MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  imasaddfnlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem imasaddfnlem 17410
Description: The image structure operation is a function if the original operation is compatible with the function. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
imasaddf.f (๐œ‘ โ†’ ๐น:๐‘‰โ€“ontoโ†’๐ต)
imasaddf.e ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘‰) โˆง (๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ (((๐นโ€˜๐‘Ž) = (๐นโ€˜๐‘) โˆง (๐นโ€˜๐‘) = (๐นโ€˜๐‘ž)) โ†’ (๐นโ€˜(๐‘Ž ยท ๐‘)) = (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))))
imasaddflem.a (๐œ‘ โ†’ โˆ™ = โˆช ๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆช ๐‘ž โˆˆ ๐‘‰ {โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ, (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))โŸฉ})
Assertion
Ref Expression
imasaddfnlem (๐œ‘ โ†’ โˆ™ Fn (๐ต ร— ๐ต))
Distinct variable groups:   ๐‘ž,๐‘,๐ต   ๐‘Ž,๐‘,๐‘,๐‘ž,๐‘‰   ยท ,๐‘,๐‘ž   ๐น,๐‘Ž,๐‘,๐‘,๐‘ž   ๐œ‘,๐‘Ž,๐‘,๐‘,๐‘ž   โˆ™ ,๐‘Ž,๐‘,๐‘,๐‘ž
Allowed substitution hints:   ๐ต(๐‘Ž,๐‘)   ยท (๐‘Ž,๐‘)

Proof of Theorem imasaddfnlem
Dummy variables ๐‘ค ๐‘ฆ ๐‘ง ๐‘ฅ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 opex 5421 . . . . . . . . 9 โŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ โˆˆ V
2 fvex 6855 . . . . . . . . 9 (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž)) โˆˆ V
31, 2relsnop 5761 . . . . . . . 8 Rel {โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ, (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))โŸฉ}
43rgenw 3068 . . . . . . 7 โˆ€๐‘ž โˆˆ ๐‘‰ Rel {โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ, (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))โŸฉ}
5 reliun 5772 . . . . . . 7 (Rel โˆช ๐‘ž โˆˆ ๐‘‰ {โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ, (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))โŸฉ} โ†” โˆ€๐‘ž โˆˆ ๐‘‰ Rel {โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ, (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))โŸฉ})
64, 5mpbir 230 . . . . . 6 Rel โˆช ๐‘ž โˆˆ ๐‘‰ {โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ, (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))โŸฉ}
76rgenw 3068 . . . . 5 โˆ€๐‘ โˆˆ ๐‘‰ Rel โˆช ๐‘ž โˆˆ ๐‘‰ {โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ, (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))โŸฉ}
8 reliun 5772 . . . . 5 (Rel โˆช ๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆช ๐‘ž โˆˆ ๐‘‰ {โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ, (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))โŸฉ} โ†” โˆ€๐‘ โˆˆ ๐‘‰ Rel โˆช ๐‘ž โˆˆ ๐‘‰ {โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ, (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))โŸฉ})
97, 8mpbir 230 . . . 4 Rel โˆช ๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆช ๐‘ž โˆˆ ๐‘‰ {โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ, (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))โŸฉ}
10 imasaddflem.a . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ โˆ™ = โˆช ๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆช ๐‘ž โˆˆ ๐‘‰ {โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ, (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))โŸฉ})
1110releqd 5734 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (Rel โˆ™ โ†” Rel โˆช ๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆช ๐‘ž โˆˆ ๐‘‰ {โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ, (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))โŸฉ}))
129, 11mpbiri 257 . . 3 (๐œ‘ โ†’ Rel โˆ™ )
