Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  aks4d1p1p6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem aks4d1p1p6 40530
Description: Inequality lift to differentiable functions for a term in AKS inequality lemma. (Contributed by metakunt, 19-Aug-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
aks4d1p1p6.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
aks4d1p1p6.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
aks4d1p1p6.3 (𝜑 → 3 ≤ 𝐴)
aks4d1p1p6.4 (𝜑𝐴𝐵)
Assertion
Ref Expression
aks4d1p1p6 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((2 · (2 logb (((2 logb 𝑥)↑5) + 1))) + ((2 logb 𝑥)↑2)))) = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((2 · ((1 / ((((2 logb 𝑥)↑5) + 1) · (log‘2))) · (((5 · ((2 logb 𝑥)↑4)) · (1 / (𝑥 · (log‘2)))) + 0))) + ((2 / ((log‘2)↑2)) · (((log‘𝑥)↑(2 − 1)) / 𝑥)))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥

Proof of Theorem aks4d1p1p6
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reelprrecn 11143 . . 3 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
21a1i 11 . 2 (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
3 2cnd 12231 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 2 ∈ ℂ)
4 2re 12227 . . . . . 6 2 ∈ ℝ
54a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 2 ∈ ℝ)
6 2pos 12256 . . . . . 6 0 < 2
76a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 0 < 2)
8 elioore 13294 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ)
98adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ)
10 0red 11158 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 0 ∈ ℝ)
11 aks4d1p1p6.1 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
1211adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
13 3re 12233 . . . . . . . . . . 11 3 ∈ ℝ
1413a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 3 ∈ ℝ)
15 3pos 12258 . . . . . . . . . . 11 0 < 3
1615a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 0 < 3)
17 aks4d1p1p6.3 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 3 ≤ 𝐴)
1817adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 3 ≤ 𝐴)
1910, 14, 12, 16, 18ltletrd 11315 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 0 < 𝐴)
20 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
2111rexrd 11205 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
2221adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
23 aks4d1p1p6.2 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
2423rexrd 11205 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
2524adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
269rexrd 11205 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
27 elioo5 13321 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)))
2822, 25, 26, 27syl3anc 1371 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)))
2920, 28mpbid 231 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵))
3029simpld 495 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 < 𝑥)
3110, 12, 9, 19, 30lttrd 11316 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 0 < 𝑥)
32 1red 11156 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 1 ∈ ℝ)
33 1lt2 12324 . . . . . . . . . . 11 1 < 2
3433a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 1 < 2)
3532, 34ltned 11291 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 1 ≠ 2)
3635necomd 2999 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 2 ≠ 1)
375, 7, 9, 31, 36relogbcld 40430 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (2 logb 𝑥) ∈ ℝ)
38 5nn0 12433 . . . . . . . 8 5 ∈ ℕ0
3938a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 5 ∈ ℕ0)
4037, 39reexpcld 14068 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((2 logb 𝑥)↑5) ∈ ℝ)
4140, 32readdcld 11184 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((2 logb 𝑥)↑5) + 1) ∈ ℝ)
4210, 32readdcld 11184 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (0 + 1) ∈ ℝ)
4310ltp1d 12085 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 0 < (0 + 1))
