MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dfrp2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dfrp2 13324
Description: Alternate definition of the positive real numbers. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
dfrp2 + = (0(,)+∞)

Proof of Theorem dfrp2
StepHypRef Expression
1 ltpnf 13051 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 < +∞)
21adantr 482 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥) → 𝑥 < +∞)
32pm4.71i 561 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥) ↔ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥) ∧ 𝑥 < +∞))
4 df-3an 1090 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥𝑥 < +∞) ↔ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥) ∧ 𝑥 < +∞))
53, 4bitr4i 278 . . 3 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥𝑥 < +∞))
6 elrp 12927 . . 3 (𝑥 ∈ ℝ+ ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥))
7 0xr 11212 . . . 4 0 ∈ ℝ*
8 pnfxr 11219 . . . 4 +∞ ∈ ℝ*
9 elioo2 13316 . . . 4 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (0(,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥𝑥 < +∞)))
107, 8, 9mp2an 691 . . 3 (𝑥 ∈ (0(,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥𝑥 < +∞))
115, 6, 103bitr4i 303 . 2 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (0(,)+∞))
1211eqriv 2729 1 + = (0(,)+∞)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107   class class class wbr 5111  (class class class)co 7363  cr 11060  0cc0 11061  +∞cpnf 11196  *cxr 11198   < clt 11199  +crp 12925  (,)cioo 13275
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2703  ax-sep 5262  ax-nul 5269  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7678  ax-cnex 11117  ax-resscn 11118  ax-1cn 11119  ax-addrcl 11122  ax-rnegex 11132  ax-cnre 11134  ax-pre-lttri 11135  ax-pre-lttrn 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4289  df-if 4493  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4872  df-iun 4962  df-br 5112  df-opab 5174  df-mpt 5195  df-id 5537  df-po 5551  df-so 5552  df-xp 5645  df-rel 5646  df-cnv 5647  df-co 5648  df-dm 5649  df-rn 5650  df-res 5651  df-ima 5652  df-iota 6454  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-er 8656  df-en 8892  df-dom 8893  df-sdom 8894  df-pnf 11201  df-mnf 11202  df-xr 11203  df-ltxr 11204  df-le 11205  df-rp 12926  df-ioo 13279
This theorem is referenced by:  omssubadd  32990  aks4d1p1p6  40604
  Copyright terms: Public domain W3C validator