Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dihmeetlem17N Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dihmeetlem17N 40720
Description: Lemma for isomorphism H of a lattice meet. (Contributed by NM, 7-Apr-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dihmeetlem14.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
dihmeetlem14.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
dihmeetlem14.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
dihmeetlem14.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
dihmeetlem14.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
dihmeetlem14.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
dihmeetlem14.u π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dihmeetlem14.s βŠ• = (LSSumβ€˜π‘ˆ)
dihmeetlem14.i 𝐼 = ((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dihmeetlem17.o 0 = (0.β€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
dihmeetlem17N ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š)) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ π‘Š ∧ 𝑝 ≀ 𝑋)) β†’ (π‘Œ ∧ 𝑝) = 0 )
Proof of Theorem dihmeetlem17N
StepHypRef Expression
1 simpl1l 1222 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š)) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ π‘Š ∧ 𝑝 ≀ 𝑋)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
21hllatd 38760 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š)) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ π‘Š ∧ 𝑝 ≀ 𝑋)) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
3 simpl3l 1226 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š)) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ π‘Š ∧ 𝑝 ≀ 𝑋)) β†’ 𝑝 ∈ 𝐴)
4 dihmeetlem14.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
5 dihmeetlem14.a . . . . 5 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
64, 5atbase 38685 . . . 4 (𝑝 ∈ 𝐴 β†’ 𝑝 ∈ 𝐡)
73, 6syl 17 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š)) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ π‘Š ∧ 𝑝 ≀ 𝑋)) β†’ 𝑝 ∈ 𝐡)
8 simpr1 1192 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š)) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ π‘Š ∧ 𝑝 ≀ 𝑋)) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
9 dihmeetlem14.m . . . 4 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
104, 9latmcom 18440 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑝 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑝 ∧ π‘Œ) = (π‘Œ ∧ 𝑝))
112, 7, 8, 10syl3anc 1369 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š)) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ π‘Š ∧ 𝑝 ≀ 𝑋)) β†’ (𝑝 ∧ π‘Œ) = (π‘Œ ∧ 𝑝))
12 simpl1 1189 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š)) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ π‘Š ∧ 𝑝 ≀ 𝑋)) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
13 simpl2 1190 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š)) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ π‘Š ∧ 𝑝 ≀ 𝑋)) β†’ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š))
14 simpl3 1191 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š)) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ π‘Š ∧ 𝑝 ≀ 𝑋)) β†’ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š))
15 simpr2 1193 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š)) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ π‘Š ∧ 𝑝 ≀ 𝑋)) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ π‘Š)
16 simpr3 1194 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š)) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ π‘Š ∧ 𝑝 ≀ 𝑋)) β†’ 𝑝 ≀ 𝑋)
17 dihmeetlem14.l . . . . 5 ≀ = (leβ€˜πΎ)
18 dihmeetlem14.j . . . . 5 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
19 dihmeetlem14.h . . . . 5 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
204, 17, 18, 9, 5, 19lhpmcvr4N 39423 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š)) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ π‘Š ∧ 𝑝 ≀ 𝑋)) β†’ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Œ)
2112, 13, 14, 8, 15, 16, 20syl123anc 1385 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š)) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ π‘Š ∧ 𝑝 ≀ 𝑋)) β†’ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Œ)
22 hlatl 38756 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ AtLat)
231, 22syl 17 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š)) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ π‘Š ∧ 𝑝 ≀ 𝑋)) β†’ 𝐾 ∈ AtLat)
24 dihmeetlem17.o . . . . 5 0 = (0.β€˜πΎ)
254, 17, 9, 24, 5atnle 38713 . . . 4 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (Β¬ 𝑝 ≀ π‘Œ ↔ (𝑝 ∧ π‘Œ) = 0 ))
2623, 3, 8, 25syl3anc 1369 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š)) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ π‘Š ∧ 𝑝 ≀ 𝑋)) β†’ (Β¬ 𝑝 ≀ π‘Œ ↔ (𝑝 ∧ π‘Œ) = 0 ))
2721, 26mpbid 231 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š)) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ π‘Š ∧ 𝑝 ≀ 𝑋)) β†’ (𝑝 ∧ π‘Œ) = 0 )
2811, 27eqtr3d 2769 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š)) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ π‘Š ∧ 𝑝 ≀ 𝑋)) β†’ (π‘Œ ∧ 𝑝) = 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   class class class wbr 5142  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  Basecbs 17165  lecple 17225  joincjn 18288  meetcmee 18289  0.cp0 18400  Latclat 18408  LSSumclsm 19573  Atomscatm 38659  AtLatcal 38660  HLchlt 38746  LHypclh 39381  DVecHcdvh 40475  DIsoHcdih 40625
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-proset 18272  df-poset 18290  df-plt 18307  df-lub 18323  df-glb 18324  df-join 18325  df-meet 18326  df-p0 18402  df-lat 18409  df-covers 38662  df-ats 38663  df-atl 38694  df-cvlat 38718  df-hlat 38747  df-lhyp 39385
This theorem is referenced by:  dihmeetlem18N  40721
  Copyright terms: Public domain W3C validator