Theorem sswf 9853

Description: A subset of a well-founded set is well-founded. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
sswf	⊢ ((𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → 𝐵 ∈ ∪ (𝑅1 “ On))

Proof of Theorem sswf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rankidb 9845	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) → 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc (rank‘𝐴)))
2		r1sscl 9829	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝑅1‘suc (rank‘𝐴)) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → 𝐵 ∈ (𝑅1‘suc (rank‘𝐴)))
3	1, 2	sylan 592	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → 𝐵 ∈ (𝑅1‘suc (rank‘𝐴)))
4		r1elwf 9841	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ (𝑅1‘suc (rank‘𝐴)) → 𝐵 ∈ ∪ (𝑅1 “ On))
5	3, 4	syl 18	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → 𝐵 ∈ ∪ (𝑅1 “ On))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2147   ⊆ wss 3900  ∪ cuni 4872   “ cima 5661  Oncon0 6388  suc csuc 6390  ‘cfv 6566  𝑅₁cr1 9803  rankcrnk 9804

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-ov 7454  df-om 7912  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-r1 9805  df-rank 9806

This theorem is used by:  snwf  9854  unwf  9855  uniwf  9865  elwf  9879  rankssb  9899  ttcwf  37527  xpwf  46218  dmwf  46219  rnwf  46220  relwf  46221  wfac8prim  46256