HomeHome Metamath Proof Explorer
Theorem List (p. 409 of 470)
< Previous  Next >
Bad symbols? Try the
GIF version.

Mirrors  >  Metamath Home Page  >  MPE Home Page  >  Theorem List Contents  >  Recent Proofs       This page: Page List

Color key:    Metamath Proof Explorer  Metamath Proof Explorer
(1-29646)
  Hilbert Space Explorer  Hilbert Space Explorer
(29647-31169)
  Users' Mathboxes  Users' Mathboxes
(31170-46948)
 

Theorem List for Metamath Proof Explorer - 40801-40900   *Has distinct variable group(s)
TypeLabelDescription
Statement
 
Syntaxcprjcrv 40801 Extend class notation with the projective curve function.
class โ„™๐•ฃ๐• ๐•›Crv
 
Definitiondf-prjcrv 40802* Define the projective curve function. This takes a homogeneous polynomial and outputs the homogeneous coordinates where the polynomial evaluates to zero (the "zero set"). (In other words, scalar multiples are collapsed into the same projective point. See mhphf4 40621 and prjspvs 40782). (Contributed by SN, 23-Nov-2024.)
โ„™๐•ฃ๐• ๐•›Crv = (๐‘› โˆˆ โ„•0, ๐‘˜ โˆˆ Field โ†ฆ (๐‘“ โˆˆ โˆช ran ((0...๐‘›) mHomP ๐‘˜) โ†ฆ {๐‘ โˆˆ (๐‘›โ„™๐•ฃ๐• ๐•›n๐‘˜) โˆฃ ((((0...๐‘›) eval ๐‘˜)โ€˜๐‘“) โ€œ ๐‘) = {(0gโ€˜๐‘˜)}}))
 
Theoremprjcrvfval 40803* Value of the projective curve function. (Contributed by SN, 23-Nov-2024.)
๐ป = ((0...๐‘) mHomP ๐พ)    &   ๐ธ = ((0...๐‘) eval ๐พ)    &   ๐‘ƒ = (๐‘โ„™๐•ฃ๐• ๐•›n๐พ)    &    0 = (0gโ€˜๐พ)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ Field)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐‘โ„™๐•ฃ๐• ๐•›Crv๐พ) = (๐‘“ โˆˆ โˆช ran ๐ป โ†ฆ {๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ โˆฃ ((๐ธโ€˜๐‘“) โ€œ ๐‘) = { 0 }}))
 
Theoremprjcrvval 40804* Value of the projective curve function. (Contributed by SN, 23-Nov-2024.)
๐ป = ((0...๐‘) mHomP ๐พ)    &   ๐ธ = ((0...๐‘) eval ๐พ)    &   ๐‘ƒ = (๐‘โ„™๐•ฃ๐• ๐•›n๐พ)    &    0 = (0gโ€˜๐พ)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ Field)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ โˆช ran ๐ป)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ((๐‘โ„™๐•ฃ๐• ๐•›Crv๐พ)โ€˜๐น) = {๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ โˆฃ ((๐ธโ€˜๐น) โ€œ ๐‘) = { 0 }})
 
Theoremprjcrv0 40805 The "curve" (zero set) corresponding to the zero polynomial contains all coordinates. (Contributed by SN, 23-Nov-2024.)
๐‘Œ = ((0...๐‘) mPoly ๐พ)    &    0 = (0gโ€˜๐‘Œ)    &   ๐‘ƒ = (๐‘โ„™๐•ฃ๐• ๐•›n๐พ)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ Field)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ((๐‘โ„™๐•ฃ๐• ๐•›Crv๐พ)โ€˜ 0 ) = ๐‘ƒ)
 
21.26.8  Basic reductions for Fermat's Last Theorem
 
Theoremdffltz 40806* Fermat's Last Theorem (FLT) for nonzero integers is equivalent to the original scope of natural numbers. The backwards direction takes (๐‘Žโ†‘๐‘›) + (๐‘โ†‘๐‘›) = (๐‘โ†‘๐‘›), and adds the negative of any negative term to both sides, thus creating the corresponding equation with only positive integers. There are six combinations of negativity, so the proof is particularly long. (Contributed by Steven Nguyen, 27-Feb-2023.)
(โˆ€๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3)โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„• ((๐‘ฅโ†‘๐‘›) + (๐‘ฆโ†‘๐‘›)) โ‰  (๐‘งโ†‘๐‘›) โ†” โˆ€๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3)โˆ€๐‘Ž โˆˆ (โ„ค โˆ– {0})โˆ€๐‘ โˆˆ (โ„ค โˆ– {0})โˆ€๐‘ โˆˆ (โ„ค โˆ– {0})((๐‘Žโ†‘๐‘›) + (๐‘โ†‘๐‘›)) โ‰  (๐‘โ†‘๐‘›))
 
Theoremfltmul 40807 A counterexample to FLT stays valid when scaled. The hypotheses are more general than they need to be for convenience. (There does not seem to be a standard term for Fermat or Pythagorean triples extended to any ๐‘ โˆˆ โ„•0, so the label is more about the context in which this theorem is used). (Contributed by SN, 20-Aug-2024.)
(๐œ‘ โ†’ ๐‘† โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)    &   (๐œ‘ โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘) + (๐ตโ†‘๐‘)) = (๐ถโ†‘๐‘))    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (((๐‘† ยท ๐ด)โ†‘๐‘) + ((๐‘† ยท ๐ต)โ†‘๐‘)) = ((๐‘† ยท ๐ถ)โ†‘๐‘))
 
Theoremfltdiv 40808 A counterexample to FLT stays valid when scaled. The hypotheses are more general than they need to be for convenience. (Contributed by SN, 20-Aug-2024.)
(๐œ‘ โ†’ ๐‘† โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘† โ‰  0)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)    &   (๐œ‘ โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘) + (๐ตโ†‘๐‘)) = (๐ถโ†‘๐‘))    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (((๐ด / ๐‘†)โ†‘๐‘) + ((๐ต / ๐‘†)โ†‘๐‘)) = ((๐ถ / ๐‘†)โ†‘๐‘))
 
Theoremflt0 40809 A counterexample for FLT does not exist for ๐‘ = 0. (Contributed by SN, 20-Aug-2024.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)    &   (๐œ‘ โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘) + (๐ตโ†‘๐‘)) = (๐ถโ†‘๐‘))    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
 
Theoremfltdvdsabdvdsc 40810 Any factor of both ๐ด and ๐ต also divides ๐ถ. This establishes the validity of fltabcoprmex 40811. (Contributed by SN, 21-Aug-2024.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„•)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„•)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)    &   (๐œ‘ โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘) + (๐ตโ†‘๐‘)) = (๐ถโ†‘๐‘))    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐ด gcd ๐ต) โˆฅ ๐ถ)
 
Theoremfltabcoprmex 40811 A counterexample to FLT implies a counterexample to FLT with ๐ด, ๐ต (assigned to ๐ด / (๐ด gcd ๐ต) and ๐ต / (๐ด gcd ๐ต)) coprime (by divgcdcoprm0 16476). (Contributed by SN, 20-Aug-2024.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„•)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„•)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)    &   (๐œ‘ โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘) + (๐ตโ†‘๐‘)) = (๐ถโ†‘๐‘))    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (((๐ด / (๐ด gcd ๐ต))โ†‘๐‘) + ((๐ต / (๐ด gcd ๐ต))โ†‘๐‘)) = ((๐ถ / (๐ด gcd ๐ต))โ†‘๐‘))
 
Theoremfltaccoprm 40812 A counterexample to FLT with ๐ด, ๐ต coprime also has ๐ด, ๐ถ coprime. (Contributed by SN, 20-Aug-2024.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„•)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„•)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)    &   (๐œ‘ โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘) + (๐ตโ†‘๐‘)) = (๐ถโ†‘๐‘))    &   (๐œ‘ โ†’ (๐ด gcd ๐ต) = 1)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐ด gcd ๐ถ) = 1)
 
Theoremfltbccoprm 40813 A counterexample to FLT with ๐ด, ๐ต coprime also has ๐ต, ๐ถ coprime. Proven from fltaccoprm 40812 using commutativity of addition. (Contributed by SN, 20-Aug-2024.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„•)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„•)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)    &   (๐œ‘ โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘) + (๐ตโ†‘๐‘)) = (๐ถโ†‘๐‘))    &   (๐œ‘ โ†’ (๐ด gcd ๐ต) = 1)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐ต gcd ๐ถ) = 1)
 
