Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  aks4d1p1p6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem aks4d1p1p6 39723
Description: Inequality lift to differentiable functions for a term in AKS inequality lemma. (Contributed by metakunt, 19-Aug-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
aks4d1p1p6.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
aks4d1p1p6.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
aks4d1p1p6.3 (𝜑 → 3 ≤ 𝐴)
aks4d1p1p6.4 (𝜑𝐴𝐵)
Assertion
Ref Expression
aks4d1p1p6 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((2 · (2 logb (((2 logb 𝑥)↑5) + 1))) + ((2 logb 𝑥)↑2)))) = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((2 · ((1 / ((((2 logb 𝑥)↑5) + 1) · (log‘2))) · (((5 · ((2 logb 𝑥)↑4)) · (1 / (𝑥 · (log‘2)))) + 0))) + ((2 / ((log‘2)↑2)) · (((log‘𝑥)↑(2 − 1)) / 𝑥)))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥

Proof of Theorem aks4d1p1p6
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reelprrecn 10710 . . 3 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
21a1i 11 . 2 (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
3 2cnd 11797 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 2 ∈ ℂ)
4 2re 11793 . . . . . 6 2 ∈ ℝ
54a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 2 ∈ ℝ)
6 2pos 11822 . . . . . 6 0 < 2
76a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 0 < 2)
8 elioore 12854 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ)
98adantl 485 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ)
10 0red 10725 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 0 ∈ ℝ)
11 aks4d1p1p6.1 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
1211adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
13 3re 11799 . . . . . . . . . . 11 3 ∈ ℝ
1413a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 3 ∈ ℝ)
15 3pos 11824 . . . . . . . . . . 11 0 < 3
1615a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 0 < 3)
17 aks4d1p1p6.3 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 3 ≤ 𝐴)
1817adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 3 ≤ 𝐴)
1910, 14, 12, 16, 18ltletrd 10881 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 0 < 𝐴)
20 simpr 488 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
2111rexrd 10772 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
2221adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
23 aks4d1p1p6.2 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
2423rexrd 10772 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
2524adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
269rexrd 10772 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
27 elioo5 12881 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)))
2822, 25, 26, 27syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)))
2920, 28mpbid 235 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵))
3029simpld 498 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 < 𝑥)
3110, 12, 9, 19, 30lttrd 10882 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 0 < 𝑥)
32 1red 10723 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 1 ∈ ℝ)
33 1lt2 11890 . . . . . . . . . . 11 1 < 2
3433a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 1 < 2)
3532, 34ltned 10857 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 1 ≠ 2)
3635necomd 2990 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 2 ≠ 1)
375, 7, 9, 31, 36relogbcld 39623 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (2 logb 𝑥) ∈ ℝ)
38 5nn0 11999 . . . . . . . 8 5 ∈ ℕ0
3938a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 5 ∈ ℕ0)
4037, 39reexpcld 13622 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((2 logb 𝑥)↑5) ∈ ℝ)