13 imasaddf.f . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ ๐น:๐‘‰โ€“ontoโ†’๐ต)
14 fof 6756 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐น:๐‘‰โ€“ontoโ†’๐ต โ†’ ๐น:๐‘‰โŸถ๐ต)
1513, 14syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ๐น:๐‘‰โŸถ๐ต)
16 ffvelcdm 7032 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐น:๐‘‰โŸถ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘‰) โ†’ (๐นโ€˜๐‘) โˆˆ ๐ต)
17 ffvelcdm 7032 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐น:๐‘‰โŸถ๐ต โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘‰) โ†’ (๐นโ€˜๐‘ž) โˆˆ ๐ต)
1816, 17anim12dan 619 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐น:๐‘‰โŸถ๐ต โˆง (๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘) โˆˆ ๐ต โˆง (๐นโ€˜๐‘ž) โˆˆ ๐ต))
1915, 18sylan 580 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘) โˆˆ ๐ต โˆง (๐นโ€˜๐‘ž) โˆˆ ๐ต))
20 opelxpi 5670 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐นโ€˜๐‘) โˆˆ ๐ต โˆง (๐นโ€˜๐‘ž) โˆˆ ๐ต) โ†’ โŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ โˆˆ (๐ต ร— ๐ต))
2119, 20syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ โŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ โˆˆ (๐ต ร— ๐ต))
22 opelxpi 5670 . . . . . . . . . . . . 13 ((โŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ โˆˆ (๐ต ร— ๐ต) โˆง (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž)) โˆˆ V) โ†’ โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ, (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))โŸฉ โˆˆ ((๐ต ร— ๐ต) ร— V))
2321, 2, 22sylancl 586 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ, (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))โŸฉ โˆˆ ((๐ต ร— ๐ต) ร— V))
2423snssd 4769 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ {โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ, (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))โŸฉ} โŠ† ((๐ต ร— ๐ต) ร— V))
2524anassrs 468 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘‰) โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘‰) โ†’ {โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ, (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))โŸฉ} โŠ† ((๐ต ร— ๐ต) ร— V))
2625iunssd 5010 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘‰) โ†’ โˆช ๐‘ž โˆˆ ๐‘‰ {โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ, (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))โŸฉ} โŠ† ((๐ต ร— ๐ต) ร— V))
2726iunssd 5010 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ โˆช ๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆช ๐‘ž โˆˆ ๐‘‰ {โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ, (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))โŸฉ} โŠ† ((๐ต ร— ๐ต) ร— V))
2810, 27eqsstrd 3982 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ โˆ™ โŠ† ((๐ต ร— ๐ต) ร— V))
29 dmss 5858 . . . . . . 7 ( โˆ™ โŠ† ((๐ต ร— ๐ต) ร— V) โ†’ dom โˆ™ โŠ† dom ((๐ต ร— ๐ต) ร— V))
3028, 29syl 17 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ dom โˆ™ โŠ† dom ((๐ต ร— ๐ต) ร— V))
31 vn0 4298 . . . . . . 7 V โ‰  โˆ…
32 dmxp 5884 . . . . . . 7 (V โ‰  โˆ… โ†’ dom ((๐ต ร— ๐ต) ร— V) = (๐ต ร— ๐ต))
3331, 32ax-mp 5 . . . . . 6 dom ((๐ต ร— ๐ต) ร— V) = (๐ต ร— ๐ต)
3430, 33sseqtrdi 3994 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ dom โˆ™ โŠ† (๐ต ร— ๐ต))
35 forn 6759 . . . . . . 7 (๐น:๐‘‰โ€“ontoโ†’๐ต โ†’ ran ๐น = ๐ต)
3613, 35syl 17 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ran ๐น = ๐ต)
3736sqxpeqd 5665 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (ran ๐น ร— ran ๐น) = (๐ต ร— ๐ต))
