MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  icc0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem icc0 13407
Description: An empty closed interval of extended reals. (Contributed by FL, 30-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
icc0 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴[,]𝐵) = ∅ ↔ 𝐵 < 𝐴))

Proof of Theorem icc0
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iccval 13398 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴[,]𝐵) = {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴𝑥𝑥𝐵)})
21eqeq1d 2727 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴[,]𝐵) = ∅ ↔ {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴𝑥𝑥𝐵)} = ∅))
3 df-ne 2930 . . . . . 6 ({𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴𝑥𝑥𝐵)} ≠ ∅ ↔ ¬ {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴𝑥𝑥𝐵)} = ∅)
4 rabn0 4387 . . . . . 6 ({𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴𝑥𝑥𝐵)} ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ* (𝐴𝑥𝑥𝐵))
53, 4bitr3i 276 . . . . 5 (¬ {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴𝑥𝑥𝐵)} = ∅ ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ* (𝐴𝑥𝑥𝐵))
6 xrletr 13172 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴𝑥𝑥𝐵) → 𝐴𝐵))
763com23 1123 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*) → ((𝐴𝑥𝑥𝐵) → 𝐴𝐵))
873expa 1115 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → ((𝐴𝑥𝑥𝐵) → 𝐴𝐵))
98rexlimdva 3144 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (∃𝑥 ∈ ℝ* (𝐴𝑥𝑥𝐵) → 𝐴𝐵))
10 simp2 1134 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
11 simp3 1135 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → 𝐴𝐵)
12 xrleid 13165 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℝ*𝐵𝐵)
13123ad2ant2 1131 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → 𝐵𝐵)
14 breq2 5153 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝐵 → (𝐴𝑥𝐴𝐵))
15 breq1 5152 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝐵 → (𝑥𝐵𝐵𝐵))
1614, 15anbi12d 630 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝐵 → ((𝐴𝑥𝑥𝐵) ↔ (𝐴𝐵𝐵𝐵)))
1716rspcev 3606 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐵)) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (𝐴𝑥𝑥𝐵))
1810, 11, 13, 17syl12anc 835 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (𝐴𝑥𝑥𝐵))
19183expia 1118 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴𝐵 → ∃𝑥 ∈ ℝ* (𝐴𝑥𝑥𝐵)))
209, 19impbid 211 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (∃𝑥 ∈ ℝ* (𝐴𝑥𝑥𝐵) ↔ 𝐴𝐵))
215, 20bitrid 282 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (¬ {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴𝑥𝑥𝐵)} = ∅ ↔ 𝐴𝐵))
22 xrlenlt 11311 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
2321, 22bitrd 278 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (¬ {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴𝑥𝑥𝐵)} = ∅ ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
2423con4bid 316 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ({𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴𝑥𝑥𝐵)} = ∅ ↔ 𝐵 < 𝐴))
252, 24bitrd 278 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴[,]𝐵) = ∅ ↔ 𝐵 < 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 394  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2929  wrex 3059  {crab 3418  c0 4322   class class class wbr 5149  (class class class)co 7419  *cxr 11279   < clt 11280  cle 11281  [,]cicc 13362
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5576  df-po 5590  df-so 5591  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-icc 13366
This theorem is referenced by:  iccntr  24781  icccmp  24785  cniccbdd  25434  iccvolcl  25540  itgioo  25789  c1lip1  25974  pserulm  26403  iccdifprioo  45039  cncfiooicc  45420  ibliooicc  45497  voliccico  45525  vonicc  46211
  Copyright terms: Public domain W3C validator