MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  imasaddfnlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem imasaddfnlem 17476
Description: The image structure operation is a function if the original operation is compatible with the function. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
imasaddf.f (๐œ‘ โ†’ ๐น:๐‘‰โ€“ontoโ†’๐ต)
imasaddf.e ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘‰) โˆง (๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ (((๐นโ€˜๐‘Ž) = (๐นโ€˜๐‘) โˆง (๐นโ€˜๐‘) = (๐นโ€˜๐‘ž)) โ†’ (๐นโ€˜(๐‘Ž ยท ๐‘)) = (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))))
imasaddflem.a (๐œ‘ โ†’ โˆ™ = โˆช ๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆช ๐‘ž โˆˆ ๐‘‰ {โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ, (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))โŸฉ})
Assertion
Ref Expression
imasaddfnlem (๐œ‘ โ†’ โˆ™ Fn (๐ต ร— ๐ต))
Distinct variable groups:   ๐‘ž,๐‘,๐ต   ๐‘Ž,๐‘,๐‘,๐‘ž,๐‘‰   ยท ,๐‘,๐‘ž   ๐น,๐‘Ž,๐‘,๐‘,๐‘ž   ๐œ‘,๐‘Ž,๐‘,๐‘,๐‘ž   โˆ™ ,๐‘Ž,๐‘,๐‘,๐‘ž
Allowed substitution hints:   ๐ต(๐‘Ž,๐‘)   ยท (๐‘Ž,๐‘)

Proof of Theorem imasaddfnlem
Dummy variables ๐‘ค ๐‘ฆ ๐‘ง ๐‘ฅ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 opex 5464 . . . . . . . . 9 โŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ โˆˆ V
2 fvex 6904 . . . . . . . . 9 (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž)) โˆˆ V
31, 2relsnop 5805 . . . . . . . 8 Rel {โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ, (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))โŸฉ}
43rgenw 3065 . . . . . . 7 โˆ€๐‘ž โˆˆ ๐‘‰ Rel {โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ, (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))โŸฉ}
5 reliun 5816 . . . . . . 7 (Rel โˆช ๐‘ž โˆˆ ๐‘‰ {โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ, (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))โŸฉ} โ†” โˆ€๐‘ž โˆˆ ๐‘‰ Rel {โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ, (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))โŸฉ})
64, 5mpbir 230 . . . . . 6 Rel โˆช ๐‘ž โˆˆ ๐‘‰ {โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ, (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))โŸฉ}
76rgenw 3065 . . . . 5 โˆ€๐‘ โˆˆ ๐‘‰ Rel โˆช ๐‘ž โˆˆ ๐‘‰ {โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ, (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))โŸฉ}
8 reliun 5816 . . . . 5 (Rel โˆช ๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆช ๐‘ž โˆˆ ๐‘‰ {โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ, (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))โŸฉ} โ†” โˆ€๐‘ โˆˆ ๐‘‰ Rel โˆช ๐‘ž โˆˆ ๐‘‰ {โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ, (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))โŸฉ})
97, 8mpbir 230 . . . 4 Rel โˆช ๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆช ๐‘ž โˆˆ ๐‘‰ {โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ, (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))โŸฉ}
10 imasaddflem.a . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ โˆ™ = โˆช ๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆช ๐‘ž โˆˆ ๐‘‰ {โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ, (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))โŸฉ})
1110releqd 5778 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (Rel โˆ™ โ†” Rel โˆช ๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆช ๐‘ž โˆˆ ๐‘‰ {โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ, (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))โŸฉ}))
129, 11mpbiri 257 . . 3 (๐œ‘ โ†’ Rel โˆ™ )
