Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  acacni Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem acacni 9560
 Description: A choice equivalent: every set has choice sets of every length. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
acacni ((CHOICE𝐴𝑉) → AC 𝐴 = V)

Proof of Theorem acacni
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 488 . . . 4 ((CHOICE𝐴𝑉) → 𝐴𝑉)
2 vex 3483 . . . . 5 𝑥 ∈ V
3 simpl 486 . . . . . 6 ((CHOICE𝐴𝑉) → CHOICE)
4 dfac10 9557 . . . . . 6 (CHOICE ↔ dom card = V)
53, 4sylib 221 . . . . 5 ((CHOICE𝐴𝑉) → dom card = V)
62, 5eleqtrrid 2923 . . . 4 ((CHOICE𝐴𝑉) → 𝑥 ∈ dom card)
7 numacn 9469 . . . 4 (𝐴𝑉 → (𝑥 ∈ dom card → 𝑥AC 𝐴))
81, 6, 7sylc 65 . . 3 ((CHOICE𝐴𝑉) → 𝑥AC 𝐴)
92a1i 11 . . 3 ((CHOICE𝐴𝑉) → 𝑥 ∈ V)
108, 92thd 268 . 2 ((CHOICE𝐴𝑉) → (𝑥AC 𝐴𝑥 ∈ V))
1110eqrdv 2822 1 ((CHOICE𝐴𝑉) → AC 𝐴 = V)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  Vcvv 3480  dom cdm 5543  cardccrd 9357  AC wacn 9360  CHOICEwac 9535 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5177  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7452 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4826  df-int 4864  df-iun 4908  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-se 5503  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6136  df-ord 6182  df-on 6183  df-suc 6185  df-iota 6303  df-fun 6346  df-fn 6347  df-f 6348  df-f1 6349  df-fo 6350  df-f1o 6351  df-fv 6352  df-isom 6353  df-riota 7104  df-ov 7149  df-oprab 7150  df-mpo 7151  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-er 8281  df-map 8400  df-en 8502  df-dom 8503  df-card 9361  df-acn 9364  df-ac 9536 This theorem is referenced by:  dfacacn  9561  dfac13  9562  ptcls  22219  dfac14  22221
 Copyright terms: Public domain W3C validator