4439nn0zd 12525 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 5 ∈ ℤ)
45 2cnd 12231 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → 2 ∈ ℂ)
46 0red 11158 . . . . . . . . . . . . 13 (⊤ → 0 ∈ ℝ)
476a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (⊤ → 0 < 2)
4846, 47ltned 11291 . . . . . . . . . . . 12 (⊤ → 0 ≠ 2)
4948necomd 2999 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → 2 ≠ 0)
50 1red 11156 . . . . . . . . . . . . 13 (⊤ → 1 ∈ ℝ)
5133a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (⊤ → 1 < 2)
5250, 51ltned 11291 . . . . . . . . . . . 12 (⊤ → 1 ≠ 2)
5352necomd 2999 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → 2 ≠ 1)
54 logb1 26119 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0 ∧ 2 ≠ 1) → (2 logb 1) = 0)
5545, 49, 53, 54syl3anc 1371 . . . . . . . . . 10 (⊤ → (2 logb 1) = 0)
5655mptru 1548 . . . . . . . . 9 (2 logb 1) = 0
57 2lt3 12325 . . . . . . . . . . . . . 14 2 < 3
5857a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 2 < 3)
5932, 5, 14, 34, 58lttrd 11316 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 1 < 3)
6032, 14, 12, 59, 18ltletrd 11315 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 1 < 𝐴)
6132, 12, 9, 60, 30lttrd 11316 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 1 < 𝑥)
62 2z 12535 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℤ
6362a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 2 ∈ ℤ)
6463uzidd 12779 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 2 ∈ (ℤ‘2))
65 1rp 12919 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℝ+
6665a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 1 ∈ ℝ+)
679, 31elrpd 12954 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ+)
68 logblt 26134 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ (ℤ‘2) ∧ 1 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+) → (1 < 𝑥 ↔ (2 logb 1) < (2 logb 𝑥)))
6964, 66, 67, 68syl3anc 1371 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (1 < 𝑥 ↔ (2 logb 1) < (2 logb 𝑥)))
7061, 69mpbid 231 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (2 logb 1) < (2 logb 𝑥))
7156, 70eqbrtrrid 5141 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 0 < (2 logb 𝑥))
72 expgt0 14001 . . . . . . . 8 (((2 logb 𝑥) ∈ ℝ ∧ 5 ∈ ℤ ∧ 0 < (2 logb 𝑥)) → 0 < ((2 logb 𝑥)↑5))
7337, 44, 71, 72syl3anc 1371 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 0 < ((2 logb 𝑥)↑5))
7410, 40, 32, 73ltadd1dd 11766 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (0 + 1) < (((2 logb 𝑥)↑5) + 1))
7510, 42, 41, 43, 74lttrd 11316 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 0 < (((2 logb 𝑥)↑5) + 1))
765, 7, 41, 75, 36relogbcld 40430 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (2 logb (((2 logb 𝑥)↑5) + 1)) ∈ ℝ)
77 recn 11141 . . . 4 ((2 logb (((2 logb 𝑥)↑5) + 1)) ∈ ℝ → (2 logb (((2 logb 𝑥)↑5) + 1)) ∈ ℂ)
7876, 77syl 17 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (2 logb (((2 logb 𝑥)↑5) + 1)) ∈ ℂ)
793, 78mulcld 11175 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (2 · (2 logb (((2 logb 𝑥)↑5) + 1))) ∈ ℂ)
80 2rp 12920 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ+
8180a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 2 ∈ ℝ+)
8281relogcld 25978 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (log‘2) ∈ ℝ)
8341, 82remulcld 11185 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((((2 logb 𝑥)↑5) + 1) · (log‘2)) ∈ ℝ)
8440recnd 11183 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((2 logb 𝑥)↑5) ∈ ℂ)
85 1cnd 11150 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 1 ∈ ℂ)
8684, 85addcld 11174 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((2 logb 𝑥)↑5) + 1) ∈ ℂ)
877gt0ne0d 11719 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 2 ≠ 0)
883, 87logcld 25926 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (log‘2) ∈ ℂ)
8975gt0ne0d 11719 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((2 logb 𝑥)↑5) + 1) ≠ 0)
90 0red 11158 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
