Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dihmeetlem18N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dihmeetlem18N 38592
 Description: Lemma for isomorphism H of a lattice meet. (Contributed by NM, 7-Apr-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dihmeetlem14.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
dihmeetlem14.l = (le‘𝐾)
dihmeetlem14.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dihmeetlem14.j = (join‘𝐾)
dihmeetlem14.m = (meet‘𝐾)
dihmeetlem14.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
dihmeetlem14.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dihmeetlem14.s = (LSSum‘𝑈)
dihmeetlem14.i 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
dihmeetlem18.z 0 = (0g𝑈)
Assertion
Ref Expression
dihmeetlem18N ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ 𝑌𝐵) ∧ ((𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊) ∧ (𝑟𝐴 ∧ ¬ 𝑟 𝑊) ∧ (𝑝 𝑋𝑟 𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) 𝑊))) → ((𝐼𝑌) ∩ (𝐼𝑝)) = { 0 })

Proof of Theorem dihmeetlem18N
StepHypRef Expression
1 simpl1 1188 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ 𝑌𝐵) ∧ ((𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊) ∧ (𝑟𝐴 ∧ ¬ 𝑟 𝑊) ∧ (𝑝 𝑋𝑟 𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) 𝑊))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2 simpl2 1189 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ 𝑌𝐵) ∧ ((𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊) ∧ (𝑟𝐴 ∧ ¬ 𝑟 𝑊) ∧ (𝑝 𝑋𝑟 𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) 𝑊))) → (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊))
3 simpr1 1191 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ 𝑌𝐵) ∧ ((𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊) ∧ (𝑟𝐴 ∧ ¬ 𝑟 𝑊) ∧ (𝑝 𝑋𝑟 𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) 𝑊))) → (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊))
4 simpl3 1190 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ 𝑌𝐵) ∧ ((𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊) ∧ (𝑟𝐴 ∧ ¬ 𝑟 𝑊) ∧ (𝑝 𝑋𝑟 𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) 𝑊))) → 𝑌𝐵)
5 simpr33 1262 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ 𝑌𝐵) ∧ ((𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊) ∧ (𝑟𝐴 ∧ ¬ 𝑟 𝑊) ∧ (𝑝 𝑋𝑟 𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) 𝑊))) → (𝑋 𝑌) 𝑊)
6 simpr31 1260 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ 𝑌𝐵) ∧ ((𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊) ∧ (𝑟𝐴 ∧ ¬ 𝑟 𝑊) ∧ (𝑝 𝑋𝑟 𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) 𝑊))) → 𝑝 𝑋)
7 dihmeetlem14.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐾)
8 dihmeetlem14.l . . . . 5 = (le‘𝐾)
9 dihmeetlem14.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
10 dihmeetlem14.j . . . . 5 = (join‘𝐾)
11 dihmeetlem14.m . . . . 5 = (meet‘𝐾)
12 dihmeetlem14.a . . . . 5 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
13 dihmeetlem14.u . . . . 5 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
14 dihmeetlem14.s . . . . 5 = (LSSum‘𝑈)
15 dihmeetlem14.i . . . . 5 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
16 eqid 2824 . . . . 5 (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
177, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16dihmeetlem17N 38591 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊)) ∧ (𝑌𝐵 ∧ (𝑋 𝑌) 𝑊𝑝 𝑋)) → (𝑌 𝑝) = (0.‘𝐾))
181, 2, 3, 4, 5, 6, 17syl33anc 1382 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ 𝑌𝐵) ∧ ((𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊) ∧ (𝑟𝐴 ∧ ¬ 𝑟 𝑊) ∧ (𝑝 𝑋𝑟 𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) 𝑊))) → (𝑌 𝑝) = (0.‘𝐾))
1918fveq2d 6667 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ 𝑌𝐵) ∧ ((𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊) ∧ (𝑟𝐴 ∧ ¬ 𝑟 𝑊) ∧ (𝑝 𝑋𝑟 𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) 𝑊))) → (𝐼‘(𝑌 𝑝)) = (𝐼‘(0.‘𝐾)))
20 simpr2 1192 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ 𝑌𝐵) ∧ ((𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊) ∧ (𝑟𝐴 ∧ ¬ 𝑟 𝑊) ∧ (𝑝 𝑋𝑟 𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) 𝑊))) → (𝑟𝐴 ∧ ¬ 𝑟 𝑊))
21 simpr32 1261 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ 𝑌𝐵) ∧ ((𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊) ∧ (𝑟𝐴 ∧ ¬ 𝑟 𝑊) ∧ (𝑝 𝑋𝑟 𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) 𝑊))) → 𝑟 𝑌)
22 simpl1l 1221 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ 𝑌𝐵) ∧ ((𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊) ∧ (𝑟𝐴 ∧ ¬ 𝑟 𝑊) ∧ (𝑝 𝑋𝑟 𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) 𝑊))) → 𝐾 ∈ HL)
23 hlop 36630 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
2422, 23syl 17 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ 𝑌𝐵) ∧ ((𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊) ∧ (𝑟𝐴 ∧ ¬ 𝑟 𝑊) ∧ (𝑝 𝑋𝑟 𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) 𝑊))) → 𝐾 ∈ OP)
