Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | simpl1l 1225 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π΅ β§ (π β§ π) β€ π β§ π β€ π)) β πΎ β HL) |
2 | 1 | hllatd 37876 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π΅ β§ (π β§ π) β€ π β§ π β€ π)) β πΎ β Lat) |
3 | | simpl3l 1229 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π΅ β§ (π β§ π) β€ π β§ π β€ π)) β π β π΄) |
4 | | dihmeetlem14.b |
. . . . 5
β’ π΅ = (BaseβπΎ) |
5 | | dihmeetlem14.a |
. . . . 5
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
6 | 4, 5 | atbase 37801 |
. . . 4
β’ (π β π΄ β π β π΅) |
7 | 3, 6 | syl 17 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π΅ β§ (π β§ π) β€ π β§ π β€ π)) β π β π΅) |
8 | | simpr1 1195 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π΅ β§ (π β§ π) β€ π β§ π β€ π)) β π β π΅) |
9 | | dihmeetlem14.m |
. . . 4
β’ β§ =
(meetβπΎ) |
10 | 4, 9 | latmcom 18360 |
. . 3
β’ ((πΎ β Lat β§ π β π΅ β§ π β π΅) β (π β§ π) = (π β§ π)) |
11 | 2, 7, 8, 10 | syl3anc 1372 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π΅ β§ (π β§ π) β€ π β§ π β€ π)) β (π β§ π) = (π β§ π)) |
12 | | simpl1 1192 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π΅ β§ (π β§ π) β€ π β§ π β€ π)) β (πΎ β HL β§ π β π»)) |
13 | | simpl2 1193 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π΅ β§ (π β§ π) β€ π β§ π β€ π)) β (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π)) |
14 | | simpl3 1194 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π΅ β§ (π β§ π) β€ π β§ π β€ π)) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
15 | | simpr2 1196 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π΅ β§ (π β§ π) β€ π β§ π β€ π)) β (π β§ π) β€ π) |
16 | | simpr3 1197 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π΅ β§ (π β§ π) β€ π β§ π β€ π)) β π β€ π) |
17 | | dihmeetlem14.l |
. . . . 5
β’ β€ =
(leβπΎ) |
18 | | dihmeetlem14.j |
. . . . 5
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
19 | | dihmeetlem14.h |
. . . . 5
β’ π» = (LHypβπΎ) |
20 | 4, 17, 18, 9, 5, 19 | lhpmcvr4N 38539 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π΅ β§ (π β§ π) β€ π β§ π β€ π)) β Β¬ π β€ π) |
21 | 12, 13, 14, 8, 15, 16, 20 | syl123anc 1388 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π΅ β§ (π β§ π) β€ π β§ π β€ π)) β Β¬ π β€ π) |
22 | | hlatl 37872 |
. . . . 5
β’ (πΎ β HL β πΎ β AtLat) |
23 | 1, 22 | syl 17 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π΅ β§ (π β§ π) β€ π β§ π β€ π)) β πΎ β AtLat) |
24 | | dihmeetlem17.o |
. . . . 5
β’ 0 =
(0.βπΎ) |
25 | 4, 17, 9, 24, 5 | atnle 37829 |
. . . 4
β’ ((πΎ β AtLat β§ π β π΄ β§ π β π΅) β (Β¬ π β€ π β (π β§ π) = 0 )) |
26 | 23, 3, 8, 25 | syl3anc 1372 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π΅ β§ (π β§ π) β€ π β§ π β€ π)) β (Β¬ π β€ π β (π β§ π) = 0 )) |
27 | 21, 26 | mpbid 231 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π΅ β§ (π β§ π) β€ π β§ π β€ π)) β (π β§ π) = 0 ) |
28 | 11, 27 | eqtr3d 2775 |
1
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π΅ β§ (π β§ π) β€ π β§ π β€ π)) β (π β§ π) = 0 ) |