3834, 37sseqtrrd 3985 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ dom โˆ™ โŠ† (ran ๐น ร— ran ๐น))
3910eleq2d 2823 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘Ž), (๐นโ€˜๐‘)โŸฉ, ๐‘คโŸฉ โˆˆ โˆ™ โ†” โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘Ž), (๐นโ€˜๐‘)โŸฉ, ๐‘คโŸฉ โˆˆ โˆช ๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆช ๐‘ž โˆˆ ๐‘‰ {โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ, (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))โŸฉ}))
4039adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ (โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘Ž), (๐นโ€˜๐‘)โŸฉ, ๐‘คโŸฉ โˆˆ โˆ™ โ†” โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘Ž), (๐นโ€˜๐‘)โŸฉ, ๐‘คโŸฉ โˆˆ โˆช ๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆช ๐‘ž โˆˆ ๐‘‰ {โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ, (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))โŸฉ}))
41 df-br 5106 . . . . . . . . . . . 12 (โŸจ(๐นโ€˜๐‘Ž), (๐นโ€˜๐‘)โŸฉ โˆ™ ๐‘ค โ†” โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘Ž), (๐นโ€˜๐‘)โŸฉ, ๐‘คโŸฉ โˆˆ โˆ™ )
42 eliun 4958 . . . . . . . . . . . . 13 (โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘Ž), (๐นโ€˜๐‘)โŸฉ, ๐‘คโŸฉ โˆˆ โˆช ๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆช ๐‘ž โˆˆ ๐‘‰ {โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ, (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))โŸฉ} โ†” โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘Ž), (๐นโ€˜๐‘)โŸฉ, ๐‘คโŸฉ โˆˆ โˆช ๐‘ž โˆˆ ๐‘‰ {โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ, (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))โŸฉ})
43 eliun 4958 . . . . . . . . . . . . . 14 (โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘Ž), (๐นโ€˜๐‘)โŸฉ, ๐‘คโŸฉ โˆˆ โˆช ๐‘ž โˆˆ ๐‘‰ {โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ, (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))โŸฉ} โ†” โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐‘‰ โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘Ž), (๐นโ€˜๐‘)โŸฉ, ๐‘คโŸฉ โˆˆ {โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ, (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))โŸฉ})
4443rexbii 3097 . . . . . . . . . . . . 13 (โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘Ž), (๐นโ€˜๐‘)โŸฉ, ๐‘คโŸฉ โˆˆ โˆช ๐‘ž โˆˆ ๐‘‰ {โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ, (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))โŸฉ} โ†” โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐‘‰ โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘Ž), (๐นโ€˜๐‘)โŸฉ, ๐‘คโŸฉ โˆˆ {โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ, (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))โŸฉ})
4542, 44bitr2i 275 . . . . . . . . . . . 12 (โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐‘‰ โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘Ž), (๐นโ€˜๐‘)โŸฉ, ๐‘คโŸฉ โˆˆ {โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ, (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))โŸฉ} โ†” โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘Ž), (๐นโ€˜๐‘)โŸฉ, ๐‘คโŸฉ โˆˆ โˆช ๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆช ๐‘ž โˆˆ ๐‘‰ {โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ, (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))โŸฉ})
4640, 41, 453bitr4g 313 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ (โŸจ(๐นโ€˜๐‘Ž), (๐นโ€˜๐‘)โŸฉ โˆ™ ๐‘ค โ†” โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐‘‰ โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘Ž), (๐นโ€˜๐‘)โŸฉ, ๐‘คโŸฉ โˆˆ {โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ, (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))โŸฉ}))