Theoremfltabcoprm 40814 A counterexample to FLT with ๐ด, ๐ถ coprime also has ๐ด, ๐ต coprime. Converse of fltaccoprm 40812. (Contributed by SN, 22-Aug-2024.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„•)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„•)    &   (๐œ‘ โ†’ (๐ด gcd ๐ถ) = 1)    &   (๐œ‘ โ†’ ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2))    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐ด gcd ๐ต) = 1)
 
Theoreminfdesc 40815* Infinite descent. The hypotheses say that ๐‘† is lower bounded, and that if ๐œ“ holds for an integer in ๐‘†, it holds for a smaller integer in ๐‘†. By infinite descent, eventually we cannot go any smaller, therefore ๐œ“ holds for no integer in ๐‘†. (Contributed by SN, 20-Aug-2024.)
(๐‘ฆ = ๐‘ฅ โ†’ (๐œ“ โ†” ๐œ’))    &   (๐‘ฆ = ๐‘ง โ†’ (๐œ“ โ†” ๐œƒ))    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘† โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))    &   ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐œ’)) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐‘† (๐œƒ โˆง ๐‘ง < ๐‘ฅ))    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ {๐‘ฆ โˆˆ ๐‘† โˆฃ ๐œ“} = โˆ…)
 
Theoremfltne 40816 If a counterexample to FLT exists, its addends are not equal. (Contributed by SN, 1-Jun-2023.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„•)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„•)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))    &   (๐œ‘ โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘) + (๐ตโ†‘๐‘)) = (๐ถโ†‘๐‘))    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โ‰  ๐ต)
 
Theoremflt4lem 40817 Raising a number to the fourth power is equivalent to squaring it twice. (Contributed by SN, 21-Aug-2024.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐ดโ†‘4) = ((๐ดโ†‘2)โ†‘2))
 
Theoremflt4lem1 40818 Satisfy the antecedent used in several pythagtrip 16641 lemmas, with ๐ด, ๐ถ coprime rather than ๐ด, ๐ต. (Contributed by SN, 21-Aug-2024.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„•)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„•)    &   (๐œ‘ โ†’ ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)    &   (๐œ‘ โ†’ (๐ด gcd ๐ถ) = 1)    &   (๐œ‘ โ†’ ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2))    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)))
 
Theoremflt4lem2 40819 If ๐ด is even, ๐ต is odd. (Contributed by SN, 22-Aug-2024.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„•)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„•)    &   (๐œ‘ โ†’ 2 โˆฅ ๐ด)    &   (๐œ‘ โ†’ (๐ด gcd ๐ถ) = 1)    &   (๐œ‘ โ†’ ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2))    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ยฌ 2 โˆฅ ๐ต)
 
Theoremflt4lem3 40820 Equivalent to pythagtriplem4 16626. Show that ๐ถ + ๐ด and ๐ถ โˆ’ ๐ด are coprime. (Contributed by SN, 22-Aug-2024.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„•)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„•)    &   (๐œ‘ โ†’ 2 โˆฅ ๐ด)    &   (๐œ‘ โ†’ (๐ด gcd ๐ถ) = 1)    &   (๐œ‘ โ†’ ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2))    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ + ๐ด) gcd (๐ถ โˆ’ ๐ด)) = 1)
 
Theoremflt4lem4 40821 If the product of two coprime factors is a perfect square, the factors are perfect squares. (Contributed by SN, 22-Aug-2024.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„•)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„•)    &   (๐œ‘ โ†’ (๐ด gcd ๐ต) = 1)    &   (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท ๐ต) = (๐ถโ†‘2))    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐ด = ((๐ด gcd ๐ถ)โ†‘2) โˆง ๐ต = ((๐ต gcd ๐ถ)โ†‘2)))
 
Theoremflt4lem5 40822 In the context of the lemmas of pythagtrip 16641, ๐‘€ and ๐‘ are coprime. (Contributed by SN, 23-Aug-2024.)
๐‘€ = (((โˆšโ€˜(๐ถ + ๐ต)) + (โˆšโ€˜(๐ถ โˆ’ ๐ต))) / 2)    &   ๐‘ = (((โˆšโ€˜(๐ถ + ๐ต)) โˆ’ (โˆšโ€˜(๐ถ โˆ’ ๐ต))) / 2)    โ‡’   (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐ดโ†‘2) + (๐ตโ†‘2)) = (๐ถโ†‘2) โˆง ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)) โ†’ (๐‘€ gcd ๐‘) = 1)
 
Theoremflt4lem5elem 40823 Version of fltaccoprm 40812 and fltbccoprm 40813 where ๐‘€ is not squared. This can be proved in general for any polynomial in three variables: using prmdvdsncoprmbd 16537, dvds2addd 16109, and prmdvdsexp 16526, we can show that if two variables are coprime, the third is also coprime to the two. (Contributed by SN, 24-Aug-2024.)
(๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„•)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘† โˆˆ โ„•)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ = ((๐‘…โ†‘2) + (๐‘†โ†‘2)))    &   (๐œ‘ โ†’ (๐‘… gcd ๐‘†) = 1)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ((๐‘… gcd ๐‘€) = 1 โˆง (๐‘† gcd ๐‘€) = 1))
 
Theoremflt4lem5a 40824 Part 1 of Equation 1 of https://crypto.stanford.edu/pbc/notes/numberfield/fermatn4.html. (Contributed by SN, 22-Aug-2024.)
๐‘€ = (((โˆšโ€˜(๐ถ + (๐ตโ†‘2))) + (โˆšโ€˜(๐ถ โˆ’ (๐ตโ†‘2)))) / 2)    &   ๐‘ = (((โˆšโ€˜(๐ถ + (๐ตโ†‘2))) โˆ’ (โˆšโ€˜(๐ถ โˆ’ (๐ตโ†‘2)))) / 2)    &   ๐‘… = (((โˆšโ€˜(๐‘€ + ๐‘)) + (โˆšโ€˜(๐‘€ โˆ’ ๐‘))) / 2)    &   ๐‘† = (((โˆšโ€˜(๐‘€ + ๐‘)) โˆ’ (โˆšโ€˜(๐‘€ โˆ’ ๐‘))) / 2)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„•)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„•)    &   (๐œ‘ โ†’ ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)    &   (๐œ‘ โ†’ (๐ด gcd ๐ถ) = 1)    &   (๐œ‘ โ†’ ((๐ดโ†‘4) + (๐ตโ†‘4)) = (๐ถโ†‘2))    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ((๐ดโ†‘2) + (๐‘โ†‘2)) = (๐‘€โ†‘2))
 
Theoremflt4lem5b 40825 Part 2 of Equation 1 of https://crypto.stanford.edu/pbc/notes/numberfield/fermatn4.html. (Contributed by SN, 22-Aug-2024.)
๐‘€ = (((โˆšโ€˜(๐ถ + (๐ตโ†‘2))) + (โˆšโ€˜(๐ถ โˆ’ (๐ตโ†‘2)))) / 2)    &   ๐‘ = (((โˆšโ€˜(๐ถ + (๐ตโ†‘2))) โˆ’ (โˆšโ€˜(๐ถ โˆ’ (๐ตโ†‘2)))) / 2)    &   ๐‘… = (((โˆšโ€˜(๐‘€ + ๐‘)) + (โˆšโ€˜(๐‘€ โˆ’ ๐‘))) / 2)    &   ๐‘† = (((โˆšโ€˜(๐‘€ + ๐‘)) โˆ’ (โˆšโ€˜(๐‘€ โˆ’ ๐‘))) / 2)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„•)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„•)    &   (๐œ‘ โ†’ ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)    &   (๐œ‘ โ†’ (๐ด gcd ๐ถ) = 1)    &   (๐œ‘ โ†’ ((๐ดโ†‘4) + (๐ตโ†‘4)) = (๐ถโ†‘2))    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (2 ยท (๐‘€ ยท ๐‘)) = (๐ตโ†‘2))
 