4140, 32readdcld 10751 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((2 logb 𝑥)↑5) + 1) ∈ ℝ)
4210, 32readdcld 10751 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (0 + 1) ∈ ℝ)
4310ltp1d 11651 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 0 < (0 + 1))
4439nn0zd 12169 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 5 ∈ ℤ)
45 2cnd 11797 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → 2 ∈ ℂ)
46 0red 10725 . . . . . . . . . . . . 13 (⊤ → 0 ∈ ℝ)
476a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (⊤ → 0 < 2)
4846, 47ltned 10857 . . . . . . . . . . . 12 (⊤ → 0 ≠ 2)
4948necomd 2990 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → 2 ≠ 0)
50 1red 10723 . . . . . . . . . . . . 13 (⊤ → 1 ∈ ℝ)
5133a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (⊤ → 1 < 2)
5250, 51ltned 10857 . . . . . . . . . . . 12 (⊤ → 1 ≠ 2)
5352necomd 2990 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → 2 ≠ 1)
54 logb1 25510 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0 ∧ 2 ≠ 1) → (2 logb 1) = 0)
5545, 49, 53, 54syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 (⊤ → (2 logb 1) = 0)
5655mptru 1549 . . . . . . . . 9 (2 logb 1) = 0
57 2lt3 11891 . . . . . . . . . . . . . 14 2 < 3
5857a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 2 < 3)
5932, 5, 14, 34, 58lttrd 10882 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 1 < 3)
6032, 14, 12, 59, 18ltletrd 10881 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 1 < 𝐴)
6132, 12, 9, 60, 30lttrd 10882 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 1 < 𝑥)
62 2z 12098 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℤ
6362a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 2 ∈ ℤ)
6463uzidd 12343 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 2 ∈ (ℤ‘2))
65 1rp 12479 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℝ+
6665a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 1 ∈ ℝ+)
679, 31elrpd 12514 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ+)
68 logblt 25525 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ (ℤ‘2) ∧ 1 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+) → (1 < 𝑥 ↔ (2 logb 1) < (2 logb 𝑥)))
6964, 66, 67, 68syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (1 < 𝑥 ↔ (2 logb 1) < (2 logb 𝑥)))
7061, 69mpbid 235 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (2 logb 1) < (2 logb 𝑥))
7156, 70eqbrtrrid 5067 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 0 < (2 logb 𝑥))
72 expgt0 13557 . . . . . . . 8 (((2 logb 𝑥) ∈ ℝ ∧ 5 ∈ ℤ ∧ 0 < (2 logb 𝑥)) → 0 < ((2 logb 𝑥)↑5))
7337, 44, 71, 72syl3anc 1372 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 0 < ((2 logb 𝑥)↑5))
7410, 40, 32, 73ltadd1dd 11332 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (0 + 1) < (((2 logb 𝑥)↑5) + 1))
7510, 42, 41, 43, 74lttrd 10882 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 0 < (((2 logb 𝑥)↑5) + 1))
765, 7, 41, 75, 36relogbcld 39623 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (2 logb (((2 logb 𝑥)↑5) + 1)) ∈ ℝ)
77 recn 10708 . . . 4 ((2 logb (((2 logb 𝑥)↑5) + 1)) ∈ ℝ → (2 logb (((2 logb 𝑥)↑5) + 1)) ∈ ℂ)
7876, 77syl 17 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (2 logb (((2 logb 𝑥)↑5) + 1)) ∈ ℂ)
793, 78mulcld 10742 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (2 · (2 logb (((2 logb 𝑥)↑5) + 1))) ∈ ℂ)
80 2rp 12480 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ+
8180a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 2 ∈ ℝ+)
8281relogcld 25369 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (log‘2) ∈ ℝ)
8341, 82remulcld 10752 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((((2 logb 𝑥)↑5) + 1) · (log‘2)) ∈ ℝ)
8440recnd 10750 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((2 logb 𝑥)↑5) ∈ ℂ)
