Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  aks4d1p1p6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem aks4d1p1p6 42054
Description: Inequality lift to differentiable functions for a term in AKS inequality lemma. (Contributed by metakunt, 19-Aug-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
aks4d1p1p6.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
aks4d1p1p6.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
aks4d1p1p6.3 (𝜑 → 3 ≤ 𝐴)
aks4d1p1p6.4 (𝜑𝐴𝐵)
Assertion
Ref Expression
aks4d1p1p6 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((2 · (2 logb (((2 logb 𝑥)↑5) + 1))) + ((2 logb 𝑥)↑2)))) = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((2 · ((1 / ((((2 logb 𝑥)↑5) + 1) · (log‘2))) · (((5 · ((2 logb 𝑥)↑4)) · (1 / (𝑥 · (log‘2)))) + 0))) + ((2 / ((log‘2)↑2)) · (((log‘𝑥)↑(2 − 1)) / 𝑥)))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥

Proof of Theorem aks4d1p1p6
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reelprrecn 11244 . . 3 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
21a1i 11 . 2 (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
3 2cnd 12341 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 2 ∈ ℂ)
4 2re 12337 . . . . . 6 2 ∈ ℝ
54a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 2 ∈ ℝ)
6 2pos 12366 . . . . . 6 0 < 2
76a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 0 < 2)
8 elioore 13413 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ)
98adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ)
10 0red 11261 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 0 ∈ ℝ)
11 aks4d1p1p6.1 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
1211adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
13 3re 12343 . . . . . . . . . . 11 3 ∈ ℝ
1413a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 3 ∈ ℝ)
15 3pos 12368 . . . . . . . . . . 11 0 < 3
1615a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 0 < 3)
17 aks4d1p1p6.3 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 3 ≤ 𝐴)
1817adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 3 ≤ 𝐴)
1910, 14, 12, 16, 18ltletrd 11418 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 0 < 𝐴)
20 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
2111rexrd 11308 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
2221adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
23 aks4d1p1p6.2 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
2423rexrd 11308 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
2524adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
269rexrd 11308 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
27 elioo5 13440 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)))
2822, 25, 26, 27syl3anc 1370 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)))
2920, 28mpbid 232 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵))
3029simpld 494 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 < 𝑥)
3110, 12, 9, 19, 30lttrd 11419 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 0 < 𝑥)
32 1red 11259 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 1 ∈ ℝ)
33 1lt2 12434 . . . . . . . . . . 11 1 < 2
3433a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 1 < 2)
3532, 34ltned 11394 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 1 ≠ 2)
3635necomd 2993 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 2 ≠ 1)
375, 7, 9, 31, 36relogbcld 41954 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (2 logb 𝑥) ∈ ℝ)
38 5nn0 12543 . . . . . . . 8 5 ∈ ℕ0
3938a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 5 ∈ ℕ0)
4037, 39reexpcld 14199 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((2 logb 𝑥)↑5) ∈ ℝ)
4140, 32readdcld 11287 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((2 logb 𝑥)↑5) + 1) ∈ ℝ)
4210, 32readdcld 11287 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (0 + 1) ∈ ℝ)
4310ltp1d 12195 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 0 < (0 + 1))
4439nn0zd 12636 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 5 ∈ ℤ)
45 2cnd 12341 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → 2 ∈ ℂ)