Theoremflt4lem5c 40826 Part 2 of Equation 2 of https://crypto.stanford.edu/pbc/notes/numberfield/fermatn4.html. (Contributed by SN, 22-Aug-2024.)
๐‘€ = (((โˆšโ€˜(๐ถ + (๐ตโ†‘2))) + (โˆšโ€˜(๐ถ โˆ’ (๐ตโ†‘2)))) / 2)    &   ๐‘ = (((โˆšโ€˜(๐ถ + (๐ตโ†‘2))) โˆ’ (โˆšโ€˜(๐ถ โˆ’ (๐ตโ†‘2)))) / 2)    &   ๐‘… = (((โˆšโ€˜(๐‘€ + ๐‘)) + (โˆšโ€˜(๐‘€ โˆ’ ๐‘))) / 2)    &   ๐‘† = (((โˆšโ€˜(๐‘€ + ๐‘)) โˆ’ (โˆšโ€˜(๐‘€ โˆ’ ๐‘))) / 2)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„•)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„•)    &   (๐œ‘ โ†’ ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)    &   (๐œ‘ โ†’ (๐ด gcd ๐ถ) = 1)    &   (๐œ‘ โ†’ ((๐ดโ†‘4) + (๐ตโ†‘4)) = (๐ถโ†‘2))    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ๐‘ = (2 ยท (๐‘… ยท ๐‘†)))
 
Theoremflt4lem5d 40827 Part 3 of Equation 2 of https://crypto.stanford.edu/pbc/notes/numberfield/fermatn4.html. (Contributed by SN, 23-Aug-2024.)
๐‘€ = (((โˆšโ€˜(๐ถ + (๐ตโ†‘2))) + (โˆšโ€˜(๐ถ โˆ’ (๐ตโ†‘2)))) / 2)    &   ๐‘ = (((โˆšโ€˜(๐ถ + (๐ตโ†‘2))) โˆ’ (โˆšโ€˜(๐ถ โˆ’ (๐ตโ†‘2)))) / 2)    &   ๐‘… = (((โˆšโ€˜(๐‘€ + ๐‘)) + (โˆšโ€˜(๐‘€ โˆ’ ๐‘))) / 2)    &   ๐‘† = (((โˆšโ€˜(๐‘€ + ๐‘)) โˆ’ (โˆšโ€˜(๐‘€ โˆ’ ๐‘))) / 2)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„•)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„•)    &   (๐œ‘ โ†’ ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)    &   (๐œ‘ โ†’ (๐ด gcd ๐ถ) = 1)    &   (๐œ‘ โ†’ ((๐ดโ†‘4) + (๐ตโ†‘4)) = (๐ถโ†‘2))    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ = ((๐‘…โ†‘2) + (๐‘†โ†‘2)))
 
Theoremflt4lem5e 40828 Satisfy the hypotheses of flt4lem4 40821. (Contributed by SN, 23-Aug-2024.)
๐‘€ = (((โˆšโ€˜(๐ถ + (๐ตโ†‘2))) + (โˆšโ€˜(๐ถ โˆ’ (๐ตโ†‘2)))) / 2)    &   ๐‘ = (((โˆšโ€˜(๐ถ + (๐ตโ†‘2))) โˆ’ (โˆšโ€˜(๐ถ โˆ’ (๐ตโ†‘2)))) / 2)    &   ๐‘… = (((โˆšโ€˜(๐‘€ + ๐‘)) + (โˆšโ€˜(๐‘€ โˆ’ ๐‘))) / 2)    &   ๐‘† = (((โˆšโ€˜(๐‘€ + ๐‘)) โˆ’ (โˆšโ€˜(๐‘€ โˆ’ ๐‘))) / 2)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„•)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„•)    &   (๐œ‘ โ†’ ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)    &   (๐œ‘ โ†’ (๐ด gcd ๐ถ) = 1)    &   (๐œ‘ โ†’ ((๐ดโ†‘4) + (๐ตโ†‘4)) = (๐ถโ†‘2))    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (((๐‘… gcd ๐‘†) = 1 โˆง (๐‘… gcd ๐‘€) = 1 โˆง (๐‘† gcd ๐‘€) = 1) โˆง (๐‘… โˆˆ โ„• โˆง ๐‘† โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง ((๐‘€ ยท (๐‘… ยท ๐‘†)) = ((๐ต / 2)โ†‘2) โˆง (๐ต / 2) โˆˆ โ„•)))
 
Theoremflt4lem5f 40829 Final equation of https://crypto.stanford.edu/pbc/notes/numberfield/fermatn4.html. Given ๐ดโ†‘4 + ๐ตโ†‘4 = ๐ถโ†‘2, provide a smaller solution. This satisfies the infinite descent condition. (Contributed by SN, 24-Aug-2024.)
๐‘€ = (((โˆšโ€˜(๐ถ + (๐ตโ†‘2))) + (โˆšโ€˜(๐ถ โˆ’ (๐ตโ†‘2)))) / 2)    &   ๐‘ = (((โˆšโ€˜(๐ถ + (๐ตโ†‘2))) โˆ’ (โˆšโ€˜(๐ถ โˆ’ (๐ตโ†‘2)))) / 2)    &   ๐‘… = (((โˆšโ€˜(๐‘€ + ๐‘)) + (โˆšโ€˜(๐‘€ โˆ’ ๐‘))) / 2)    &   ๐‘† = (((โˆšโ€˜(๐‘€ + ๐‘)) โˆ’ (โˆšโ€˜(๐‘€ โˆ’ ๐‘))) / 2)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„•)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„•)    &   (๐œ‘ โ†’ ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)    &   (๐œ‘ โ†’ (๐ด gcd ๐ถ) = 1)    &   (๐œ‘ โ†’ ((๐ดโ†‘4) + (๐ตโ†‘4)) = (๐ถโ†‘2))    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ((๐‘€ gcd (๐ต / 2))โ†‘2) = (((๐‘… gcd (๐ต / 2))โ†‘4) + ((๐‘† gcd (๐ต / 2))โ†‘4)))
 
Theoremflt4lem6 40830 Remove shared factors in a solution to ๐ดโ†‘4 + ๐ตโ†‘4 = ๐ถโ†‘2. (Contributed by SN, 24-Jul-2024.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„•)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„•)    &   (๐œ‘ โ†’ ((๐ดโ†‘4) + (๐ตโ†‘4)) = (๐ถโ†‘2))    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (((๐ด / (๐ด gcd ๐ต)) โˆˆ โ„• โˆง (๐ต / (๐ด gcd ๐ต)) โˆˆ โ„• โˆง (๐ถ / ((๐ด gcd ๐ต)โ†‘2)) โˆˆ โ„•) โˆง (((๐ด / (๐ด gcd ๐ต))โ†‘4) + ((๐ต / (๐ด gcd ๐ต))โ†‘4)) = ((๐ถ / ((๐ด gcd ๐ต)โ†‘2))โ†‘2)))
 
Theoremflt4lem7 40831* Convert flt4lem5f 40829 into a convenient form for nna4b4nsq 40832. TODO-SN: The change to (๐ด gcd ๐ต) = 1 points at some inefficiency in the lemmas. (Contributed by SN, 25-Aug-2024.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„•)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„•)    &   (๐œ‘ โ†’ ยฌ 2 โˆฅ ๐ด)    &   (๐œ‘ โ†’ (๐ด gcd ๐ต) = 1)    &   (๐œ‘ โ†’ ((๐ดโ†‘4) + (๐ตโ†‘4)) = (๐ถโ†‘2))    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘™ โˆˆ โ„• (โˆƒ๐‘” โˆˆ โ„• โˆƒโ„Ž โˆˆ โ„• (ยฌ 2 โˆฅ ๐‘” โˆง ((๐‘” gcd โ„Ž) = 1 โˆง ((๐‘”โ†‘4) + (โ„Žโ†‘4)) = (๐‘™โ†‘2))) โˆง ๐‘™ < ๐ถ))
 
Theoremnna4b4nsq 40832 Strengthening of Fermat's last theorem for exponent 4, where the sum is only assumed to be a square. (Contributed by SN, 23-Aug-2024.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„•)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„•)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ((๐ดโ†‘4) + (๐ตโ†‘4)) โ‰  (๐ถโ†‘2))
 
Theoremfltltc 40833 (๐ถโ†‘๐‘) is the largest term and therefore ๐ต < ๐ถ. (Contributed by Steven Nguyen, 22-Aug-2023.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„•)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„•)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3))    &   (๐œ‘ โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘) + (๐ตโ†‘๐‘)) = (๐ถโ†‘๐‘))    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ๐ต < ๐ถ)
 
Theoremfltnltalem 40834 Lemma for fltnlta 40835. A lower bound for ๐ด based on pwdif 15688. (Contributed by Steven Nguyen, 22-Aug-2023.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„•)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„•)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3))    &   (๐œ‘ โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘) + (๐ตโ†‘๐‘)) = (๐ถโ†‘๐‘))    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ต) ยท ((๐ถโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) + ((๐‘ โˆ’ 1) ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ 1))))) < (๐ดโ†‘๐‘))
 
