Theorem dfrp2 13373

Description: Alternate definition of the positive real numbers. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
dfrp2	⊢ ℝ+ = (0(,)+∞)

Proof of Theorem dfrp2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltpnf 13100	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 < +∞)
2	1	adantr 482	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥) → 𝑥 < +∞)
3	2	pm4.71i 561	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥) ↔ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥) ∧ 𝑥 < +∞))
4		df-3an 1090	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥 ∧ 𝑥 < +∞) ↔ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥) ∧ 𝑥 < +∞))
5	3, 4	bitr4i 278	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥 ∧ 𝑥 < +∞))
6		elrp 12976	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥))
7		0xr 11261	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ*
8		pnfxr 11268	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
9		elioo2 13365	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (0(,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥 ∧ 𝑥 < +∞)))
10	7, 8, 9	mp2an 691	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥 ∧ 𝑥 < +∞))
11	5, 6, 10	3bitr4i 303	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ ↔ 𝑥 ∈ (0(,)+∞))
12	11	eqriv 2730	1 ⊢ ℝ+ = (0(,)+∞)

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5149  (class class class)co 7409  ℝcr 11109  0cc0 11110  +∞cpnf 11245  ℝ^*cxr 11247   < clt 11248  ℝ⁺crp 12974  (,)cioo 13324

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-addrcl 11171  ax-rnegex 11181  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-rp 12975  df-ioo 13328

This theorem is referenced by:  omssubadd  33299  aks4d1p1p6  40938