MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dv11cn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dv11cn 25878
Description: Two functions defined on a ball whose derivatives are the same and which are equal at any given point 𝐢 in the ball must be equal everywhere. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dv11cn.x 𝑋 = (𝐴(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑅)
dv11cn.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
dv11cn.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ℝ*)
dv11cn.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚)
dv11cn.g (πœ‘ β†’ 𝐺:π‘‹βŸΆβ„‚)
dv11cn.d (πœ‘ β†’ dom (β„‚ D 𝐹) = 𝑋)
dv11cn.e (πœ‘ β†’ (β„‚ D 𝐹) = (β„‚ D 𝐺))
dv11cn.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑋)
dv11cn.p (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜πΆ) = (πΊβ€˜πΆ))
Assertion
Ref Expression
dv11cn (πœ‘ β†’ 𝐹 = 𝐺)

Proof of Theorem dv11cn
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dv11cn.f . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚)
21ffnd 6709 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 Fn 𝑋)
3 dv11cn.g . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐺:π‘‹βŸΆβ„‚)
43ffnd 6709 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 Fn 𝑋)
5 dv11cn.x . . . . . 6 𝑋 = (𝐴(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑅)
65ovexi 7436 . . . . 5 𝑋 ∈ V
76a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ V)
8 inidm 4211 . . . 4 (𝑋 ∩ 𝑋) = 𝑋
92, 4, 7, 7, 8offn 7677 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺) Fn 𝑋)
10 0cn 11205 . . . 4 0 ∈ β„‚
11 fnconstg 6770 . . . 4 (0 ∈ β„‚ β†’ (𝑋 Γ— {0}) Fn 𝑋)
1210, 11mp1i 13 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑋 Γ— {0}) Fn 𝑋)
13 subcl 11458 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (π‘₯ βˆ’ 𝑦) ∈ β„‚)
1413adantl 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚)) β†’ (π‘₯ βˆ’ 𝑦) ∈ β„‚)
1514, 1, 3, 7, 7, 8off 7682 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺):π‘‹βŸΆβ„‚)
1615ffvelcdmda 7077 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ((𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺)β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
17 dv11cn.c . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑋)
1817anim1ci 615 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋))
19 cnxmet 24633 . . . . . . . . . . 11 (abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚)
20 dv11cn.a . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
21 dv11cn.r . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ℝ*)
22 blssm 24268 . . . . . . . . . . 11 (((abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚) ∧ 𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ (𝐴(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑅) βŠ† β„‚)
2319, 20, 21, 22mp3an2i 1462 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐴(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑅) βŠ† β„‚)
245, 23eqsstrid 4023 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† β„‚)
251ffvelcdmda 7077 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
263ffvelcdmda 7077 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
271feqmptd 6951 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (πΉβ€˜π‘₯)))
283feqmptd 6951 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))
297, 25, 26, 27, 28offval2 7684 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))))
3029oveq2d 7418 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (β„‚ D (𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺)) = (β„‚ D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯)))))
31 cnelprrecn 11200 . . . . . . . . . . . . . . 15 β„‚ ∈ {ℝ, β„‚}
3231a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ β„‚ ∈ {ℝ, β„‚})
33 fvexd 6897 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ((β„‚ D 𝐹)β€˜π‘₯) ∈ V)
3427oveq2d 7418 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (β„‚ D 𝐹) = (β„‚ D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (πΉβ€˜π‘₯))))
35 dvfcn 25781 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (β„‚ D 𝐹):dom (β„‚ D 𝐹)βŸΆβ„‚
36 dv11cn.d . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ dom (β„‚ D 𝐹) = 𝑋)
3736feq2d 6694 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ ((β„‚ D 𝐹):dom (β„‚ D 𝐹)βŸΆβ„‚ ↔ (β„‚ D 𝐹):π‘‹βŸΆβ„‚))
3835, 37mpbii 232 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (β„‚ D 𝐹):π‘‹βŸΆβ„‚)
3938feqmptd 6951 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (β„‚ D 𝐹) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((β„‚ D 𝐹)β€˜π‘₯)))
4034, 39eqtr3d 2766 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (β„‚ D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (πΉβ€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((β„‚ D 𝐹)β€˜π‘₯)))
41 dv11cn.e . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (β„‚ D 𝐹) = (β„‚ D 𝐺))
4228oveq2d 7418 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (β„‚ D 𝐺) = (β„‚ D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (πΊβ€˜π‘₯))))
4341, 39, 423eqtr3rd 2773 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (β„‚ D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (πΊβ€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((β„‚ D 𝐹)β€˜π‘₯)))
4432, 25, 33, 40, 26, 33, 43dvmptsub 25843 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (β„‚ D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯)))) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (((β„‚ D 𝐹)β€˜π‘₯) βˆ’ ((β„‚ D 𝐹)β€˜π‘₯))))
4538ffvelcdmda 7077 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ((β„‚ D 𝐹)β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