13 imasaddf.f . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ ๐น:๐‘‰โ€“ontoโ†’๐ต)
14 fof 6805 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐น:๐‘‰โ€“ontoโ†’๐ต โ†’ ๐น:๐‘‰โŸถ๐ต)
1513, 14syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ๐น:๐‘‰โŸถ๐ต)
16 ffvelcdm 7083 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐น:๐‘‰โŸถ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘‰) โ†’ (๐นโ€˜๐‘) โˆˆ ๐ต)
17 ffvelcdm 7083 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐น:๐‘‰โŸถ๐ต โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘‰) โ†’ (๐นโ€˜๐‘ž) โˆˆ ๐ต)
1816, 17anim12dan 619 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐น:๐‘‰โŸถ๐ต โˆง (๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘) โˆˆ ๐ต โˆง (๐นโ€˜๐‘ž) โˆˆ ๐ต))
1915, 18sylan 580 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘) โˆˆ ๐ต โˆง (๐นโ€˜๐‘ž) โˆˆ ๐ต))
20 opelxpi 5713 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐นโ€˜๐‘) โˆˆ ๐ต โˆง (๐นโ€˜๐‘ž) โˆˆ ๐ต) โ†’ โŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ โˆˆ (๐ต ร— ๐ต))
2119, 20syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ โŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ โˆˆ (๐ต ร— ๐ต))
22 opelxpi 5713 . . . . . . . . . . . . 13 ((โŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ โˆˆ (๐ต ร— ๐ต) โˆง (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž)) โˆˆ V) โ†’ โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ, (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))โŸฉ โˆˆ ((๐ต ร— ๐ต) ร— V))
2321, 2, 22sylancl 586 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ, (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))โŸฉ โˆˆ ((๐ต ร— ๐ต) ร— V))
2423snssd 4812 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ {โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ, (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))โŸฉ} โŠ† ((๐ต ร— ๐ต) ร— V))
2524anassrs 468 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘‰) โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘‰) โ†’ {โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ, (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))โŸฉ} โŠ† ((๐ต ร— ๐ต) ร— V))
2625iunssd 5053 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘‰) โ†’ โˆช ๐‘ž โˆˆ ๐‘‰ {โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ, (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))โŸฉ} โŠ† ((๐ต ร— ๐ต) ร— V))
2726iunssd 5053 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ โˆช ๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆช ๐‘ž โˆˆ ๐‘‰ {โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ, (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))โŸฉ} โŠ† ((๐ต ร— ๐ต) ร— V))
2810, 27eqsstrd 4020 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ โˆ™ โŠ† ((๐ต ร— ๐ต) ร— V))
29 dmss 5902 . . . . . . 7 ( โˆ™ โŠ† ((๐ต ร— ๐ต) ร— V) โ†’ dom โˆ™ โŠ† dom ((๐ต ร— ๐ต) ร— V))
3028, 29syl 17 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ dom โˆ™ โŠ† dom ((๐ต ร— ๐ต) ร— V))
31 vn0 4338 . . . . . . 7 V โ‰  โˆ…
32 dmxp 5928 . . . . . . 7 (V โ‰  โˆ… โ†’ dom ((๐ต ร— ๐ต) ร— V) = (๐ต ร— ๐ต))
3331, 32ax-mp 5 . . . . . 6 dom ((๐ต ร— ๐ต) ร— V) = (๐ต ร— ๐ต)
3430, 33sseqtrdi 4032 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ dom โˆ™ โŠ† (๐ต ร— ๐ต))
35 forn 6808 . . . . . . 7 (๐น:๐‘‰โ€“ontoโ†’๐ต โ†’ ran ๐น = ๐ต)
3613, 35syl 17 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ran ๐น = ๐ต)
3736sqxpeqd 5708 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (ran ๐น ร— ran ๐น) = (๐ต ร— ๐ต))
