Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  aks4d1p1p6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem aks4d1p1p6 42074
Description: Inequality lift to differentiable functions for a term in AKS inequality lemma. (Contributed by metakunt, 19-Aug-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
aks4d1p1p6.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
aks4d1p1p6.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
aks4d1p1p6.3 (𝜑 → 3 ≤ 𝐴)
aks4d1p1p6.4 (𝜑𝐴𝐵)
Assertion
Ref Expression
aks4d1p1p6 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((2 · (2 logb (((2 logb 𝑥)↑5) + 1))) + ((2 logb 𝑥)↑2)))) = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((2 · ((1 / ((((2 logb 𝑥)↑5) + 1) · (log‘2))) · (((5 · ((2 logb 𝑥)↑4)) · (1 / (𝑥 · (log‘2)))) + 0))) + ((2 / ((log‘2)↑2)) · (((log‘𝑥)↑(2 − 1)) / 𝑥)))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥

Proof of Theorem aks4d1p1p6
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reelprrecn 11247 . . 3 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
21a1i 11 . 2 (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
3 2cnd 12344 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 2 ∈ ℂ)
4 2re 12340 . . . . . 6 2 ∈ ℝ
54a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 2 ∈ ℝ)
6 2pos 12369 . . . . . 6 0 < 2
76a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 0 < 2)
8 elioore 13417 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ)
98adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ)
10 0red 11264 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 0 ∈ ℝ)
11 aks4d1p1p6.1 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
1211adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
13 3re 12346 . . . . . . . . . . 11 3 ∈ ℝ
1413a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 3 ∈ ℝ)
15 3pos 12371 . . . . . . . . . . 11 0 < 3
1615a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 0 < 3)
17 aks4d1p1p6.3 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 3 ≤ 𝐴)
1817adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 3 ≤ 𝐴)
1910, 14, 12, 16, 18ltletrd 11421 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 0 < 𝐴)
20 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
2111rexrd 11311 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
2221adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
23 aks4d1p1p6.2 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
2423rexrd 11311 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
2524adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
269rexrd 11311 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
27 elioo5 13444 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)))
2822, 25, 26, 27syl3anc 1373 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)))
2920, 28mpbid 232 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵))
3029simpld 494 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 < 𝑥)
3110, 12, 9, 19, 30lttrd 11422 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 0 < 𝑥)
32 1red 11262 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 1 ∈ ℝ)
33 1lt2 12437 . . . . . . . . . . 11 1 < 2
3433a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 1 < 2)
3532, 34ltned 11397 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 1 ≠ 2)
3635necomd 2996 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 2 ≠ 1)
375, 7, 9, 31, 36relogbcld 41974 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (2 logb 𝑥) ∈ ℝ)
38 5nn0 12546 . . . . . . . 8 5 ∈ ℕ0
3938a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 5 ∈ ℕ0)
4037, 39reexpcld 14203 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((2 logb 𝑥)↑5) ∈ ℝ)
4140, 32readdcld 11290 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((2 logb 𝑥)↑5) + 1) ∈ ℝ)
4210, 32readdcld 11290 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (0 + 1) ∈ ℝ)
4310ltp1d 12198 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 0 < (0 + 1))