47 opex 5421 . . . . . . . . . . . . . . 15 โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘Ž), (๐นโ€˜๐‘)โŸฉ, ๐‘คโŸฉ โˆˆ V
4847elsn 4601 . . . . . . . . . . . . . 14 (โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘Ž), (๐นโ€˜๐‘)โŸฉ, ๐‘คโŸฉ โˆˆ {โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ, (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))โŸฉ} โ†” โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘Ž), (๐นโ€˜๐‘)โŸฉ, ๐‘คโŸฉ = โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ, (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))โŸฉ)
49 opex 5421 . . . . . . . . . . . . . . . 16 โŸจ(๐นโ€˜๐‘Ž), (๐นโ€˜๐‘)โŸฉ โˆˆ V
50 vex 3449 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ๐‘ค โˆˆ V
5149, 50opth 5433 . . . . . . . . . . . . . . 15 (โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘Ž), (๐นโ€˜๐‘)โŸฉ, ๐‘คโŸฉ = โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ, (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))โŸฉ โ†” (โŸจ(๐นโ€˜๐‘Ž), (๐นโ€˜๐‘)โŸฉ = โŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ โˆง ๐‘ค = (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))))
52 fvex 6855 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐นโ€˜๐‘Ž) โˆˆ V
53 fvex 6855 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐นโ€˜๐‘) โˆˆ V
5452, 53opth 5433 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (โŸจ(๐นโ€˜๐‘Ž), (๐นโ€˜๐‘)โŸฉ = โŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ โ†” ((๐นโ€˜๐‘Ž) = (๐นโ€˜๐‘) โˆง (๐นโ€˜๐‘) = (๐นโ€˜๐‘ž)))
55 imasaddf.e . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘‰) โˆง (๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ (((๐นโ€˜๐‘Ž) = (๐นโ€˜๐‘) โˆง (๐นโ€˜๐‘) = (๐นโ€˜๐‘ž)) โ†’ (๐นโ€˜(๐‘Ž ยท ๐‘)) = (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))))
5654, 55biimtrid 241 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘‰) โˆง (๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ (โŸจ(๐นโ€˜๐‘Ž), (๐นโ€˜๐‘)โŸฉ = โŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ โ†’ (๐นโ€˜(๐‘Ž ยท ๐‘)) = (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))))
57 eqeq2 2748 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐นโ€˜(๐‘Ž ยท ๐‘)) = (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž)) โ†’ (๐‘ค = (๐นโ€˜(๐‘Ž ยท ๐‘)) โ†” ๐‘ค = (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))))
5857biimprd 247 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐นโ€˜(๐‘Ž ยท ๐‘)) = (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž)) โ†’ (๐‘ค = (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž)) โ†’ ๐‘ค = (๐นโ€˜(๐‘Ž ยท ๐‘))))
5956, 58syl6 35 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘‰) โˆง (๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ (โŸจ(๐นโ€˜๐‘Ž), (๐นโ€˜๐‘)โŸฉ = โŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ โ†’ (๐‘ค = (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž)) โ†’ ๐‘ค = (๐นโ€˜(๐‘Ž ยท ๐‘)))))
6059impd 411 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘‰) โˆง (๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ ((โŸจ(๐นโ€˜๐‘Ž), (๐นโ€˜๐‘)โŸฉ = โŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ โˆง ๐‘ค = (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))) โ†’ ๐‘ค = (๐นโ€˜(๐‘Ž ยท ๐‘))))
6151, 60biimtrid 241 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘‰) โˆง (๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ (โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘Ž), (๐นโ€˜๐‘)โŸฉ, ๐‘คโŸฉ = โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ, (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))โŸฉ โ†’ ๐‘ค = (๐นโ€˜(๐‘Ž ยท ๐‘))))
