Theorem dv11cn 24600

Description: Two functions defined on a ball whose derivatives are the same and which are equal at any given point 𝐶 in the ball must be equal everywhere. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dv11cn.x	⊢ 𝑋 = (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)
dv11cn.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
dv11cn.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ*)
dv11cn.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
dv11cn.g	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑋⟶ℂ)
dv11cn.d	⊢ (𝜑 → dom (ℂ D 𝐹) = 𝑋)
dv11cn.e	⊢ (𝜑 → (ℂ D 𝐹) = (ℂ D 𝐺))
dv11cn.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑋)
dv11cn.p	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐶) = (𝐺‘𝐶))

Assertion

Ref	Expression
dv11cn	⊢ (𝜑 → 𝐹 = 𝐺)

Proof of Theorem dv11cn

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dv11cn.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
2	1	ffnd 6517	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝑋)
3		dv11cn.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑋⟶ℂ)
4	3	ffnd 6517	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn 𝑋)
5		dv11cn.x	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)
6	5	ovexi 7192	. . . . 5 ⊢ 𝑋 ∈ V
7	6	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ V)
8		inidm 4197	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∩ 𝑋) = 𝑋
9	2, 4, 7, 7, 8	offn 7422	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f − 𝐺) Fn 𝑋)
10		0cn 10635	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℂ
11		fnconstg 6569	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℂ → (𝑋 × {0}) Fn 𝑋)
12	10, 11	mp1i 13	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 × {0}) Fn 𝑋)
13		subcl 10887	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 − 𝑦) ∈ ℂ)
14	13	adantl 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 − 𝑦) ∈ ℂ)
15	14, 1, 3, 7, 7, 8	off 7426	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f − 𝐺):𝑋⟶ℂ)
16	15	ffvelrnda 6853	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝐹 ∘f − 𝐺)‘𝑥) ∈ ℂ)
17		dv11cn.c	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑋)
18	17	anim1ci 617	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋))
19		cnxmet 23383	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
20		dv11cn.a	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
21		dv11cn.r	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ*)
22		blssm 23030	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑅) ⊆ ℂ)
23	19, 20, 21, 22	mp3an2i 1462	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑅) ⊆ ℂ)
24	5, 23	eqsstrid 4017	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ℂ)
25	1	ffvelrnda 6853	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
26	3	ffvelrnda 6853	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐺‘𝑥) ∈ ℂ)
27	1	feqmptd 6735	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐹‘𝑥)))
28	3	feqmptd 6735	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐺‘𝑥)))
29	7, 25, 26, 27, 28	offval2 7428	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f − 𝐺) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐹‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))))
30	29	oveq2d 7174	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (ℂ D (𝐹 ∘f − 𝐺)) = (ℂ D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐹‘𝑥) − (𝐺‘𝑥)))))
31		cnelprrecn 10632	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ℂ ∈ {ℝ, ℂ}
32	31	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
33		fvexd 6687	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((ℂ D 𝐹)‘𝑥) ∈ V)
34	27	oveq2d 7174	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (ℂ D 𝐹) = (ℂ D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐹‘𝑥))))
35		dvfcn 24508	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (ℂ D 𝐹):dom (ℂ D 𝐹)⟶ℂ
36		dv11cn.d	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → dom (ℂ D 𝐹) = 𝑋)
37	36	feq2d 6502	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((ℂ D 𝐹):dom (ℂ D 𝐹)⟶ℂ ↔ (ℂ D 𝐹):𝑋⟶ℂ))
