Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  aks4d1p1p6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem aks4d1p1p6 40559
Description: Inequality lift to differentiable functions for a term in AKS inequality lemma. (Contributed by metakunt, 19-Aug-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
aks4d1p1p6.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
aks4d1p1p6.2 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
aks4d1p1p6.3 (๐œ‘ โ†’ 3 โ‰ค ๐ด)
aks4d1p1p6.4 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โ‰ค ๐ต)
Assertion
Ref Expression
aks4d1p1p6 (๐œ‘ โ†’ (โ„ D (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต) โ†ฆ ((2 ยท (2 logb (((2 logb ๐‘ฅ)โ†‘5) + 1))) + ((2 logb ๐‘ฅ)โ†‘2)))) = (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต) โ†ฆ ((2 ยท ((1 / ((((2 logb ๐‘ฅ)โ†‘5) + 1) ยท (logโ€˜2))) ยท (((5 ยท ((2 logb ๐‘ฅ)โ†‘4)) ยท (1 / (๐‘ฅ ยท (logโ€˜2)))) + 0))) + ((2 / ((logโ€˜2)โ†‘2)) ยท (((logโ€˜๐‘ฅ)โ†‘(2 โˆ’ 1)) / ๐‘ฅ)))))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐ด   ๐‘ฅ,๐ต   ๐œ‘,๐‘ฅ

Proof of Theorem aks4d1p1p6
Dummy variables ๐‘ฆ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reelprrecn 11150 . . 3 โ„ โˆˆ {โ„, โ„‚}
21a1i 11 . 2 (๐œ‘ โ†’ โ„ โˆˆ {โ„, โ„‚})
3 2cnd 12238 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
4 2re 12234 . . . . . 6 2 โˆˆ โ„
54a1i 11 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ 2 โˆˆ โ„)
6 2pos 12263 . . . . . 6 0 < 2
76a1i 11 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ 0 < 2)
8 elioore 13301 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„)
98adantl 483 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„)
10 0red 11165 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ 0 โˆˆ โ„)
11 aks4d1p1p6.1 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
1211adantr 482 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
13 3re 12240 . . . . . . . . . . 11 3 โˆˆ โ„
1413a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ 3 โˆˆ โ„)
15 3pos 12265 . . . . . . . . . . 11 0 < 3
1615a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ 0 < 3)
17 aks4d1p1p6.3 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ 3 โ‰ค ๐ด)
1817adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ 3 โ‰ค ๐ด)
1910, 14, 12, 16, 18ltletrd 11322 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ 0 < ๐ด)
20 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต))
2111rexrd 11212 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„*)
2221adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„*)
23 aks4d1p1p6.2 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
2423rexrd 11212 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„*)
2524adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„*)
269rexrd 11212 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„*)
27 elioo5 13328 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง ๐ต โˆˆ โ„* โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„*) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต) โ†” (๐ด < ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฅ < ๐ต)))
2822, 25, 26, 27syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต) โ†” (๐ด < ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฅ < ๐ต)))
2920, 28mpbid 231 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ (๐ด < ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฅ < ๐ต))
3029simpld 496 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ ๐ด < ๐‘ฅ)