91 loggt0b 25987 . . . . . . . . . . . 12 (2 ∈ ℝ+ → (0 < (log‘2) ↔ 1 < 2))
9280, 91ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (0 < (log‘2) ↔ 1 < 2)
9333, 92mpbir 230 . . . . . . . . . 10 0 < (log‘2)
9493a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 < (log‘2))
9590, 94ltned 11291 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ≠ (log‘2))
9695necomd 2999 . . . . . . 7 (𝜑 → (log‘2) ≠ 0)
9796adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (log‘2) ≠ 0)
9886, 88, 89, 97mulne0d 11807 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((((2 logb 𝑥)↑5) + 1) · (log‘2)) ≠ 0)
9932, 83, 98redivcld 11983 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (1 / ((((2 logb 𝑥)↑5) + 1) · (log‘2))) ∈ ℝ)
100 5re 12240 . . . . . . . 8 5 ∈ ℝ
101100a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 5 ∈ ℝ)
102 4nn0 12432 . . . . . . . . 9 4 ∈ ℕ0
103102a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 4 ∈ ℕ0)
10437, 103reexpcld 14068 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((2 logb 𝑥)↑4) ∈ ℝ)
105101, 104remulcld 11185 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (5 · ((2 logb 𝑥)↑4)) ∈ ℝ)
1069, 82remulcld 11185 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑥 · (log‘2)) ∈ ℝ)
1079recnd 11183 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥 ∈ ℂ)
10810, 31gtned 11290 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥 ≠ 0)
109107, 88, 108, 97mulne0d 11807 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑥 · (log‘2)) ≠ 0)
11032, 106, 109redivcld 11983 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (1 / (𝑥 · (log‘2))) ∈ ℝ)
111105, 110remulcld 11185 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((5 · ((2 logb 𝑥)↑4)) · (1 / (𝑥 · (log‘2)))) ∈ ℝ)
112111, 10readdcld 11184 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((5 · ((2 logb 𝑥)↑4)) · (1 / (𝑥 · (log‘2)))) + 0) ∈ ℝ)
11399, 112remulcld 11185 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((1 / ((((2 logb 𝑥)↑5) + 1) · (log‘2))) · (((5 · ((2 logb 𝑥)↑4)) · (1 / (𝑥 · (log‘2)))) + 0)) ∈ ℝ)
1145, 113remulcld 11185 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (2 · ((1 / ((((2 logb 𝑥)↑5) + 1) · (log‘2))) · (((5 · ((2 logb 𝑥)↑4)) · (1 / (𝑥 · (log‘2)))) + 0))) ∈ ℝ)
11541, 75elrpd 12954 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((2 logb 𝑥)↑5) + 1) ∈ ℝ+)
1164a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → 2 ∈ ℝ)
1176a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → 0 < 2)
118 rpre 12923 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ)
119118adantl 482 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑦 ∈ ℝ)
120 rpgt0 12927 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℝ+ → 0 < 𝑦)
121120adantl 482 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → 0 < 𝑦)
122 1red 11156 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℝ)
12333a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → 1 < 2)
124122, 123ltned 11291 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → 1 ≠ 2)
125124necomd 2999 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → 2 ≠ 1)
126116, 117, 119, 121, 125relogbcld 40430 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → (2 logb 𝑦) ∈ ℝ)
127126recnd 11183 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → (2 logb 𝑦) ∈ ℂ)
12880a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → 2 ∈ ℝ+)
129128relogcld 25978 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → (log‘2) ∈ ℝ)
130119, 129remulcld 11185 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑦 · (log‘2)) ∈ ℝ)
131119recnd 11183 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑦 ∈ ℂ)
132 2cnd 12231 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → 2 ∈ ℂ)
133128rpne0d 12962 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → 2 ≠ 0)
134132, 133logcld 25926 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → (log‘2) ∈ ℂ)
135 rpne0 12931 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℝ+𝑦 ≠ 0)