38	35, 37	mpbii 235	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (ℂ D 𝐹):𝑋⟶ℂ)
39	38	feqmptd 6735	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (ℂ D 𝐹) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((ℂ D 𝐹)‘𝑥)))
40	34, 39	eqtr3d 2860	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (ℂ D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐹‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((ℂ D 𝐹)‘𝑥)))
41		dv11cn.e	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (ℂ D 𝐹) = (ℂ D 𝐺))
42	28	oveq2d 7174	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (ℂ D 𝐺) = (ℂ D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐺‘𝑥))))
43	41, 39, 42	3eqtr3rd 2867	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (ℂ D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐺‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((ℂ D 𝐹)‘𝑥)))
44	32, 25, 33, 40, 26, 33, 43	dvmptsub 24566	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (ℂ D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐹‘𝑥) − (𝐺‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (((ℂ D 𝐹)‘𝑥) − ((ℂ D 𝐹)‘𝑥))))
45	38	ffvelrnda 6853	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((ℂ D 𝐹)‘𝑥) ∈ ℂ)
46	45	subidd 10987	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((ℂ D 𝐹)‘𝑥) − ((ℂ D 𝐹)‘𝑥)) = 0)
47	46	mpteq2dva 5163	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (((ℂ D 𝐹)‘𝑥) − ((ℂ D 𝐹)‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 0))
48		fconstmpt 5616	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑋 × {0}) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 0)
49	47, 48	syl6eqr 2876	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (((ℂ D 𝐹)‘𝑥) − ((ℂ D 𝐹)‘𝑥))) = (𝑋 × {0}))
50	30, 44, 49	3eqtrd 2862	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (ℂ D (𝐹 ∘f − 𝐺)) = (𝑋 × {0}))
51	50	dmeqd 5776	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → dom (ℂ D (𝐹 ∘f − 𝐺)) = dom (𝑋 × {0}))
52		snnzg 4712	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 ∈ ℂ → {0} ≠ ∅)
53		dmxp 5801	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ({0} ≠ ∅ → dom (𝑋 × {0}) = 𝑋)
54	10, 52, 53	mp2b 10	. . . . . . . . . . 11 ⊢ dom (𝑋 × {0}) = 𝑋
55	51, 54	syl6eq 2874	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → dom (ℂ D (𝐹 ∘f − 𝐺)) = 𝑋)
56		eqimss2 4026	. . . . . . . . . 10 ⊢ (dom (ℂ D (𝐹 ∘f − 𝐺)) = 𝑋 → 𝑋 ⊆ dom (ℂ D (𝐹 ∘f − 𝐺)))
57	55, 56	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ dom (ℂ D (𝐹 ∘f − 𝐺)))
58		0red 10646	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
59	50	fveq1d 6674	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((ℂ D (𝐹 ∘f − 𝐺))‘𝑥) = ((𝑋 × {0})‘𝑥))
60		c0ex 10637	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ∈ V
61	60	fvconst2 6968	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 → ((𝑋 × {0})‘𝑥) = 0)
62	59, 61	sylan9eq 2878	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((ℂ D (𝐹 ∘f − 𝐺))‘𝑥) = 0)
63	62	abs00bd 14653	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (abs‘((ℂ D (𝐹 ∘f − 𝐺))‘𝑥)) = 0)
64		0le0 11741	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ≤ 0
65	63, 64	eqbrtrdi 5107	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (abs‘((ℂ D (𝐹 ∘f − 𝐺))‘𝑥)) ≤ 0)
66	24, 15, 20, 21, 5, 57, 58, 65	dvlipcn 24593	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (abs‘(((𝐹 ∘f − 𝐺)‘𝑥) − ((𝐹 ∘f − 𝐺)‘𝐶))) ≤ (0 · (abs‘(𝑥 − 𝐶))))
67	18, 66	syldan 593	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (abs‘(((𝐹 ∘f − 𝐺)‘𝑥) − ((𝐹 ∘f − 𝐺)‘𝐶))) ≤ (0 · (abs‘(𝑥 − 𝐶))))
68	29	fveq1d 6674	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∘f − 𝐺)‘𝐶) = ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐹‘𝑥) − (𝐺‘𝑥)))‘𝐶))
69		fveq2 6672	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝐶))
70		fveq2 6672	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → (𝐺‘𝑥) = (𝐺‘𝐶))
71	69, 70	oveq12d 7176	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → ((𝐹‘𝑥) − (𝐺‘𝑥)) = ((𝐹‘𝐶) − (𝐺‘𝐶)))
72		eqid 2823	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐹‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐹‘𝑥) − (𝐺‘𝑥)))