3110, 12, 9, 19, 30lttrd 11323 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ 0 < ๐‘ฅ)
32 1red 11163 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
33 1lt2 12331 . . . . . . . . . . 11 1 < 2
3433a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ 1 < 2)
3532, 34ltned 11298 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ 1 โ‰  2)
3635necomd 3000 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ 2 โ‰  1)
375, 7, 9, 31, 36relogbcld 40459 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ (2 logb ๐‘ฅ) โˆˆ โ„)
38 5nn0 12440 . . . . . . . 8 5 โˆˆ โ„•0
3938a1i 11 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ 5 โˆˆ โ„•0)
4037, 39reexpcld 14075 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ ((2 logb ๐‘ฅ)โ†‘5) โˆˆ โ„)
4140, 32readdcld 11191 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ (((2 logb ๐‘ฅ)โ†‘5) + 1) โˆˆ โ„)
4210, 32readdcld 11191 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ (0 + 1) โˆˆ โ„)
4310ltp1d 12092 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ 0 < (0 + 1))
4439nn0zd 12532 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ 5 โˆˆ โ„ค)
45 2cnd 12238 . . . . . . . . . . 11 (โŠค โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
46 0red 11165 . . . . . . . . . . . . 13 (โŠค โ†’ 0 โˆˆ โ„)
476a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (โŠค โ†’ 0 < 2)
4846, 47ltned 11298 . . . . . . . . . . . 12 (โŠค โ†’ 0 โ‰  2)
4948necomd 3000 . . . . . . . . . . 11 (โŠค โ†’ 2 โ‰  0)
50 1red 11163 . . . . . . . . . . . . 13 (โŠค โ†’ 1 โˆˆ โ„)
5133a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (โŠค โ†’ 1 < 2)
5250, 51ltned 11298 . . . . . . . . . . . 12 (โŠค โ†’ 1 โ‰  2)
5352necomd 3000 . . . . . . . . . . 11 (โŠค โ†’ 2 โ‰  1)
54 logb1 26135 . . . . . . . . . . 11 ((2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0 โˆง 2 โ‰  1) โ†’ (2 logb 1) = 0)
5545, 49, 53, 54syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 (โŠค โ†’ (2 logb 1) = 0)
5655mptru 1549 . . . . . . . . 9 (2 logb 1) = 0
57 2lt3 12332 . . . . . . . . . . . . . 14 2 < 3
5857a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ 2 < 3)
5932, 5, 14, 34, 58lttrd 11323 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ 1 < 3)
6032, 14, 12, 59, 18ltletrd 11322 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ 1 < ๐ด)
6132, 12, 9, 60, 30lttrd 11323 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ 1 < ๐‘ฅ)
62 2z 12542 . . . . . . . . . . . . 13 2 โˆˆ โ„ค
6362a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ 2 โˆˆ โ„ค)
6463uzidd 12786 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ 2 โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
65 1rp 12926 . . . . . . . . . . . 12 1 โˆˆ โ„+
6665a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ 1 โˆˆ โ„+)
679, 31elrpd 12961 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„+)
68 logblt 26150 . . . . . . . . . . 11 ((2 โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง 1 โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ (1 < ๐‘ฅ โ†” (2 logb 1) < (2 logb ๐‘ฅ)))
6964, 66, 67, 68syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ (1 < ๐‘ฅ โ†” (2 logb 1) < (2 logb ๐‘ฅ)))
7061, 69mpbid 231 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ (2 logb 1) < (2 logb ๐‘ฅ))
7156, 70eqbrtrrid 5146 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ 0 < (2 logb ๐‘ฅ))