85 1cnd 10717 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 1 ∈ ℂ)
8684, 85addcld 10741 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((2 logb 𝑥)↑5) + 1) ∈ ℂ)
877gt0ne0d 11285 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 2 ≠ 0)
883, 87logcld 25317 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (log‘2) ∈ ℂ)
8975gt0ne0d 11285 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((2 logb 𝑥)↑5) + 1) ≠ 0)
90 0red 10725 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
91 loggt0b 25378 . . . . . . . . . . . 12 (2 ∈ ℝ+ → (0 < (log‘2) ↔ 1 < 2))
9280, 91ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (0 < (log‘2) ↔ 1 < 2)
9333, 92mpbir 234 . . . . . . . . . 10 0 < (log‘2)
9493a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 < (log‘2))
9590, 94ltned 10857 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ≠ (log‘2))
9695necomd 2990 . . . . . . 7 (𝜑 → (log‘2) ≠ 0)
9796adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (log‘2) ≠ 0)
9886, 88, 89, 97mulne0d 11373 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((((2 logb 𝑥)↑5) + 1) · (log‘2)) ≠ 0)
9932, 83, 98redivcld 11549 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (1 / ((((2 logb 𝑥)↑5) + 1) · (log‘2))) ∈ ℝ)
100 5re 11806 . . . . . . . 8 5 ∈ ℝ
101100a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 5 ∈ ℝ)
102 4nn0 11998 . . . . . . . . 9 4 ∈ ℕ0
103102a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 4 ∈ ℕ0)
10437, 103reexpcld 13622 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((2 logb 𝑥)↑4) ∈ ℝ)
105101, 104remulcld 10752 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (5 · ((2 logb 𝑥)↑4)) ∈ ℝ)
1069, 82remulcld 10752 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑥 · (log‘2)) ∈ ℝ)
1079recnd 10750 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥 ∈ ℂ)
10810, 31gtned 10856 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥 ≠ 0)
109107, 88, 108, 97mulne0d 11373 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑥 · (log‘2)) ≠ 0)
11032, 106, 109redivcld 11549 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (1 / (𝑥 · (log‘2))) ∈ ℝ)
111105, 110remulcld 10752 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((5 · ((2 logb 𝑥)↑4)) · (1 / (𝑥 · (log‘2)))) ∈ ℝ)
112111, 10readdcld 10751 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((5 · ((2 logb 𝑥)↑4)) · (1 / (𝑥 · (log‘2)))) + 0) ∈ ℝ)
11399, 112remulcld 10752 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((1 / ((((2 logb 𝑥)↑5) + 1) · (log‘2))) · (((5 · ((2 logb 𝑥)↑4)) · (1 / (𝑥 · (log‘2)))) + 0)) ∈ ℝ)
1145, 113remulcld 10752 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (2 · ((1 / ((((2 logb 𝑥)↑5) + 1) · (log‘2))) · (((5 · ((2 logb 𝑥)↑4)) · (1 / (𝑥 · (log‘2)))) + 0))) ∈ ℝ)
11541, 75elrpd 12514 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((2 logb 𝑥)↑5) + 1) ∈ ℝ+)
1164a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → 2 ∈ ℝ)
1176a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → 0 < 2)
118 rpre 12483 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ)
119118adantl 485 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑦 ∈ ℝ)
120 rpgt0 12487 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℝ+ → 0 < 𝑦)
121120adantl 485 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → 0 < 𝑦)
122 1red 10723 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℝ)
12333a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → 1 < 2)
124122, 123ltned 10857 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → 1 ≠ 2)
125124necomd 2990 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → 2 ≠ 1)
126116, 117, 119, 121, 125relogbcld 39623 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → (2 logb 𝑦) ∈ ℝ)