3834, 37sseqtrrd 4023 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ dom โˆ™ โŠ† (ran ๐น ร— ran ๐น))
3910eleq2d 2819 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘Ž), (๐นโ€˜๐‘)โŸฉ, ๐‘คโŸฉ โˆˆ โˆ™ โ†” โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘Ž), (๐นโ€˜๐‘)โŸฉ, ๐‘คโŸฉ โˆˆ โˆช ๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆช ๐‘ž โˆˆ ๐‘‰ {โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ, (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))โŸฉ}))
4039adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ (โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘Ž), (๐นโ€˜๐‘)โŸฉ, ๐‘คโŸฉ โˆˆ โˆ™ โ†” โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘Ž), (๐นโ€˜๐‘)โŸฉ, ๐‘คโŸฉ โˆˆ โˆช ๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆช ๐‘ž โˆˆ ๐‘‰ {โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ, (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))โŸฉ}))
41 df-br 5149 . . . . . . . . . . . 12 (โŸจ(๐นโ€˜๐‘Ž), (๐นโ€˜๐‘)โŸฉ โˆ™ ๐‘ค โ†” โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘Ž), (๐นโ€˜๐‘)โŸฉ, ๐‘คโŸฉ โˆˆ โˆ™ )
42 eliun 5001 . . . . . . . . . . . . 13 (โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘Ž), (๐นโ€˜๐‘)โŸฉ, ๐‘คโŸฉ โˆˆ โˆช ๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆช ๐‘ž โˆˆ ๐‘‰ {โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ, (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))โŸฉ} โ†” โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘Ž), (๐นโ€˜๐‘)โŸฉ, ๐‘คโŸฉ โˆˆ โˆช ๐‘ž โˆˆ ๐‘‰ {โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ, (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))โŸฉ})
43 eliun 5001 . . . . . . . . . . . . . 14 (โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘Ž), (๐นโ€˜๐‘)โŸฉ, ๐‘คโŸฉ โˆˆ โˆช ๐‘ž โˆˆ ๐‘‰ {โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ, (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))โŸฉ} โ†” โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐‘‰ โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘Ž), (๐นโ€˜๐‘)โŸฉ, ๐‘คโŸฉ โˆˆ {โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ, (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))โŸฉ})
4443rexbii 3094 . . . . . . . . . . . . 13 (โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘Ž), (๐นโ€˜๐‘)โŸฉ, ๐‘คโŸฉ โˆˆ โˆช ๐‘ž โˆˆ ๐‘‰ {โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ, (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))โŸฉ} โ†” โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐‘‰ โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘Ž), (๐นโ€˜๐‘)โŸฉ, ๐‘คโŸฉ โˆˆ {โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ, (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))โŸฉ})
4542, 44bitr2i 275 . . . . . . . . . . . 12 (โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐‘‰ โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘Ž), (๐นโ€˜๐‘)โŸฉ, ๐‘คโŸฉ โˆˆ {โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ, (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))โŸฉ} โ†” โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘Ž), (๐นโ€˜๐‘)โŸฉ, ๐‘คโŸฉ โˆˆ โˆช ๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆช ๐‘ž โˆˆ ๐‘‰ {โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ, (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))โŸฉ})
4640, 41, 453bitr4g 313 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ (โŸจ(๐นโ€˜๐‘Ž), (๐นโ€˜๐‘)โŸฉ โˆ™ ๐‘ค โ†” โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐‘‰ โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘Ž), (๐นโ€˜๐‘)โŸฉ, ๐‘คโŸฉ โˆˆ {โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ, (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))โŸฉ}))