72 expgt0 14008 . . . . . . . 8 (((2 logb ๐‘ฅ) โˆˆ โ„ โˆง 5 โˆˆ โ„ค โˆง 0 < (2 logb ๐‘ฅ)) โ†’ 0 < ((2 logb ๐‘ฅ)โ†‘5))
7337, 44, 71, 72syl3anc 1372 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ 0 < ((2 logb ๐‘ฅ)โ†‘5))
7410, 40, 32, 73ltadd1dd 11773 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ (0 + 1) < (((2 logb ๐‘ฅ)โ†‘5) + 1))
7510, 42, 41, 43, 74lttrd 11323 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ 0 < (((2 logb ๐‘ฅ)โ†‘5) + 1))
765, 7, 41, 75, 36relogbcld 40459 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ (2 logb (((2 logb ๐‘ฅ)โ†‘5) + 1)) โˆˆ โ„)
77 recn 11148 . . . 4 ((2 logb (((2 logb ๐‘ฅ)โ†‘5) + 1)) โˆˆ โ„ โ†’ (2 logb (((2 logb ๐‘ฅ)โ†‘5) + 1)) โˆˆ โ„‚)
7876, 77syl 17 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ (2 logb (((2 logb ๐‘ฅ)โ†‘5) + 1)) โˆˆ โ„‚)
793, 78mulcld 11182 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ (2 ยท (2 logb (((2 logb ๐‘ฅ)โ†‘5) + 1))) โˆˆ โ„‚)
80 2rp 12927 . . . . . . . 8 2 โˆˆ โ„+
8180a1i 11 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ 2 โˆˆ โ„+)
8281relogcld 25994 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ (logโ€˜2) โˆˆ โ„)
8341, 82remulcld 11192 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ ((((2 logb ๐‘ฅ)โ†‘5) + 1) ยท (logโ€˜2)) โˆˆ โ„)
8440recnd 11190 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ ((2 logb ๐‘ฅ)โ†‘5) โˆˆ โ„‚)
85 1cnd 11157 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
8684, 85addcld 11181 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ (((2 logb ๐‘ฅ)โ†‘5) + 1) โˆˆ โ„‚)
877gt0ne0d 11726 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ 2 โ‰  0)
883, 87logcld 25942 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ (logโ€˜2) โˆˆ โ„‚)
8975gt0ne0d 11726 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ (((2 logb ๐‘ฅ)โ†‘5) + 1) โ‰  0)
90 0red 11165 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ 0 โˆˆ โ„)
91 loggt0b 26003 . . . . . . . . . . . 12 (2 โˆˆ โ„+ โ†’ (0 < (logโ€˜2) โ†” 1 < 2))
9280, 91ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (0 < (logโ€˜2) โ†” 1 < 2)
9333, 92mpbir 230 . . . . . . . . . 10 0 < (logโ€˜2)
9493a1i 11 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ 0 < (logโ€˜2))
9590, 94ltned 11298 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰  (logโ€˜2))
9695necomd 3000 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (logโ€˜2) โ‰  0)
9796adantr 482 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ (logโ€˜2) โ‰  0)
9886, 88, 89, 97mulne0d 11814 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ ((((2 logb ๐‘ฅ)โ†‘5) + 1) ยท (logโ€˜2)) โ‰  0)
9932, 83, 98redivcld 11990 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ (1 / ((((2 logb ๐‘ฅ)โ†‘5) + 1) ยท (logโ€˜2))) โˆˆ โ„)
100 5re 12247 . . . . . . . 8 5 โˆˆ โ„
101100a1i 11 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ 5 โˆˆ โ„)
102 4nn0 12439 . . . . . . . . 9 4 โˆˆ โ„•0
103102a1i 11 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ 4 โˆˆ โ„•0)
10437, 103reexpcld 14075 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ ((2 logb ๐‘ฅ)โ†‘4) โˆˆ โ„)
105101, 104remulcld 11192 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ (5 ยท ((2 logb ๐‘ฅ)โ†‘4)) โˆˆ โ„)
1069, 82remulcld 11192 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ (๐‘ฅ ยท (logโ€˜2)) โˆˆ โ„)
1079recnd 11190 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
10810, 31gtned 11297 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ ๐‘ฅ โ‰  0)