6248, 61biimtrid 241 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘‰) โˆง (๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ (โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘Ž), (๐นโ€˜๐‘)โŸฉ, ๐‘คโŸฉ โˆˆ {โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ, (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))โŸฉ} โ†’ ๐‘ค = (๐นโ€˜(๐‘Ž ยท ๐‘))))
63623expa 1118 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘‰)) โˆง (๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ (โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘Ž), (๐นโ€˜๐‘)โŸฉ, ๐‘คโŸฉ โˆˆ {โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ, (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))โŸฉ} โ†’ ๐‘ค = (๐นโ€˜(๐‘Ž ยท ๐‘))))
6463rexlimdvva 3205 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ (โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐‘‰ โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘Ž), (๐นโ€˜๐‘)โŸฉ, ๐‘คโŸฉ โˆˆ {โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ, (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))โŸฉ} โ†’ ๐‘ค = (๐นโ€˜(๐‘Ž ยท ๐‘))))
6546, 64sylbid 239 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ (โŸจ(๐นโ€˜๐‘Ž), (๐นโ€˜๐‘)โŸฉ โˆ™ ๐‘ค โ†’ ๐‘ค = (๐นโ€˜(๐‘Ž ยท ๐‘))))
6665alrimiv 1930 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ โˆ€๐‘ค(โŸจ(๐นโ€˜๐‘Ž), (๐นโ€˜๐‘)โŸฉ โˆ™ ๐‘ค โ†’ ๐‘ค = (๐นโ€˜(๐‘Ž ยท ๐‘))))
67 mo2icl 3672 . . . . . . . . 9 (โˆ€๐‘ค(โŸจ(๐นโ€˜๐‘Ž), (๐นโ€˜๐‘)โŸฉ โˆ™ ๐‘ค โ†’ ๐‘ค = (๐นโ€˜(๐‘Ž ยท ๐‘))) โ†’ โˆƒ*๐‘คโŸจ(๐นโ€˜๐‘Ž), (๐นโ€˜๐‘)โŸฉ โˆ™ ๐‘ค)
6866, 67syl 17 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ โˆƒ*๐‘คโŸจ(๐นโ€˜๐‘Ž), (๐นโ€˜๐‘)โŸฉ โˆ™ ๐‘ค)
6968ralrimivva 3197 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘Ž โˆˆ ๐‘‰ โˆ€๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆƒ*๐‘คโŸจ(๐นโ€˜๐‘Ž), (๐นโ€˜๐‘)โŸฉ โˆ™ ๐‘ค)
70 fofn 6758 . . . . . . . . . 10 (๐น:๐‘‰โ€“ontoโ†’๐ต โ†’ ๐น Fn ๐‘‰)
7113, 70syl 17 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐น Fn ๐‘‰)
72 opeq2 4831 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ง = (๐นโ€˜๐‘) โ†’ โŸจ(๐นโ€˜๐‘Ž), ๐‘งโŸฉ = โŸจ(๐นโ€˜๐‘Ž), (๐นโ€˜๐‘)โŸฉ)
7372breq1d 5115 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ง = (๐นโ€˜๐‘) โ†’ (โŸจ(๐นโ€˜๐‘Ž), ๐‘งโŸฉ โˆ™ ๐‘ค โ†” โŸจ(๐นโ€˜๐‘Ž), (๐นโ€˜๐‘)โŸฉ โˆ™ ๐‘ค))
7473mobidv 2547 . . . . . . . . . 10 (๐‘ง = (๐นโ€˜๐‘) โ†’ (โˆƒ*๐‘คโŸจ(๐นโ€˜๐‘Ž), ๐‘งโŸฉ โˆ™ ๐‘ค โ†” โˆƒ*๐‘คโŸจ(๐นโ€˜๐‘Ž), (๐นโ€˜๐‘)โŸฉ โˆ™ ๐‘ค))
7574ralrn 7038 . . . . . . . . 9 (๐น Fn ๐‘‰ โ†’ (โˆ€๐‘ง โˆˆ ran ๐นโˆƒ*๐‘คโŸจ(๐นโ€˜๐‘Ž), ๐‘งโŸฉ โˆ™ ๐‘ค โ†” โˆ€๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆƒ*๐‘คโŸจ(๐นโ€˜๐‘Ž), (๐นโ€˜๐‘)โŸฉ โˆ™ ๐‘ค))
7671, 75syl 17 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (โˆ€๐‘ง โˆˆ ran ๐นโˆƒ*๐‘คโŸจ(๐นโ€˜๐‘Ž), ๐‘งโŸฉ โˆ™ ๐‘ค โ†” โˆ€๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆƒ*๐‘คโŸจ(๐นโ€˜๐‘Ž), (๐นโ€˜๐‘)โŸฉ โˆ™ ๐‘ค))
7776ralbidv 3174 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (โˆ€๐‘Ž โˆˆ ๐‘‰ โˆ€๐‘ง โˆˆ ran ๐นโˆƒ*๐‘คโŸจ(๐นโ€˜๐‘Ž), ๐‘งโŸฉ โˆ™ ๐‘ค โ†” โˆ€๐‘Ž โˆˆ ๐‘‰ โˆ€๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆƒ*๐‘คโŸจ(๐นโ€˜๐‘Ž), (๐นโ€˜๐‘)โŸฉ โˆ™ ๐‘ค))
7869, 77mpbird 256 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘Ž โˆˆ ๐‘‰ โˆ€๐‘ง โˆˆ ran ๐นโˆƒ*๐‘คโŸจ(๐นโ€˜๐‘Ž), ๐‘งโŸฉ โˆ™ ๐‘ค)
79 opeq1 4830 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฆ = (๐นโ€˜๐‘Ž) โ†’ โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ = โŸจ(๐นโ€˜๐‘Ž), ๐‘งโŸฉ)