47 opex 5464 . . . . . . . . . . . . . . 15 โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘Ž), (๐นโ€˜๐‘)โŸฉ, ๐‘คโŸฉ โˆˆ V
4847elsn 4643 . . . . . . . . . . . . . 14 (โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘Ž), (๐นโ€˜๐‘)โŸฉ, ๐‘คโŸฉ โˆˆ {โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ, (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))โŸฉ} โ†” โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘Ž), (๐นโ€˜๐‘)โŸฉ, ๐‘คโŸฉ = โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ, (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))โŸฉ)
49 opex 5464 . . . . . . . . . . . . . . . 16 โŸจ(๐นโ€˜๐‘Ž), (๐นโ€˜๐‘)โŸฉ โˆˆ V
50 vex 3478 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ๐‘ค โˆˆ V
5149, 50opth 5476 . . . . . . . . . . . . . . 15 (โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘Ž), (๐นโ€˜๐‘)โŸฉ, ๐‘คโŸฉ = โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ, (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))โŸฉ โ†” (โŸจ(๐นโ€˜๐‘Ž), (๐นโ€˜๐‘)โŸฉ = โŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ โˆง ๐‘ค = (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))))
52 fvex 6904 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐นโ€˜๐‘Ž) โˆˆ V
53 fvex 6904 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐นโ€˜๐‘) โˆˆ V
5452, 53opth 5476 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (โŸจ(๐นโ€˜๐‘Ž), (๐นโ€˜๐‘)โŸฉ = โŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ โ†” ((๐นโ€˜๐‘Ž) = (๐นโ€˜๐‘) โˆง (๐นโ€˜๐‘) = (๐นโ€˜๐‘ž)))
55 imasaddf.e . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘‰) โˆง (๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ (((๐นโ€˜๐‘Ž) = (๐นโ€˜๐‘) โˆง (๐นโ€˜๐‘) = (๐นโ€˜๐‘ž)) โ†’ (๐นโ€˜(๐‘Ž ยท ๐‘)) = (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))))
5654, 55biimtrid 241 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘‰) โˆง (๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ (โŸจ(๐นโ€˜๐‘Ž), (๐นโ€˜๐‘)โŸฉ = โŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ โ†’ (๐นโ€˜(๐‘Ž ยท ๐‘)) = (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))))
57 eqeq2 2744 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐นโ€˜(๐‘Ž ยท ๐‘)) = (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž)) โ†’ (๐‘ค = (๐นโ€˜(๐‘Ž ยท ๐‘)) โ†” ๐‘ค = (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))))
5857biimprd 247 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐นโ€˜(๐‘Ž ยท ๐‘)) = (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž)) โ†’ (๐‘ค = (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž)) โ†’ ๐‘ค = (๐นโ€˜(๐‘Ž ยท ๐‘))))
5956, 58syl6 35 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘‰) โˆง (๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ (โŸจ(๐นโ€˜๐‘Ž), (๐นโ€˜๐‘)โŸฉ = โŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ โ†’ (๐‘ค = (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž)) โ†’ ๐‘ค = (๐นโ€˜(๐‘Ž ยท ๐‘)))))
6059impd 411 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘‰) โˆง (๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ ((โŸจ(๐นโ€˜๐‘Ž), (๐นโ€˜๐‘)โŸฉ = โŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ โˆง ๐‘ค = (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))) โ†’ ๐‘ค = (๐นโ€˜(๐‘Ž ยท ๐‘))))
6151, 60biimtrid 241 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘‰) โˆง (๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ (โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘Ž), (๐นโ€˜๐‘)โŸฉ, ๐‘คโŸฉ = โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ, (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))โŸฉ โ†’ ๐‘ค = (๐นโ€˜(๐‘Ž ยท ๐‘))))