109107, 88, 108, 97mulne0d 11814 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ (๐‘ฅ ยท (logโ€˜2)) โ‰  0)
11032, 106, 109redivcld 11990 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ (1 / (๐‘ฅ ยท (logโ€˜2))) โˆˆ โ„)
111105, 110remulcld 11192 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ ((5 ยท ((2 logb ๐‘ฅ)โ†‘4)) ยท (1 / (๐‘ฅ ยท (logโ€˜2)))) โˆˆ โ„)
112111, 10readdcld 11191 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ (((5 ยท ((2 logb ๐‘ฅ)โ†‘4)) ยท (1 / (๐‘ฅ ยท (logโ€˜2)))) + 0) โˆˆ โ„)
11399, 112remulcld 11192 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ ((1 / ((((2 logb ๐‘ฅ)โ†‘5) + 1) ยท (logโ€˜2))) ยท (((5 ยท ((2 logb ๐‘ฅ)โ†‘4)) ยท (1 / (๐‘ฅ ยท (logโ€˜2)))) + 0)) โˆˆ โ„)
1145, 113remulcld 11192 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ (2 ยท ((1 / ((((2 logb ๐‘ฅ)โ†‘5) + 1) ยท (logโ€˜2))) ยท (((5 ยท ((2 logb ๐‘ฅ)โ†‘4)) ยท (1 / (๐‘ฅ ยท (logโ€˜2)))) + 0))) โˆˆ โ„)
11541, 75elrpd 12961 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ (((2 logb ๐‘ฅ)โ†‘5) + 1) โˆˆ โ„+)
1164a1i 11 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โ†’ 2 โˆˆ โ„)
1176a1i 11 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โ†’ 0 < 2)
118 rpre 12930 . . . . . . 7 (๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„)
119118adantl 483 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„)
120 rpgt0 12934 . . . . . . 7 (๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โ†’ 0 < ๐‘ฆ)
121120adantl 483 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โ†’ 0 < ๐‘ฆ)
122 1red 11163 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
12333a1i 11 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โ†’ 1 < 2)
124122, 123ltned 11298 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โ†’ 1 โ‰  2)
125124necomd 3000 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โ†’ 2 โ‰  1)
126116, 117, 119, 121, 125relogbcld 40459 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โ†’ (2 logb ๐‘ฆ) โˆˆ โ„)
127126recnd 11190 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โ†’ (2 logb ๐‘ฆ) โˆˆ โ„‚)
12880a1i 11 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โ†’ 2 โˆˆ โ„+)
129128relogcld 25994 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โ†’ (logโ€˜2) โˆˆ โ„)
130119, 129remulcld 11192 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โ†’ (๐‘ฆ ยท (logโ€˜2)) โˆˆ โ„)
131119recnd 11190 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)
132 2cnd 12238 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
133128rpne0d 12969 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โ†’ 2 โ‰  0)
134132, 133logcld 25942 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โ†’ (logโ€˜2) โˆˆ โ„‚)
135 rpne0 12938 . . . . . . 7 (๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โ†’ ๐‘ฆ โ‰  0)
136135adantl 483 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โ†’ ๐‘ฆ โ‰  0)
13796necomd 3000 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰  (logโ€˜2))
138137adantr 482 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โ†’ 0 โ‰  (logโ€˜2))
139138necomd 3000 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โ†’ (logโ€˜2) โ‰  0)
140131, 134, 136, 139mulne0d 11814 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โ†’ (๐‘ฆ ยท (logโ€˜2)) โ‰  0)
141122, 130, 140redivcld 11990 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โ†’ (1 / (๐‘ฆ ยท (logโ€˜2))) โˆˆ โ„)