Theoremfltnlta 40835 In a Fermat counterexample, the exponent ๐‘ is less than all three numbers (๐ด, ๐ต, and ๐ถ). Note that ๐ด < ๐ต (hypothesis) and ๐ต < ๐ถ (fltltc 40833). See https://youtu.be/EymVXkPWxyc 40833 for an outline. (Contributed by SN, 24-Aug-2023.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„•)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„•)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3))    &   (๐œ‘ โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘) + (๐ตโ†‘๐‘)) = (๐ถโ†‘๐‘))    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด < ๐ต)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ๐‘ < ๐ด)
 
21.27  Mathbox for Igor Ieskov
 
Theorembinom2d 40836 Deduction form of binom2. (Contributed by Igor Ieskov, 14-Dec-2023.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ((๐ด + ๐ต)โ†‘2) = (((๐ดโ†‘2) + (2 ยท (๐ด ยท ๐ต))) + (๐ตโ†‘2)))
 
Theoremcu3addd 40837 Cube of sum of three numbers. (Contributed by Igor Ieskov, 14-Dec-2023.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (((๐ด + ๐ต) + ๐ถ)โ†‘3) = (((((๐ดโ†‘3) + (3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต))) + ((3 ยท (๐ด ยท (๐ตโ†‘2))) + (๐ตโ†‘3))) + (((3 ยท ((๐ดโ†‘2) ยท ๐ถ)) + (((3 ยท 2) ยท (๐ด ยท ๐ต)) ยท ๐ถ)) + (3 ยท ((๐ตโ†‘2) ยท ๐ถ)))) + (((3 ยท (๐ด ยท (๐ถโ†‘2))) + (3 ยท (๐ต ยท (๐ถโ†‘2)))) + (๐ถโ†‘3))))
 
Theoremsqnegd 40838 The square of the negative of a number. (Contributed by Igor Ieskov, 21-Jan-2024.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (-๐ดโ†‘2) = (๐ดโ†‘2))
 
Theoremnegexpidd 40839 The sum of a real number to the power of N and the negative of the number to the power of N equals zero if N is a nonnegative odd integer. (Contributed by Igor Ieskov, 21-Jan-2024.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)    &   (๐œ‘ โ†’ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘) + (-๐ดโ†‘๐‘)) = 0)
 
Theoremrexlimdv3d 40840* An extended version of rexlimdvv 3203 to include three set variables. (Contributed by Igor Ieskov, 21-Jan-2024.)
(๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ถ) โ†’ (๐œ“ โ†’ ๐œ’)))    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ถ ๐œ“ โ†’ ๐œ’))
 
Theorem3cubeslem1 40841 Lemma for 3cubes 40847. (Contributed by Igor Ieskov, 22-Jan-2024.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„š)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ 0 < (((๐ด + 1)โ†‘2) โˆ’ ๐ด))
 
Theorem3cubeslem2 40842 Lemma for 3cubes 40847. Used to show that the denominators in 3cubeslem4 40846 are nonzero. (Contributed by Igor Ieskov, 22-Jan-2024.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„š)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ยฌ ((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 3) = 0)
 
Theorem3cubeslem3l 40843 Lemma for 3cubes 40847. (Contributed by Igor Ieskov, 22-Jan-2024.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„š)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท (((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 3)โ†‘3)) = (((๐ดโ†‘7) ยท (3โ†‘9)) + (((๐ดโ†‘6) ยท (3โ†‘9)) + (((๐ดโ†‘5) ยท ((3โ†‘8) + (3โ†‘8))) + (((๐ดโ†‘4) ยท (((3โ†‘7) ยท 2) + (3โ†‘6))) + (((๐ดโ†‘3) ยท ((3โ†‘6) + (3โ†‘6))) + (((๐ดโ†‘2) ยท (3โ†‘5)) + (๐ด ยท (3โ†‘3)))))))))
 
Theorem3cubeslem3r 40844 Lemma for 3cubes 40847. (Contributed by Igor Ieskov, 22-Jan-2024.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„š)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ((((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘3)) โˆ’ 1)โ†‘3) + (((-((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘3)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 1)โ†‘3)) + ((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด))โ†‘3)) = (((๐ดโ†‘7) ยท (3โ†‘9)) + (((๐ดโ†‘6) ยท (3โ†‘9)) + (((๐ดโ†‘5) ยท ((3โ†‘8) + (3โ†‘8))) + (((๐ดโ†‘4) ยท (((3โ†‘7) ยท 2) + (3โ†‘6))) + (((๐ดโ†‘3) ยท ((3โ†‘6) + (3โ†‘6))) + (((๐ดโ†‘2) ยท (3โ†‘5)) + (๐ด ยท (3โ†‘3)))))))))
 
Theorem3cubeslem3 40845 Lemma for 3cubes 40847. (Contributed by Igor Ieskov, 22-Jan-2024.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„š)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท (((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 3)โ†‘3)) = ((((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘3)) โˆ’ 1)โ†‘3) + (((-((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘3)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 1)โ†‘3)) + ((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด))โ†‘3)))
 
Theorem3cubeslem4 40846 Lemma for 3cubes 40847. This is Ryley's explicit formula for decomposing a rational ๐ด into a sum of three rational cubes. (Contributed by Igor Ieskov, 22-Jan-2024.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„š)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ๐ด = (((((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘3)) โˆ’ 1) / ((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 3))โ†‘3) + ((((-((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘3)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 1) / ((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 3))โ†‘3)) + (((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) / ((((3โ†‘3) ยท (๐ดโ†‘2)) + ((3โ†‘2) ยท ๐ด)) + 3))โ†‘3)))
 
Theorem3cubes 40847* Every rational number is a sum of three rational cubes. See S. Ryley, The Ladies' Diary 122 (1825), 35. (Contributed by Igor Ieskov, 22-Jan-2024.)
(๐ด โˆˆ โ„š โ†” โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„š โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„š โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„š ๐ด = (((๐‘Žโ†‘3) + (๐‘โ†‘3)) + (๐‘โ†‘3)))
 
21.28  Mathbox for OpenAI
 
TheoremrntrclfvOAI 40848 The range of the transitive closure is equal to the range of the relation. (Contributed by OpenAI, 7-Jul-2020.)
(๐‘… โˆˆ ๐‘‰ โ†’ ran (t+โ€˜๐‘…) = ran ๐‘…)
 
21.29  Mathbox for Stefan O'Rear
 
21.29.1  Additional elementary logic and set theory
 
Theoremmoxfr 40849* Transfer at-most-one between related expressions. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Feb-2015.)
๐ด โˆˆ V    &   โˆƒ!๐‘ฆ ๐‘ฅ = ๐ด    &   (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ (๐œ‘ โ†” ๐œ“))    โ‡’   (โˆƒ*๐‘ฅ๐œ‘ โ†” โˆƒ*๐‘ฆ๐œ“)
 
21.29.2  Additional theory of functions
 
Theoremimaiinfv 40850* Indexed intersection of an image. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)
((๐น Fn ๐ด โˆง ๐ต โŠ† ๐ด) โ†’ โˆฉ ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต (๐นโ€˜๐‘ฅ) = โˆฉ (๐น โ€œ ๐ต))
 
21.29.3  Additional topology
 
Theoremelrfi 40851* Elementhood in a set of relative finite intersections. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)
((๐ต โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ถ โŠ† ๐’ซ ๐ต) โ†’ (๐ด โˆˆ (fiโ€˜({๐ต} โˆช ๐ถ)) โ†” โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ (๐’ซ ๐ถ โˆฉ Fin)๐ด = (๐ต โˆฉ โˆฉ ๐‘ฃ)))
 
Theoremelrfirn 40852* Elementhood in a set of relative finite intersections of an indexed family of sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)
((๐ต โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐น:๐ผโŸถ๐’ซ ๐ต) โ†’ (๐ด โˆˆ (fiโ€˜({๐ต} โˆช ran ๐น)) โ†” โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ (๐’ซ ๐ผ โˆฉ Fin)๐ด = (๐ต โˆฉ โˆฉ ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฃ (๐นโ€˜๐‘ฆ))))
 
Theoremelrfirn2 40853* Elementhood in a set of relative finite intersections of an indexed family of sets (implicit). (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)
((๐ต โˆˆ ๐‘‰ โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ผ ๐ถ โŠ† ๐ต) โ†’ (๐ด โˆˆ (fiโ€˜({๐ต} โˆช ran (๐‘ฆ โˆˆ ๐ผ โ†ฆ ๐ถ))) โ†” โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ (๐’ซ ๐ผ โˆฉ Fin)๐ด = (๐ต โˆฉ โˆฉ ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฃ ๐ถ)))
 
