑁 = (LLinesβ€˜πΎ)
174, 15, 16, 6, 72lplnmj 37890 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Œ ∈ 𝑂 ∧ 𝑍 ∈ 𝑂) β†’ ((π‘Œ ∧ 𝑍) ∈ 𝑁 ↔ (π‘Œ ∨ 𝑍) ∈ (LVolsβ€˜πΎ)))
1812, 13, 14, 17syl3anc 1370 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘Œ ∧ 𝑍) ∈ 𝑁 ↔ (π‘Œ ∨ 𝑍) ∈ (LVolsβ€˜πΎ)))
1918adantr 481 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Œ β‰  𝑍) β†’ ((π‘Œ ∧ 𝑍) ∈ 𝑁 ↔ (π‘Œ ∨ 𝑍) ∈ (LVolsβ€˜πΎ)))
2011, 19mpbird 256 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘Œ β‰  𝑍) β†’ (π‘Œ ∧ 𝑍) ∈ 𝑁)
211, 20eqeltrid 2841 1 ((πœ‘ ∧ π‘Œ β‰  𝑍) β†’ 𝑋 ∈ 𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   β‰  wne 2940   class class class wbr 5092  β€˜cfv 6479  (class class class)co 7337  Basecbs 17009  lecple 17066  joincjn 18126  meetcmee 18127  Atomscatm 37530  HLchlt 37617  LLinesclln 37759  LPlanesclpl 37760  LVolsclvol 37761
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5229  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372  ax-un 7650
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4853  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-id 5518  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-riota 7293  df-ov 7340  df-oprab 7341  df-proset 18110  df-poset 18128  df-plt 18145  df-lub 18161  df-glb 18162  df-join 18163  df-meet 18164  df-p0 18240  df-lat 18247  df-clat 18314  df-oposet 37443  df-ol 37445  df-oml 37446  df-covers 37533  df-ats 37534  df-atl 37565  df-cvlat 37589  df-hlat 37618  df-llines 37766  df-lplanes 37767  df-lvols 37768
This theorem is referenced by:  dalem16  37947  dalem53  37993
  Copyright terms: Public domain W3C validator