6248, 61biimtrid 241 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘‰) โˆง (๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ (โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘Ž), (๐นโ€˜๐‘)โŸฉ, ๐‘คโŸฉ โˆˆ {โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ, (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))โŸฉ} โ†’ ๐‘ค = (๐นโ€˜(๐‘Ž ยท ๐‘))))
63623expa 1118 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘‰)) โˆง (๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ (โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘Ž), (๐นโ€˜๐‘)โŸฉ, ๐‘คโŸฉ โˆˆ {โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ, (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))โŸฉ} โ†’ ๐‘ค = (๐นโ€˜(๐‘Ž ยท ๐‘))))
6463rexlimdvva 3211 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ (โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐‘‰ โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘Ž), (๐นโ€˜๐‘)โŸฉ, ๐‘คโŸฉ โˆˆ {โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ, (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))โŸฉ} โ†’ ๐‘ค = (๐นโ€˜(๐‘Ž ยท ๐‘))))
6546, 64sylbid 239 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ (โŸจ(๐นโ€˜๐‘Ž), (๐นโ€˜๐‘)โŸฉ โˆ™ ๐‘ค โ†’ ๐‘ค = (๐นโ€˜(๐‘Ž ยท ๐‘))))
6665alrimiv 1930 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ โˆ€๐‘ค(โŸจ(๐นโ€˜๐‘Ž), (๐นโ€˜๐‘)โŸฉ โˆ™ ๐‘ค โ†’ ๐‘ค = (๐นโ€˜(๐‘Ž ยท ๐‘))))
67 mo2icl 3710 . . . . . . . . 9 (โˆ€๐‘ค(โŸจ(๐นโ€˜๐‘Ž), (๐นโ€˜๐‘)โŸฉ โˆ™ ๐‘ค โ†’ ๐‘ค = (๐นโ€˜(๐‘Ž ยท ๐‘))) โ†’ โˆƒ*๐‘คโŸจ(๐นโ€˜๐‘Ž), (๐นโ€˜๐‘)โŸฉ โˆ™ ๐‘ค)
6866, 67syl 17 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ โˆƒ*๐‘คโŸจ(๐นโ€˜๐‘Ž), (๐นโ€˜๐‘)โŸฉ โˆ™ ๐‘ค)
6968ralrimivva 3200 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘Ž โˆˆ ๐‘‰ โˆ€๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆƒ*๐‘คโŸจ(๐นโ€˜๐‘Ž), (๐นโ€˜๐‘)โŸฉ โˆ™ ๐‘ค)
70 fofn 6807 . . . . . . . . . 10 (๐น:๐‘‰โ€“ontoโ†’๐ต โ†’ ๐น Fn ๐‘‰)
7113, 70syl 17 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐น Fn ๐‘‰)
72 opeq2 4874 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ง = (๐นโ€˜๐‘) โ†’ โŸจ(๐นโ€˜๐‘Ž), ๐‘งโŸฉ = โŸจ(๐นโ€˜๐‘Ž), (๐นโ€˜๐‘)โŸฉ)
7372breq1d 5158 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ง = (๐นโ€˜๐‘) โ†’ (โŸจ(๐นโ€˜๐‘Ž), ๐‘งโŸฉ โˆ™ ๐‘ค โ†” โŸจ(๐นโ€˜๐‘Ž), (๐นโ€˜๐‘)โŸฉ โˆ™ ๐‘ค))
7473mobidv 2543 . . . . . . . . . 10 (๐‘ง = (๐นโ€˜๐‘) โ†’ (โˆƒ*๐‘คโŸจ(๐นโ€˜๐‘Ž), ๐‘งโŸฉ โˆ™ ๐‘ค โ†” โˆƒ*๐‘คโŸจ(๐นโ€˜๐‘Ž), (๐นโ€˜๐‘)โŸฉ โˆ™ ๐‘ค))
7574ralrn 7089 . . . . . . . . 9 (๐น Fn ๐‘‰ โ†’ (โˆ€๐‘ง โˆˆ ran ๐นโˆƒ*๐‘คโŸจ(๐นโ€˜๐‘Ž), ๐‘งโŸฉ โˆ™ ๐‘ค โ†” โˆ€๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆƒ*๐‘คโŸจ(๐นโ€˜๐‘Ž), (๐นโ€˜๐‘)โŸฉ โˆ™ ๐‘ค))
7671, 75syl 17 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (โˆ€๐‘ง โˆˆ ran ๐นโˆƒ*๐‘คโŸจ(๐นโ€˜๐‘Ž), ๐‘งโŸฉ โˆ™ ๐‘ค โ†” โˆ€๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆƒ*๐‘คโŸจ(๐นโ€˜๐‘Ž), (๐นโ€˜๐‘)โŸฉ โˆ™ ๐‘ค))
7776ralbidv 3177 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (โˆ€๐‘Ž โˆˆ ๐‘‰ โˆ€๐‘ง โˆˆ ran ๐นโˆƒ*๐‘คโŸจ(๐นโ€˜๐‘Ž), ๐‘งโŸฉ โˆ™ ๐‘ค โ†” โˆ€๐‘Ž โˆˆ ๐‘‰ โˆ€๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆƒ*๐‘คโŸจ(๐นโ€˜๐‘Ž), (๐นโ€˜๐‘)โŸฉ โˆ™ ๐‘ค))
7869, 77mpbird 256 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘Ž โˆˆ ๐‘‰ โˆ€๐‘ง โˆˆ ran ๐นโˆƒ*๐‘คโŸจ(๐นโ€˜๐‘Ž), ๐‘งโŸฉ โˆ™ ๐‘ค)
79 opeq1 4873 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฆ = (๐นโ€˜๐‘Ž) โ†’ โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ = โŸจ(๐นโ€˜๐‘Ž), ๐‘งโŸฉ)