Theoremcmpfiiin 40854* In a compact topology, a system of closed sets with nonempty finite intersections has a nonempty intersection. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)
๐‘‹ = โˆช ๐ฝ    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ฝ โˆˆ Comp)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ผ) โ†’ ๐‘† โˆˆ (Clsdโ€˜๐ฝ))    &   ((๐œ‘ โˆง (๐‘™ โŠ† ๐ผ โˆง ๐‘™ โˆˆ Fin)) โ†’ (๐‘‹ โˆฉ โˆฉ ๐‘˜ โˆˆ ๐‘™ ๐‘†) โ‰  โˆ…)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ โˆฉ โˆฉ ๐‘˜ โˆˆ ๐ผ ๐‘†) โ‰  โˆ…)
 
21.29.4  Characterization of closure operators. Kuratowski closure axioms
 
Theoremismrcd1 40855* Any function from the subsets of a set to itself, which is extensive (satisfies mrcssid 17432), isotone (satisfies mrcss 17431), and idempotent (satisfies mrcidm 17434) has a collection of fixed points which is a Moore collection, and itself is the closure operator for that collection. This can be taken as an alternate definition for the closure operators. This is the first half, ismrcd2 40856 is the second. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ ๐‘‰)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐น:๐’ซ ๐ตโŸถ๐’ซ ๐ต)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โŠ† ๐ต) โ†’ ๐‘ฅ โŠ† (๐นโ€˜๐‘ฅ))    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โŠ† ๐ต โˆง ๐‘ฆ โŠ† ๐‘ฅ) โ†’ (๐นโ€˜๐‘ฆ) โŠ† (๐นโ€˜๐‘ฅ))    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โŠ† ๐ต) โ†’ (๐นโ€˜(๐นโ€˜๐‘ฅ)) = (๐นโ€˜๐‘ฅ))    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ dom (๐น โˆฉ I ) โˆˆ (Mooreโ€˜๐ต))
 
Theoremismrcd2 40856* Second half of ismrcd1 40855. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ ๐‘‰)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐น:๐’ซ ๐ตโŸถ๐’ซ ๐ต)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โŠ† ๐ต) โ†’ ๐‘ฅ โŠ† (๐นโ€˜๐‘ฅ))    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โŠ† ๐ต โˆง ๐‘ฆ โŠ† ๐‘ฅ) โ†’ (๐นโ€˜๐‘ฆ) โŠ† (๐นโ€˜๐‘ฅ))    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โŠ† ๐ต) โ†’ (๐นโ€˜(๐นโ€˜๐‘ฅ)) = (๐นโ€˜๐‘ฅ))    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ๐น = (mrClsโ€˜dom (๐น โˆฉ I )))
 
Theoremistopclsd 40857* A closure function which satisfies sscls 22329, clsidm 22340, cls0 22353, and clsun 34686 defines a (unique) topology which it is the closure function on. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ ๐‘‰)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐น:๐’ซ ๐ตโŸถ๐’ซ ๐ต)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โŠ† ๐ต) โ†’ ๐‘ฅ โŠ† (๐นโ€˜๐‘ฅ))    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โŠ† ๐ต) โ†’ (๐นโ€˜(๐นโ€˜๐‘ฅ)) = (๐นโ€˜๐‘ฅ))    &   (๐œ‘ โ†’ (๐นโ€˜โˆ…) = โˆ…)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โŠ† ๐ต โˆง ๐‘ฆ โŠ† ๐ต) โ†’ (๐นโ€˜(๐‘ฅ โˆช ๐‘ฆ)) = ((๐นโ€˜๐‘ฅ) โˆช (๐นโ€˜๐‘ฆ)))    &   ๐ฝ = {๐‘ง โˆˆ ๐’ซ ๐ต โˆฃ (๐นโ€˜(๐ต โˆ– ๐‘ง)) = (๐ต โˆ– ๐‘ง)}    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐ฝ โˆˆ (TopOnโ€˜๐ต) โˆง (clsโ€˜๐ฝ) = ๐น))
 
Theoremismrc 40858* A function is a Moore closure operator iff it satisfies mrcssid 17432, mrcss 17431, and mrcidm 17434. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.)
(๐น โˆˆ (mrCls โ€œ (Mooreโ€˜๐ต)) โ†” (๐ต โˆˆ V โˆง ๐น:๐’ซ ๐ตโŸถ๐’ซ ๐ต โˆง โˆ€๐‘ฅโˆ€๐‘ฆ((๐‘ฅ โŠ† ๐ต โˆง ๐‘ฆ โŠ† ๐‘ฅ) โ†’ (๐‘ฅ โŠ† (๐นโ€˜๐‘ฅ) โˆง (๐นโ€˜๐‘ฆ) โŠ† (๐นโ€˜๐‘ฅ) โˆง (๐นโ€˜(๐นโ€˜๐‘ฅ)) = (๐นโ€˜๐‘ฅ)))))
 
21.29.5  Algebraic closure systems
 
Syntaxcnacs 40859 Class of Noetherian closure systems.
class NoeACS
 
Definitiondf-nacs 40860* Define a closure system of Noetherian type (not standard terminology) as an algebraic system where all closed sets are finitely generated. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Apr-2015.)
NoeACS = (๐‘ฅ โˆˆ V โ†ฆ {๐‘ โˆˆ (ACSโ€˜๐‘ฅ) โˆฃ โˆ€๐‘  โˆˆ ๐‘ โˆƒ๐‘” โˆˆ (๐’ซ ๐‘ฅ โˆฉ Fin)๐‘  = ((mrClsโ€˜๐‘)โ€˜๐‘”)})
 
Theoremisnacs 40861* Expand definition of Noetherian-type closure system. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Apr-2015.)
๐น = (mrClsโ€˜๐ถ)    โ‡’   (๐ถ โˆˆ (NoeACSโ€˜๐‘‹) โ†” (๐ถ โˆˆ (ACSโ€˜๐‘‹) โˆง โˆ€๐‘  โˆˆ ๐ถ โˆƒ๐‘” โˆˆ (๐’ซ ๐‘‹ โˆฉ Fin)๐‘  = (๐นโ€˜๐‘”)))
 
Theoremnacsfg 40862* In a Noetherian-type closure system, all closed sets are finitely generated. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Apr-2015.)
๐น = (mrClsโ€˜๐ถ)    โ‡’   ((๐ถ โˆˆ (NoeACSโ€˜๐‘‹) โˆง ๐‘† โˆˆ ๐ถ) โ†’ โˆƒ๐‘” โˆˆ (๐’ซ ๐‘‹ โˆฉ Fin)๐‘† = (๐นโ€˜๐‘”))
 
Theoremisnacs2 40863 Express Noetherian-type closure system with fewer quantifiers. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Apr-2015.)
๐น = (mrClsโ€˜๐ถ)    โ‡’   (๐ถ โˆˆ (NoeACSโ€˜๐‘‹) โ†” (๐ถ โˆˆ (ACSโ€˜๐‘‹) โˆง (๐น โ€œ (๐’ซ ๐‘‹ โˆฉ Fin)) = ๐ถ))
 
Theoremmrefg2 40864* Slight variation on finite generation for closure systems. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Apr-2015.)
๐น = (mrClsโ€˜๐ถ)    โ‡’   (๐ถ โˆˆ (Mooreโ€˜๐‘‹) โ†’ (โˆƒ๐‘” โˆˆ (๐’ซ ๐‘‹ โˆฉ Fin)๐‘† = (๐นโ€˜๐‘”) โ†” โˆƒ๐‘” โˆˆ (๐’ซ ๐‘† โˆฉ Fin)๐‘† = (๐นโ€˜๐‘”)))
 
Theoremmrefg3 40865* Slight variation on finite generation for closure systems. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Apr-2015.)
๐น = (mrClsโ€˜๐ถ)    โ‡’   ((๐ถ โˆˆ (Mooreโ€˜๐‘‹) โˆง ๐‘† โˆˆ ๐ถ) โ†’ (โˆƒ๐‘” โˆˆ (๐’ซ ๐‘‹ โˆฉ Fin)๐‘† = (๐นโ€˜๐‘”) โ†” โˆƒ๐‘” โˆˆ (๐’ซ ๐‘† โˆฉ Fin)๐‘† โŠ† (๐นโ€˜๐‘”)))
 
Theoremnacsacs 40866 A closure system of Noetherian type is algebraic. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Apr-2015.)
(๐ถ โˆˆ (NoeACSโ€˜๐‘‹) โ†’ ๐ถ โˆˆ (ACSโ€˜๐‘‹))
 