46 0red 11261 . . . . . . . . . . . . 13 (⊤ → 0 ∈ ℝ)
476a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (⊤ → 0 < 2)
4846, 47ltned 11394 . . . . . . . . . . . 12 (⊤ → 0 ≠ 2)
4948necomd 2993 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → 2 ≠ 0)
50 1red 11259 . . . . . . . . . . . . 13 (⊤ → 1 ∈ ℝ)
5133a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (⊤ → 1 < 2)
5250, 51ltned 11394 . . . . . . . . . . . 12 (⊤ → 1 ≠ 2)
5352necomd 2993 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → 2 ≠ 1)
54 logb1 26826 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0 ∧ 2 ≠ 1) → (2 logb 1) = 0)
5545, 49, 53, 54syl3anc 1370 . . . . . . . . . 10 (⊤ → (2 logb 1) = 0)
5655mptru 1543 . . . . . . . . 9 (2 logb 1) = 0
57 2lt3 12435 . . . . . . . . . . . . . 14 2 < 3
5857a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 2 < 3)
5932, 5, 14, 34, 58lttrd 11419 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 1 < 3)
6032, 14, 12, 59, 18ltletrd 11418 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 1 < 𝐴)
6132, 12, 9, 60, 30lttrd 11419 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 1 < 𝑥)
62 2z 12646 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℤ
6362a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 2 ∈ ℤ)
6463uzidd 12891 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 2 ∈ (ℤ‘2))
65 1rp 13035 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℝ+
6665a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 1 ∈ ℝ+)
679, 31elrpd 13071 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ+)
68 logblt 26841 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ (ℤ‘2) ∧ 1 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+) → (1 < 𝑥 ↔ (2 logb 1) < (2 logb 𝑥)))
6964, 66, 67, 68syl3anc 1370 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (1 < 𝑥 ↔ (2 logb 1) < (2 logb 𝑥)))
7061, 69mpbid 232 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (2 logb 1) < (2 logb 𝑥))
7156, 70eqbrtrrid 5183 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 0 < (2 logb 𝑥))
72 expgt0 14132 . . . . . . . 8 (((2 logb 𝑥) ∈ ℝ ∧ 5 ∈ ℤ ∧ 0 < (2 logb 𝑥)) → 0 < ((2 logb 𝑥)↑5))
7337, 44, 71, 72syl3anc 1370 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 0 < ((2 logb 𝑥)↑5))
7410, 40, 32, 73ltadd1dd 11871 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (0 + 1) < (((2 logb 𝑥)↑5) + 1))
7510, 42, 41, 43, 74lttrd 11419 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 0 < (((2 logb 𝑥)↑5) + 1))
765, 7, 41, 75, 36relogbcld 41954 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (2 logb (((2 logb 𝑥)↑5) + 1)) ∈ ℝ)
77 recn 11242 . . . 4 ((2 logb (((2 logb 𝑥)↑5) + 1)) ∈ ℝ → (2 logb (((2 logb 𝑥)↑5) + 1)) ∈ ℂ)
7876, 77syl 17 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (2 logb (((2 logb 𝑥)↑5) + 1)) ∈ ℂ)
793, 78mulcld 11278 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (2 · (2 logb (((2 logb 𝑥)↑5) + 1))) ∈ ℂ)
80 2rp 13036 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ+
8180a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 2 ∈ ℝ+)
8281relogcld 26679 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (log‘2) ∈ ℝ)
8341, 82remulcld 11288 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((((2 logb 𝑥)↑5) + 1) · (log‘2)) ∈ ℝ)
8440recnd 11286 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((2 logb 𝑥)↑5) ∈ ℂ)
85 1cnd 11253 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 1 ∈ ℂ)
8684, 85addcld 11277 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((2 logb 𝑥)↑5) + 1) ∈ ℂ)
877gt0ne0d 11824 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 2 ≠ 0)
883, 87logcld 26626 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (log‘2) ∈ ℂ)
8975gt0ne0d 11824 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((2 logb 𝑥)↑5) + 1) ≠ 0)
90 0red 11261 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
91 loggt0b 26688 . . . . . . . . . . . 12 (2 ∈ ℝ+ → (0 < (log‘2) ↔ 1 < 2))
9280, 91ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (0 < (log‘2) ↔ 1 < 2)
9333, 92mpbir 231 . . . . . . . . . 10 0 < (log‘2)
9493a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 < (log‘2))