4645subidd 11558 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (((β„‚ D 𝐹)β€˜π‘₯) βˆ’ ((β„‚ D 𝐹)β€˜π‘₯)) = 0)
4746mpteq2dva 5239 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (((β„‚ D 𝐹)β€˜π‘₯) βˆ’ ((β„‚ D 𝐹)β€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 0))
48 fconstmpt 5729 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑋 Γ— {0}) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 0)
4947, 48eqtr4di 2782 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (((β„‚ D 𝐹)β€˜π‘₯) βˆ’ ((β„‚ D 𝐹)β€˜π‘₯))) = (𝑋 Γ— {0}))
5030, 44, 493eqtrd 2768 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (β„‚ D (𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺)) = (𝑋 Γ— {0}))
5150dmeqd 5896 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ dom (β„‚ D (𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺)) = dom (𝑋 Γ— {0}))
52 snnzg 4771 . . . . . . . . . . . 12 (0 ∈ β„‚ β†’ {0} β‰  βˆ…)
53 dmxp 5919 . . . . . . . . . . . 12 ({0} β‰  βˆ… β†’ dom (𝑋 Γ— {0}) = 𝑋)
5410, 52, 53mp2b 10 . . . . . . . . . . 11 dom (𝑋 Γ— {0}) = 𝑋
5551, 54eqtrdi 2780 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ dom (β„‚ D (𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺)) = 𝑋)
56 eqimss2 4034 . . . . . . . . . 10 (dom (β„‚ D (𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺)) = 𝑋 β†’ 𝑋 βŠ† dom (β„‚ D (𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺)))
5755, 56syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† dom (β„‚ D (𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺)))
58 0red 11216 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 0 ∈ ℝ)
5950fveq1d 6884 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((β„‚ D (𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺))β€˜π‘₯) = ((𝑋 Γ— {0})β€˜π‘₯))
60 c0ex 11207 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ V
6160fvconst2 7198 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ 𝑋 β†’ ((𝑋 Γ— {0})β€˜π‘₯) = 0)
6259, 61sylan9eq 2784 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ((β„‚ D (𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺))β€˜π‘₯) = 0)
6362abs00bd 15240 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (absβ€˜((β„‚ D (𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺))β€˜π‘₯)) = 0)
64 0le0 12312 . . . . . . . . . 10 0 ≀ 0
6563, 64eqbrtrdi 5178 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (absβ€˜((β„‚ D (𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺))β€˜π‘₯)) ≀ 0)
6624, 15, 20, 21, 5, 57, 58, 65dvlipcn 25871 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ (absβ€˜(((𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺)β€˜π‘₯) βˆ’ ((𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺)β€˜πΆ))) ≀ (0 Β· (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐢))))
6718, 66syldan 590 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (absβ€˜(((𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺)β€˜π‘₯) βˆ’ ((𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺)β€˜πΆ))) ≀ (0 Β· (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐢))))
6829fveq1d 6884 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺)β€˜πΆ) = ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯)))β€˜πΆ))
69 fveq2 6882 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ = 𝐢 β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜πΆ))
70 fveq2 6882 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ = 𝐢 β†’ (πΊβ€˜π‘₯) = (πΊβ€˜πΆ))
7169, 70oveq12d 7420 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ = 𝐢 β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯)) = ((πΉβ€˜πΆ) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)))
72 eqid 2724 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯)))
73 ovex 7435 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πΉβ€˜πΆ) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) ∈ V
7471, 72, 73fvmpt 6989 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐢 ∈ 𝑋 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯)))β€˜πΆ) = ((πΉβ€˜πΆ) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)))
7517, 74syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯)))β€˜πΆ) = ((πΉβ€˜πΆ) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)))
761, 17ffvelcdmd 7078 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜πΆ) ∈ β„‚)
77 dv11cn.p . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜πΆ) = (πΊβ€˜πΆ))
7876, 77subeq0bd 11639 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜πΆ) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) = 0)
7968, 75, 783eqtrd 2768 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺)β€˜πΆ) = 0)
8079adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ((𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺)β€˜πΆ) = 0)
8180oveq2d 7418 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (((𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺)β€˜π‘₯) βˆ’ ((𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺)β€˜πΆ)) = (((𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺)β€˜π‘₯) βˆ’ 0))
8216subid1d 11559 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (((𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺)β€˜π‘₯) βˆ’ 0) = ((𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺)β€˜π‘₯))
8381, 82eqtrd 2764 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (((𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺)β€˜π‘₯) βˆ’ ((𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺)β€˜πΆ)) = ((𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺)β€˜π‘₯))