Theoremisnacs3 40867* A choice-free order equivalent to the Noetherian condition on a closure system. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Apr-2015.)
(๐ถ โˆˆ (NoeACSโ€˜๐‘‹) โ†” (๐ถ โˆˆ (Mooreโ€˜๐‘‹) โˆง โˆ€๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐ถ((toIncโ€˜๐‘ ) โˆˆ Dirset โ†’ โˆช ๐‘  โˆˆ ๐‘ )))
 
Theoremincssnn0 40868* Transitivity induction of subsets, lemma for nacsfix 40869. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Apr-2015.)
((โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 (๐นโ€˜๐‘ฅ) โŠ† (๐นโ€˜(๐‘ฅ + 1)) โˆง ๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐ด)) โ†’ (๐นโ€˜๐ด) โŠ† (๐นโ€˜๐ต))
 
Theoremnacsfix 40869* An increasing sequence of closed sets in a Noetherian-type closure system eventually fixates. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Apr-2015.)
((๐ถ โˆˆ (NoeACSโ€˜๐‘‹) โˆง ๐น:โ„•0โŸถ๐ถ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 (๐นโ€˜๐‘ฅ) โŠ† (๐นโ€˜(๐‘ฅ + 1))) โ†’ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โˆ€๐‘ง โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ฆ)(๐นโ€˜๐‘ง) = (๐นโ€˜๐‘ฆ))
 
21.29.6  Miscellanea 1. Map utilities
 
Theoremconstmap 40870 A constant (represented without dummy variables) is an element of a function set.

Note: In the following development, we will be quite often quantifying over functions and points in N-dimensional space (which are equivalent to functions from an "index set"). Many of the following theorems exist to transfer standard facts about functions to elements of function sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Aug-2014.) (Revised by Stefan O'Rear, 5-May-2015.)

๐ด โˆˆ V    &   ๐ถ โˆˆ V    โ‡’   (๐ต โˆˆ ๐ถ โ†’ (๐ด ร— {๐ต}) โˆˆ (๐ถ โ†‘m ๐ด))
 
Theoremmapco2g 40871 Renaming indices in a tuple, with sethood as antecedents. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Oct-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 5-May-2015.)
((๐ธ โˆˆ V โˆง ๐ด โˆˆ (๐ต โ†‘m ๐ถ) โˆง ๐ท:๐ธโŸถ๐ถ) โ†’ (๐ด โˆ˜ ๐ท) โˆˆ (๐ต โ†‘m ๐ธ))
 
Theoremmapco2 40872 Post-composition (renaming indices) of a mapping viewed as a point. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Oct-2014.) (Revised by Stefan O'Rear, 5-May-2015.)
๐ธ โˆˆ V    โ‡’   ((๐ด โˆˆ (๐ต โ†‘m ๐ถ) โˆง ๐ท:๐ธโŸถ๐ถ) โ†’ (๐ด โˆ˜ ๐ท) โˆˆ (๐ต โ†‘m ๐ธ))
 
Theoremmapfzcons 40873 Extending a one-based mapping by adding a tuple at the end results in another mapping. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Oct-2014.) (Revised by Stefan O'Rear, 5-May-2015.)
๐‘€ = (๐‘ + 1)    โ‡’   ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ (๐ต โ†‘m (1...๐‘)) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐ด โˆช {โŸจ๐‘€, ๐ถโŸฉ}) โˆˆ (๐ต โ†‘m (1...๐‘€)))
 
Theoremmapfzcons1 40874 Recover prefix mapping from an extended mapping. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Oct-2014.) (Revised by Stefan O'Rear, 5-May-2015.)
๐‘€ = (๐‘ + 1)    โ‡’   (๐ด โˆˆ (๐ต โ†‘m (1...๐‘)) โ†’ ((๐ด โˆช {โŸจ๐‘€, ๐ถโŸฉ}) โ†พ (1...๐‘)) = ๐ด)
 
Theoremmapfzcons1cl 40875 A nonempty mapping has a prefix. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Oct-2014.) (Revised by Stefan O'Rear, 5-May-2015.)
๐‘€ = (๐‘ + 1)    โ‡’   (๐ด โˆˆ (๐ต โ†‘m (1...๐‘€)) โ†’ (๐ด โ†พ (1...๐‘)) โˆˆ (๐ต โ†‘m (1...๐‘)))
 
Theoremmapfzcons2 40876 Recover added element from an extended mapping. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Oct-2014.) (Revised by Stefan O'Rear, 5-May-2015.)
๐‘€ = (๐‘ + 1)    โ‡’   ((๐ด โˆˆ (๐ต โ†‘m (1...๐‘)) โˆง ๐ถ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐ด โˆช {โŸจ๐‘€, ๐ถโŸฉ})โ€˜๐‘€) = ๐ถ)
 
21.29.7  Miscellanea for polynomials
 
Theoremmptfcl 40877* Interpret range of a maps-to notation as a constraint on the definition. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Oct-2014.)
((๐‘ก โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต):๐ดโŸถ๐ถ โ†’ (๐‘ก โˆˆ ๐ด โ†’ ๐ต โˆˆ ๐ถ))
 
21.29.8  Multivariate polynomials over the integers
 
Syntaxcmzpcl 40878 Extend class notation to include pre-polynomial rings.
class mzPolyCld
 
Syntaxcmzp 40879 Extend class notation to include polynomial rings.
class mzPoly
 
Definitiondf-mzpcl 40880* Define the polynomially closed function rings over an arbitrary index set ๐‘ฃ. The set (mzPolyCldโ€˜๐‘ฃ) contains all sets of functions from (โ„ค โ†‘m ๐‘ฃ) to โ„ค which include all constants and projections and are closed under addition and multiplication. This is a "temporary" set used to define the polynomial function ring itself (mzPolyโ€˜๐‘ฃ); see df-mzp 40881. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Oct-2014.)
mzPolyCld = (๐‘ฃ โˆˆ V โ†ฆ {๐‘ โˆˆ ๐’ซ (โ„ค โ†‘m (โ„ค โ†‘m ๐‘ฃ)) โˆฃ ((โˆ€๐‘– โˆˆ โ„ค ((โ„ค โ†‘m ๐‘ฃ) ร— {๐‘–}) โˆˆ ๐‘ โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ฃ (๐‘ฅ โˆˆ (โ„ค โ†‘m ๐‘ฃ) โ†ฆ (๐‘ฅโ€˜๐‘—)) โˆˆ ๐‘) โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘” โˆˆ ๐‘ ((๐‘“ โˆ˜f + ๐‘”) โˆˆ ๐‘ โˆง (๐‘“ โˆ˜f ยท ๐‘”) โˆˆ ๐‘))})
 
Definitiondf-mzp 40881 Polynomials over โ„ค with an arbitrary index set, that is, the smallest ring of functions containing all constant functions and all projections. This is almost the most general reasonable definition; to reach full generality, we would need to be able to replace ZZ with an arbitrary (semi)ring (and a coordinate subring), but rings have not been defined yet. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Oct-2014.)
mzPoly = (๐‘ฃ โˆˆ V โ†ฆ โˆฉ (mzPolyCldโ€˜๐‘ฃ))
 
Theoremmzpclval 40882* Substitution lemma for mzPolyCld. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Oct-2014.)
(๐‘‰ โˆˆ V โ†’ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰) = {๐‘ โˆˆ ๐’ซ (โ„ค โ†‘m (โ„ค โ†‘m ๐‘‰)) โˆฃ ((โˆ€๐‘– โˆˆ โ„ค ((โ„ค โ†‘m ๐‘‰) ร— {๐‘–}) โˆˆ ๐‘ โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘‰ (๐‘ฅ โˆˆ (โ„ค โ†‘m ๐‘‰) โ†ฆ (๐‘ฅโ€˜๐‘—)) โˆˆ ๐‘) โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘” โˆˆ ๐‘ ((๐‘“ โˆ˜f + ๐‘”) โˆˆ ๐‘ โˆง (๐‘“ โˆ˜f ยท ๐‘”) โˆˆ ๐‘))})
 