25 simpl1r 1222 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ 𝑌𝐵) ∧ ((𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊) ∧ (𝑟𝐴 ∧ ¬ 𝑟 𝑊) ∧ (𝑝 𝑋𝑟 𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) 𝑊))) → 𝑊𝐻)
267, 9lhpbase 37266 . . . . . 6 (𝑊𝐻𝑊𝐵)
2725, 26syl 17 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ 𝑌𝐵) ∧ ((𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊) ∧ (𝑟𝐴 ∧ ¬ 𝑟 𝑊) ∧ (𝑝 𝑋𝑟 𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) 𝑊))) → 𝑊𝐵)
287, 8, 16op0le 36454 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑊𝐵) → (0.‘𝐾) 𝑊)
2924, 27, 28syl2anc 587 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ 𝑌𝐵) ∧ ((𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊) ∧ (𝑟𝐴 ∧ ¬ 𝑟 𝑊) ∧ (𝑝 𝑋𝑟 𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) 𝑊))) → (0.‘𝐾) 𝑊)
3018, 29eqbrtrd 5075 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ 𝑌𝐵) ∧ ((𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊) ∧ (𝑟𝐴 ∧ ¬ 𝑟 𝑊) ∧ (𝑝 𝑋𝑟 𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) 𝑊))) → (𝑌 𝑝) 𝑊)
317, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15dihmeetlem16N 38590 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑌𝐵 ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊)) ∧ ((𝑟𝐴 ∧ ¬ 𝑟 𝑊) ∧ 𝑟 𝑌 ∧ (𝑌 𝑝) 𝑊)) → (𝐼‘(𝑌 𝑝)) = ((𝐼𝑌) ∩ (𝐼𝑝)))
321, 4, 3, 20, 21, 30, 31syl33anc 1382 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ 𝑌𝐵) ∧ ((𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊) ∧ (𝑟𝐴 ∧ ¬ 𝑟 𝑊) ∧ (𝑝 𝑋𝑟 𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) 𝑊))) → (𝐼‘(𝑌 𝑝)) = ((𝐼𝑌) ∩ (𝐼𝑝)))
33 dihmeetlem18.z . . . 4 0 = (0g𝑈)
3416, 9, 15, 13, 33dih0 38548 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝐼‘(0.‘𝐾)) = { 0 })
351, 34syl 17 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ 𝑌𝐵) ∧ ((𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊) ∧ (𝑟𝐴 ∧ ¬ 𝑟 𝑊) ∧ (𝑝 𝑋𝑟 𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) 𝑊))) → (𝐼‘(0.‘𝐾)) = { 0 })
3619, 32, 353eqtr3d 2867 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ 𝑌𝐵) ∧ ((𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊) ∧ (𝑟𝐴 ∧ ¬ 𝑟 𝑊) ∧ (𝑝 𝑋𝑟 𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) 𝑊))) → ((𝐼𝑌) ∩ (𝐼𝑝)) = { 0 })
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2115   ∩ cin 3918  {csn 4550   class class class wbr 5053  ‘cfv 6345  (class class class)co 7151  Basecbs 16485  lecple 16574  0gc0g 16715  joincjn 17556  meetcmee 17557  0.cp0 17649  LSSumclsm 18761  OPcops 36440  Atomscatm 36531  HLchlt 36618  LHypclh 37252  DVecHcdvh 38346  DIsoHcdih 38496 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5177  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7457  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614  ax-riotaBAD 36221 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-iin 4908  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6137  df-ord 6183  df-on 6184  df-lim 6185  df-suc 6186  df-iota 6304  df-fun 6347  df-fn 6348  df-f 6349  df-f1 6350  df-fo 6351  df-f1o 6352  df-fv 6353  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7577  df-1st 7686  df-2nd 7687  df-tpos 7890  df-undef 7937  df-wrecs 7945  df-recs 8006  df-rdg 8044  df-1o 8100  df-oadd 8104  df-er 8287  df-map 8406  df-en 8508  df-dom 8509  df-sdom 8510  df-fin 8511  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-nn 11637  df-2 11699  df-3 11700  df-4 11701  df-5 11702  df-6 11703  df-n0 11897  df-z 11981  df-uz 12243  df-fz 12897  df-struct 16487  df-ndx 16488  df-slot 16489  df-base 16491  df-sets 16492  df-ress 16493  df-plusg 16580  df-mulr 16581  df-sca 16583  df-vsca 16584  df-0g 16717  df-mre 16859  df-mrc 16860  df-acs 16862  df-proset 17540  df-poset 17558  df-plt 17570  df-lub 17586  df-glb 17587  df-join 17588  df-meet 17589  df-p0 17651  df-p1 17652  df-lat 17658  df-clat 17720  df-mgm 17854  df-sgrp 17903  df-mnd 17914  df-submnd 17959  df-grp 18108  df-minusg 18109  df-sbg 18110  df-subg 18278  df-cntz 18449  df-lsm 18763  df-cmn 18910  df-abl 18911  df-mgp 19242  df-ur 19254  df-ring 19301  df-oppr 19378  df-dvdsr 19396  df-unit 19397  df-invr 19427  df-dvr 19438  df-drng 19506  df-lmod 19638  df-lss 19706  df-lsp 19746  df-lvec 19877  df-oposet 36444  df-ol 36446  df-oml 36447  df-covers 36534  df-ats 36535  df-atl 36566  df-cvlat 36590  df-hlat 36619  df-llines 36766  df-lplanes 36767  df-lvols 36768  df-lines 36769  df-psubsp 36771  df-pmap 36772  df-padd 37064  df-lhyp 37256  df-laut 37257  df-ldil 37372  df-ltrn 37373  df-trl 37427  df-tendo 38023  df-edring 38025  df-disoa 38297  df-dvech 38347  df-dib 38407  df-dic 38441  df-dih 38497 This theorem is referenced by:  dihmeetlem19N  38593
 Copyright terms: Public domain W3C validator