73		ovex 7191	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹‘𝐶) − (𝐺‘𝐶)) ∈ V
74	71, 72, 73	fvmpt 6770	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑋 → ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐹‘𝑥) − (𝐺‘𝑥)))‘𝐶) = ((𝐹‘𝐶) − (𝐺‘𝐶)))
75	17, 74	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐹‘𝑥) − (𝐺‘𝑥)))‘𝐶) = ((𝐹‘𝐶) − (𝐺‘𝐶)))
76	1, 17	ffvelrnd 6854	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐶) ∈ ℂ)
77		dv11cn.p	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐶) = (𝐺‘𝐶))
78	76, 77	subeq0bd 11068	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐶) − (𝐺‘𝐶)) = 0)
79	68, 75, 78	3eqtrd 2862	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∘f − 𝐺)‘𝐶) = 0)
80	79	adantr 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝐹 ∘f − 𝐺)‘𝐶) = 0)
81	80	oveq2d 7174	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((𝐹 ∘f − 𝐺)‘𝑥) − ((𝐹 ∘f − 𝐺)‘𝐶)) = (((𝐹 ∘f − 𝐺)‘𝑥) − 0))
82	16	subid1d 10988	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((𝐹 ∘f − 𝐺)‘𝑥) − 0) = ((𝐹 ∘f − 𝐺)‘𝑥))
83	81, 82	eqtrd 2858	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((𝐹 ∘f − 𝐺)‘𝑥) − ((𝐹 ∘f − 𝐺)‘𝐶)) = ((𝐹 ∘f − 𝐺)‘𝑥))
84	83	fveq2d 6676	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (abs‘(((𝐹 ∘f − 𝐺)‘𝑥) − ((𝐹 ∘f − 𝐺)‘𝐶))) = (abs‘((𝐹 ∘f − 𝐺)‘𝑥)))
85	24	sselda 3969	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ ℂ)
86	24, 17	sseldd 3970	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
87	86	adantr 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐶 ∈ ℂ)
88	85, 87	subcld 10999	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑥 − 𝐶) ∈ ℂ)
89	88	abscld 14798	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (abs‘(𝑥 − 𝐶)) ∈ ℝ)
90	89	recnd 10671	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (abs‘(𝑥 − 𝐶)) ∈ ℂ)
91	90	mul02d 10840	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (0 · (abs‘(𝑥 − 𝐶))) = 0)
92	67, 84, 91	3brtr3d 5099	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (abs‘((𝐹 ∘f − 𝐺)‘𝑥)) ≤ 0)
93	16	absge0d 14806	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 0 ≤ (abs‘((𝐹 ∘f − 𝐺)‘𝑥)))
94	16	abscld 14798	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (abs‘((𝐹 ∘f − 𝐺)‘𝑥)) ∈ ℝ)
95		0re 10645	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
96		letri3 10728	. . . . . . 7 ⊢ (((abs‘((𝐹 ∘f − 𝐺)‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((abs‘((𝐹 ∘f − 𝐺)‘𝑥)) = 0 ↔ ((abs‘((𝐹 ∘f − 𝐺)‘𝑥)) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (abs‘((𝐹 ∘f − 𝐺)‘𝑥)))))
97	94, 95, 96	sylancl 588	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((abs‘((𝐹 ∘f − 𝐺)‘𝑥)) = 0 ↔ ((abs‘((𝐹 ∘f − 𝐺)‘𝑥)) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (abs‘((𝐹 ∘f − 𝐺)‘𝑥)))))
98	92, 93, 97	mpbir2and 711	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (abs‘((𝐹 ∘f − 𝐺)‘𝑥)) = 0)
99	16, 98	abs00d 14808	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝐹 ∘f − 𝐺)‘𝑥) = 0)
100	61	adantl 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑋 × {0})‘𝑥) = 0)
101	99, 100	eqtr4d 2861	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝐹 ∘f − 𝐺)‘𝑥) = ((𝑋 × {0})‘𝑥))
102	9, 12, 101	eqfnfvd 6807	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f − 𝐺) = (𝑋 × {0}))
103		ofsubeq0 11637	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝐺:𝑋⟶ℂ) → ((𝐹 ∘f − 𝐺) = (𝑋 × {0}) ↔ 𝐹 = 𝐺))
104	6, 1, 3, 103	mp3an2i 1462	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∘f − 𝐺) = (𝑋 × {0}) ↔ 𝐹 = 𝐺))
105	102, 104	mpbid 234	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = 𝐺)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3018  Vcvv 3496   ⊆ wss 3938  ∅c0 4293  {csn 4569  {cpr 4571   class class class wbr 5068   ↦ cmpt 5148   × cxp 5555  dom cdm 5557   ∘ ccom 5561   Fn wfn 6352  ⟶wf 6353  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158   ∘_f cof 7409  ℂcc 10537  ℝcr 10538  0cc0 10539   · cmul 10544  ℝ^*cxr 10676   ≤ cle 10678   − cmin 10872  abscabs 14595  ∞Metcxmet 20532  ballcbl 20534   D cdv 24463