8079breq1d 5158 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฆ = (๐นโ€˜๐‘Ž) โ†’ (โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โˆ™ ๐‘ค โ†” โŸจ(๐นโ€˜๐‘Ž), ๐‘งโŸฉ โˆ™ ๐‘ค))
8180mobidv 2543 . . . . . . . . 9 (๐‘ฆ = (๐นโ€˜๐‘Ž) โ†’ (โˆƒ*๐‘คโŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โˆ™ ๐‘ค โ†” โˆƒ*๐‘คโŸจ(๐นโ€˜๐‘Ž), ๐‘งโŸฉ โˆ™ ๐‘ค))
8281ralbidv 3177 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ = (๐นโ€˜๐‘Ž) โ†’ (โˆ€๐‘ง โˆˆ ran ๐นโˆƒ*๐‘คโŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โˆ™ ๐‘ค โ†” โˆ€๐‘ง โˆˆ ran ๐นโˆƒ*๐‘คโŸจ(๐นโ€˜๐‘Ž), ๐‘งโŸฉ โˆ™ ๐‘ค))
8382ralrn 7089 . . . . . . 7 (๐น Fn ๐‘‰ โ†’ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ran ๐นโˆ€๐‘ง โˆˆ ran ๐นโˆƒ*๐‘คโŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โˆ™ ๐‘ค โ†” โˆ€๐‘Ž โˆˆ ๐‘‰ โˆ€๐‘ง โˆˆ ran ๐นโˆƒ*๐‘คโŸจ(๐นโ€˜๐‘Ž), ๐‘งโŸฉ โˆ™ ๐‘ค))
8471, 83syl 17 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ran ๐นโˆ€๐‘ง โˆˆ ran ๐นโˆƒ*๐‘คโŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โˆ™ ๐‘ค โ†” โˆ€๐‘Ž โˆˆ ๐‘‰ โˆ€๐‘ง โˆˆ ran ๐นโˆƒ*๐‘คโŸจ(๐นโ€˜๐‘Ž), ๐‘งโŸฉ โˆ™ ๐‘ค))
8578, 84mpbird 256 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ran ๐นโˆ€๐‘ง โˆˆ ran ๐นโˆƒ*๐‘คโŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โˆ™ ๐‘ค)
86 breq1 5151 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โ†’ (๐‘ฅ โˆ™ ๐‘ค โ†” โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โˆ™ ๐‘ค))
8786mobidv 2543 . . . . . 6 (๐‘ฅ = โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โ†’ (โˆƒ*๐‘ค ๐‘ฅ โˆ™ ๐‘ค โ†” โˆƒ*๐‘คโŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โˆ™ ๐‘ค))
8887ralxp 5841 . . . . 5 (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (ran ๐น ร— ran ๐น)โˆƒ*๐‘ค ๐‘ฅ โˆ™ ๐‘ค โ†” โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ran ๐นโˆ€๐‘ง โˆˆ ran ๐นโˆƒ*๐‘คโŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โˆ™ ๐‘ค)
8985, 88sylibr 233 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (ran ๐น ร— ran ๐น)โˆƒ*๐‘ค ๐‘ฅ โˆ™ ๐‘ค)
90 ssralv 4050 . . . 4 (dom โˆ™ โŠ† (ran ๐น ร— ran ๐น) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (ran ๐น ร— ran ๐น)โˆƒ*๐‘ค ๐‘ฅ โˆ™ ๐‘ค โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ dom โˆ™ โˆƒ*๐‘ค ๐‘ฅ โˆ™ ๐‘ค))
9138, 89, 90sylc 65 . . 3 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ dom โˆ™ โˆƒ*๐‘ค ๐‘ฅ โˆ™ ๐‘ค)
92 dffun7 6575 . . 3 (Fun โˆ™ โ†” (Rel โˆ™ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ dom โˆ™ โˆƒ*๐‘ค ๐‘ฅ โˆ™ ๐‘ค))
9312, 91, 92sylanbrc 583 . 2 (๐œ‘ โ†’ Fun โˆ™ )
94 eqimss2 4041 . . . . . . . . . . 11 ( โˆ™ = โˆช ๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆช ๐‘ž โˆˆ ๐‘‰ {โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ, (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))โŸฉ} โ†’ โˆช ๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆช ๐‘ž โˆˆ ๐‘‰ {โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ, (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))โŸฉ} โŠ† โˆ™ )
9510, 94syl 17 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ โˆช ๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆช ๐‘ž โˆˆ ๐‘‰ {โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ, (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))โŸฉ} โŠ† โˆ™ )
96 iunss 5048 . . . . . . . . . 10 (โˆช ๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆช ๐‘ž โˆˆ ๐‘‰ {โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ, (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))โŸฉ} โŠ† โˆ™ โ†” โˆ€๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆช ๐‘ž โˆˆ ๐‘‰ {โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ, (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))โŸฉ} โŠ† โˆ™ )
