Theorem acacni 10258

Description: A choice equivalent: every set has choice sets of every length. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
acacni	⊢ ((CHOICE ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → AC 𝐴 = V)

Proof of Theorem acacni

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((CHOICE ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ 𝑉)
2		vex 3458	. . . . 5 ⊢ 𝑥 ∈ V
3		dfac10 10255	. . . . . 6 ⊢ (CHOICE ↔ dom card = V)
4	3	birani 509	. . . . 5 ⊢ ((CHOICE ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → dom card = V)
5	2, 4	eleqtrrid 2871	. . . 4 ⊢ ((CHOICE ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝑥 ∈ dom card)
6		numacn 10167	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ dom card → 𝑥 ∈ AC 𝐴))
7	1, 5, 6	sylc 66	. . 3 ⊢ ((CHOICE ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝑥 ∈ AC 𝐴)
8	2	a1i 11	. . 3 ⊢ ((CHOICE ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝑥 ∈ V)
9	7, 8	2thd 268	. 2 ⊢ ((CHOICE ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝑥 ∈ AC 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ V))
10	9	eqrdv 2761	1 ⊢ ((CHOICE ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → AC 𝐴 = V)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  Vcvv 3454  dom cdm 5658  cardccrd 10053  AC wacn 10056  CHOICEwac 10233

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-isom 6575  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-er 8755  df-map 8887  df-en 9012  df-dom 9013  df-card 10057  df-acn 10060  df-ac 10234

This theorem is used by:  dfacacn  10259  dfac13  10260  ptcls  23990  dfac14  23992