142 cnelprrecn 11151 . . . . . . 7 โ„‚ โˆˆ {โ„, โ„‚}
143142a1i 11 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ โ„‚ โˆˆ {โ„, โ„‚})
14437recnd 11190 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ (2 logb ๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
145 simpr 486 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„‚)
14638a1i 11 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‚) โ†’ 5 โˆˆ โ„•0)
147145, 146expcld 14058 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘งโ†‘5) โˆˆ โ„‚)
148 5cn 12248 . . . . . . . 8 5 โˆˆ โ„‚
149148a1i 11 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‚) โ†’ 5 โˆˆ โ„‚)
150102a1i 11 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‚) โ†’ 4 โˆˆ โ„•0)
151145, 150expcld 14058 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘งโ†‘4) โˆˆ โ„‚)
152149, 151mulcld 11182 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‚) โ†’ (5 ยท (๐‘งโ†‘4)) โˆˆ โ„‚)
15313a1i 11 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ 3 โˆˆ โ„)
15415a1i 11 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ 0 < 3)
15590, 153, 11, 154, 17ltletrd 11322 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ 0 < ๐ด)
15690, 11, 155ltled 11310 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ๐ด)
157 aks4d1p1p6.4 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โ‰ค ๐ต)
158 eqid 2737 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต) โ†ฆ (2 logb ๐‘ฅ)) = (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต) โ†ฆ (2 logb ๐‘ฅ))
159 eqid 2737 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต) โ†ฆ (1 / (๐‘ฅ ยท (logโ€˜2)))) = (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต) โ†ฆ (1 / (๐‘ฅ ยท (logโ€˜2))))
16021, 24, 156, 157, 158, 159dvrelog2b 40552 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (โ„ D (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต) โ†ฆ (2 logb ๐‘ฅ))) = (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต) โ†ฆ (1 / (๐‘ฅ ยท (logโ€˜2)))))
161 5nn 12246 . . . . . . . 8 5 โˆˆ โ„•
162 dvexp 25333 . . . . . . . 8 (5 โˆˆ โ„• โ†’ (โ„‚ D (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (๐‘งโ†‘5))) = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (5 ยท (๐‘งโ†‘(5 โˆ’ 1)))))
163161, 162ax-mp 5 . . . . . . 7 (โ„‚ D (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (๐‘งโ†‘5))) = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (5 ยท (๐‘งโ†‘(5 โˆ’ 1))))
164 5m1e4 12290 . . . . . . . . . . 11 (5 โˆ’ 1) = 4
165164a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‚) โ†’ (5 โˆ’ 1) = 4)
166165oveq2d 7378 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘งโ†‘(5 โˆ’ 1)) = (๐‘งโ†‘4))
167166oveq2d 7378 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‚) โ†’ (5 ยท (๐‘งโ†‘(5 โˆ’ 1))) = (5 ยท (๐‘งโ†‘4)))
168167mpteq2dva 5210 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (5 ยท (๐‘งโ†‘(5 โˆ’ 1)))) = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (5 ยท (๐‘งโ†‘4))))
169163, 168eqtrid 2789 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (โ„‚ D (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (๐‘งโ†‘5))) = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (5 ยท (๐‘งโ†‘4))))
170 oveq1 7369 . . . . . 6 (๐‘ง = (2 logb ๐‘ฅ) โ†’ (๐‘งโ†‘5) = ((2 logb ๐‘ฅ)โ†‘5))
171 oveq1 7369 . . . . . . 7 (๐‘ง = (2 logb ๐‘ฅ) โ†’ (๐‘งโ†‘4) = ((2 logb ๐‘ฅ)โ†‘4))
172171oveq2d 7378 . . . . . 6 (๐‘ง = (2 logb ๐‘ฅ) โ†’ (5 ยท (๐‘งโ†‘4)) = (5 ยท ((2 logb ๐‘ฅ)โ†‘4)))
