MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  icc0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem icc0 12428
Description: An empty closed interval of extended reals. (Contributed by FL, 30-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
icc0 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴[,]𝐵) = ∅ ↔ 𝐵 < 𝐴))

Proof of Theorem icc0
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iccval 12419 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴[,]𝐵) = {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴𝑥𝑥𝐵)})
21eqeq1d 2773 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴[,]𝐵) = ∅ ↔ {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴𝑥𝑥𝐵)} = ∅))
3 df-ne 2944 . . . . . 6 ({𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴𝑥𝑥𝐵)} ≠ ∅ ↔ ¬ {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴𝑥𝑥𝐵)} = ∅)
4 rabn0 4104 . . . . . 6 ({𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴𝑥𝑥𝐵)} ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ* (𝐴𝑥𝑥𝐵))
53, 4bitr3i 266 . . . . 5 (¬ {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴𝑥𝑥𝐵)} = ∅ ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ* (𝐴𝑥𝑥𝐵))
6 xrletr 12194 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴𝑥𝑥𝐵) → 𝐴𝐵))
763com23 1120 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*) → ((𝐴𝑥𝑥𝐵) → 𝐴𝐵))
873expa 1111 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → ((𝐴𝑥𝑥𝐵) → 𝐴𝐵))
98rexlimdva 3179 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (∃𝑥 ∈ ℝ* (𝐴𝑥𝑥𝐵) → 𝐴𝐵))
10 simp2 1131 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
11 simp3 1132 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → 𝐴𝐵)
12 xrleid 12188 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℝ*𝐵𝐵)
13123ad2ant2 1128 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → 𝐵𝐵)
14 breq2 4790 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝐵 → (𝐴𝑥𝐴𝐵))
15 breq1 4789 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝐵 → (𝑥𝐵𝐵𝐵))
1614, 15anbi12d 616 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝐵 → ((𝐴𝑥𝑥𝐵) ↔ (𝐴𝐵𝐵𝐵)))
1716rspcev 3460 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐵)) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (𝐴𝑥𝑥𝐵))
1810, 11, 13, 17syl12anc 1474 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (𝐴𝑥𝑥𝐵))
19183expia 1114 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴𝐵 → ∃𝑥 ∈ ℝ* (𝐴𝑥𝑥𝐵)))
209, 19impbid 202 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (∃𝑥 ∈ ℝ* (𝐴𝑥𝑥𝐵) ↔ 𝐴𝐵))
215, 20syl5bb 272 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (¬ {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴𝑥𝑥𝐵)} = ∅ ↔ 𝐴𝐵))
22 xrlenlt 10305 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
2321, 22bitrd 268 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (¬ {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴𝑥𝑥𝐵)} = ∅ ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
2423con4bid 306 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ({𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴𝑥𝑥𝐵)} = ∅ ↔ 𝐵 < 𝐴))
252, 24bitrd 268 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴[,]𝐵) = ∅ ↔ 𝐵 < 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 382  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943  wrex 3062  {crab 3065  c0 4063   class class class wbr 4786  (class class class)co 6793  *cxr 10275   < clt 10276  cle 10277  [,]cicc 12383
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-op 4323  df-uni 4575  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-id 5157  df-po 5170  df-so 5171  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-icc 12387
This theorem is referenced by:  iccntr  22844  icccmp  22848  cniccbdd  23449  iccvolcl  23555  itgioo  23802  c1lip1  23980  pserulm  24396  iccdifprioo  40261  cncfiooicc  40625  ibliooicc  40704  voliccico  40733  vonicc  41419
  Copyright terms: Public domain W3C validator