4439nn0zd 12639 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 5 ∈ ℤ)
45 2cnd 12344 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → 2 ∈ ℂ)
46 0red 11264 . . . . . . . . . . . . 13 (⊤ → 0 ∈ ℝ)
476a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (⊤ → 0 < 2)
4846, 47ltned 11397 . . . . . . . . . . . 12 (⊤ → 0 ≠ 2)
4948necomd 2996 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → 2 ≠ 0)
50 1red 11262 . . . . . . . . . . . . 13 (⊤ → 1 ∈ ℝ)
5133a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (⊤ → 1 < 2)
5250, 51ltned 11397 . . . . . . . . . . . 12 (⊤ → 1 ≠ 2)
5352necomd 2996 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → 2 ≠ 1)
54 logb1 26812 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0 ∧ 2 ≠ 1) → (2 logb 1) = 0)
5545, 49, 53, 54syl3anc 1373 . . . . . . . . . 10 (⊤ → (2 logb 1) = 0)
5655mptru 1547 . . . . . . . . 9 (2 logb 1) = 0
57 2lt3 12438 . . . . . . . . . . . . . 14 2 < 3
5857a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 2 < 3)
5932, 5, 14, 34, 58lttrd 11422 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 1 < 3)
6032, 14, 12, 59, 18ltletrd 11421 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 1 < 𝐴)
6132, 12, 9, 60, 30lttrd 11422 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 1 < 𝑥)
62 2z 12649 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℤ
6362a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 2 ∈ ℤ)
6463uzidd 12894 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 2 ∈ (ℤ‘2))
65 1rp 13038 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℝ+
6665a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 1 ∈ ℝ+)
679, 31elrpd 13074 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ+)
68 logblt 26827 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ (ℤ‘2) ∧ 1 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+) → (1 < 𝑥 ↔ (2 logb 1) < (2 logb 𝑥)))
6964, 66, 67, 68syl3anc 1373 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (1 < 𝑥 ↔ (2 logb 1) < (2 logb 𝑥)))
7061, 69mpbid 232 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (2 logb 1) < (2 logb 𝑥))
7156, 70eqbrtrrid 5179 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 0 < (2 logb 𝑥))
72 expgt0 14136 . . . . . . . 8 (((2 logb 𝑥) ∈ ℝ ∧ 5 ∈ ℤ ∧ 0 < (2 logb 𝑥)) → 0 < ((2 logb 𝑥)↑5))
7337, 44, 71, 72syl3anc 1373 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 0 < ((2 logb 𝑥)↑5))
7410, 40, 32, 73ltadd1dd 11874 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (0 + 1) < (((2 logb 𝑥)↑5) + 1))
7510, 42, 41, 43, 74lttrd 11422 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 0 < (((2 logb 𝑥)↑5) + 1))
765, 7, 41, 75, 36relogbcld 41974 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (2 logb (((2 logb 𝑥)↑5) + 1)) ∈ ℝ)
77 recn 11245 . . . 4 ((2 logb (((2 logb 𝑥)↑5) + 1)) ∈ ℝ → (2 logb (((2 logb 𝑥)↑5) + 1)) ∈ ℂ)
7876, 77syl 17 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (2 logb (((2 logb 𝑥)↑5) + 1)) ∈ ℂ)
793, 78mulcld 11281 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (2 · (2 logb (((2 logb 𝑥)↑5) + 1))) ∈ ℂ)
80 2rp 13039 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ+
8180a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 2 ∈ ℝ+)
8281relogcld 26665 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (log‘2) ∈ ℝ)
8341, 82remulcld 11291 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((((2 logb 𝑥)↑5) + 1) · (log‘2)) ∈ ℝ)
8440recnd 11289 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((2 logb 𝑥)↑5) ∈ ℂ)
85 1cnd 11256 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 1 ∈ ℂ)
8684, 85addcld 11280 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((2 logb 𝑥)↑5) + 1) ∈ ℂ)
877gt0ne0d 11827 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 2 ≠ 0)
883, 87logcld 26612 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (log‘2) ∈ ℂ)
8975gt0ne0d 11827 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((2 logb 𝑥)↑5) + 1) ≠ 0)