8079breq1d 5115 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฆ = (๐นโ€˜๐‘Ž) โ†’ (โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โˆ™ ๐‘ค โ†” โŸจ(๐นโ€˜๐‘Ž), ๐‘งโŸฉ โˆ™ ๐‘ค))
8180mobidv 2547 . . . . . . . . 9 (๐‘ฆ = (๐นโ€˜๐‘Ž) โ†’ (โˆƒ*๐‘คโŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โˆ™ ๐‘ค โ†” โˆƒ*๐‘คโŸจ(๐นโ€˜๐‘Ž), ๐‘งโŸฉ โˆ™ ๐‘ค))
8281ralbidv 3174 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ = (๐นโ€˜๐‘Ž) โ†’ (โˆ€๐‘ง โˆˆ ran ๐นโˆƒ*๐‘คโŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โˆ™ ๐‘ค โ†” โˆ€๐‘ง โˆˆ ran ๐นโˆƒ*๐‘คโŸจ(๐นโ€˜๐‘Ž), ๐‘งโŸฉ โˆ™ ๐‘ค))
8382ralrn 7038 . . . . . . 7 (๐น Fn ๐‘‰ โ†’ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ran ๐นโˆ€๐‘ง โˆˆ ran ๐นโˆƒ*๐‘คโŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โˆ™ ๐‘ค โ†” โˆ€๐‘Ž โˆˆ ๐‘‰ โˆ€๐‘ง โˆˆ ran ๐นโˆƒ*๐‘คโŸจ(๐นโ€˜๐‘Ž), ๐‘งโŸฉ โˆ™ ๐‘ค))
8471, 83syl 17 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ran ๐นโˆ€๐‘ง โˆˆ ran ๐นโˆƒ*๐‘คโŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โˆ™ ๐‘ค โ†” โˆ€๐‘Ž โˆˆ ๐‘‰ โˆ€๐‘ง โˆˆ ran ๐นโˆƒ*๐‘คโŸจ(๐นโ€˜๐‘Ž), ๐‘งโŸฉ โˆ™ ๐‘ค))
8578, 84mpbird 256 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ran ๐นโˆ€๐‘ง โˆˆ ran ๐นโˆƒ*๐‘คโŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โˆ™ ๐‘ค)
86 breq1 5108 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โ†’ (๐‘ฅ โˆ™ ๐‘ค โ†” โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โˆ™ ๐‘ค))
8786mobidv 2547 . . . . . 6 (๐‘ฅ = โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โ†’ (โˆƒ*๐‘ค ๐‘ฅ โˆ™ ๐‘ค โ†” โˆƒ*๐‘คโŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โˆ™ ๐‘ค))
8887ralxp 5797 . . . . 5 (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (ran ๐น ร— ran ๐น)โˆƒ*๐‘ค ๐‘ฅ โˆ™ ๐‘ค โ†” โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ran ๐นโˆ€๐‘ง โˆˆ ran ๐นโˆƒ*๐‘คโŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โˆ™ ๐‘ค)
8985, 88sylibr 233 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (ran ๐น ร— ran ๐น)โˆƒ*๐‘ค ๐‘ฅ โˆ™ ๐‘ค)
90 ssralv 4010 . . . 4 (dom โˆ™ โŠ† (ran ๐น ร— ran ๐น) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (ran ๐น ร— ran ๐น)โˆƒ*๐‘ค ๐‘ฅ โˆ™ ๐‘ค โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ dom โˆ™ โˆƒ*๐‘ค ๐‘ฅ โˆ™ ๐‘ค))
9138, 89, 90sylc 65 . . 3 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ dom โˆ™ โˆƒ*๐‘ค ๐‘ฅ โˆ™ ๐‘ค)
92 dffun7 6528 . . 3 (Fun โˆ™ โ†” (Rel โˆ™ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ dom โˆ™ โˆƒ*๐‘ค ๐‘ฅ โˆ™ ๐‘ค))
9312, 91, 92sylanbrc 583 . 2 (๐œ‘ โ†’ Fun โˆ™ )
94 eqimss2 4001 . . . . . . . . . . 11 ( โˆ™ = โˆช ๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆช ๐‘ž โˆˆ ๐‘‰ {โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ, (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))โŸฉ} โ†’ โˆช ๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆช ๐‘ž โˆˆ ๐‘‰ {โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ, (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))โŸฉ} โŠ† โˆ™ )
9510, 94syl 17 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ โˆช ๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆช ๐‘ž โˆˆ ๐‘‰ {โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ, (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))โŸฉ} โŠ† โˆ™ )
96 iunss 5005 . . . . . . . . . 10 (โˆช ๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆช ๐‘ž โˆˆ ๐‘‰ {โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ, (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))โŸฉ} โŠ† โˆ™ โ†” โˆ€๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆช ๐‘ž โˆˆ ๐‘‰ {โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ, (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))โŸฉ} โŠ† โˆ™ )