1732, 143, 144, 110, 147, 152, 160, 169, 170, 172dvmptco 25352 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (โ„ D (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต) โ†ฆ ((2 logb ๐‘ฅ)โ†‘5))) = (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต) โ†ฆ ((5 ยท ((2 logb ๐‘ฅ)โ†‘4)) ยท (1 / (๐‘ฅ ยท (logโ€˜2))))))
174 1cnd 11157 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
175174adantr 482 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
176 0red 11165 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ 0 โˆˆ โ„)
1772, 174dvmptc 25338 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (โ„ D (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ 1)) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ 0))
178 ioossre 13332 . . . . . . 7 (๐ด(,)๐ต) โŠ† โ„
179178a1i 11 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐ด(,)๐ต) โŠ† โ„)
180 eqid 2737 . . . . . . 7 (TopOpenโ€˜โ„‚fld) = (TopOpenโ€˜โ„‚fld)
181180tgioo2 24182 . . . . . 6 (topGenโ€˜ran (,)) = ((TopOpenโ€˜โ„‚fld) โ†พt โ„)
182 iooretop 24145 . . . . . . 7 (๐ด(,)๐ต) โˆˆ (topGenโ€˜ran (,))
183182a1i 11 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐ด(,)๐ต) โˆˆ (topGenโ€˜ran (,)))
1842, 175, 176, 177, 179, 181, 180, 183dvmptres 25343 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (โ„ D (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต) โ†ฆ 1)) = (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต) โ†ฆ 0))
1852, 84, 111, 173, 85, 10, 184dvmptadd 25340 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (โ„ D (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต) โ†ฆ (((2 logb ๐‘ฅ)โ†‘5) + 1))) = (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต) โ†ฆ (((5 ยท ((2 logb ๐‘ฅ)โ†‘4)) ยท (1 / (๐‘ฅ ยท (logโ€˜2)))) + 0)))
186 dfrp2 13320 . . . . . . . 8 โ„+ = (0(,)+โˆž)
187186a1i 11 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ โ„+ = (0(,)+โˆž))
188187mpteq1d 5205 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โ†ฆ (2 logb ๐‘ฆ)) = (๐‘ฆ โˆˆ (0(,)+โˆž) โ†ฆ (2 logb ๐‘ฆ)))
189188oveq2d 7378 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (โ„ D (๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โ†ฆ (2 logb ๐‘ฆ))) = (โ„ D (๐‘ฆ โˆˆ (0(,)+โˆž) โ†ฆ (2 logb ๐‘ฆ))))
19090rexrd 11212 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ 0 โˆˆ โ„*)
191 pnfxr 11216 . . . . . . . 8 +โˆž โˆˆ โ„*
192191a1i 11 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ +โˆž โˆˆ โ„*)
19390leidd 11728 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค 0)
194 0lepnf 13060 . . . . . . . 8 0 โ‰ค +โˆž
195194a1i 11 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค +โˆž)
196 eqid 2737 . . . . . . 7 (๐‘ฆ โˆˆ (0(,)+โˆž) โ†ฆ (2 logb ๐‘ฆ)) = (๐‘ฆ โˆˆ (0(,)+โˆž) โ†ฆ (2 logb ๐‘ฆ))
197 eqid 2737 . . . . . . 7 (๐‘ฆ โˆˆ (0(,)+โˆž) โ†ฆ (1 / (๐‘ฆ ยท (logโ€˜2)))) = (๐‘ฆ โˆˆ (0(,)+โˆž) โ†ฆ (1 / (๐‘ฆ ยท (logโ€˜2))))
198190, 192, 193, 195, 196, 197dvrelog2b 40552 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (โ„ D (๐‘ฆ โˆˆ (0(,)+โˆž) โ†ฆ (2 logb ๐‘ฆ))) = (๐‘ฆ โˆˆ (0(,)+โˆž) โ†ฆ (1 / (๐‘ฆ ยท (logโ€˜2)))))
199187eqcomd 2743 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (0(,)+โˆž) = โ„+)
200199mpteq1d 5205 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ (0(,)+โˆž) โ†ฆ (1 / (๐‘ฆ ยท (logโ€˜2)))) = (๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โ†ฆ (1 / (๐‘ฆ ยท (logโ€˜2)))))