8483fveq2d 6886 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (absβ€˜(((𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺)β€˜π‘₯) βˆ’ ((𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺)β€˜πΆ))) = (absβ€˜((𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺)β€˜π‘₯)))
8524sselda 3975 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
8624, 17sseldd 3976 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
8786adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
8885, 87subcld 11570 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯ βˆ’ 𝐢) ∈ β„‚)
8988abscld 15385 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐢)) ∈ ℝ)
9089recnd 11241 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐢)) ∈ β„‚)
9190mul02d 11411 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (0 Β· (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐢))) = 0)
9267, 84, 913brtr3d 5170 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (absβ€˜((𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺)β€˜π‘₯)) ≀ 0)
9316absge0d 15393 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 0 ≀ (absβ€˜((𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺)β€˜π‘₯)))
9416abscld 15385 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (absβ€˜((𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺)β€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
95 0re 11215 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ
96 letri3 11298 . . . . . . 7 (((absβ€˜((𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺)β€˜π‘₯)) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) β†’ ((absβ€˜((𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺)β€˜π‘₯)) = 0 ↔ ((absβ€˜((𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺)β€˜π‘₯)) ≀ 0 ∧ 0 ≀ (absβ€˜((𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺)β€˜π‘₯)))))
9794, 95, 96sylancl 585 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ((absβ€˜((𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺)β€˜π‘₯)) = 0 ↔ ((absβ€˜((𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺)β€˜π‘₯)) ≀ 0 ∧ 0 ≀ (absβ€˜((𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺)β€˜π‘₯)))))
9892, 93, 97mpbir2and 710 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (absβ€˜((𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺)β€˜π‘₯)) = 0)
9916, 98abs00d 15395 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ((𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺)β€˜π‘₯) = 0)
10061adantl 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ((𝑋 Γ— {0})β€˜π‘₯) = 0)
10199, 100eqtr4d 2767 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ((𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺)β€˜π‘₯) = ((𝑋 Γ— {0})β€˜π‘₯))
1029, 12, 101eqfnfvd 7026 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺) = (𝑋 Γ— {0}))
103 ofsubeq0 12208 . . 3 ((𝑋 ∈ V ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚ ∧ 𝐺:π‘‹βŸΆβ„‚) β†’ ((𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺) = (𝑋 Γ— {0}) ↔ 𝐹 = 𝐺))
1046, 1, 3, 103mp3an2i 1462 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺) = (𝑋 Γ— {0}) ↔ 𝐹 = 𝐺))
105102, 104mpbid 231 1 (πœ‘ β†’ 𝐹 = 𝐺)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2932  Vcvv 3466   βŠ† wss 3941  βˆ…c0 4315  {csn 4621  {cpr 4623   class class class wbr 5139   ↦ cmpt 5222   Γ— cxp 5665  dom cdm 5667   ∘ ccom 5671   Fn wfn 6529  βŸΆwf 6530  β€˜cfv 6534  (class class class)co 7402   ∘f cof 7662  β„‚cc 11105  β„cr 11106  0cc0 11107   Β· cmul 11112  β„*cxr 11246   ≀ cle 11248   βˆ’ cmin 11443  abscabs 15183  βˆžMetcxmet 21219  ballcbl 21221   D cdv 25736
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185  ax-addf 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-tp 4626  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-iin 4991  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-se 5623  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-isom 6543  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-of 7664  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-supp 8142  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8700  df-map 8819  df-pm 8820  df-ixp 8889  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-fsupp 9359  df-fi 9403  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9502  df-card 9931  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12976  df-xneg 13093  df-xadd 13094  df-xmul 13095  df-ioo 13329  df-ico 13331  df-icc 13332  df-fz 13486  df-fzo 13629  df-seq 13968  df-exp 14029  df-hash 14292  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-starv 17217  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-unif 17225  df-hom 17226  df-cco 17227  df-rest 17373  df-topn 17374  df-0g 17392  df-gsum 17393  df-topgen 17394  df-pt 17395  df-prds 17398  df-xrs 17453  df-qtop 17458  df-imas 17459  df-xps 17461  df-mre 17535  df-mrc 17536  df-acs 17538  df-mgm 18569  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-submnd 18710  df-mulg 18992  df-cntz 19229  df-cmn 19698  df-psmet 21226  df-xmet 21227  df-met 21228  df-bl 21229  df-mopn 21230  df-fbas 21231  df-fg 21232  df-cnfld 21235  df-top 22740  df-topon 22757  df-topsp 22779  df-bases 22793  df-cld 22867  df-ntr 22868  df-cls 22869  df-nei 22946  df-lp 22984  df-perf 22985  df-cn 23075  df-cnp 23076  df-haus 23163  df-cmp 23235  df-tx 23410  df-hmeo 23603  df-fil 23694  df-fm 23786  df-flim 23787  df-flf 23788  df-xms 24170  df-ms 24171  df-tms 24172  df-cncf 24742  df-limc 25739  df-dv 25740
This theorem is referenced by:  logtayl  26535  binomcxplemnotnn0  43665
  Copyright terms: Public domain W3C validator