9590, 94ltned 11394 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ≠ (log‘2))
9695necomd 2993 . . . . . . 7 (𝜑 → (log‘2) ≠ 0)
9796adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (log‘2) ≠ 0)
9886, 88, 89, 97mulne0d 11912 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((((2 logb 𝑥)↑5) + 1) · (log‘2)) ≠ 0)
9932, 83, 98redivcld 12092 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (1 / ((((2 logb 𝑥)↑5) + 1) · (log‘2))) ∈ ℝ)
100 5re 12350 . . . . . . . 8 5 ∈ ℝ
101100a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 5 ∈ ℝ)
102 4nn0 12542 . . . . . . . . 9 4 ∈ ℕ0
103102a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 4 ∈ ℕ0)
10437, 103reexpcld 14199 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((2 logb 𝑥)↑4) ∈ ℝ)
105101, 104remulcld 11288 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (5 · ((2 logb 𝑥)↑4)) ∈ ℝ)
1069, 82remulcld 11288 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑥 · (log‘2)) ∈ ℝ)
1079recnd 11286 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥 ∈ ℂ)
10810, 31gtned 11393 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥 ≠ 0)
109107, 88, 108, 97mulne0d 11912 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑥 · (log‘2)) ≠ 0)
11032, 106, 109redivcld 12092 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (1 / (𝑥 · (log‘2))) ∈ ℝ)
111105, 110remulcld 11288 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((5 · ((2 logb 𝑥)↑4)) · (1 / (𝑥 · (log‘2)))) ∈ ℝ)
112111, 10readdcld 11287 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((5 · ((2 logb 𝑥)↑4)) · (1 / (𝑥 · (log‘2)))) + 0) ∈ ℝ)
11399, 112remulcld 11288 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((1 / ((((2 logb 𝑥)↑5) + 1) · (log‘2))) · (((5 · ((2 logb 𝑥)↑4)) · (1 / (𝑥 · (log‘2)))) + 0)) ∈ ℝ)
1145, 113remulcld 11288 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (2 · ((1 / ((((2 logb 𝑥)↑5) + 1) · (log‘2))) · (((5 · ((2 logb 𝑥)↑4)) · (1 / (𝑥 · (log‘2)))) + 0))) ∈ ℝ)
11541, 75elrpd 13071 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((2 logb 𝑥)↑5) + 1) ∈ ℝ+)
1164a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → 2 ∈ ℝ)
1176a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → 0 < 2)
118 rpre 13040 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ)
119118adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑦 ∈ ℝ)
120 rpgt0 13044 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℝ+ → 0 < 𝑦)
121120adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → 0 < 𝑦)
122 1red 11259 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℝ)
12333a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → 1 < 2)
124122, 123ltned 11394 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → 1 ≠ 2)
125124necomd 2993 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → 2 ≠ 1)
126116, 117, 119, 121, 125relogbcld 41954 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → (2 logb 𝑦) ∈ ℝ)
127126recnd 11286 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → (2 logb 𝑦) ∈ ℂ)
12880a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → 2 ∈ ℝ+)
129128relogcld 26679 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → (log‘2) ∈ ℝ)
130119, 129remulcld 11288 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑦 · (log‘2)) ∈ ℝ)
131119recnd 11286 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑦 ∈ ℂ)
132 2cnd 12341 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → 2 ∈ ℂ)
133128rpne0d 13079 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → 2 ≠ 0)
134132, 133logcld 26626 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → (log‘2) ∈ ℂ)
135 rpne0 13048 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℝ+𝑦 ≠ 0)
136135adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑦 ≠ 0)
13796necomd 2993 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ≠ (log‘2))
138137adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → 0 ≠ (log‘2))
139138necomd 2993 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → (log‘2) ≠ 0)
140131, 134, 136, 139mulne0d 11912 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑦 · (log‘2)) ≠ 0)