136135adantl 482 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑦 ≠ 0)
13796necomd 2999 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ≠ (log‘2))
138137adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → 0 ≠ (log‘2))
139138necomd 2999 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → (log‘2) ≠ 0)
140131, 134, 136, 139mulne0d 11807 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑦 · (log‘2)) ≠ 0)
141122, 130, 140redivcld 11983 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → (1 / (𝑦 · (log‘2))) ∈ ℝ)
142 cnelprrecn 11144 . . . . . . 7 ℂ ∈ {ℝ, ℂ}
143142a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
14437recnd 11183 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (2 logb 𝑥) ∈ ℂ)
145 simpr 485 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → 𝑧 ∈ ℂ)
14638a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → 5 ∈ ℕ0)
147145, 146expcld 14051 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → (𝑧↑5) ∈ ℂ)
148 5cn 12241 . . . . . . . 8 5 ∈ ℂ
149148a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → 5 ∈ ℂ)
150102a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → 4 ∈ ℕ0)
151145, 150expcld 14051 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → (𝑧↑4) ∈ ℂ)
152149, 151mulcld 11175 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → (5 · (𝑧↑4)) ∈ ℂ)
15313a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 3 ∈ ℝ)
15415a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 < 3)
15590, 153, 11, 154, 17ltletrd 11315 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 < 𝐴)
15690, 11, 155ltled 11303 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
157 aks4d1p1p6.4 . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝐵)
158 eqid 2736 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (2 logb 𝑥)) = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (2 logb 𝑥))
159 eqid 2736 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (1 / (𝑥 · (log‘2)))) = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (1 / (𝑥 · (log‘2))))
16021, 24, 156, 157, 158, 159dvrelog2b 40523 . . . . . 6 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (2 logb 𝑥))) = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (1 / (𝑥 · (log‘2)))))
161 5nn 12239 . . . . . . . 8 5 ∈ ℕ
162 dvexp 25317 . . . . . . . 8 (5 ∈ ℕ → (ℂ D (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧↑5))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (5 · (𝑧↑(5 − 1)))))
163161, 162ax-mp 5 . . . . . . 7 (ℂ D (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧↑5))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (5 · (𝑧↑(5 − 1))))
164 5m1e4 12283 . . . . . . . . . . 11 (5 − 1) = 4
165164a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → (5 − 1) = 4)
166165oveq2d 7373 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → (𝑧↑(5 − 1)) = (𝑧↑4))
167166oveq2d 7373 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → (5 · (𝑧↑(5 − 1))) = (5 · (𝑧↑4)))
168167mpteq2dva 5205 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑧 ∈ ℂ ↦ (5 · (𝑧↑(5 − 1)))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (5 · (𝑧↑4))))
169163, 168eqtrid 2788 . . . . . 6 (𝜑 → (ℂ D (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧↑5))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (5 · (𝑧↑4))))
170 oveq1 7364 . . . . . 6 (𝑧 = (2 logb 𝑥) → (𝑧↑5) = ((2 logb 𝑥)↑5))
171 oveq1 7364 . . . . . . 7 (𝑧 = (2 logb 𝑥) → (𝑧↑4) = ((2 logb 𝑥)↑4))
172171oveq2d 7373 . . . . . 6 (𝑧 = (2 logb 𝑥) → (5 · (𝑧↑4)) = (5 · ((2 logb 𝑥)↑4)))
1732, 143, 144, 110, 147, 152, 160, 169, 170, 172dvmptco 25336 . . . . 5 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((2 logb 𝑥)↑5))) = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((5 · ((2 logb 𝑥)↑4)) · (1 / (𝑥 · (log‘2))))))
174 1cnd 11150 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
175174adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℂ)
176 0red 11158 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 0 ∈ ℝ)