90 0red 11264 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
91 loggt0b 26674 . . . . . . . . . . . 12 (2 ∈ ℝ+ → (0 < (log‘2) ↔ 1 < 2))
9280, 91ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (0 < (log‘2) ↔ 1 < 2)
9333, 92mpbir 231 . . . . . . . . . 10 0 < (log‘2)
9493a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 < (log‘2))
9590, 94ltned 11397 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ≠ (log‘2))
9695necomd 2996 . . . . . . 7 (𝜑 → (log‘2) ≠ 0)
9796adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (log‘2) ≠ 0)
9886, 88, 89, 97mulne0d 11915 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((((2 logb 𝑥)↑5) + 1) · (log‘2)) ≠ 0)
9932, 83, 98redivcld 12095 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (1 / ((((2 logb 𝑥)↑5) + 1) · (log‘2))) ∈ ℝ)
100 5re 12353 . . . . . . . 8 5 ∈ ℝ
101100a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 5 ∈ ℝ)
102 4nn0 12545 . . . . . . . . 9 4 ∈ ℕ0
103102a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 4 ∈ ℕ0)
10437, 103reexpcld 14203 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((2 logb 𝑥)↑4) ∈ ℝ)
105101, 104remulcld 11291 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (5 · ((2 logb 𝑥)↑4)) ∈ ℝ)
1069, 82remulcld 11291 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑥 · (log‘2)) ∈ ℝ)
1079recnd 11289 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥 ∈ ℂ)
10810, 31gtned 11396 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥 ≠ 0)
109107, 88, 108, 97mulne0d 11915 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑥 · (log‘2)) ≠ 0)
11032, 106, 109redivcld 12095 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (1 / (𝑥 · (log‘2))) ∈ ℝ)
111105, 110remulcld 11291 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((5 · ((2 logb 𝑥)↑4)) · (1 / (𝑥 · (log‘2)))) ∈ ℝ)
112111, 10readdcld 11290 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((5 · ((2 logb 𝑥)↑4)) · (1 / (𝑥 · (log‘2)))) + 0) ∈ ℝ)
11399, 112remulcld 11291 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((1 / ((((2 logb 𝑥)↑5) + 1) · (log‘2))) · (((5 · ((2 logb 𝑥)↑4)) · (1 / (𝑥 · (log‘2)))) + 0)) ∈ ℝ)
1145, 113remulcld 11291 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (2 · ((1 / ((((2 logb 𝑥)↑5) + 1) · (log‘2))) · (((5 · ((2 logb 𝑥)↑4)) · (1 / (𝑥 · (log‘2)))) + 0))) ∈ ℝ)
11541, 75elrpd 13074 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((2 logb 𝑥)↑5) + 1) ∈ ℝ+)
1164a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → 2 ∈ ℝ)
1176a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → 0 < 2)
118 rpre 13043 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ)
119118adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑦 ∈ ℝ)
120 rpgt0 13047 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℝ+ → 0 < 𝑦)
121120adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → 0 < 𝑦)
122 1red 11262 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℝ)
12333a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → 1 < 2)
124122, 123ltned 11397 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → 1 ≠ 2)
125124necomd 2996 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → 2 ≠ 1)
126116, 117, 119, 121, 125relogbcld 41974 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → (2 logb 𝑦) ∈ ℝ)
127126recnd 11289 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → (2 logb 𝑦) ∈ ℂ)
12880a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → 2 ∈ ℝ+)
129128relogcld 26665 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → (log‘2) ∈ ℝ)
130119, 129remulcld 11291 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑦 · (log‘2)) ∈ ℝ)
131119recnd 11289 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑦 ∈ ℂ)
132 2cnd 12344 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → 2 ∈ ℂ)
133128rpne0d 13082 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → 2 ≠ 0)
134132, 133logcld 26612 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → (log‘2) ∈ ℂ)