127126recnd 10750 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → (2 logb 𝑦) ∈ ℂ)
12880a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → 2 ∈ ℝ+)
129128relogcld 25369 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → (log‘2) ∈ ℝ)
130119, 129remulcld 10752 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑦 · (log‘2)) ∈ ℝ)
131119recnd 10750 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑦 ∈ ℂ)
132 2cnd 11797 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → 2 ∈ ℂ)
133128rpne0d 12522 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → 2 ≠ 0)
134132, 133logcld 25317 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → (log‘2) ∈ ℂ)
135 rpne0 12491 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℝ+𝑦 ≠ 0)
136135adantl 485 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑦 ≠ 0)
13796necomd 2990 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ≠ (log‘2))
138137adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → 0 ≠ (log‘2))
139138necomd 2990 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → (log‘2) ≠ 0)
140131, 134, 136, 139mulne0d 11373 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑦 · (log‘2)) ≠ 0)
141122, 130, 140redivcld 11549 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → (1 / (𝑦 · (log‘2))) ∈ ℝ)
142 cnelprrecn 10711 . . . . . . 7 ℂ ∈ {ℝ, ℂ}
143142a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
14437recnd 10750 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (2 logb 𝑥) ∈ ℂ)
145 simpr 488 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → 𝑧 ∈ ℂ)
14638a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → 5 ∈ ℕ0)
147145, 146expcld 13605 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → (𝑧↑5) ∈ ℂ)
148 5cn 11807 . . . . . . . 8 5 ∈ ℂ
149148a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → 5 ∈ ℂ)
150102a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → 4 ∈ ℕ0)
151145, 150expcld 13605 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → (𝑧↑4) ∈ ℂ)
152149, 151mulcld 10742 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → (5 · (𝑧↑4)) ∈ ℂ)
15313a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 3 ∈ ℝ)
15415a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 < 3)
15590, 153, 11, 154, 17ltletrd 10881 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 < 𝐴)
15690, 11, 155ltled 10869 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
157 aks4d1p1p6.4 . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝐵)
158 eqid 2739 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (2 logb 𝑥)) = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (2 logb 𝑥))
159 eqid 2739 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (1 / (𝑥 · (log‘2)))) = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (1 / (𝑥 · (log‘2))))
16021, 24, 156, 157, 158, 159dvrelog2b 39716 . . . . . 6 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (2 logb 𝑥))) = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (1 / (𝑥 · (log‘2)))))
161 5nn 11805 . . . . . . . 8 5 ∈ ℕ
162 dvexp 24708 . . . . . . . 8 (5 ∈ ℕ → (ℂ D (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧↑5))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (5 · (𝑧↑(5 − 1)))))
163161, 162ax-mp 5 . . . . . . 7 (ℂ D (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧↑5))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (5 · (𝑧↑(5 − 1))))
164 5m1e4 11849 . . . . . . . . . . 11 (5 − 1) = 4
165164a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → (5 − 1) = 4)
166165oveq2d 7189 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → (𝑧↑(5 − 1)) = (𝑧↑4))
167166oveq2d 7189 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → (5 · (𝑧↑(5 − 1))) = (5 · (𝑧↑4)))