141122, 130, 140redivcld 12092 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → (1 / (𝑦 · (log‘2))) ∈ ℝ)
142 cnelprrecn 11245 . . . . . . 7 ℂ ∈ {ℝ, ℂ}
143142a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
14437recnd 11286 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (2 logb 𝑥) ∈ ℂ)
145 simpr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → 𝑧 ∈ ℂ)
14638a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → 5 ∈ ℕ0)
147145, 146expcld 14182 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → (𝑧↑5) ∈ ℂ)
148 5cn 12351 . . . . . . . 8 5 ∈ ℂ
149148a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → 5 ∈ ℂ)
150102a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → 4 ∈ ℕ0)
151145, 150expcld 14182 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → (𝑧↑4) ∈ ℂ)
152149, 151mulcld 11278 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → (5 · (𝑧↑4)) ∈ ℂ)
15313a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 3 ∈ ℝ)
15415a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 < 3)
15590, 153, 11, 154, 17ltletrd 11418 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 < 𝐴)
15690, 11, 155ltled 11406 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
157 aks4d1p1p6.4 . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝐵)
158 eqid 2734 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (2 logb 𝑥)) = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (2 logb 𝑥))
159 eqid 2734 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (1 / (𝑥 · (log‘2)))) = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (1 / (𝑥 · (log‘2))))
16021, 24, 156, 157, 158, 159dvrelog2b 42047 . . . . . 6 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (2 logb 𝑥))) = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (1 / (𝑥 · (log‘2)))))
161 5nn 12349 . . . . . . . 8 5 ∈ ℕ
162 dvexp 26005 . . . . . . . 8 (5 ∈ ℕ → (ℂ D (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧↑5))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (5 · (𝑧↑(5 − 1)))))
163161, 162ax-mp 5 . . . . . . 7 (ℂ D (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧↑5))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (5 · (𝑧↑(5 − 1))))
164 5m1e4 12393 . . . . . . . . . . 11 (5 − 1) = 4
165164a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → (5 − 1) = 4)
166165oveq2d 7446 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → (𝑧↑(5 − 1)) = (𝑧↑4))
167166oveq2d 7446 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → (5 · (𝑧↑(5 − 1))) = (5 · (𝑧↑4)))
168167mpteq2dva 5247 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑧 ∈ ℂ ↦ (5 · (𝑧↑(5 − 1)))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (5 · (𝑧↑4))))
169163, 168eqtrid 2786 . . . . . 6 (𝜑 → (ℂ D (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧↑5))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (5 · (𝑧↑4))))
170 oveq1 7437 . . . . . 6 (𝑧 = (2 logb 𝑥) → (𝑧↑5) = ((2 logb 𝑥)↑5))
171 oveq1 7437 . . . . . . 7 (𝑧 = (2 logb 𝑥) → (𝑧↑4) = ((2 logb 𝑥)↑4))
172171oveq2d 7446 . . . . . 6 (𝑧 = (2 logb 𝑥) → (5 · (𝑧↑4)) = (5 · ((2 logb 𝑥)↑4)))
1732, 143, 144, 110, 147, 152, 160, 169, 170, 172dvmptco 26024 . . . . 5 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((2 logb 𝑥)↑5))) = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((5 · ((2 logb 𝑥)↑4)) · (1 / (𝑥 · (log‘2))))))
174 1cnd 11253 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
175174adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℂ)
176 0red 11261 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 0 ∈ ℝ)
1772, 174dvmptc 26010 . . . . . 6 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ ↦ 1)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ 0))
178 ioossre 13444 . . . . . . 7 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ
179178a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ)
180 eqid 2734 . . . . . . 7 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
181180tgioo2 24838 . . . . . 6 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
182 iooretop 24801 . . . . . . 7 (𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,))