135 rpne0 13051 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℝ+𝑦 ≠ 0)
136135adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑦 ≠ 0)
13796necomd 2996 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ≠ (log‘2))
138137adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → 0 ≠ (log‘2))
139138necomd 2996 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → (log‘2) ≠ 0)
140131, 134, 136, 139mulne0d 11915 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑦 · (log‘2)) ≠ 0)
141122, 130, 140redivcld 12095 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → (1 / (𝑦 · (log‘2))) ∈ ℝ)
142 cnelprrecn 11248 . . . . . . 7 ℂ ∈ {ℝ, ℂ}
143142a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
14437recnd 11289 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (2 logb 𝑥) ∈ ℂ)
145 simpr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → 𝑧 ∈ ℂ)
14638a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → 5 ∈ ℕ0)
147145, 146expcld 14186 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → (𝑧↑5) ∈ ℂ)
148 5cn 12354 . . . . . . . 8 5 ∈ ℂ
149148a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → 5 ∈ ℂ)
150102a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → 4 ∈ ℕ0)
151145, 150expcld 14186 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → (𝑧↑4) ∈ ℂ)
152149, 151mulcld 11281 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → (5 · (𝑧↑4)) ∈ ℂ)
15313a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 3 ∈ ℝ)
15415a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 < 3)
15590, 153, 11, 154, 17ltletrd 11421 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 < 𝐴)
15690, 11, 155ltled 11409 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
157 aks4d1p1p6.4 . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝐵)
158 eqid 2737 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (2 logb 𝑥)) = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (2 logb 𝑥))
159 eqid 2737 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (1 / (𝑥 · (log‘2)))) = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (1 / (𝑥 · (log‘2))))
16021, 24, 156, 157, 158, 159dvrelog2b 42067 . . . . . 6 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (2 logb 𝑥))) = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (1 / (𝑥 · (log‘2)))))
161 5nn 12352 . . . . . . . 8 5 ∈ ℕ
162 dvexp 25991 . . . . . . . 8 (5 ∈ ℕ → (ℂ D (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧↑5))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (5 · (𝑧↑(5 − 1)))))
163161, 162ax-mp 5 . . . . . . 7 (ℂ D (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧↑5))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (5 · (𝑧↑(5 − 1))))
164 5m1e4 12396 . . . . . . . . . . 11 (5 − 1) = 4
165164a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → (5 − 1) = 4)
166165oveq2d 7447 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → (𝑧↑(5 − 1)) = (𝑧↑4))
167166oveq2d 7447 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → (5 · (𝑧↑(5 − 1))) = (5 · (𝑧↑4)))
168167mpteq2dva 5242 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑧 ∈ ℂ ↦ (5 · (𝑧↑(5 − 1)))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (5 · (𝑧↑4))))
169163, 168eqtrid 2789 . . . . . 6 (𝜑 → (ℂ D (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧↑5))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (5 · (𝑧↑4))))
170 oveq1 7438 . . . . . 6 (𝑧 = (2 logb 𝑥) → (𝑧↑5) = ((2 logb 𝑥)↑5))
171 oveq1 7438 . . . . . . 7 (𝑧 = (2 logb 𝑥) → (𝑧↑4) = ((2 logb 𝑥)↑4))
172171oveq2d 7447 . . . . . 6 (𝑧 = (2 logb 𝑥) → (5 · (𝑧↑4)) = (5 · ((2 logb 𝑥)↑4)))
1732, 143, 144, 110, 147, 152, 160, 169, 170, 172dvmptco 26010 . . . . 5 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((2 logb 𝑥)↑5))) = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((5 · ((2 logb 𝑥)↑4)) · (1 / (𝑥 · (log‘2))))))
174 1cnd 11256 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