168167mpteq2dva 5126 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑧 ∈ ℂ ↦ (5 · (𝑧↑(5 − 1)))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (5 · (𝑧↑4))))
169163, 168syl5eq 2786 . . . . . 6 (𝜑 → (ℂ D (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧↑5))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (5 · (𝑧↑4))))
170 oveq1 7180 . . . . . 6 (𝑧 = (2 logb 𝑥) → (𝑧↑5) = ((2 logb 𝑥)↑5))
171 oveq1 7180 . . . . . . 7 (𝑧 = (2 logb 𝑥) → (𝑧↑4) = ((2 logb 𝑥)↑4))
172171oveq2d 7189 . . . . . 6 (𝑧 = (2 logb 𝑥) → (5 · (𝑧↑4)) = (5 · ((2 logb 𝑥)↑4)))
1732, 143, 144, 110, 147, 152, 160, 169, 170, 172dvmptco 24727 . . . . 5 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((2 logb 𝑥)↑5))) = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((5 · ((2 logb 𝑥)↑4)) · (1 / (𝑥 · (log‘2))))))
174 1cnd 10717 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
175174adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℂ)
176 0red 10725 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 0 ∈ ℝ)
1772, 174dvmptc 24713 . . . . . 6 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ ↦ 1)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ 0))
178 ioossre 12885 . . . . . . 7 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ
179178a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ)
180 eqid 2739 . . . . . . 7 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
181180tgioo2 23558 . . . . . 6 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
182 iooretop 23521 . . . . . . 7 (𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,))
183182a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,)))
1842, 175, 176, 177, 179, 181, 180, 183dvmptres 24718 . . . . 5 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 1)) = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 0))
1852, 84, 111, 173, 85, 10, 184dvmptadd 24715 . . . 4 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((2 logb 𝑥)↑5) + 1))) = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((5 · ((2 logb 𝑥)↑4)) · (1 / (𝑥 · (log‘2)))) + 0)))
186 dfrp2 12873 . . . . . . . 8 + = (0(,)+∞)
187186a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → ℝ+ = (0(,)+∞))
188187mpteq1d 5120 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (2 logb 𝑦)) = (𝑦 ∈ (0(,)+∞) ↦ (2 logb 𝑦)))
189188oveq2d 7189 . . . . 5 (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (2 logb 𝑦))) = (ℝ D (𝑦 ∈ (0(,)+∞) ↦ (2 logb 𝑦))))
19090rexrd 10772 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ∈ ℝ*)
191 pnfxr 10776 . . . . . . . 8 +∞ ∈ ℝ*
192191a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
19390leidd 11287 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ≤ 0)
194 0lepnf 12613 . . . . . . . 8 0 ≤ +∞
195194a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ≤ +∞)
196 eqid 2739 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (0(,)+∞) ↦ (2 logb 𝑦)) = (𝑦 ∈ (0(,)+∞) ↦ (2 logb 𝑦))
197 eqid 2739 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (0(,)+∞) ↦ (1 / (𝑦 · (log‘2)))) = (𝑦 ∈ (0(,)+∞) ↦ (1 / (𝑦 · (log‘2))))
198190, 192, 193, 195, 196, 197dvrelog2b 39716 . . . . . 6 (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ (0(,)+∞) ↦ (2 logb 𝑦))) = (𝑦 ∈ (0(,)+∞) ↦ (1 / (𝑦 · (log‘2)))))
199187eqcomd 2745 . . . . . . 7 (𝜑 → (0(,)+∞) = ℝ+)
200199mpteq1d 5120 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑦 ∈ (0(,)+∞) ↦ (1 / (𝑦 · (log‘2)))) = (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (1 / (𝑦 · (log‘2)))))
201198, 200eqtrd 2774 . . . . 5 (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ (0(,)+∞) ↦ (2 logb 𝑦))) = (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (1 / (𝑦 · (log‘2)))))
202189, 201eqtrd 2774 . . . 4 (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (2 logb 𝑦))) = (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (1 / (𝑦 · (log‘2)))))