1772, 174dvmptc 25322 . . . . . 6 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ ↦ 1)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ 0))
178 ioossre 13325 . . . . . . 7 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ
179178a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ)
180 eqid 2736 . . . . . . 7 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
181180tgioo2 24166 . . . . . 6 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
182 iooretop 24129 . . . . . . 7 (𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,))
183182a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,)))
1842, 175, 176, 177, 179, 181, 180, 183dvmptres 25327 . . . . 5 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 1)) = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 0))
1852, 84, 111, 173, 85, 10, 184dvmptadd 25324 . . . 4 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((2 logb 𝑥)↑5) + 1))) = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((5 · ((2 logb 𝑥)↑4)) · (1 / (𝑥 · (log‘2)))) + 0)))
186 dfrp2 13313 . . . . . . . 8 + = (0(,)+∞)
187186a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → ℝ+ = (0(,)+∞))
188187mpteq1d 5200 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (2 logb 𝑦)) = (𝑦 ∈ (0(,)+∞) ↦ (2 logb 𝑦)))
189188oveq2d 7373 . . . . 5 (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (2 logb 𝑦))) = (ℝ D (𝑦 ∈ (0(,)+∞) ↦ (2 logb 𝑦))))
19090rexrd 11205 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ∈ ℝ*)
191 pnfxr 11209 . . . . . . . 8 +∞ ∈ ℝ*
192191a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
19390leidd 11721 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ≤ 0)
194 0lepnf 13053 . . . . . . . 8 0 ≤ +∞
195194a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ≤ +∞)
196 eqid 2736 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (0(,)+∞) ↦ (2 logb 𝑦)) = (𝑦 ∈ (0(,)+∞) ↦ (2 logb 𝑦))
197 eqid 2736 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (0(,)+∞) ↦ (1 / (𝑦 · (log‘2)))) = (𝑦 ∈ (0(,)+∞) ↦ (1 / (𝑦 · (log‘2))))
198190, 192, 193, 195, 196, 197dvrelog2b 40523 . . . . . 6 (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ (0(,)+∞) ↦ (2 logb 𝑦))) = (𝑦 ∈ (0(,)+∞) ↦ (1 / (𝑦 · (log‘2)))))
199187eqcomd 2742 . . . . . . 7 (𝜑 → (0(,)+∞) = ℝ+)
200199mpteq1d 5200 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑦 ∈ (0(,)+∞) ↦ (1 / (𝑦 · (log‘2)))) = (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (1 / (𝑦 · (log‘2)))))
201198, 200eqtrd 2776 . . . . 5 (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ (0(,)+∞) ↦ (2 logb 𝑦))) = (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (1 / (𝑦 · (log‘2)))))
202189, 201eqtrd 2776 . . . 4 (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (2 logb 𝑦))) = (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (1 / (𝑦 · (log‘2)))))
203 oveq2 7365 . . . 4 (𝑦 = (((2 logb 𝑥)↑5) + 1) → (2 logb 𝑦) = (2 logb (((2 logb 𝑥)↑5) + 1)))
204 oveq1 7364 . . . . 5 (𝑦 = (((2 logb 𝑥)↑5) + 1) → (𝑦 · (log‘2)) = ((((2 logb 𝑥)↑5) + 1) · (log‘2)))
205204oveq2d 7373 . . . 4 (𝑦 = (((2 logb 𝑥)↑5) + 1) → (1 / (𝑦 · (log‘2))) = (1 / ((((2 logb 𝑥)↑5) + 1) · (log‘2))))
2062, 2, 115, 112, 127, 141, 185, 202, 203, 205dvmptco 25336 . . 3 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (2 logb (((2 logb 𝑥)↑5) + 1)))) = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((1 / ((((2 logb 𝑥)↑5) + 1) · (log‘2))) · (((5 · ((2 logb 𝑥)↑4)) · (1 / (𝑥 · (log‘2)))) + 0))))
2074a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
208207recnd 11183 . . 3 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
2092, 78, 113, 206, 208dvmptcmul 25328 . 2 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (2 · (2 logb (((2 logb 𝑥)↑5) + 1))))) = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (2 · ((1 / ((((2 logb 𝑥)↑5) + 1) · (log‘2))) · (((5 · ((2 logb 𝑥)↑4)) · (1 / (𝑥 · (log‘2)))) + 0)))))
210144sqcld 14049 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((2 logb 𝑥)↑2) ∈ ℂ)
21182resqcld 14030 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((log‘2)↑2) ∈ ℝ)