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616  ax-pre-sup 10617  ax-addf 10618  ax-mulf 10619

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-int 4879  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-se 5517  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-isom 6366  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-of 7411  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-supp 7833  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-1o 8104  df-2o 8105  df-oadd 8108  df-er 8291  df-map 8410  df-pm 8411  df-ixp 8464  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-fin 8515  df-fsupp 8836  df-fi 8877  df-sup 8908  df-inf 8909  df-oi 8976  df-card 9370  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-div 11300  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-5 11706  df-6 11707  df-7 11708  df-8 11709  df-9 11710  df-n0 11901  df-z 11985  df-dec 12102  df-uz 12247  df-q 12352  df-rp 12393  df-xneg 12510  df-xadd 12511  df-xmul 12512  df-ioo 12745  df-ico 12747  df-icc 12748  df-fz 12896  df-fzo 13037  df-seq 13373  df-exp 13433  df-hash 13694  df-cj 14460  df-re 14461  df-im 14462  df-sqrt 14596  df-abs 14597  df-struct 16487  df-ndx 16488  df-slot 16489  df-base 16491  df-sets 16492  df-ress 16493  df-plusg 16580  df-mulr 16581  df-starv 16582  df-sca 16583  df-vsca 16584  df-ip 16585  df-tset 16586  df-ple 16587  df-ds 16589  df-unif 16590  df-hom 16591  df-cco 16592  df-rest 16698  df-topn 16699  df-0g 16717  df-gsum 16718  df-topgen 16719  df-pt 16720  df-prds 16723  df-xrs 16777  df-qtop 16782  df-imas 16783  df-xps 16785  df-mre 16859  df-mrc 16860  df-acs 16862  df-mgm 17854  df-sgrp 17903  df-mnd 17914  df-submnd 17959  df-mulg 18227  df-cntz 18449  df-cmn 18910  df-psmet 20539  df-xmet 20540  df-met 20541  df-bl 20542  df-mopn 20543  df-fbas 20544  df-fg 20545  df-cnfld 20548  df-top 21504  df-topon 21521  df-topsp 21543  df-bases 21556  df-cld 21629  df-ntr 21630  df-cls 21631  df-nei 21708  df-lp 21746  df-perf 21747  df-cn 21837  df-cnp 21838  df-haus 21925  df-cmp 21997  df-tx 22172  df-hmeo 22365  df-fil 22456  df-fm 22548  df-flim 22549  df-flf 22550  df-xms 22932  df-ms 22933  df-tms 22934  df-cncf 23488  df-limc 24466  df-dv 24467

This theorem is referenced by:  logtayl  25245  binomcxplemnotnn0  40695