203 oveq2 7181 . . . 4 (𝑦 = (((2 logb 𝑥)↑5) + 1) → (2 logb 𝑦) = (2 logb (((2 logb 𝑥)↑5) + 1)))
204 oveq1 7180 . . . . 5 (𝑦 = (((2 logb 𝑥)↑5) + 1) → (𝑦 · (log‘2)) = ((((2 logb 𝑥)↑5) + 1) · (log‘2)))
205204oveq2d 7189 . . . 4 (𝑦 = (((2 logb 𝑥)↑5) + 1) → (1 / (𝑦 · (log‘2))) = (1 / ((((2 logb 𝑥)↑5) + 1) · (log‘2))))
2062, 2, 115, 112, 127, 141, 185, 202, 203, 205dvmptco 24727 . . 3 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (2 logb (((2 logb 𝑥)↑5) + 1)))) = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((1 / ((((2 logb 𝑥)↑5) + 1) · (log‘2))) · (((5 · ((2 logb 𝑥)↑4)) · (1 / (𝑥 · (log‘2)))) + 0))))
2074a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
208207recnd 10750 . . 3 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
2092, 78, 113, 206, 208dvmptcmul 24719 . 2 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (2 · (2 logb (((2 logb 𝑥)↑5) + 1))))) = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (2 · ((1 / ((((2 logb 𝑥)↑5) + 1) · (log‘2))) · (((5 · ((2 logb 𝑥)↑4)) · (1 / (𝑥 · (log‘2)))) + 0)))))
210144sqcld 13603 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((2 logb 𝑥)↑2) ∈ ℂ)
21182resqcld 13706 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((log‘2)↑2) ∈ ℝ)
21281rpne0d 12522 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 2 ≠ 0)
2133, 212logcld 25317 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (log‘2) ∈ ℂ)
214213, 97, 63expne0d 13611 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((log‘2)↑2) ≠ 0)
2155, 211, 214redivcld 11549 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (2 / ((log‘2)↑2)) ∈ ℝ)
21667relogcld 25369 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
217 2m1e1 11845 . . . . . . 7 (2 − 1) = 1
218 1nn0 11995 . . . . . . 7 1 ∈ ℕ0
219217, 218eqeltri 2830 . . . . . 6 (2 − 1) ∈ ℕ0
220219a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (2 − 1) ∈ ℕ0)
221216, 220reexpcld 13622 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((log‘𝑥)↑(2 − 1)) ∈ ℝ)
22267rpne0d 12522 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥 ≠ 0)
223221, 9, 222redivcld 11549 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((log‘𝑥)↑(2 − 1)) / 𝑥) ∈ ℝ)
224215, 223remulcld 10752 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((2 / ((log‘2)↑2)) · (((log‘𝑥)↑(2 − 1)) / 𝑥)) ∈ ℝ)
225 eqid 2739 . . 3 (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((2 logb 𝑥)↑2)) = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((2 logb 𝑥)↑2))
226 eqid 2739 . . 3 (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((2 / ((log‘2)↑2)) · (((log‘𝑥)↑(2 − 1)) / 𝑥))) = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((2 / ((log‘2)↑2)) · (((log‘𝑥)↑(2 − 1)) / 𝑥)))
227 eqid 2739 . . 3 (2 / ((log‘2)↑2)) = (2 / ((log‘2)↑2))
228 2nn 11792 . . . 4 2 ∈ ℕ
229228a1i 11 . . 3 (𝜑 → 2 ∈ ℕ)
23011, 23, 155, 157, 225, 226, 227, 229dvrelogpow2b 39718 . 2 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((2 logb 𝑥)↑2))) = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((2 / ((log‘2)↑2)) · (((log‘𝑥)↑(2 − 1)) / 𝑥))))
2312, 79, 114, 209, 210, 224, 230dvmptadd 24715 1 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((2 · (2 logb (((2 logb 𝑥)↑5) + 1))) + ((2 logb 𝑥)↑2)))) = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((2 · ((1 / ((((2 logb 𝑥)↑5) + 1) · (log‘2))) · (((5 · ((2 logb 𝑥)↑4)) · (1 / (𝑥 · (log‘2)))) + 0))) + ((2 / ((log‘2)↑2)) · (((log‘𝑥)↑(2 − 1)) / 𝑥)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1542  wtru 1543  wcel 2114  wne 2935  wss 3844  {cpr 4519   class class class wbr 5031  cmpt 5111  ran crn 5527  cfv 6340  (class class class)co 7173  cc 10616  cr 10617  0cc0 10618  1c1 10619   + caddc 10621   · cmul 10623  +∞cpnf 10753  *cxr 10755   < clt 10756  cle 10757  cmin 10951   / cdiv 11378  cn 11719  2c2 11774  3c3 11775  4c4 11776  5c5 11777  0cn0 11979  cz 12065  cuz 12327  +crp 12475  (,)cioo 12824  cexp 13524  TopOpenctopn 16801  topGenctg 16817  fldccnfld 20220   D cdv 24618  logclog 25301   logb clogb 25505