9795, 96sylib 217 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆช ๐‘ž โˆˆ ๐‘‰ {โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ, (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))โŸฉ} โŠ† โˆ™ )
98 iunss 5048 . . . . . . . . . . 11 (โˆช ๐‘ž โˆˆ ๐‘‰ {โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ, (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))โŸฉ} โŠ† โˆ™ โ†” โˆ€๐‘ž โˆˆ ๐‘‰ {โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ, (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))โŸฉ} โŠ† โˆ™ )
99 opex 5464 . . . . . . . . . . . . . 14 โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ, (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))โŸฉ โˆˆ V
10099snss 4789 . . . . . . . . . . . . 13 (โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ, (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))โŸฉ โˆˆ โˆ™ โ†” {โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ, (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))โŸฉ} โŠ† โˆ™ )
1011, 2opeldm 5907 . . . . . . . . . . . . 13 (โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ, (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))โŸฉ โˆˆ โˆ™ โ†’ โŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ โˆˆ dom โˆ™ )
102100, 101sylbir 234 . . . . . . . . . . . 12 ({โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ, (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))โŸฉ} โŠ† โˆ™ โ†’ โŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ โˆˆ dom โˆ™ )
103102ralimi 3083 . . . . . . . . . . 11 (โˆ€๐‘ž โˆˆ ๐‘‰ {โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ, (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))โŸฉ} โŠ† โˆ™ โ†’ โˆ€๐‘ž โˆˆ ๐‘‰ โŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ โˆˆ dom โˆ™ )
10498, 103sylbi 216 . . . . . . . . . 10 (โˆช ๐‘ž โˆˆ ๐‘‰ {โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ, (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))โŸฉ} โŠ† โˆ™ โ†’ โˆ€๐‘ž โˆˆ ๐‘‰ โŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ โˆˆ dom โˆ™ )
105104ralimi 3083 . . . . . . . . 9 (โˆ€๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆช ๐‘ž โˆˆ ๐‘‰ {โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ, (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))โŸฉ} โŠ† โˆ™ โ†’ โˆ€๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆ€๐‘ž โˆˆ ๐‘‰ โŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ โˆˆ dom โˆ™ )
10697, 105syl 17 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆ€๐‘ž โˆˆ ๐‘‰ โŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ โˆˆ dom โˆ™ )
107 opeq2 4874 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ง = (๐นโ€˜๐‘ž) โ†’ โŸจ(๐นโ€˜๐‘), ๐‘งโŸฉ = โŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ)
108107eleq1d 2818 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ง = (๐นโ€˜๐‘ž) โ†’ (โŸจ(๐นโ€˜๐‘), ๐‘งโŸฉ โˆˆ dom โˆ™ โ†” โŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ โˆˆ dom โˆ™ ))
109108ralrn 7089 . . . . . . . . . 10 (๐น Fn ๐‘‰ โ†’ (โˆ€๐‘ง โˆˆ ran ๐นโŸจ(๐นโ€˜๐‘), ๐‘งโŸฉ โˆˆ dom โˆ™ โ†” โˆ€๐‘ž โˆˆ ๐‘‰ โŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ โˆˆ dom โˆ™ ))
11071, 109syl 17 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (โˆ€๐‘ง โˆˆ ran ๐นโŸจ(๐นโ€˜๐‘), ๐‘งโŸฉ โˆˆ dom โˆ™ โ†” โˆ€๐‘ž โˆˆ ๐‘‰ โŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ โˆˆ dom โˆ™ ))