Theoremelmzpcl 40883* Double substitution lemma for mzPolyCld. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Oct-2014.)
(๐‘‰ โˆˆ V โ†’ (๐‘ƒ โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰) โ†” (๐‘ƒ โŠ† (โ„ค โ†‘m (โ„ค โ†‘m ๐‘‰)) โˆง ((โˆ€๐‘– โˆˆ โ„ค ((โ„ค โ†‘m ๐‘‰) ร— {๐‘–}) โˆˆ ๐‘ƒ โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘‰ (๐‘ฅ โˆˆ (โ„ค โ†‘m ๐‘‰) โ†ฆ (๐‘ฅโ€˜๐‘—)) โˆˆ ๐‘ƒ) โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ ๐‘ƒ โˆ€๐‘” โˆˆ ๐‘ƒ ((๐‘“ โˆ˜f + ๐‘”) โˆˆ ๐‘ƒ โˆง (๐‘“ โˆ˜f ยท ๐‘”) โˆˆ ๐‘ƒ)))))
 
Theoremmzpclall 40884 The set of all functions with the signature of a polynomial is a polynomially closed set. This is a lemma to show that the intersection in df-mzp 40881 is well-defined. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Oct-2014.)
(๐‘‰ โˆˆ V โ†’ (โ„ค โ†‘m (โ„ค โ†‘m ๐‘‰)) โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰))
 
Theoremmzpcln0 40885 Corollary of mzpclall 40884: polynomially closed function sets are not empty. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Oct-2014.)
(๐‘‰ โˆˆ V โ†’ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰) โ‰  โˆ…)
 
Theoremmzpcl1 40886 Defining property 1 of a polynomially closed function set ๐‘ƒ: it contains all constant functions. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Oct-2014.)
((๐‘ƒ โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰) โˆง ๐น โˆˆ โ„ค) โ†’ ((โ„ค โ†‘m ๐‘‰) ร— {๐น}) โˆˆ ๐‘ƒ)
 
Theoremmzpcl2 40887* Defining property 2 of a polynomially closed function set ๐‘ƒ: it contains all projections. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Oct-2014.)
((๐‘ƒ โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰) โˆง ๐น โˆˆ ๐‘‰) โ†’ (๐‘” โˆˆ (โ„ค โ†‘m ๐‘‰) โ†ฆ (๐‘”โ€˜๐น)) โˆˆ ๐‘ƒ)
 
Theoremmzpcl34 40888 Defining properties 3 and 4 of a polynomially closed function set ๐‘ƒ: it is closed under pointwise addition and multiplication. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Oct-2014.)
((๐‘ƒ โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰) โˆง ๐น โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐บ โˆˆ ๐‘ƒ) โ†’ ((๐น โˆ˜f + ๐บ) โˆˆ ๐‘ƒ โˆง (๐น โˆ˜f ยท ๐บ) โˆˆ ๐‘ƒ))
 
Theoremmzpval 40889 Value of the mzPoly function. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Oct-2014.)
(๐‘‰ โˆˆ V โ†’ (mzPolyโ€˜๐‘‰) = โˆฉ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰))
 
Theoremdmmzp 40890 mzPoly is defined for all index sets which are sets. This is used with elfvdm 6875 to eliminate sethood antecedents. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Oct-2014.)
dom mzPoly = V
 
Theoremmzpincl 40891 Polynomial closedness is a universal first-order property and passes to intersections. This is where the closure properties of the polynomial ring itself are proved. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Oct-2014.)
(๐‘‰ โˆˆ V โ†’ (mzPolyโ€˜๐‘‰) โˆˆ (mzPolyCldโ€˜๐‘‰))
 
Theoremmzpconst 40892 Constant functions are polynomial. See also mzpconstmpt 40897. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Oct-2014.)
((๐‘‰ โˆˆ V โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((โ„ค โ†‘m ๐‘‰) ร— {๐ถ}) โˆˆ (mzPolyโ€˜๐‘‰))
 
Theoremmzpf 40893 A polynomial function is a function from the coordinate space to the integers. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Oct-2014.)
(๐น โˆˆ (mzPolyโ€˜๐‘‰) โ†’ ๐น:(โ„ค โ†‘m ๐‘‰)โŸถโ„ค)
 
Theoremmzpproj 40894* A projection function is polynomial. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Oct-2014.)
((๐‘‰ โˆˆ V โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐‘‰) โ†’ (๐‘” โˆˆ (โ„ค โ†‘m ๐‘‰) โ†ฆ (๐‘”โ€˜๐‘‹)) โˆˆ (mzPolyโ€˜๐‘‰))
 
Theoremmzpadd 40895 The pointwise sum of two polynomial functions is a polynomial function. See also mzpaddmpt 40898. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Oct-2014.)
((๐ด โˆˆ (mzPolyโ€˜๐‘‰) โˆง ๐ต โˆˆ (mzPolyโ€˜๐‘‰)) โ†’ (๐ด โˆ˜f + ๐ต) โˆˆ (mzPolyโ€˜๐‘‰))
 
Theoremmzpmul 40896 The pointwise product of two polynomial functions is a polynomial function. See also mzpmulmpt 40899. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Oct-2014.)
((๐ด โˆˆ (mzPolyโ€˜๐‘‰) โˆง ๐ต โˆˆ (mzPolyโ€˜๐‘‰)) โ†’ (๐ด โˆ˜f ยท ๐ต) โˆˆ (mzPolyโ€˜๐‘‰))
 
Theoremmzpconstmpt 40897* A constant function expressed in maps-to notation is polynomial. This theorem and the several that follow (mzpaddmpt 40898, mzpmulmpt 40899, mzpnegmpt 40901, mzpsubmpt 40900, mzpexpmpt 40902) can be used to build proofs that functions which are "manifestly polynomial", in the sense of being a maps-to containing constants, projections, and simple arithmetic operations, are actually polynomial functions. There is no mzpprojmpt because mzpproj 40894 is already expressed using maps-to notation. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Oct-2014.)
((๐‘‰ โˆˆ V โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (โ„ค โ†‘m ๐‘‰) โ†ฆ ๐ถ) โˆˆ (mzPolyโ€˜๐‘‰))
 
Theoremmzpaddmpt 40898* Sum of polynomial functions is polynomial. Maps-to version of mzpadd 40895. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Oct-2014.)
(((๐‘ฅ โˆˆ (โ„ค โ†‘m ๐‘‰) โ†ฆ ๐ด) โˆˆ (mzPolyโ€˜๐‘‰) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (โ„ค โ†‘m ๐‘‰) โ†ฆ ๐ต) โˆˆ (mzPolyโ€˜๐‘‰)) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (โ„ค โ†‘m ๐‘‰) โ†ฆ (๐ด + ๐ต)) โˆˆ (mzPolyโ€˜๐‘‰))
 
Theoremmzpmulmpt 40899* Product of polynomial functions is polynomial. Maps-to version of mzpmulmpt 40899. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Oct-2014.)
(((๐‘ฅ โˆˆ (โ„ค โ†‘m ๐‘‰) โ†ฆ ๐ด) โˆˆ (mzPolyโ€˜๐‘‰) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (โ„ค โ†‘m ๐‘‰) โ†ฆ ๐ต) โˆˆ (mzPolyโ€˜๐‘‰)) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (โ„ค โ†‘m ๐‘‰) โ†ฆ (๐ด ยท ๐ต)) โˆˆ (mzPolyโ€˜๐‘‰))
 
Theoremmzpsubmpt 40900* The difference of two polynomial functions is polynomial. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Oct-2014.)
(((๐‘ฅ โˆˆ (โ„ค โ†‘m ๐‘‰) โ†ฆ ๐ด) โˆˆ (mzPolyโ€˜๐‘‰) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (โ„ค โ†‘m ๐‘‰) โ†ฆ ๐ต) โˆˆ (mzPolyโ€˜๐‘‰)) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (โ„ค โ†‘m ๐‘‰) โ†ฆ (๐ด โˆ’ ๐ต)) โˆˆ (mzPolyโ€˜๐‘‰))
    < Previous  Next >