201198, 200eqtrd 2777 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (โ„ D (๐‘ฆ โˆˆ (0(,)+โˆž) โ†ฆ (2 logb ๐‘ฆ))) = (๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โ†ฆ (1 / (๐‘ฆ ยท (logโ€˜2)))))
202189, 201eqtrd 2777 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (โ„ D (๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โ†ฆ (2 logb ๐‘ฆ))) = (๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โ†ฆ (1 / (๐‘ฆ ยท (logโ€˜2)))))
203 oveq2 7370 . . . 4 (๐‘ฆ = (((2 logb ๐‘ฅ)โ†‘5) + 1) โ†’ (2 logb ๐‘ฆ) = (2 logb (((2 logb ๐‘ฅ)โ†‘5) + 1)))
204 oveq1 7369 . . . . 5 (๐‘ฆ = (((2 logb ๐‘ฅ)โ†‘5) + 1) โ†’ (๐‘ฆ ยท (logโ€˜2)) = ((((2 logb ๐‘ฅ)โ†‘5) + 1) ยท (logโ€˜2)))
205204oveq2d 7378 . . . 4 (๐‘ฆ = (((2 logb ๐‘ฅ)โ†‘5) + 1) โ†’ (1 / (๐‘ฆ ยท (logโ€˜2))) = (1 / ((((2 logb ๐‘ฅ)โ†‘5) + 1) ยท (logโ€˜2))))
2062, 2, 115, 112, 127, 141, 185, 202, 203, 205dvmptco 25352 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (โ„ D (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต) โ†ฆ (2 logb (((2 logb ๐‘ฅ)โ†‘5) + 1)))) = (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต) โ†ฆ ((1 / ((((2 logb ๐‘ฅ)โ†‘5) + 1) ยท (logโ€˜2))) ยท (((5 ยท ((2 logb ๐‘ฅ)โ†‘4)) ยท (1 / (๐‘ฅ ยท (logโ€˜2)))) + 0))))
2074a1i 11 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„)
208207recnd 11190 . . 3 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
2092, 78, 113, 206, 208dvmptcmul 25344 . 2 (๐œ‘ โ†’ (โ„ D (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต) โ†ฆ (2 ยท (2 logb (((2 logb ๐‘ฅ)โ†‘5) + 1))))) = (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต) โ†ฆ (2 ยท ((1 / ((((2 logb ๐‘ฅ)โ†‘5) + 1) ยท (logโ€˜2))) ยท (((5 ยท ((2 logb ๐‘ฅ)โ†‘4)) ยท (1 / (๐‘ฅ ยท (logโ€˜2)))) + 0)))))
210144sqcld 14056 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ ((2 logb ๐‘ฅ)โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
21182resqcld 14037 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ ((logโ€˜2)โ†‘2) โˆˆ โ„)
21281rpne0d 12969 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ 2 โ‰  0)
2133, 212logcld 25942 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ (logโ€˜2) โˆˆ โ„‚)
214213, 97, 63expne0d 14064 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ ((logโ€˜2)โ†‘2) โ‰  0)
2155, 211, 214redivcld 11990 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ (2 / ((logโ€˜2)โ†‘2)) โˆˆ โ„)
21667relogcld 25994 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ (logโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„)
217 2m1e1 12286 . . . . . . 7 (2 โˆ’ 1) = 1
218 1nn0 12436 . . . . . . 7 1 โˆˆ โ„•0
219217, 218eqeltri 2834 . . . . . 6 (2 โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0
220219a1i 11 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ (2 โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
221216, 220reexpcld 14075 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ ((logโ€˜๐‘ฅ)โ†‘(2 โˆ’ 1)) โˆˆ โ„)
22267rpne0d 12969 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ ๐‘ฅ โ‰  0)
223221, 9, 222redivcld 11990 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ (((logโ€˜๐‘ฅ)โ†‘(2 โˆ’ 1)) / ๐‘ฅ) โˆˆ โ„)
224215, 223remulcld 11192 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต)) โ†’ ((2 / ((logโ€˜2)โ†‘2)) ยท (((logโ€˜๐‘ฅ)โ†‘(2 โˆ’ 1)) / ๐‘ฅ)) โˆˆ โ„)
225 eqid 2737 . . 3 (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต) โ†ฆ ((2 logb ๐‘ฅ)โ†‘2)) = (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต) โ†ฆ ((2 logb ๐‘ฅ)โ†‘2))
