Theorem dv11cn 26054

Description: Two functions defined on a ball whose derivatives are the same and which are equal at any given point 𝐶 in the ball must be equal everywhere. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dv11cn.x	⊢ 𝑋 = (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)
dv11cn.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
dv11cn.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ*)
dv11cn.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
dv11cn.g	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑋⟶ℂ)
dv11cn.d	⊢ (𝜑 → dom (ℂ D 𝐹) = 𝑋)
dv11cn.e	⊢ (𝜑 → (ℂ D 𝐹) = (ℂ D 𝐺))
dv11cn.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑋)
dv11cn.p	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐶) = (𝐺‘𝐶))

Assertion

Ref	Expression
dv11cn	⊢ (𝜑 → 𝐹 = 𝐺)

Proof of Theorem dv11cn

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dv11cn.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
2	1	ffnd 6737	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝑋)
3		dv11cn.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑋⟶ℂ)
4	3	ffnd 6737	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn 𝑋)
5		dv11cn.x	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)
6	5	ovexi 7464	. . . . 5 ⊢ 𝑋 ∈ V
7	6	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ V)
8		inidm 4234	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∩ 𝑋) = 𝑋
9	2, 4, 7, 7, 8	offn 7709	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f − 𝐺) Fn 𝑋)
10		0cn 11250	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℂ
11		fnconstg 6796	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℂ → (𝑋 × {0}) Fn 𝑋)
12	10, 11	mp1i 13	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 × {0}) Fn 𝑋)
13		subcl 11504	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 − 𝑦) ∈ ℂ)
14	13	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 − 𝑦) ∈ ℂ)
15	14, 1, 3, 7, 7, 8	off 7714	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f − 𝐺):𝑋⟶ℂ)
16	15	ffvelcdmda 7103	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝐹 ∘f − 𝐺)‘𝑥) ∈ ℂ)
17		dv11cn.c	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑋)
18	17	anim1ci 616	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋))
19		cnxmet 24808	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
20		dv11cn.a	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
21		dv11cn.r	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ*)
22		blssm 24443	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑅) ⊆ ℂ)
23	19, 20, 21, 22	mp3an2i 1465	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑅) ⊆ ℂ)
24	5, 23	eqsstrid 4043	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ℂ)
25	1	ffvelcdmda 7103	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
26	3	ffvelcdmda 7103	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐺‘𝑥) ∈ ℂ)
27	1	feqmptd 6976	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐹‘𝑥)))
28	3	feqmptd 6976	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐺‘𝑥)))
29	7, 25, 26, 27, 28	offval2 7716	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f − 𝐺) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐹‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))))
30	29	oveq2d 7446	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (ℂ D (𝐹 ∘f − 𝐺)) = (ℂ D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐹‘𝑥) − (𝐺‘𝑥)))))
31		cnelprrecn 11245	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ℂ ∈ {ℝ, ℂ}
32	31	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
33		fvexd 6921	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((ℂ D 𝐹)‘𝑥) ∈ V)
34	27	oveq2d 7446	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (ℂ D 𝐹) = (ℂ D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐹‘𝑥))))
35		dvfcn 25957	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (ℂ D 𝐹):dom (ℂ D 𝐹)⟶ℂ
36		dv11cn.d	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → dom (ℂ D 𝐹) = 𝑋)
37	36	feq2d 6722	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((ℂ D 𝐹):dom (ℂ D 𝐹)⟶ℂ ↔ (ℂ D 𝐹):𝑋⟶ℂ))
38	35, 37	mpbii 233	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (ℂ D 𝐹):𝑋⟶ℂ)
39	38	feqmptd 6976	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (ℂ D 𝐹) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((ℂ D 𝐹)‘𝑥)))
40	34, 39	eqtr3d 2776	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (ℂ D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐹‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((ℂ D 𝐹)‘𝑥)))
41		dv11cn.e	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (ℂ D 𝐹) = (ℂ D 𝐺))
42	28	oveq2d 7446	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (ℂ D 𝐺) = (ℂ D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐺‘𝑥))))
43	41, 39, 42	3eqtr3rd 2783	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (ℂ D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐺‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((ℂ D 𝐹)‘𝑥)))
44	32, 25, 33, 40, 26, 33, 43	dvmptsub 26019	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (ℂ D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐹‘𝑥) − (𝐺‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (((ℂ D 𝐹)‘𝑥) − ((ℂ D 𝐹)‘𝑥))))
45	38	ffvelcdmda 7103	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((ℂ D 𝐹)‘𝑥) ∈ ℂ)
46	45	subidd 11605	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((ℂ D 𝐹)‘𝑥) − ((ℂ D 𝐹)‘𝑥)) = 0)
47	46	mpteq2dva 5247	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (((ℂ D 𝐹)‘𝑥) − ((ℂ D 𝐹)‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 0))
48		fconstmpt 5750	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑋 × {0}) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 0)
49	47, 48	eqtr4di 2792	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (((ℂ D 𝐹)‘𝑥) − ((ℂ D 𝐹)‘𝑥))) = (𝑋 × {0}))
50	30, 44, 49	3eqtrd 2778	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (ℂ D (𝐹 ∘f − 𝐺)) = (𝑋 × {0}))
51	50	dmeqd 5918	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → dom (ℂ D (𝐹 ∘f − 𝐺)) = dom (𝑋 × {0}))
52		snnzg 4778	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 ∈ ℂ → {0} ≠ ∅)