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-rep 5155  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5233  ax-pr 5297  ax-un 7482  ax-inf2 9180  ax-cnex 10674  ax-resscn 10675  ax-1cn 10676  ax-icn 10677  ax-addcl 10678  ax-addrcl 10679  ax-mulcl 10680  ax-mulrcl 10681  ax-mulcom 10682  ax-addass 10683  ax-mulass 10684  ax-distr 10685  ax-i2m1 10686  ax-1ne0 10687  ax-1rid 10688  ax-rnegex 10689  ax-rrecex 10690  ax-cnre 10691  ax-pre-lttri 10692  ax-pre-lttrn 10693  ax-pre-ltadd 10694  ax-pre-mulgt0 10695  ax-pre-sup 10696  ax-addf 10697  ax-mulf 10698
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3401  df-sbc 3682  df-csb 3792  df-dif 3847  df-un 3849  df-in 3851  df-ss 3861  df-pss 3863  df-nul 4213  df-if 4416  df-pw 4491  df-sn 4518  df-pr 4520  df-tp 4522  df-op 4524  df-uni 4798  df-int 4838  df-iun 4884  df-iin 4885  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5484  df-se 5485  df-we 5486  df-xp 5532  df-rel 5533  df-cnv 5534  df-co 5535  df-dm 5536  df-rn 5537  df-res 5538  df-ima 5539  df-pred 6130  df-ord 6176  df-on 6177  df-lim 6178  df-suc 6179  df-iota 6298  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-isom 6349  df-riota 7130  df-ov 7176  df-oprab 7177  df-mpo 7178  df-of 7428  df-om 7603  df-1st 7717  df-2nd 7718  df-supp 7860  df-wrecs 7979  df-recs 8040  df-rdg 8078  df-1o 8134  df-2o 8135  df-er 8323  df-map 8442  df-pm 8443  df-ixp 8511  df-en 8559  df-dom 8560  df-sdom 8561  df-fin 8562  df-fsupp 8910  df-fi 8951  df-sup 8982  df-inf 8983  df-oi 9050  df-card 9444  df-pnf 10758  df-mnf 10759  df-xr 10760  df-ltxr 10761  df-le 10762  df-sub 10953  df-neg 10954  df-div 11379  df-nn 11720  df-2 11782  df-3 11783  df-4 11784  df-5 11785  df-6 11786  df-7 11787  df-8 11788  df-9 11789  df-n0 11980  df-z 12066  df-dec 12183  df-uz 12328  df-q 12434  df-rp 12476  df-xneg 12593  df-xadd 12594  df-xmul 12595  df-ioo 12828  df-ioc 12829  df-ico 12830  df-icc 12831  df-fz 12985  df-fzo 13128  df-fl 13256  df-mod 13332  df-seq 13464  df-exp 13525  df-fac 13729  df-bc 13758  df-hash 13786  df-shft 14519  df-cj 14551  df-re 14552  df-im 14553  df-sqrt 14687  df-abs 14688  df-limsup 14921  df-clim 14938  df-rlim 14939  df-sum 15139  df-ef 15516  df-sin 15518  df-cos 15519  df-pi 15521  df-struct 16591  df-ndx 16592  df-slot 16593  df-base 16595  df-sets 16596  df-ress 16597  df-plusg 16684  df-mulr 16685  df-starv 16686  df-sca 16687  df-vsca 16688  df-ip 16689  df-tset 16690  df-ple 16691  df-ds 16693  df-unif 16694  df-hom 16695  df-cco 16696  df-rest 16802  df-topn 16803  df-0g 16821  df-gsum 16822  df-topgen 16823  df-pt 16824  df-prds 16827  df-xrs 16881  df-qtop 16886  df-imas 16887  df-xps 16889  df-mre 16963  df-mrc 16964  df-acs 16966  df-mgm 17971  df-sgrp 18020  df-mnd 18031  df-submnd 18076  df-mulg 18346  df-cntz 18568  df-cmn 19029  df-psmet 20212  df-xmet 20213  df-met 20214  df-bl 20215  df-mopn 20216  df-fbas 20217  df-fg 20218  df-cnfld 20221  df-top 21648  df-topon 21665  df-topsp 21687  df-bases 21700  df-cld 21773  df-ntr 21774  df-cls 21775  df-nei 21852  df-lp 21890  df-perf 21891  df-cn 21981  df-cnp 21982  df-haus 22069  df-cmp 22141  df-tx 22316  df-hmeo 22509  df-fil 22600  df-fm 22692  df-flim 22693  df-flf 22694  df-xms 23076  df-ms 23077  df-tms 23078  df-cncf 23633  df-limc 24621  df-dv 24622  df-log 25303  df-logb 25506
This theorem is referenced by:  aks4d1p1p5  39725
  Copyright terms: Public domain W3C validator