21281rpne0d 12962 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 2 ≠ 0)
2133, 212logcld 25926 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (log‘2) ∈ ℂ)
214213, 97, 63expne0d 14057 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((log‘2)↑2) ≠ 0)
2155, 211, 214redivcld 11983 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (2 / ((log‘2)↑2)) ∈ ℝ)
21667relogcld 25978 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
217 2m1e1 12279 . . . . . . 7 (2 − 1) = 1
218 1nn0 12429 . . . . . . 7 1 ∈ ℕ0
219217, 218eqeltri 2834 . . . . . 6 (2 − 1) ∈ ℕ0
220219a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (2 − 1) ∈ ℕ0)
221216, 220reexpcld 14068 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((log‘𝑥)↑(2 − 1)) ∈ ℝ)
22267rpne0d 12962 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥 ≠ 0)
223221, 9, 222redivcld 11983 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((log‘𝑥)↑(2 − 1)) / 𝑥) ∈ ℝ)
224215, 223remulcld 11185 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((2 / ((log‘2)↑2)) · (((log‘𝑥)↑(2 − 1)) / 𝑥)) ∈ ℝ)
225 eqid 2736 . . 3 (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((2 logb 𝑥)↑2)) = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((2 logb 𝑥)↑2))
226 eqid 2736 . . 3 (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((2 / ((log‘2)↑2)) · (((log‘𝑥)↑(2 − 1)) / 𝑥))) = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((2 / ((log‘2)↑2)) · (((log‘𝑥)↑(2 − 1)) / 𝑥)))
227 eqid 2736 . . 3 (2 / ((log‘2)↑2)) = (2 / ((log‘2)↑2))
228 2nn 12226 . . . 4 2 ∈ ℕ
229228a1i 11 . . 3 (𝜑 → 2 ∈ ℕ)
23011, 23, 155, 157, 225, 226, 227, 229dvrelogpow2b 40525 . 2 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((2 logb 𝑥)↑2))) = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((2 / ((log‘2)↑2)) · (((log‘𝑥)↑(2 − 1)) / 𝑥))))
2312, 79, 114, 209, 210, 224, 230dvmptadd 25324 1 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((2 · (2 logb (((2 logb 𝑥)↑5) + 1))) + ((2 logb 𝑥)↑2)))) = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((2 · ((1 / ((((2 logb 𝑥)↑5) + 1) · (log‘2))) · (((5 · ((2 logb 𝑥)↑4)) · (1 / (𝑥 · (log‘2)))) + 0))) + ((2 / ((log‘2)↑2)) · (((log‘𝑥)↑(2 − 1)) / 𝑥)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wtru 1542  wcel 2106  wne 2943  wss 3910  {cpr 4588   class class class wbr 5105  cmpt 5188  ran crn 5634  cfv 6496  (class class class)co 7357  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056  +∞cpnf 11186  *cxr 11188   < clt 11189  cle 11190  cmin 11385   / cdiv 11812  cn 12153  2c2 12208  3c3 12209  4c4 12210  5c5 12211  0cn0 12413  cz 12499  cuz 12763  +crp 12915  (,)cioo 13264  cexp 13967  TopOpenctopn 17303  topGenctg 17319  fldccnfld 20796   D cdv 25227  logclog 25910   logb clogb 26114
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-ioc 13269  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-mod 13775  df-seq 13907  df-exp 13968  df-fac 14174  df-bc 14203  df-hash 14231  df-shft 14952  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-limsup 15353  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-sum 15571  df-ef 15950  df-sin 15952  df-cos 15953  df-pi 15955  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-pt 17326  df-prds 17329  df-xrs 17384  df-qtop 17389  df-imas 17390  df-xps 17392  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-mulg 18873  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-fbas 20793  df-fg 20794  df-cnfld 20797  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cld 22370  df-ntr 22371  df-cls 22372  df-nei 22449  df-lp 22487  df-perf 22488  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-haus 22666  df-cmp 22738  df-tx 22913  df-hmeo 23106  df-fil 23197  df-fm 23289  df-flim 23290  df-flf 23291  df-xms 23673  df-ms 23674  df-tms 23675  df-cncf 24241  df-limc 25230  df-dv 25231  df-log 25912  df-logb 26115
This theorem is referenced by:  aks4d1p1p5  40532
  Copyright terms: Public domain W3C validator