53		dmxp 5941	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ({0} ≠ ∅ → dom (𝑋 × {0}) = 𝑋)
54	10, 52, 53	mp2b 10	. . . . . . . . . . 11 ⊢ dom (𝑋 × {0}) = 𝑋
55	51, 54	eqtrdi 2790	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → dom (ℂ D (𝐹 ∘f − 𝐺)) = 𝑋)
56		eqimss2 4054	. . . . . . . . . 10 ⊢ (dom (ℂ D (𝐹 ∘f − 𝐺)) = 𝑋 → 𝑋 ⊆ dom (ℂ D (𝐹 ∘f − 𝐺)))
57	55, 56	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ dom (ℂ D (𝐹 ∘f − 𝐺)))
58		0red 11261	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
59	50	fveq1d 6908	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((ℂ D (𝐹 ∘f − 𝐺))‘𝑥) = ((𝑋 × {0})‘𝑥))
60		c0ex 11252	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ∈ V
61	60	fvconst2 7223	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 → ((𝑋 × {0})‘𝑥) = 0)
62	59, 61	sylan9eq 2794	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((ℂ D (𝐹 ∘f − 𝐺))‘𝑥) = 0)
63	62	abs00bd 15326	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (abs‘((ℂ D (𝐹 ∘f − 𝐺))‘𝑥)) = 0)
64		0le0 12364	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ≤ 0
65	63, 64	eqbrtrdi 5186	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (abs‘((ℂ D (𝐹 ∘f − 𝐺))‘𝑥)) ≤ 0)
66	24, 15, 20, 21, 5, 57, 58, 65	dvlipcn 26047	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (abs‘(((𝐹 ∘f − 𝐺)‘𝑥) − ((𝐹 ∘f − 𝐺)‘𝐶))) ≤ (0 · (abs‘(𝑥 − 𝐶))))
67	18, 66	syldan 591	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (abs‘(((𝐹 ∘f − 𝐺)‘𝑥) − ((𝐹 ∘f − 𝐺)‘𝐶))) ≤ (0 · (abs‘(𝑥 − 𝐶))))
68	29	fveq1d 6908	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∘f − 𝐺)‘𝐶) = ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐹‘𝑥) − (𝐺‘𝑥)))‘𝐶))
69		fveq2 6906	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝐶))
70		fveq2 6906	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → (𝐺‘𝑥) = (𝐺‘𝐶))
71	69, 70	oveq12d 7448	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → ((𝐹‘𝑥) − (𝐺‘𝑥)) = ((𝐹‘𝐶) − (𝐺‘𝐶)))
72		eqid 2734	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐹‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐹‘𝑥) − (𝐺‘𝑥)))
73		ovex 7463	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹‘𝐶) − (𝐺‘𝐶)) ∈ V
74	71, 72, 73	fvmpt 7015	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑋 → ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐹‘𝑥) − (𝐺‘𝑥)))‘𝐶) = ((𝐹‘𝐶) − (𝐺‘𝐶)))
75	17, 74	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐹‘𝑥) − (𝐺‘𝑥)))‘𝐶) = ((𝐹‘𝐶) − (𝐺‘𝐶)))
76	1, 17	ffvelcdmd 7104	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐶) ∈ ℂ)
77		dv11cn.p	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐶) = (𝐺‘𝐶))
78	76, 77	subeq0bd 11686	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐶) − (𝐺‘𝐶)) = 0)
79	68, 75, 78	3eqtrd 2778	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∘f − 𝐺)‘𝐶) = 0)
80	79	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝐹 ∘f − 𝐺)‘𝐶) = 0)
81	80	oveq2d 7446	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((𝐹 ∘f − 𝐺)‘𝑥) − ((𝐹 ∘f − 𝐺)‘𝐶)) = (((𝐹 ∘f − 𝐺)‘𝑥) − 0))
82	16	subid1d 11606	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((𝐹 ∘f − 𝐺)‘𝑥) − 0) = ((𝐹 ∘f − 𝐺)‘𝑥))
83	81, 82	eqtrd 2774	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((𝐹 ∘f − 𝐺)‘𝑥) − ((𝐹 ∘f − 𝐺)‘𝐶)) = ((𝐹 ∘f − 𝐺)‘𝑥))
84	83	fveq2d 6910	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (abs‘(((𝐹 ∘f − 𝐺)‘𝑥) − ((𝐹 ∘f − 𝐺)‘𝐶))) = (abs‘((𝐹 ∘f − 𝐺)‘𝑥)))
85	24	sselda 3994	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ ℂ)
86	24, 17	sseldd 3995	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
87	86	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐶 ∈ ℂ)
88	85, 87	subcld 11617	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑥 − 𝐶) ∈ ℂ)
89	88	abscld 15471	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (abs‘(𝑥 − 𝐶)) ∈ ℝ)
90	89	recnd 11286	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (abs‘(𝑥 − 𝐶)) ∈ ℂ)
91	90	mul02d 11456	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (0 · (abs‘(𝑥 − 𝐶))) = 0)
92	67, 84, 91	3brtr3d 5178	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (abs‘((𝐹 ∘f − 𝐺)‘𝑥)) ≤ 0)
93	16	absge0d 15479	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 0 ≤ (abs‘((𝐹 ∘f − 𝐺)‘𝑥)))
94	16	abscld 15471	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (abs‘((𝐹 ∘f − 𝐺)‘𝑥)) ∈ ℝ)
95		0re 11260	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
96		letri3 11343	. . . . . . 7 ⊢ (((abs‘((𝐹 ∘f − 𝐺)‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((abs‘((𝐹 ∘f − 𝐺)‘𝑥)) = 0 ↔ ((abs‘((𝐹 ∘f − 𝐺)‘𝑥)) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (abs‘((𝐹 ∘f − 𝐺)‘𝑥)))))
97	94, 95, 96	sylancl 586	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((abs‘((𝐹 ∘f − 𝐺)‘𝑥)) = 0 ↔ ((abs‘((𝐹 ∘f − 𝐺)‘𝑥)) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (abs‘((𝐹 ∘f − 𝐺)‘𝑥)))))
98	92, 93, 97	mpbir2and 713	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (abs‘((𝐹 ∘f − 𝐺)‘𝑥)) = 0)
99	16, 98	abs00d 15481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝐹 ∘f − 𝐺)‘𝑥) = 0)
100	61	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑋 × {0})‘𝑥) = 0)
101	99, 100	eqtr4d 2777	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝐹 ∘f − 𝐺)‘𝑥) = ((𝑋 × {0})‘𝑥))
102	9, 12, 101	eqfnfvd 7053	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f − 𝐺) = (𝑋 × {0}))
103		ofsubeq0 12260	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝐺:𝑋⟶ℂ) → ((𝐹 ∘f − 𝐺) = (𝑋 × {0}) ↔ 𝐹 = 𝐺))
104	6, 1, 3, 103	mp3an2i 1465	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∘f − 𝐺) = (𝑋 × {0}) ↔ 𝐹 = 𝐺))
105	102, 104	mpbid 232	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = 𝐺)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1536   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2937  Vcvv 3477   ⊆ wss 3962  ∅c0 4338  {csn 4630  {cpr 4632   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230   × cxp 5686  dom cdm 5688   ∘ ccom 5692   Fn wfn 6557  ⟶wf 6558  ‘cfv 6562  (class class class)co 7430   ∘_f cof 7694  ℂcc 11150  ℝcr 11151  0cc0 11152   · cmul 11157  ℝ^*cxr 11291   ≤ cle 11293   − cmin 11489  abscabs 15269  ∞Metcxmet 21366  ballcbl 21368   D cdv 25912