175174adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℂ)
176 0red 11264 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 0 ∈ ℝ)
1772, 174dvmptc 25996 . . . . . 6 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ ↦ 1)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ 0))
178 ioossre 13448 . . . . . . 7 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ
179178a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ)
180 tgioo4 24826 . . . . . 6 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
181 eqid 2737 . . . . . 6 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
182 iooretop 24786 . . . . . . 7 (𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,))
183182a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,)))
1842, 175, 176, 177, 179, 180, 181, 183dvmptres 26001 . . . . 5 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 1)) = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 0))
1852, 84, 111, 173, 85, 10, 184dvmptadd 25998 . . . 4 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((2 logb 𝑥)↑5) + 1))) = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((5 · ((2 logb 𝑥)↑4)) · (1 / (𝑥 · (log‘2)))) + 0)))
186 dfrp2 13436 . . . . . . . 8 + = (0(,)+∞)
187186a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → ℝ+ = (0(,)+∞))
188187mpteq1d 5237 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (2 logb 𝑦)) = (𝑦 ∈ (0(,)+∞) ↦ (2 logb 𝑦)))
189188oveq2d 7447 . . . . 5 (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (2 logb 𝑦))) = (ℝ D (𝑦 ∈ (0(,)+∞) ↦ (2 logb 𝑦))))
19090rexrd 11311 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ∈ ℝ*)
191 pnfxr 11315 . . . . . . . 8 +∞ ∈ ℝ*
192191a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
19390leidd 11829 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ≤ 0)
194 0lepnf 13175 . . . . . . . 8 0 ≤ +∞
195194a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ≤ +∞)
196 eqid 2737 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (0(,)+∞) ↦ (2 logb 𝑦)) = (𝑦 ∈ (0(,)+∞) ↦ (2 logb 𝑦))
197 eqid 2737 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (0(,)+∞) ↦ (1 / (𝑦 · (log‘2)))) = (𝑦 ∈ (0(,)+∞) ↦ (1 / (𝑦 · (log‘2))))
198190, 192, 193, 195, 196, 197dvrelog2b 42067 . . . . . 6 (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ (0(,)+∞) ↦ (2 logb 𝑦))) = (𝑦 ∈ (0(,)+∞) ↦ (1 / (𝑦 · (log‘2)))))
199187eqcomd 2743 . . . . . . 7 (𝜑 → (0(,)+∞) = ℝ+)
200199mpteq1d 5237 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑦 ∈ (0(,)+∞) ↦ (1 / (𝑦 · (log‘2)))) = (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (1 / (𝑦 · (log‘2)))))
201198, 200eqtrd 2777 . . . . 5 (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ (0(,)+∞) ↦ (2 logb 𝑦))) = (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (1 / (𝑦 · (log‘2)))))
202189, 201eqtrd 2777 . . . 4 (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (2 logb 𝑦))) = (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (1 / (𝑦 · (log‘2)))))
203 oveq2 7439 . . . 4 (𝑦 = (((2 logb 𝑥)↑5) + 1) → (2 logb 𝑦) = (2 logb (((2 logb 𝑥)↑5) + 1)))
204 oveq1 7438 . . . . 5 (𝑦 = (((2 logb 𝑥)↑5) + 1) → (𝑦 · (log‘2)) = ((((2 logb 𝑥)↑5) + 1) · (log‘2)))
205204oveq2d 7447 . . . 4 (𝑦 = (((2 logb 𝑥)↑5) + 1) → (1 / (𝑦 · (log‘2))) = (1 / ((((2 logb 𝑥)↑5) + 1) · (log‘2))))
2062, 2, 115, 112, 127, 141, 185, 202, 203, 205dvmptco 26010 . . 3 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (2 logb (((2 logb 𝑥)↑5) + 1)))) = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((1 / ((((2 logb 𝑥)↑5) + 1) · (log‘2))) · (((5 · ((2 logb 𝑥)↑4)) · (1 / (𝑥 · (log‘2)))) + 0))))
2074a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
208207recnd 11289 . . 3 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
2092, 78, 113, 206, 208dvmptcmul 26002 . 2 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (2 · (2 logb (((2 logb 𝑥)↑5) + 1))))) = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (2 · ((1 / ((((2 logb 𝑥)↑5) + 1) · (log‘2))) · (((5 · ((2 logb 𝑥)↑4)) · (1 / (𝑥 · (log‘2)))) + 0)))))