9795, 96sylib 217 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆช ๐‘ž โˆˆ ๐‘‰ {โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ, (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))โŸฉ} โŠ† โˆ™ )
98 iunss 5005 . . . . . . . . . . 11 (โˆช ๐‘ž โˆˆ ๐‘‰ {โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ, (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))โŸฉ} โŠ† โˆ™ โ†” โˆ€๐‘ž โˆˆ ๐‘‰ {โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ, (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))โŸฉ} โŠ† โˆ™ )
99 opex 5421 . . . . . . . . . . . . . 14 โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ, (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))โŸฉ โˆˆ V
10099snss 4746 . . . . . . . . . . . . 13 (โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ, (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))โŸฉ โˆˆ โˆ™ โ†” {โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ, (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))โŸฉ} โŠ† โˆ™ )
1011, 2opeldm 5863 . . . . . . . . . . . . 13 (โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ, (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))โŸฉ โˆˆ โˆ™ โ†’ โŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ โˆˆ dom โˆ™ )
102100, 101sylbir 234 . . . . . . . . . . . 12 ({โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ, (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))โŸฉ} โŠ† โˆ™ โ†’ โŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ โˆˆ dom โˆ™ )
103102ralimi 3086 . . . . . . . . . . 11 (โˆ€๐‘ž โˆˆ ๐‘‰ {โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ, (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))โŸฉ} โŠ† โˆ™ โ†’ โˆ€๐‘ž โˆˆ ๐‘‰ โŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ โˆˆ dom โˆ™ )
10498, 103sylbi 216 . . . . . . . . . 10 (โˆช ๐‘ž โˆˆ ๐‘‰ {โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ, (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))โŸฉ} โŠ† โˆ™ โ†’ โˆ€๐‘ž โˆˆ ๐‘‰ โŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ โˆˆ dom โˆ™ )
105104ralimi 3086 . . . . . . . . 9 (โˆ€๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆช ๐‘ž โˆˆ ๐‘‰ {โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ, (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))โŸฉ} โŠ† โˆ™ โ†’ โˆ€๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆ€๐‘ž โˆˆ ๐‘‰ โŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ โˆˆ dom โˆ™ )
10697, 105syl 17 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆ€๐‘ž โˆˆ ๐‘‰ โŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ โˆˆ dom โˆ™ )
107 opeq2 4831 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ง = (๐นโ€˜๐‘ž) โ†’ โŸจ(๐นโ€˜๐‘), ๐‘งโŸฉ = โŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ)
108107eleq1d 2822 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ง = (๐นโ€˜๐‘ž) โ†’ (โŸจ(๐นโ€˜๐‘), ๐‘งโŸฉ โˆˆ dom โˆ™ โ†” โŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ โˆˆ dom โˆ™ ))
109108ralrn 7038 . . . . . . . . . 10 (๐น Fn ๐‘‰ โ†’ (โˆ€๐‘ง โˆˆ ran ๐นโŸจ(๐นโ€˜๐‘), ๐‘งโŸฉ โˆˆ dom โˆ™ โ†” โˆ€๐‘ž โˆˆ ๐‘‰ โŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ โˆˆ dom โˆ™ ))
11071, 109syl 17 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (โˆ€๐‘ง โˆˆ ran ๐นโŸจ(๐นโ€˜๐‘), ๐‘งโŸฉ โˆˆ dom โˆ™ โ†” โˆ€๐‘ž โˆˆ ๐‘‰ โŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ โˆˆ dom โˆ™ ))
