Theorem dfrp2 13312

Description: Alternate definition of the positive real numbers. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
dfrp2	⊢ ℝ+ = (0(,)+∞)

Proof of Theorem dfrp2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltpnf 13036	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 < +∞)
2	1	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥) → 𝑥 < +∞)
3	2	pm4.71i 559	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥) ↔ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥) ∧ 𝑥 < +∞))
4		df-3an 1089	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥 ∧ 𝑥 < +∞) ↔ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥) ∧ 𝑥 < +∞))
5	3, 4	bitr4i 278	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥 ∧ 𝑥 < +∞))
6		elrp 12909	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥))
7		0xr 11181	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ*
8		pnfxr 11188	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
9		elioo2 13304	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (0(,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥 ∧ 𝑥 < +∞)))
10	7, 8, 9	mp2an 693	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥 ∧ 𝑥 < +∞))
11	5, 6, 10	3bitr4i 303	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ ↔ 𝑥 ∈ (0(,)+∞))
12	11	eqriv 2732	1 ⊢ ℝ+ = (0(,)+∞)

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5097  (class class class)co 7358  ℝcr 11027  0cc0 11028  +∞cpnf 11165  ℝ^*cxr 11167   < clt 11168  ℝ⁺crp 12907  (,)cioo 13263

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2183  ax-ext 2707  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5309  ax-pr 5376  ax-un 7680  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-addrcl 11089  ax-rnegex 11099  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rab 3399  df-v 3441  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-nul 4285  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4947  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-id 5518  df-po 5531  df-so 5532  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-iota 6447  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-er 8635  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-rp 12908  df-ioo 13267

This theorem is referenced by:  omssubadd  34436  aks4d1p1p6  42362  readvrec2  42653  readvrec  42654