MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dv11cn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dv11cn 25517
Description: Two functions defined on a ball whose derivatives are the same and which are equal at any given point 𝐢 in the ball must be equal everywhere. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dv11cn.x 𝑋 = (𝐴(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑅)
dv11cn.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
dv11cn.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ℝ*)
dv11cn.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚)
dv11cn.g (πœ‘ β†’ 𝐺:π‘‹βŸΆβ„‚)
dv11cn.d (πœ‘ β†’ dom (β„‚ D 𝐹) = 𝑋)
dv11cn.e (πœ‘ β†’ (β„‚ D 𝐹) = (β„‚ D 𝐺))
dv11cn.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑋)
dv11cn.p (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜πΆ) = (πΊβ€˜πΆ))
Assertion
Ref Expression
dv11cn (πœ‘ β†’ 𝐹 = 𝐺)

Proof of Theorem dv11cn
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dv11cn.f . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚)
21ffnd 6718 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 Fn 𝑋)
3 dv11cn.g . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐺:π‘‹βŸΆβ„‚)
43ffnd 6718 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 Fn 𝑋)
5 dv11cn.x . . . . . 6 𝑋 = (𝐴(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑅)
65ovexi 7442 . . . . 5 𝑋 ∈ V
76a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ V)
8 inidm 4218 . . . 4 (𝑋 ∩ 𝑋) = 𝑋
92, 4, 7, 7, 8offn 7682 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺) Fn 𝑋)
10 0cn 11205 . . . 4 0 ∈ β„‚
11 fnconstg 6779 . . . 4 (0 ∈ β„‚ β†’ (𝑋 Γ— {0}) Fn 𝑋)
1210, 11mp1i 13 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑋 Γ— {0}) Fn 𝑋)
13 subcl 11458 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (π‘₯ βˆ’ 𝑦) ∈ β„‚)
1413adantl 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚)) β†’ (π‘₯ βˆ’ 𝑦) ∈ β„‚)
1514, 1, 3, 7, 7, 8off 7687 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺):π‘‹βŸΆβ„‚)
1615ffvelcdmda 7086 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ((𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺)β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
17 dv11cn.c . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑋)
1817anim1ci 616 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋))
19 cnxmet 24288 . . . . . . . . . . 11 (abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚)
20 dv11cn.a . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
21 dv11cn.r . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ℝ*)
22 blssm 23923 . . . . . . . . . . 11 (((abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚) ∧ 𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ (𝐴(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑅) βŠ† β„‚)
2319, 20, 21, 22mp3an2i 1466 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐴(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑅) βŠ† β„‚)
245, 23eqsstrid 4030 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† β„‚)
251ffvelcdmda 7086 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
263ffvelcdmda 7086 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
271feqmptd 6960 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (πΉβ€˜π‘₯)))
283feqmptd 6960 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))
297, 25, 26, 27, 28offval2 7689 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))))
3029oveq2d 7424 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (β„‚ D (𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺)) = (β„‚ D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯)))))
31 cnelprrecn 11202 . . . . . . . . . . . . . . 15 β„‚ ∈ {ℝ, β„‚}
3231a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ β„‚ ∈ {ℝ, β„‚})
33 fvexd 6906 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ((β„‚ D 𝐹)β€˜π‘₯) ∈ V)
3427oveq2d 7424 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (β„‚ D 𝐹) = (β„‚ D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (πΉβ€˜π‘₯))))
35 dvfcn 25424 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (β„‚ D 𝐹):dom (β„‚ D 𝐹)βŸΆβ„‚
36 dv11cn.d . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ dom (β„‚ D 𝐹) = 𝑋)
3736feq2d 6703 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ ((β„‚ D 𝐹):dom (β„‚ D 𝐹)βŸΆβ„‚ ↔ (β„‚ D 𝐹):π‘‹βŸΆβ„‚))
3835, 37mpbii 232 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (β„‚ D 𝐹):π‘‹βŸΆβ„‚)
3938feqmptd 6960 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (β„‚ D 𝐹) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((β„‚ D 𝐹)β€˜π‘₯)))
4034, 39eqtr3d 2774 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (β„‚ D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (πΉβ€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((β„‚ D 𝐹)β€˜π‘₯)))
41 dv11cn.e . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (β„‚ D 𝐹) = (β„‚ D 𝐺))
4228oveq2d 7424 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (β„‚ D 𝐺) = (β„‚ D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (πΊβ€˜π‘₯))))
4341, 39, 423eqtr3rd 2781 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (β„‚ D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (πΊβ€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((β„‚ D 𝐹)β€˜π‘₯)))
4432, 25, 33, 40, 26, 33, 43dvmptsub 25483 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (β„‚ D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯)))) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (((β„‚ D 𝐹)β€˜π‘₯) βˆ’ ((β„‚ D 𝐹)β€˜π‘₯))))