111110ralbidv 3174 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (โˆ€๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆ€๐‘ง โˆˆ ran ๐นโŸจ(๐นโ€˜๐‘), ๐‘งโŸฉ โˆˆ dom โˆ™ โ†” โˆ€๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆ€๐‘ž โˆˆ ๐‘‰ โŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ โˆˆ dom โˆ™ ))
112106, 111mpbird 256 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆ€๐‘ง โˆˆ ran ๐นโŸจ(๐นโ€˜๐‘), ๐‘งโŸฉ โˆˆ dom โˆ™ )
113 opeq1 4830 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฆ = (๐นโ€˜๐‘) โ†’ โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ = โŸจ(๐นโ€˜๐‘), ๐‘งโŸฉ)
114113eleq1d 2822 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฆ = (๐นโ€˜๐‘) โ†’ (โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โˆˆ dom โˆ™ โ†” โŸจ(๐นโ€˜๐‘), ๐‘งโŸฉ โˆˆ dom โˆ™ ))
115114ralbidv 3174 . . . . . . . . 9 (๐‘ฆ = (๐นโ€˜๐‘) โ†’ (โˆ€๐‘ง โˆˆ ran ๐นโŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โˆˆ dom โˆ™ โ†” โˆ€๐‘ง โˆˆ ran ๐นโŸจ(๐นโ€˜๐‘), ๐‘งโŸฉ โˆˆ dom โˆ™ ))
116115ralrn 7038 . . . . . . . 8 (๐น Fn ๐‘‰ โ†’ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ran ๐นโˆ€๐‘ง โˆˆ ran ๐นโŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โˆˆ dom โˆ™ โ†” โˆ€๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆ€๐‘ง โˆˆ ran ๐นโŸจ(๐นโ€˜๐‘), ๐‘งโŸฉ โˆˆ dom โˆ™ ))
11771, 116syl 17 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ran ๐นโˆ€๐‘ง โˆˆ ran ๐นโŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โˆˆ dom โˆ™ โ†” โˆ€๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆ€๐‘ง โˆˆ ran ๐นโŸจ(๐นโ€˜๐‘), ๐‘งโŸฉ โˆˆ dom โˆ™ ))
118112, 117mpbird 256 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ran ๐นโˆ€๐‘ง โˆˆ ran ๐นโŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โˆˆ dom โˆ™ )
119 eleq1 2825 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ dom โˆ™ โ†” โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โˆˆ dom โˆ™ ))
120119ralxp 5797 . . . . . 6 (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (ran ๐น ร— ran ๐น)๐‘ฅ โˆˆ dom โˆ™ โ†” โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ran ๐นโˆ€๐‘ง โˆˆ ran ๐นโŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โˆˆ dom โˆ™ )
121118, 120sylibr 233 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (ran ๐น ร— ran ๐น)๐‘ฅ โˆˆ dom โˆ™ )
122 dfss3 3932 . . . . 5 ((ran ๐น ร— ran ๐น) โŠ† dom โˆ™ โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (ran ๐น ร— ran ๐น)๐‘ฅ โˆˆ dom โˆ™ )
123121, 122sylibr 233 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (ran ๐น ร— ran ๐น) โŠ† dom โˆ™ )
12437, 123eqsstrrd 3983 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ต ร— ๐ต) โŠ† dom โˆ™ )
12534, 124eqssd 3961 . 2 (๐œ‘ โ†’ dom โˆ™ = (๐ต ร— ๐ต))
126 df-fn 6499 . 2 ( โˆ™ Fn (๐ต ร— ๐ต) โ†” (Fun โˆ™ โˆง dom โˆ™ = (๐ต ร— ๐ต)))
12793, 125, 126sylanbrc 583 1 (๐œ‘ โ†’ โˆ™ Fn (๐ต ร— ๐ต))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   โˆง w3a 1087  โˆ€wal 1539   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  โˆƒ*wmo 2536   โ‰  wne 2943  โˆ€wral 3064  โˆƒwrex 3073  Vcvv 3445   โŠ† wss 3910  โˆ…c0 4282  {csn 4586  โŸจcop 4592  โˆช ciun 4954   class class class wbr 5105   ร— cxp 5631  dom cdm 5633  ran crn 5634  Rel wrel 5638  Fun wfun 6490   Fn wfn 6491  โŸถwf 6492  โ€“ontoโ†’wfo 6494  โ€˜cfv 6496  (class class class)co 7357
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pr 5384
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-id 5531  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-fo 6502  df-fv 6504
This theorem is referenced by:  imasaddvallem  17411  imasaddflem  17412  imasaddfn  17413  imasmulfn  17416
  Copyright terms: Public domain W3C validator