226 eqid 2737 . . 3 (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต) โ†ฆ ((2 / ((logโ€˜2)โ†‘2)) ยท (((logโ€˜๐‘ฅ)โ†‘(2 โˆ’ 1)) / ๐‘ฅ))) = (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต) โ†ฆ ((2 / ((logโ€˜2)โ†‘2)) ยท (((logโ€˜๐‘ฅ)โ†‘(2 โˆ’ 1)) / ๐‘ฅ)))
227 eqid 2737 . . 3 (2 / ((logโ€˜2)โ†‘2)) = (2 / ((logโ€˜2)โ†‘2))
228 2nn 12233 . . . 4 2 โˆˆ โ„•
229228a1i 11 . . 3 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„•)
23011, 23, 155, 157, 225, 226, 227, 229dvrelogpow2b 40554 . 2 (๐œ‘ โ†’ (โ„ D (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต) โ†ฆ ((2 logb ๐‘ฅ)โ†‘2))) = (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต) โ†ฆ ((2 / ((logโ€˜2)โ†‘2)) ยท (((logโ€˜๐‘ฅ)โ†‘(2 โˆ’ 1)) / ๐‘ฅ))))
2312, 79, 114, 209, 210, 224, 230dvmptadd 25340 1 (๐œ‘ โ†’ (โ„ D (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต) โ†ฆ ((2 ยท (2 logb (((2 logb ๐‘ฅ)โ†‘5) + 1))) + ((2 logb ๐‘ฅ)โ†‘2)))) = (๐‘ฅ โˆˆ (๐ด(,)๐ต) โ†ฆ ((2 ยท ((1 / ((((2 logb ๐‘ฅ)โ†‘5) + 1) ยท (logโ€˜2))) ยท (((5 ยท ((2 logb ๐‘ฅ)โ†‘4)) ยท (1 / (๐‘ฅ ยท (logโ€˜2)))) + 0))) + ((2 / ((logโ€˜2)โ†‘2)) ยท (((logโ€˜๐‘ฅ)โ†‘(2 โˆ’ 1)) / ๐‘ฅ)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542  โŠคwtru 1543   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2944   โŠ† wss 3915  {cpr 4593   class class class wbr 5110   โ†ฆ cmpt 5193  ran crn 5639  โ€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  โ„‚cc 11056  โ„cr 11057  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061   ยท cmul 11063  +โˆžcpnf 11193  โ„*cxr 11195   < clt 11196   โ‰ค cle 11197   โˆ’ cmin 11392   / cdiv 11819  โ„•cn 12160  2c2 12215  3c3 12216  4c4 12217  5c5 12218  โ„•0cn0 12420  โ„คcz 12506  โ„คโ‰ฅcuz 12770  โ„+crp 12922  (,)cioo 13271  โ†‘cexp 13974  TopOpenctopn 17310  topGenctg 17326  โ„‚fldccnfld 20812   D cdv 25243  logclog 25926   logb clogb 26130
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136  ax-addf 11137  ax-mulf 11138
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-fi 9354  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-xneg 13040  df-xadd 13041  df-xmul 13042  df-ioo 13275  df-ioc 13276  df-ico 13277  df-icc 13278  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-mod 13782  df-seq 13914  df-exp 13975  df-fac 14181  df-bc 14210  df-hash 14238  df-shft 14959  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-limsup 15360  df-clim 15377  df-rlim 15378  df-sum 15578  df-ef 15957  df-sin 15959  df-cos 15960  df-pi 15962  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-starv 17155  df-sca 17156  df-vsca 17157  df-ip 17158  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ds 17162  df-unif 17163  df-hom 17164  df-cco 17165  df-rest 17311  df-topn 17312  df-0g 17330  df-gsum 17331  df-topgen 17332  df-pt 17333  df-prds 17336  df-xrs 17391  df-qtop 17396  df-imas 17397  df-xps 17399  df-mre 17473  df-mrc 17474  df-acs 17476  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-submnd 18609  df-mulg 18880  df-cntz 19104  df-cmn 19571  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-cnfld 20813  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388  df-nei 22465  df-lp 22503  df-perf 22504  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-haus 22682  df-cmp 22754  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691  df-cncf 24257  df-limc 25246  df-dv 25247  df-log 25928  df-logb 26131
This theorem is referenced by:  aks4d1p1p5  40561
  Copyright terms: Public domain W3C validator