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230  ax-addf 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-iin 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7696  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-supp 8184  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-er 8743  df-map 8866  df-pm 8867  df-ixp 8936  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-fsupp 9399  df-fi 9448  df-sup 9479  df-inf 9480  df-oi 9547  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-q 12988  df-rp 13032  df-xneg 13151  df-xadd 13152  df-xmul 13153  df-ioo 13387  df-ico 13389  df-icc 13390  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-seq 14039  df-exp 14099  df-hash 14366  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17468  df-topn 17469  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-topgen 17489  df-pt 17490  df-prds 17493  df-xrs 17548  df-qtop 17553  df-imas 17554  df-xps 17556  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-submnd 18809  df-mulg 19098  df-cntz 19347  df-cmn 19814  df-psmet 21373  df-xmet 21374  df-met 21375  df-bl 21376  df-mopn 21377  df-fbas 21378  df-fg 21379  df-cnfld 21382  df-top 22915  df-topon 22932  df-topsp 22954  df-bases 22968  df-cld 23042  df-ntr 23043  df-cls 23044  df-nei 23121  df-lp 23159  df-perf 23160  df-cn 23250  df-cnp 23251  df-haus 23338  df-cmp 23410  df-tx 23585  df-hmeo 23778  df-fil 23869  df-fm 23961  df-flim 23962  df-flf 23963  df-xms 24345  df-ms 24346  df-tms 24347  df-cncf 24917  df-limc 25915  df-dv 25916

This theorem is referenced by:  logtayl  26716  binomcxplemnotnn0  44351