210144sqcld 14184 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((2 logb 𝑥)↑2) ∈ ℂ)
21182resqcld 14165 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((log‘2)↑2) ∈ ℝ)
21281rpne0d 13082 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 2 ≠ 0)
2133, 212logcld 26612 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (log‘2) ∈ ℂ)
214213, 97, 63expne0d 14192 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((log‘2)↑2) ≠ 0)
2155, 211, 214redivcld 12095 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (2 / ((log‘2)↑2)) ∈ ℝ)
21667relogcld 26665 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
217 2m1e1 12392 . . . . . . 7 (2 − 1) = 1
218 1nn0 12542 . . . . . . 7 1 ∈ ℕ0
219217, 218eqeltri 2837 . . . . . 6 (2 − 1) ∈ ℕ0
220219a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (2 − 1) ∈ ℕ0)
221216, 220reexpcld 14203 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((log‘𝑥)↑(2 − 1)) ∈ ℝ)
22267rpne0d 13082 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥 ≠ 0)
223221, 9, 222redivcld 12095 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((log‘𝑥)↑(2 − 1)) / 𝑥) ∈ ℝ)
224215, 223remulcld 11291 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((2 / ((log‘2)↑2)) · (((log‘𝑥)↑(2 − 1)) / 𝑥)) ∈ ℝ)
225 eqid 2737 . . 3 (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((2 logb 𝑥)↑2)) = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((2 logb 𝑥)↑2))
226 eqid 2737 . . 3 (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((2 / ((log‘2)↑2)) · (((log‘𝑥)↑(2 − 1)) / 𝑥))) = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((2 / ((log‘2)↑2)) · (((log‘𝑥)↑(2 − 1)) / 𝑥)))
227 eqid 2737 . . 3 (2 / ((log‘2)↑2)) = (2 / ((log‘2)↑2))
228 2nn 12339 . . . 4 2 ∈ ℕ
229228a1i 11 . . 3 (𝜑 → 2 ∈ ℕ)
23011, 23, 155, 157, 225, 226, 227, 229dvrelogpow2b 42069 . 2 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((2 logb 𝑥)↑2))) = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((2 / ((log‘2)↑2)) · (((log‘𝑥)↑(2 − 1)) / 𝑥))))
2312, 79, 114, 209, 210, 224, 230dvmptadd 25998 1 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((2 · (2 logb (((2 logb 𝑥)↑5) + 1))) + ((2 logb 𝑥)↑2)))) = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((2 · ((1 / ((((2 logb 𝑥)↑5) + 1) · (log‘2))) · (((5 · ((2 logb 𝑥)↑4)) · (1 / (𝑥 · (log‘2)))) + 0))) + ((2 / ((log‘2)↑2)) · (((log‘𝑥)↑(2 − 1)) / 𝑥)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wtru 1541  wcel 2108  wne 2940  wss 3951  {cpr 4628   class class class wbr 5143  cmpt 5225  ran crn 5686  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160  +∞cpnf 11292  *cxr 11294   < clt 11295  cle 11296  cmin 11492   / cdiv 11920  cn 12266  2c2 12321  3c3 12322  4c4 12323  5c5 12324  0cn0 12526  cz 12613  cuz 12878  +crp 13034  (,)cioo 13387  cexp 14102  TopOpenctopn 17466  topGenctg 17482  fldccnfld 21364   D cdv 25898  logclog 26596   logb clogb 26807
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ioc 13392  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-fac 14313  df-bc 14342  df-hash 14370  df-shft 15106  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-limsup 15507  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-ef 16103  df-sin 16105  df-cos 16106  df-pi 16108  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-mulg 19086  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-fbas 21361  df-fg 21362  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029  df-nei 23106  df-lp 23144  df-perf 23145  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-haus 23323  df-cmp 23395  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-fil 23854  df-fm 23946  df-flim 23947  df-flf 23948  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332  df-cncf 24904  df-limc 25901  df-dv 25902  df-log 26598  df-logb 26808
This theorem is referenced by:  aks4d1p1p5  42076
  Copyright terms: Public domain W3C validator