Page List
Jump to page: Contents  1 1-100 2 101-200 3 201-300 4 301-400 5 401-500 6 501-600 7 601-700 8 701-800 9 801-900 10 901-1000 11 1001-1100 12 1101-1200 13 1201-1300 14 1301-1400 15 1401-1500 16 1501-1600 17 1601-1700 18 1701-1800 19 1801-1900 20 1901-2000 21 2001-2100 22 2101-2200 23 2201-2300 24 2301-2400 25 2401-2500 26 2501-2600 27 2601-2700 28 2701-2800 29 2801-2900 30 2901-3000 31 3001-3100 32 3101-3200 33 3201-3300 34 3301-3400 35 3401-3500 36 3501-3600 37 3601-3700 38 3701-3800 39 3801-3900 40 3901-4000 41 4001-4100 42 4101-4200 43 4201-4300 44 4301-4400 45 4401-4500 46 4501-4600 47 4601-4700 48 4701-4800 49 4801-4900 50 4901-5000 51 5001-5100 52 5101-5200 53 5201-5300 54 5301-5400 55 5401-5500 56 5501-5600 57 5601-5700 58 5701-5800 59 5801-5900 60 5901-6000 61 6001-6100 62 6101-6200 63 6201-6300 64 6301-6400 65 6401-6500 66 6501-6600 67 6601-6700 68 6701-6800 69 6801-6900 70 6901-7000 71 7001-7100 72 7101-7200 73 7201-7300 74 7301-7400 75 7401-7500 76 7501-7600 77 7601-7700 78 7701-7800 79 7801-7900 80 7901-8000 81 8001-8100 82 8101-8200 83 8201-8300 84 8301-8400 85 8401-8500 86 8501-8600 87 8601-8700 88 8701-8800 89 8801-8900 90 8901-9000 91 9001-9100 92 9101-9200 93 9201-9300 94 9301-9400 95 9401-9500 96 9501-9600 97 9601-9700 98 9701-9800 99 9801-9900 100 9901-10000 101 10001-10100 102 10101-10200 103 10201-10300 104 10301-10400 105 10401-10500 106 10501-10600 107 10601-10700 108 10701-10800 109 10801-10900 110 10901-11000 111 11001-11100 112 11101-11200 113 11201-11300 114 11301-11400 115 11401-11500 116 11501-11600 117 11601-11700 118 11701-11800 119 11801-11900 120 11901-12000 121 12001-12100 122 12101-12200 123 12201-12300 124 12301-12400 125 12401-12500 126 12501-12600 127 12601-12700 128 12701-12800 129 12801-12900 130 12901-13000 131 13001-13100 132 13101-13200 133 13201-13300 134 13301-13400 135 13401-13500 136 13501-13600 137 13601-13700 138 13701-13800 139 13801-13900 140 13901-14000 141 14001-14100 142 14101-14200 143 14201-14300 144 14301-14400 145 14401-14500 146 14501-14600 147 14601-14700 148 14701-14800 149 14801-14900 150 14901-15000 151 15001-15100 152 15101-15200 153 15201-15300 154 15301-15400 155 15401-15500 156 15501-15600 157 15601-15700 158 15701-15800 159 15801-15900 160 15901-16000 161 16001-16100 162 16101-16200 163 16201-16300 164 16301-16400 165 16401-16500 166 16501-16600 167 16601-16700 168 16701-16800 169 16801-16900 170 16901-17000 171 17001-17100 172 17101-17200 173 17201-17300 174 17301-17400 175 17401-17500 176 17501-17600 177 17601-17700 178 17701-17800 179 17801-17900 180 17901-18000 181 18001-18100 182 18101-18200 183 18201-18300 184 18301-18400 185 18401-18500 186 18501-18600 187 18601-18700 188 18701-18800 189 18801-18900 190 18901-19000 191 19001-19100 192 19101-19200 193 19201-19300 194 19301-19400 195 19401-19500 196 19501-19600 197 19601-19700 198 19701-19800 199 19801-19900 200 19901-20000 201 20001-20100 202 20101-20200 203 20201-20300 204 20301-20400 205 20401-20500 206 20501-20600 207 20601-20700 208 20701-20800 209 20801-20900 210 20901-21000 211 21001-21100 212 21101-21200 213 21201-21300 214 21301-21400 215 21401-21500 216 21501-21600 217 21601-21700 218 21701-21800 219 21801-21900 220 21901-22000 221 22001-22100 222 22101-22200 223 22201-22300 224 22301-22400 225 22401-22500 226 22501-22600 227 22601-22700 228 22701-22800 229 22801-22900 230 22901-23000 231 23001-23100 232 23101-23200 233 23201-23300 234 23301-23400 235 23401-23500 236 23501-23600 237 23601-23700 238 23701-23800 239 23801-23900 240 23901-24000 241 24001-24100 242 24101-24200 243 24201-24300 244 24301-24400 245 24401-24500 246 24501-24600 247 24601-24700 248 24701-24800 249 24801-24900 250 24901-25000 251 25001-25100 252 25101-25200 253 25201-25300 254 25301-25400 255 25401-25500 256 25501-25600 257 25601-25700 258 25701-25800 259 25801-25900 260 25901-26000 261 26001-26100 262 26101-26200 263 26201-26300 264 26301-26400 265 26401-26500 266 26501-26600 267 26601-26700 268 26701-26800 269 26801-26900 270 26901-27000 271 27001-27100 272 27101-27200 273 27201-27300 274 27301-27400 275 27401-27500 276 27501-27600 277 27601-27700 278 27701-27800 279 27801-27900 280 27901-28000 281 28001-28100 282 28101-28200 283 28201-28300 284 28301-28400 285 28401-28500 286 28501-28600 287 28601-28700 288 28701-28800 289 28801-28900 290 28901-29000 291 29001-29100 292 29101-29200 293 29201-29300 294 29301-29400 295 29401-29500 296 29501-29600 297 29601-29700 298 29701-29800 299 29801-29900 300 29901-30000 301 30001-30100 302 30101-30200 303 30201-30300 304 30301-30400 305 30401-30500 306 30501-30600 307 30601-30700 308 30701-30800 309 30801-30900 310 30901-31000 311 31001-31100 312 31101-31200 313 31201-31300 314 31301-31400 315 31401-31500 316 31501-31600 317 31601-31700 318 31701-31800 319 31801-31900 320 31901-32000 321 32001-32100 322 32101-32200 323 32201-32300 324 32301-32400 325 32401-32500 326 32501-32600 327 32601-32700 328 32701-32800 329 32801-32900 330 32901-33000 331 33001-33100 332 33101-33200 333 33201-33300 334 33301-33400 335 33401-33500 336 33501-33600 337 33601-33700 338 33701-33800 339 33801-33900 340 33901-34000 341 34001-34100 342 34101-34200 343 34201-34300 344 34301-34400 345 34401-34500 346 34501-34600 347 34601-34700 348 34701-34800 349 34801-34900 350 34901-35000 351 35001-35100 352 35101-35200 353 35201-35300 354 35301-35400 355 35401-35500 356 35501-35600 357 35601-35700 358 35701-35800 359 35801-35900 360 35901-36000 361 36001-36100 362 36101-36200 363 36201-36300 364 36301-36400 365 36401-36500 366 36501-36600 367 36601-36700 368 36701-36800 369 36801-36900 370 36901-37000 371 37001-37100 372 37101-37200 373 37201-37300 374 37301-37400 375 37401-37500 376 37501-37600 377 37601-37700 378 37701-37800 379 37801-37900 380 37901-38000 381 38001-38100 382 38101-38200 383 38201-38300 384 38301-38400 385 38401-38500 386 38501-38600 387 38601-38700 388 38701-38800 389 38801-38900 390 38901-39000 391 39001-39100 392 39101-39200 393 39201-39300 394 39301-39400 395 39401-39500 396 39501-39600 397 39601-39700 398 39701-39800 399 39801-39900 400 39901-40000 401 40001-40100 402 40101-40200 403 40201-40300 404 40301-40400 405 40401-40500 406 40501-40600 407 40601-40700 408 40701-40800 409 40801-40900 410 40901-41000 411 41001-41100 412 41101-41200 413 41201-41300 414 41301-41400 415 41401-41500 416 41501-41600 417 41601-41700 418 41701-41800 419 41801-41900 420 41901-42000 421 42001-42100 422 42101-42200 423 42201-42300 424 42301-42400 425 42401-42500 426 42501-42600 427 42601-42700 428 42701-42800 429 42801-42900 430 42901-43000 431 43001-43100 432 43101-43200 433 43201-43300 434 43301-43400 435 43401-43500 436 43501-43600 437 43601-43700 438 43701-43800 439 43801-43900 440 43901-44000 441 44001-44100 442 44101-44200 443 44201-44300 444 44301-44400 445 44401-44500 446 44501-44600 447 44601-44700 448 44701-44800 449 44801-44900 450 44901-45000 451 45001-45100 452 45101-45200 453 45201-45300 454 45301-45400 455 45401-45500 456 45501-45600 457 45601-45700 458 45701-45800 459 45801-45900 460 45901-46000 461 46001-46100 462 46101-46200 463 46201-46300 464 46301-46400 465 46401-46500 466 46501-46600 467 46601-46700 468 46701-46800 469 46801-46900 470 46901-46948
  Copyright terms: Public domain < Previous  Next >