Theorem dfrp2 12863

Description: Alternate definition of the positive real numbers. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
dfrp2	⊢ ℝ+ = (0(,)+∞)

Proof of Theorem dfrp2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltpnf 12591	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 < +∞)
2	1	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥) → 𝑥 < +∞)
3	2	pm4.71i 563	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥) ↔ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥) ∧ 𝑥 < +∞))
4		df-3an 1090	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥 ∧ 𝑥 < +∞) ↔ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥) ∧ 𝑥 < +∞))
5	3, 4	bitr4i 281	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥 ∧ 𝑥 < +∞))
6		elrp 12467	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥))
7		0xr 10759	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ*
8		pnfxr 10766	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
9		elioo2 12855	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (0(,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥 ∧ 𝑥 < +∞)))
10	7, 8, 9	mp2an 692	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥 ∧ 𝑥 < +∞))
11	5, 6, 10	3bitr4i 306	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ ↔ 𝑥 ∈ (0(,)+∞))
12	11	eqriv 2735	1 ⊢ ℝ+ = (0(,)+∞)

Syntax hints:   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5027  (class class class)co 7164  ℝcr 10607  0cc0 10608  +∞cpnf 10743  ℝ^*cxr 10745   < clt 10746  ℝ⁺crp 12465  (,)cioo 12814

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-sep 5164  ax-nul 5171  ax-pow 5229  ax-pr 5293  ax-un 7473  ax-cnex 10664  ax-resscn 10665  ax-1cn 10666  ax-addrcl 10669  ax-rnegex 10679  ax-cnre 10681  ax-pre-lttri 10682  ax-pre-lttrn 10683

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-rab 3062  df-v 3399  df-sbc 3680  df-csb 3789  df-dif 3844  df-un 3846  df-in 3848  df-ss 3858  df-nul 4210  df-if 4412  df-pw 4487  df-sn 4514  df-pr 4516  df-op 4520  df-uni 4794  df-iun 4880  df-br 5028  df-opab 5090  df-mpt 5108  df-id 5425  df-po 5438  df-so 5439  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6291  df-fun 6335  df-fn 6336  df-f 6337  df-f1 6338  df-fo 6339  df-f1o 6340  df-fv 6341  df-ov 7167  df-oprab 7168  df-mpo 7169  df-1st 7707  df-2nd 7708  df-er 8313  df-en 8549  df-dom 8550  df-sdom 8551  df-pnf 10748  df-mnf 10749  df-xr 10750  df-ltxr 10751  df-le 10752  df-rp 12466  df-ioo 12818

This theorem is referenced by:  omssubadd  31829  aks4d1p1p6  39689