Theorem sswf 9791

Description: A subset of a well-founded set is well-founded. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
sswf	⊢ ((𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → 𝐵 ∈ ∪ (𝑅1 “ On))

Proof of Theorem sswf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rankidb 9783	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) → 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc (rank‘𝐴)))
2		r1sscl 9768	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝑅1‘suc (rank‘𝐴)) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → 𝐵 ∈ (𝑅1‘suc (rank‘𝐴)))
3	1, 2	sylan 592	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → 𝐵 ∈ (𝑅1‘suc (rank‘𝐴)))
4		r1elwf 9779	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ (𝑅1‘suc (rank‘𝐴)) → 𝐵 ∈ ∪ (𝑅1 “ On))
5	3, 4	syl 18	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → 𝐵 ∈ ∪ (𝑅1 “ On))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3899  ∪ cuni 4867   “ cima 5658  Oncon0 6357  suc csuc 6359  ‘cfv 6533  𝑅₁cr1 9745  rankcrnk 9746

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7417  df-om 7864  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-r1 9747  df-rank 9748

This theorem is used by:  snwf  9792  unwf  9793  uniwf  9802  rankssb  9831  elwf  35605  ttcwf  37144  xpwf  45788  dmwf  45789  rnwf  45790  relwf  45791  wfac8prim  45826