4538ffvelcdmda 7086 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ((β„‚ D 𝐹)β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
4645subidd 11558 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (((β„‚ D 𝐹)β€˜π‘₯) βˆ’ ((β„‚ D 𝐹)β€˜π‘₯)) = 0)
4746mpteq2dva 5248 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (((β„‚ D 𝐹)β€˜π‘₯) βˆ’ ((β„‚ D 𝐹)β€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 0))
48 fconstmpt 5738 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑋 Γ— {0}) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 0)
4947, 48eqtr4di 2790 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (((β„‚ D 𝐹)β€˜π‘₯) βˆ’ ((β„‚ D 𝐹)β€˜π‘₯))) = (𝑋 Γ— {0}))
5030, 44, 493eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (β„‚ D (𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺)) = (𝑋 Γ— {0}))
5150dmeqd 5905 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ dom (β„‚ D (𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺)) = dom (𝑋 Γ— {0}))
52 snnzg 4778 . . . . . . . . . . . 12 (0 ∈ β„‚ β†’ {0} β‰  βˆ…)
53 dmxp 5928 . . . . . . . . . . . 12 ({0} β‰  βˆ… β†’ dom (𝑋 Γ— {0}) = 𝑋)
5410, 52, 53mp2b 10 . . . . . . . . . . 11 dom (𝑋 Γ— {0}) = 𝑋
5551, 54eqtrdi 2788 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ dom (β„‚ D (𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺)) = 𝑋)
56 eqimss2 4041 . . . . . . . . . 10 (dom (β„‚ D (𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺)) = 𝑋 β†’ 𝑋 βŠ† dom (β„‚ D (𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺)))
5755, 56syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† dom (β„‚ D (𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺)))
58 0red 11216 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 0 ∈ ℝ)
5950fveq1d 6893 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((β„‚ D (𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺))β€˜π‘₯) = ((𝑋 Γ— {0})β€˜π‘₯))
60 c0ex 11207 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ V
6160fvconst2 7204 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ 𝑋 β†’ ((𝑋 Γ— {0})β€˜π‘₯) = 0)
6259, 61sylan9eq 2792 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ((β„‚ D (𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺))β€˜π‘₯) = 0)
6362abs00bd 15237 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (absβ€˜((β„‚ D (𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺))β€˜π‘₯)) = 0)
64 0le0 12312 . . . . . . . . . 10 0 ≀ 0
6563, 64eqbrtrdi 5187 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (absβ€˜((β„‚ D (𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺))β€˜π‘₯)) ≀ 0)
6624, 15, 20, 21, 5, 57, 58, 65dvlipcn 25510 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ (absβ€˜(((𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺)β€˜π‘₯) βˆ’ ((𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺)β€˜πΆ))) ≀ (0 Β· (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐢))))
6718, 66syldan 591 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (absβ€˜(((𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺)β€˜π‘₯) βˆ’ ((𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺)β€˜πΆ))) ≀ (0 Β· (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐢))))
6829fveq1d 6893 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺)β€˜πΆ) = ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯)))β€˜πΆ))
69 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ = 𝐢 β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜πΆ))
70 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ = 𝐢 β†’ (πΊβ€˜π‘₯) = (πΊβ€˜πΆ))
7169, 70oveq12d 7426 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ = 𝐢 β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯)) = ((πΉβ€˜πΆ) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)))
72 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯)))
73 ovex 7441 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πΉβ€˜πΆ) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) ∈ V
7471, 72, 73fvmpt 6998 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐢 ∈ 𝑋 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯)))β€˜πΆ) = ((πΉβ€˜πΆ) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)))
7517, 74syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯)))β€˜πΆ) = ((πΉβ€˜πΆ) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)))
761, 17ffvelcdmd 7087 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜πΆ) ∈ β„‚)
77 dv11cn.p . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜πΆ) = (πΊβ€˜πΆ))
7876, 77subeq0bd 11639 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜πΆ) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) = 0)
7968, 75, 783eqtrd 2776 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺)β€˜πΆ) = 0)
8079adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ((𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺)β€˜πΆ) = 0)
8180oveq2d 7424 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (((𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺)β€˜π‘₯) βˆ’ ((𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺)β€˜πΆ)) = (((𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺)β€˜π‘₯) βˆ’ 0))
8216subid1d 11559 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (((𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺)β€˜π‘₯) βˆ’ 0) = ((𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺)β€˜π‘₯))