111110ralbidv 3177 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (โˆ€๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆ€๐‘ง โˆˆ ran ๐นโŸจ(๐นโ€˜๐‘), ๐‘งโŸฉ โˆˆ dom โˆ™ โ†” โˆ€๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆ€๐‘ž โˆˆ ๐‘‰ โŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ โˆˆ dom โˆ™ ))
112106, 111mpbird 256 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆ€๐‘ง โˆˆ ran ๐นโŸจ(๐นโ€˜๐‘), ๐‘งโŸฉ โˆˆ dom โˆ™ )
113 opeq1 4873 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฆ = (๐นโ€˜๐‘) โ†’ โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ = โŸจ(๐นโ€˜๐‘), ๐‘งโŸฉ)
114113eleq1d 2818 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฆ = (๐นโ€˜๐‘) โ†’ (โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โˆˆ dom โˆ™ โ†” โŸจ(๐นโ€˜๐‘), ๐‘งโŸฉ โˆˆ dom โˆ™ ))
115114ralbidv 3177 . . . . . . . . 9 (๐‘ฆ = (๐นโ€˜๐‘) โ†’ (โˆ€๐‘ง โˆˆ ran ๐นโŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โˆˆ dom โˆ™ โ†” โˆ€๐‘ง โˆˆ ran ๐นโŸจ(๐นโ€˜๐‘), ๐‘งโŸฉ โˆˆ dom โˆ™ ))
116115ralrn 7089 . . . . . . . 8 (๐น Fn ๐‘‰ โ†’ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ran ๐นโˆ€๐‘ง โˆˆ ran ๐นโŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โˆˆ dom โˆ™ โ†” โˆ€๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆ€๐‘ง โˆˆ ran ๐นโŸจ(๐นโ€˜๐‘), ๐‘งโŸฉ โˆˆ dom โˆ™ ))
11771, 116syl 17 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ran ๐นโˆ€๐‘ง โˆˆ ran ๐นโŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โˆˆ dom โˆ™ โ†” โˆ€๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆ€๐‘ง โˆˆ ran ๐นโŸจ(๐นโ€˜๐‘), ๐‘งโŸฉ โˆˆ dom โˆ™ ))
118112, 117mpbird 256 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ran ๐นโˆ€๐‘ง โˆˆ ran ๐นโŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โˆˆ dom โˆ™ )
119 eleq1 2821 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ dom โˆ™ โ†” โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โˆˆ dom โˆ™ ))
120119ralxp 5841 . . . . . 6 (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (ran ๐น ร— ran ๐น)๐‘ฅ โˆˆ dom โˆ™ โ†” โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ran ๐นโˆ€๐‘ง โˆˆ ran ๐นโŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โˆˆ dom โˆ™ )
121118, 120sylibr 233 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (ran ๐น ร— ran ๐น)๐‘ฅ โˆˆ dom โˆ™ )
122 dfss3 3970 . . . . 5 ((ran ๐น ร— ran ๐น) โŠ† dom โˆ™ โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (ran ๐น ร— ran ๐น)๐‘ฅ โˆˆ dom โˆ™ )
123121, 122sylibr 233 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (ran ๐น ร— ran ๐น) โŠ† dom โˆ™ )
12437, 123eqsstrrd 4021 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ต ร— ๐ต) โŠ† dom โˆ™ )
12534, 124eqssd 3999 . 2 (๐œ‘ โ†’ dom โˆ™ = (๐ต ร— ๐ต))
126 df-fn 6546 . 2 ( โˆ™ Fn (๐ต ร— ๐ต) โ†” (Fun โˆ™ โˆง dom โˆ™ = (๐ต ร— ๐ต)))
12793, 125, 126sylanbrc 583 1 (๐œ‘ โ†’ โˆ™ Fn (๐ต ร— ๐ต))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   โˆง w3a 1087  โˆ€wal 1539   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  โˆƒ*wmo 2532   โ‰  wne 2940  โˆ€wral 3061  โˆƒwrex 3070  Vcvv 3474   โŠ† wss 3948  โˆ…c0 4322  {csn 4628  โŸจcop 4634  โˆช ciun 4997   class class class wbr 5148   ร— cxp 5674  dom cdm 5676  ran crn 5677  Rel wrel 5681  Fun wfun 6537   Fn wfn 6538  โŸถwf 6539  โ€“ontoโ†’wfo 6541  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7411
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-fo 6549  df-fv 6551
This theorem is referenced by:  imasaddvallem  17477  imasaddflem  17478  imasaddfn  17479  imasmulfn  17482
  Copyright terms: Public domain W3C validator