Theorem dmwf 44913

Description: The domain of a well-founded set is well-founded. (Contributed by Eric Schmidt, 12-Sep-2025.)

Assertion

Ref	Expression
dmwf	⊢ (𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) → dom 𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On))

Proof of Theorem dmwf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uniwf 9888	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ↔ ∪ 𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On))
2		uniwf 9888	. . 3 ⊢ (∪ 𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ↔ ∪ ∪ 𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On))
3	1, 2	bitri 275	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ↔ ∪ ∪ 𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On))
4		ssun1 4201	. . . 4 ⊢ dom 𝐴 ⊆ (dom 𝐴 ∪ ran 𝐴)
5		dmrnssfld 5996	. . . 4 ⊢ (dom 𝐴 ∪ ran 𝐴) ⊆ ∪ ∪ 𝐴
6	4, 5	sstri 4018	. . 3 ⊢ dom 𝐴 ⊆ ∪ ∪ 𝐴
7		sswf 9877	. . 3 ⊢ ((∪ ∪ 𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ∧ dom 𝐴 ⊆ ∪ ∪ 𝐴) → dom 𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On))
8	6, 7	mpan2 690	. 2 ⊢ (∪ ∪ 𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) → dom 𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On))
9	3, 8	sylbi 217	1 ⊢ (𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) → dom 𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108   ∪ cun 3974   ⊆ wss 3976  ∪ cuni 4931  dom cdm 5700  ran crn 5701   “ cima 5703  Oncon0 6395  𝑅₁cr1 9831

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-ov 7451  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-r1 9833  df-rank 9834

This theorem is referenced by: (None)