Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | dihmeetlem14.b |
. . . 4
β’ π΅ = (BaseβπΎ) |
2 | | dihmeetlem14.l |
. . . 4
β’ β€ =
(leβπΎ) |
3 | | dihmeetlem14.h |
. . . 4
β’ π» = (LHypβπΎ) |
4 | | dihmeetlem14.j |
. . . 4
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
5 | | dihmeetlem14.m |
. . . 4
β’ β§ =
(meetβπΎ) |
6 | | dihmeetlem14.a |
. . . 4
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
7 | | dihmeetlem14.u |
. . . 4
β’ π = ((DVecHβπΎ)βπ) |
8 | | dihmeetlem14.s |
. . . 4
β’ β =
(LSSumβπ) |
9 | | dihmeetlem14.i |
. . . 4
β’ πΌ = ((DIsoHβπΎ)βπ) |
10 | | eqid 2733 |
. . . 4
β’
(0gβπ) = (0gβπ) |
11 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 | dihmeetlem15N 39834 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ π β π΅ β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β€ π β§ (π β§ π) β€ π)) β ((πΌβπ) β© (πΌβπ)) = {(0gβπ)}) |
12 | 11 | oveq2d 7377 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ π β π΅ β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β€ π β§ (π β§ π) β€ π)) β ((πΌβ(π β§ π)) β ((πΌβπ) β© (πΌβπ))) = ((πΌβ(π β§ π)) β
{(0gβπ)})) |
13 | | simpl1 1192 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ π β π΅ β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β€ π β§ (π β§ π) β€ π)) β (πΎ β HL β§ π β π»)) |
14 | | simpl2 1193 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ π β π΅ β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β€ π β§ (π β§ π) β€ π)) β π β π΅) |
15 | | simpl3l 1229 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ π β π΅ β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β€ π β§ (π β§ π) β€ π)) β π β π΄) |
16 | 1, 6 | atbase 37801 |
. . . 4
β’ (π β π΄ β π β π΅) |
17 | 15, 16 | syl 17 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ π β π΅ β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β€ π β§ (π β§ π) β€ π)) β π β π΅) |
18 | | simpr1 1195 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ π β π΅ β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β€ π β§ (π β§ π) β€ π)) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
19 | | simpr2 1196 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ π β π΅ β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β€ π β§ (π β§ π) β€ π)) β π β€ π) |
20 | | simpr3 1197 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ π β π΅ β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β€ π β§ (π β§ π) β€ π)) β (π β§ π) β€ π) |
21 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 | dihmeetlem14N 39833 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β€ π β§ (π β§ π) β€ π)) β ((πΌβ(π β§ π)) β ((πΌβπ) β© (πΌβπ))) = ((πΌβπ) β© (πΌβπ))) |
22 | 13, 14, 17, 18, 19, 20, 21 | syl33anc 1386 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ π β π΅ β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β€ π β§ (π β§ π) β€ π)) β ((πΌβ(π β§ π)) β ((πΌβπ) β© (πΌβπ))) = ((πΌβπ) β© (πΌβπ))) |
23 | 3, 7, 13 | dvhlmod 39623 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ π β π΅ β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β€ π β§ (π β§ π) β€ π)) β π β LMod) |
24 | | simpl1l 1225 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ π β π΅ β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β€ π β§ (π β§ π) β€ π)) β πΎ β HL) |
25 | 24 | hllatd 37876 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ π β π΅ β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β€ π β§ (π β§ π) β€ π)) β πΎ β Lat) |
26 | 1, 5 | latmcl 18337 |
. . . . . 6
β’ ((πΎ β Lat β§ π β π΅ β§ π β π΅) β (π β§ π) β π΅) |
27 | 25, 14, 17, 26 | syl3anc 1372 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ π β π΅ β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β€ π β§ (π β§ π) β€ π)) β (π β§ π) β π΅) |
28 | | eqid 2733 |
. . . . . 6
β’
(LSubSpβπ) =
(LSubSpβπ) |
29 | 1, 3, 9, 7, 28 | dihlss 39763 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β§ π) β π΅) β (πΌβ(π β§ π)) β (LSubSpβπ)) |
30 | 13, 27, 29 | syl2anc 585 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ π β π΅ β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β€ π β§ (π β§ π) β€ π)) β (πΌβ(π β§ π)) β (LSubSpβπ)) |
31 | 28 | lsssubg 20462 |
. . . 4
β’ ((π β LMod β§ (πΌβ(π β§ π)) β (LSubSpβπ)) β (πΌβ(π β§ π)) β (SubGrpβπ)) |
32 | 23, 30, 31 | syl2anc 585 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ π β π΅ β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β€ π β§ (π β§ π) β€ π)) β (πΌβ(π β§ π)) β (SubGrpβπ)) |
33 | 10, 8 | lsm01 19461 |
. . 3
β’ ((πΌβ(π β§ π)) β (SubGrpβπ) β ((πΌβ(π β§ π)) β
{(0gβπ)})
= (πΌβ(π β§ π))) |
34 | 32, 33 | syl 17 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ π β π΅ β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β€ π β§ (π β§ π) β€ π)) β ((πΌβ(π β§ π)) β
{(0gβπ)})
= (πΌβ(π β§ π))) |
35 | 12, 22, 34 | 3eqtr3rd 2782 |
1
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ π β π΅ β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β€ π β§ (π β§ π) β€ π)) β (πΌβ(π β§ π)) = ((πΌβπ) β© (πΌβπ))) |