183182a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,)))
1842, 175, 176, 177, 179, 181, 180, 183dvmptres 26015 . . . . 5 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 1)) = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 0))
1852, 84, 111, 173, 85, 10, 184dvmptadd 26012 . . . 4 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((2 logb 𝑥)↑5) + 1))) = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((5 · ((2 logb 𝑥)↑4)) · (1 / (𝑥 · (log‘2)))) + 0)))
186 dfrp2 13432 . . . . . . . 8 + = (0(,)+∞)
187186a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → ℝ+ = (0(,)+∞))
188187mpteq1d 5242 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (2 logb 𝑦)) = (𝑦 ∈ (0(,)+∞) ↦ (2 logb 𝑦)))
189188oveq2d 7446 . . . . 5 (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (2 logb 𝑦))) = (ℝ D (𝑦 ∈ (0(,)+∞) ↦ (2 logb 𝑦))))
19090rexrd 11308 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ∈ ℝ*)
191 pnfxr 11312 . . . . . . . 8 +∞ ∈ ℝ*
192191a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
19390leidd 11826 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ≤ 0)
194 0lepnf 13171 . . . . . . . 8 0 ≤ +∞
195194a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ≤ +∞)
196 eqid 2734 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (0(,)+∞) ↦ (2 logb 𝑦)) = (𝑦 ∈ (0(,)+∞) ↦ (2 logb 𝑦))
197 eqid 2734 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (0(,)+∞) ↦ (1 / (𝑦 · (log‘2)))) = (𝑦 ∈ (0(,)+∞) ↦ (1 / (𝑦 · (log‘2))))
198190, 192, 193, 195, 196, 197dvrelog2b 42047 . . . . . 6 (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ (0(,)+∞) ↦ (2 logb 𝑦))) = (𝑦 ∈ (0(,)+∞) ↦ (1 / (𝑦 · (log‘2)))))
199187eqcomd 2740 . . . . . . 7 (𝜑 → (0(,)+∞) = ℝ+)
200199mpteq1d 5242 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑦 ∈ (0(,)+∞) ↦ (1 / (𝑦 · (log‘2)))) = (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (1 / (𝑦 · (log‘2)))))
201198, 200eqtrd 2774 . . . . 5 (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ (0(,)+∞) ↦ (2 logb 𝑦))) = (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (1 / (𝑦 · (log‘2)))))
202189, 201eqtrd 2774 . . . 4 (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (2 logb 𝑦))) = (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (1 / (𝑦 · (log‘2)))))
203 oveq2 7438 . . . 4 (𝑦 = (((2 logb 𝑥)↑5) + 1) → (2 logb 𝑦) = (2 logb (((2 logb 𝑥)↑5) + 1)))
204 oveq1 7437 . . . . 5 (𝑦 = (((2 logb 𝑥)↑5) + 1) → (𝑦 · (log‘2)) = ((((2 logb 𝑥)↑5) + 1) · (log‘2)))
205204oveq2d 7446 . . . 4 (𝑦 = (((2 logb 𝑥)↑5) + 1) → (1 / (𝑦 · (log‘2))) = (1 / ((((2 logb 𝑥)↑5) + 1) · (log‘2))))
2062, 2, 115, 112, 127, 141, 185, 202, 203, 205dvmptco 26024 . . 3 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (2 logb (((2 logb 𝑥)↑5) + 1)))) = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((1 / ((((2 logb 𝑥)↑5) + 1) · (log‘2))) · (((5 · ((2 logb 𝑥)↑4)) · (1 / (𝑥 · (log‘2)))) + 0))))
2074a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
208207recnd 11286 . . 3 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
2092, 78, 113, 206, 208dvmptcmul 26016 . 2 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (2 · (2 logb (((2 logb 𝑥)↑5) + 1))))) = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (2 · ((1 / ((((2 logb 𝑥)↑5) + 1) · (log‘2))) · (((5 · ((2 logb 𝑥)↑4)) · (1 / (𝑥 · (log‘2)))) + 0)))))
210144sqcld 14180 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((2 logb 𝑥)↑2) ∈ ℂ)
21182resqcld 14161 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((log‘2)↑2) ∈ ℝ)
21281rpne0d 13079 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 2 ≠ 0)
2133, 212logcld 26626 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (log‘2) ∈ ℂ)
214213, 97, 63expne0d 14188 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((log‘2)↑2) ≠ 0)
2155, 211, 214redivcld 12092 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (2 / ((log‘2)↑2)) ∈ ℝ)
21667relogcld 26679 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
217 2m1e1 12389 . . . . . . 7 (2 − 1) = 1
218 1nn0 12539 . . . . . . 7 1 ∈ ℕ0
219217, 218eqeltri 2834 . . . . . 6 (2 − 1) ∈ ℕ0
220219a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (2 − 1) ∈ ℕ0)
