Theorem dmwf 44982

Description: The domain of a well-founded set is well-founded. (Contributed by Eric Schmidt, 12-Sep-2025.)

Assertion

Ref	Expression
dmwf	⊢ (𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) → dom 𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On))

Proof of Theorem dmwf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uniwf 9859	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ↔ ∪ 𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On))
2		uniwf 9859	. . 3 ⊢ (∪ 𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ↔ ∪ ∪ 𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On))
3	1, 2	bitri 275	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ↔ ∪ ∪ 𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On))
4		ssun1 4178	. . . 4 ⊢ dom 𝐴 ⊆ (dom 𝐴 ∪ ran 𝐴)
5		dmrnssfld 5984	. . . 4 ⊢ (dom 𝐴 ∪ ran 𝐴) ⊆ ∪ ∪ 𝐴
6	4, 5	sstri 3993	. . 3 ⊢ dom 𝐴 ⊆ ∪ ∪ 𝐴
7		sswf 9848	. . 3 ⊢ ((∪ ∪ 𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ∧ dom 𝐴 ⊆ ∪ ∪ 𝐴) → dom 𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On))
8	6, 7	mpan2 691	. 2 ⊢ (∪ ∪ 𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) → dom 𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On))
9	3, 8	sylbi 217	1 ⊢ (𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) → dom 𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108   ∪ cun 3949   ⊆ wss 3951  ∪ cuni 4907  dom cdm 5685  ran crn 5686   “ cima 5688  Oncon0 6384  𝑅₁cr1 9802

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-r1 9804  df-rank 9805

This theorem is referenced by:  relwf  44984