Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dalem15 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dalem15 38549
Description: Lemma for dath 38607. The axis of perspectivity 𝑋 is a line. (Contributed by NM, 21-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
dalema.ph (πœ‘ ↔ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐢 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑂 ∧ 𝑍 ∈ 𝑂) ∧ ((Β¬ 𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∧ (Β¬ 𝐢 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑆)) ∧ (𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝐢 ≀ (𝑄 ∨ 𝑇) ∧ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)))))
dalemc.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
dalemc.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
dalemc.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
dalem15.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
dalem15.n 𝑁 = (LLinesβ€˜πΎ)
dalem15.o 𝑂 = (LPlanesβ€˜πΎ)
dalem15.y π‘Œ = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)
dalem15.z 𝑍 = ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ)
dalem15.x 𝑋 = (π‘Œ ∧ 𝑍)
Assertion
Ref Expression
dalem15 ((πœ‘ ∧ π‘Œ β‰  𝑍) β†’ 𝑋 ∈ 𝑁)

Proof of Theorem dalem15
StepHypRef Expression
1 dalem15.x . 2 𝑋 = (π‘Œ ∧ 𝑍)
2 dalema.ph . . . 4 (πœ‘ ↔ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐢 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑂 ∧ 𝑍 ∈ 𝑂) ∧ ((Β¬ 𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∧ (Β¬ 𝐢 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑆)) ∧ (𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝐢 ≀ (𝑄 ∨ 𝑇) ∧ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)))))
3 dalemc.l . . . 4 ≀ = (leβ€˜πΎ)
4 dalemc.j . . . 4 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
5 dalemc.a . . . 4 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
6 dalem15.o . . . 4 𝑂 = (LPlanesβ€˜πΎ)
7 eqid 2733 . . . 4 (LVolsβ€˜πΎ) = (LVolsβ€˜πΎ)
8 dalem15.y . . . 4 π‘Œ = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)
9 dalem15.z . . . 4 𝑍 = ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ)
10 eqid 2733 . . . 4 (π‘Œ ∨ 𝐢) = (π‘Œ ∨ 𝐢)
112, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10dalem14 38548 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Œ β‰  𝑍) β†’ (π‘Œ ∨ 𝑍) ∈ (LVolsβ€˜πΎ))
122dalemkehl 38494 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ HL)
132dalemyeo 38503 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑂)
142dalemzeo 38504 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝑂)
15 dalem15.m . . . . . 6 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
16 dalem15.n . . . . . 6 𝑁 = (LLinesβ€˜πΎ)
174, 15, 16, 6, 72lplnmj 38493 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Œ ∈ 𝑂 ∧ 𝑍 ∈ 𝑂) β†’ ((π‘Œ ∧ 𝑍) ∈ 𝑁 ↔ (π‘Œ ∨ 𝑍) ∈ (LVolsβ€˜πΎ)))
1812, 13, 14, 17syl3anc 1372 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘Œ ∧ 𝑍) ∈ 𝑁 ↔ (π‘Œ ∨ 𝑍) ∈ (LVolsβ€˜πΎ)))
1918adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Œ β‰  𝑍) β†’ ((π‘Œ ∧ 𝑍) ∈ 𝑁 ↔ (π‘Œ ∨ 𝑍) ∈ (LVolsβ€˜πΎ)))
2011, 19mpbird 257 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘Œ β‰  𝑍) β†’ (π‘Œ ∧ 𝑍) ∈ 𝑁)
211, 20eqeltrid 2838 1 ((πœ‘ ∧ π‘Œ β‰  𝑍) β†’ 𝑋 ∈ 𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941   class class class wbr 5149  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Basecbs 17144  lecple 17204  joincjn 18264  meetcmee 18265  Atomscatm 38133  HLchlt 38220  LLinesclln 38362  LPlanesclpl 38363  LVolsclvol 38364
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-proset 18248  df-poset 18266  df-plt 18283  df-lub 18299  df-glb 18300  df-join 18301  df-meet 18302  df-p0 18378  df-lat 18385  df-clat 18452  df-oposet 38046  df-ol 38048  df-oml 38049  df-covers 38136  df-ats 38137  df-atl 38168  df-cvlat 38192  df-hlat 38221  df-llines 38369  df-lplanes 38370  df-lvols 38371
This theorem is referenced by:  dalem16  38550  dalem53  38596
  Copyright terms: Public domain W3C validator