221216, 220reexpcld 14199 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((log‘𝑥)↑(2 − 1)) ∈ ℝ)
22267rpne0d 13079 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥 ≠ 0)
223221, 9, 222redivcld 12092 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((log‘𝑥)↑(2 − 1)) / 𝑥) ∈ ℝ)
224215, 223remulcld 11288 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((2 / ((log‘2)↑2)) · (((log‘𝑥)↑(2 − 1)) / 𝑥)) ∈ ℝ)
225 eqid 2734 . . 3 (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((2 logb 𝑥)↑2)) = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((2 logb 𝑥)↑2))
226 eqid 2734 . . 3 (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((2 / ((log‘2)↑2)) · (((log‘𝑥)↑(2 − 1)) / 𝑥))) = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((2 / ((log‘2)↑2)) · (((log‘𝑥)↑(2 − 1)) / 𝑥)))
227 eqid 2734 . . 3 (2 / ((log‘2)↑2)) = (2 / ((log‘2)↑2))
228 2nn 12336 . . . 4 2 ∈ ℕ
229228a1i 11 . . 3 (𝜑 → 2 ∈ ℕ)
23011, 23, 155, 157, 225, 226, 227, 229dvrelogpow2b 42049 . 2 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((2 logb 𝑥)↑2))) = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((2 / ((log‘2)↑2)) · (((log‘𝑥)↑(2 − 1)) / 𝑥))))
2312, 79, 114, 209, 210, 224, 230dvmptadd 26012 1 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((2 · (2 logb (((2 logb 𝑥)↑5) + 1))) + ((2 logb 𝑥)↑2)))) = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((2 · ((1 / ((((2 logb 𝑥)↑5) + 1) · (log‘2))) · (((5 · ((2 logb 𝑥)↑4)) · (1 / (𝑥 · (log‘2)))) + 0))) + ((2 / ((log‘2)↑2)) · (((log‘𝑥)↑(2 − 1)) / 𝑥)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1536  wtru 1537  wcel 2105  wne 2937  wss 3962  {cpr 4632   class class class wbr 5147  cmpt 5230  ran crn 5689  cfv 6562  (class class class)co 7430  cc 11150  cr 11151  0cc0 11152  1c1 11153   + caddc 11155   · cmul 11157  +∞cpnf 11289  *cxr 11291   < clt 11292  cle 11293  cmin 11489   / cdiv 11917  cn 12263  2c2 12318  3c3 12319  4c4 12320  5c5 12321  0cn0 12523  cz 12610  cuz 12875  +crp 13031  (,)cioo 13383  cexp 14098  TopOpenctopn 17467  topGenctg 17483  fldccnfld 21381   D cdv 25912  logclog 26610   logb clogb 26821
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-inf2 9678  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230  ax-addf 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-iin 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7696  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-supp 8184  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-er 8743  df-map 8866  df-pm 8867  df-ixp 8936  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-fsupp 9399  df-fi 9448  df-sup 9479  df-inf 9480  df-oi 9547  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-q 12988  df-rp 13032  df-xneg 13151  df-xadd 13152  df-xmul 13153  df-ioo 13387  df-ioc 13388  df-ico 13389  df-icc 13390  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-fl 13828  df-mod 13906  df-seq 14039  df-exp 14099  df-fac 14309  df-bc 14338  df-hash 14366  df-shft 15102  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-limsup 15503  df-clim 15520  df-rlim 15521  df-sum 15719  df-ef 16099  df-sin 16101  df-cos 16102  df-pi 16104  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17468  df-topn 17469  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-topgen 17489  df-pt 17490  df-prds 17493  df-xrs 17548  df-qtop 17553  df-imas 17554  df-xps 17556  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-submnd 18809  df-mulg 19098  df-cntz 19347  df-cmn 19814  df-psmet 21373  df-xmet 21374  df-met 21375  df-bl 21376  df-mopn 21377  df-fbas 21378  df-fg 21379  df-cnfld 21382  df-top 22915  df-topon 22932  df-topsp 22954  df-bases 22968  df-cld 23042  df-ntr 23043  df-cls 23044  df-nei 23121  df-lp 23159  df-perf 23160  df-cn 23250  df-cnp 23251  df-haus 23338  df-cmp 23410  df-tx 23585  df-hmeo 23778  df-fil 23869  df-fm 23961  df-flim 23962  df-flf 23963  df-xms 24345  df-ms 24346  df-tms 24347  df-cncf 24917  df-limc 25915  df-dv 25916  df-log 26612  df-logb 26822
This theorem is referenced by:  aks4d1p1p5  42056
  Copyright terms: Public domain W3C validator