8381, 82eqtrd 2772 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (((𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺)β€˜π‘₯) βˆ’ ((𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺)β€˜πΆ)) = ((𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺)β€˜π‘₯))
8483fveq2d 6895 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (absβ€˜(((𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺)β€˜π‘₯) βˆ’ ((𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺)β€˜πΆ))) = (absβ€˜((𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺)β€˜π‘₯)))
8524sselda 3982 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
8624, 17sseldd 3983 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
8786adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
8885, 87subcld 11570 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯ βˆ’ 𝐢) ∈ β„‚)
8988abscld 15382 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐢)) ∈ ℝ)
9089recnd 11241 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐢)) ∈ β„‚)
9190mul02d 11411 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (0 Β· (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐢))) = 0)
9267, 84, 913brtr3d 5179 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (absβ€˜((𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺)β€˜π‘₯)) ≀ 0)
9316absge0d 15390 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 0 ≀ (absβ€˜((𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺)β€˜π‘₯)))
9416abscld 15382 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (absβ€˜((𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺)β€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
95 0re 11215 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ
96 letri3 11298 . . . . . . 7 (((absβ€˜((𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺)β€˜π‘₯)) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) β†’ ((absβ€˜((𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺)β€˜π‘₯)) = 0 ↔ ((absβ€˜((𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺)β€˜π‘₯)) ≀ 0 ∧ 0 ≀ (absβ€˜((𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺)β€˜π‘₯)))))
9794, 95, 96sylancl 586 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ((absβ€˜((𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺)β€˜π‘₯)) = 0 ↔ ((absβ€˜((𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺)β€˜π‘₯)) ≀ 0 ∧ 0 ≀ (absβ€˜((𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺)β€˜π‘₯)))))
9892, 93, 97mpbir2and 711 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (absβ€˜((𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺)β€˜π‘₯)) = 0)
9916, 98abs00d 15392 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ((𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺)β€˜π‘₯) = 0)
10061adantl 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ((𝑋 Γ— {0})β€˜π‘₯) = 0)
10199, 100eqtr4d 2775 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ((𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺)β€˜π‘₯) = ((𝑋 Γ— {0})β€˜π‘₯))
1029, 12, 101eqfnfvd 7035 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺) = (𝑋 Γ— {0}))
103 ofsubeq0 12208 . . 3 ((𝑋 ∈ V ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚ ∧ 𝐺:π‘‹βŸΆβ„‚) β†’ ((𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺) = (𝑋 Γ— {0}) ↔ 𝐹 = 𝐺))
1046, 1, 3, 103mp3an2i 1466 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺) = (𝑋 Γ— {0}) ↔ 𝐹 = 𝐺))
105102, 104mpbid 231 1 (πœ‘ β†’ 𝐹 = 𝐺)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  Vcvv 3474   βŠ† wss 3948  βˆ…c0 4322  {csn 4628  {cpr 4630   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231   Γ— cxp 5674  dom cdm 5676   ∘ ccom 5680   Fn wfn 6538  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408   ∘f cof 7667  β„‚cc 11107  β„cr 11108  0cc0 11109   Β· cmul 11114  β„*cxr 11246   ≀ cle 11248   βˆ’ cmin 11443  abscabs 15180  βˆžMetcxmet 20928  ballcbl 20930   D cdv 25379
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187  ax-addf 11188  ax-mulf 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7669  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8146  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-2o 8466  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-fi 9405  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12974  df-xneg 13091  df-xadd 13092  df-xmul 13093  df-ioo 13327  df-ico 13329  df-icc 13330  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-seq 13966  df-exp 14027  df-hash 14290  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-hom 17220  df-cco 17221  df-rest 17367  df-topn 17368  df-0g 17386  df-gsum 17387  df-topgen 17388  df-pt 17389  df-prds 17392  df-xrs 17447  df-qtop 17452  df-imas 17453  df-xps 17455  df-mre 17529  df-mrc 17530  df-acs 17532  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-submnd 18671  df-mulg 18950  df-cntz 19180  df-cmn 19649  df-psmet 20935  df-xmet 20936  df-met 20937  df-bl 20938  df-mopn 20939  df-fbas 20940  df-fg 20941  df-cnfld 20944  df-top 22395  df-topon 22412  df-topsp 22434  df-bases 22448  df-cld 22522  df-ntr 22523  df-cls 22524  df-nei 22601  df-lp 22639  df-perf 22640  df-cn 22730  df-cnp 22731  df-haus 22818  df-cmp 22890  df-tx 23065  df-hmeo 23258  df-fil 23349  df-fm 23441  df-flim 23442  df-flf 23443  df-xms 23825  df-ms 23826  df-tms 23827  df-cncf 24393  df-limc 25382  df-dv 25383
This theorem is referenced by:  logtayl  26167  binomcxplemnotnn0  43105
  Copyright terms: Public domain W3C validator