MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dv11cn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dv11cn 26040
Description: Two functions defined on a ball whose derivatives are the same and which are equal at any given point 𝐶 in the ball must be equal everywhere. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dv11cn.x 𝑋 = (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)
dv11cn.a (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
dv11cn.r (𝜑𝑅 ∈ ℝ*)
dv11cn.f (𝜑𝐹:𝑋⟶ℂ)
dv11cn.g (𝜑𝐺:𝑋⟶ℂ)
dv11cn.d (𝜑 → dom (ℂ D 𝐹) = 𝑋)
dv11cn.e (𝜑 → (ℂ D 𝐹) = (ℂ D 𝐺))
dv11cn.c (𝜑𝐶𝑋)
dv11cn.p (𝜑 → (𝐹𝐶) = (𝐺𝐶))
Assertion
Ref Expression
dv11cn (𝜑𝐹 = 𝐺)

Proof of Theorem dv11cn
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dv11cn.f . . . . 5 (𝜑𝐹:𝑋⟶ℂ)
21ffnd 6737 . . . 4 (𝜑𝐹 Fn 𝑋)
3 dv11cn.g . . . . 5 (𝜑𝐺:𝑋⟶ℂ)
43ffnd 6737 . . . 4 (𝜑𝐺 Fn 𝑋)
5 dv11cn.x . . . . . 6 𝑋 = (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)
65ovexi 7465 . . . . 5 𝑋 ∈ V
76a1i 11 . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ V)
8 inidm 4227 . . . 4 (𝑋𝑋) = 𝑋
92, 4, 7, 7, 8offn 7710 . . 3 (𝜑 → (𝐹f𝐺) Fn 𝑋)
10 0cn 11253 . . . 4 0 ∈ ℂ
11 fnconstg 6796 . . . 4 (0 ∈ ℂ → (𝑋 × {0}) Fn 𝑋)
1210, 11mp1i 13 . . 3 (𝜑 → (𝑋 × {0}) Fn 𝑋)
13 subcl 11507 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥𝑦) ∈ ℂ)
1413adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥𝑦) ∈ ℂ)
1514, 1, 3, 7, 7, 8off 7715 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹f𝐺):𝑋⟶ℂ)
1615ffvelcdmda 7104 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝐹f𝐺)‘𝑥) ∈ ℂ)
17 dv11cn.c . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶𝑋)
1817anim1ci 616 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝑥𝑋𝐶𝑋))
19 cnxmet 24793 . . . . . . . . . . 11 (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
20 dv11cn.a . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
21 dv11cn.r . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑅 ∈ ℝ*)
22 blssm 24428 . . . . . . . . . . 11 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑅) ⊆ ℂ)
2319, 20, 21, 22mp3an2i 1468 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑅) ⊆ ℂ)
245, 23eqsstrid 4022 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋 ⊆ ℂ)
251ffvelcdmda 7104 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
263ffvelcdmda 7104 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐺𝑥) ∈ ℂ)
271feqmptd 6977 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ (𝐹𝑥)))
283feqmptd 6977 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐺 = (𝑥𝑋 ↦ (𝐺𝑥)))
297, 25, 26, 27, 28offval2 7717 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐹f𝐺) = (𝑥𝑋 ↦ ((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))))
3029oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (ℂ D (𝐹f𝐺)) = (ℂ D (𝑥𝑋 ↦ ((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥)))))
31 cnelprrecn 11248 . . . . . . . . . . . . . . 15 ℂ ∈ {ℝ, ℂ}
3231a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
33 fvexd 6921 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝑋) → ((ℂ D 𝐹)‘𝑥) ∈ V)
3427oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (ℂ D 𝐹) = (ℂ D (𝑥𝑋 ↦ (𝐹𝑥))))
35 dvfcn 25943 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (ℂ D 𝐹):dom (ℂ D 𝐹)⟶ℂ
36 dv11cn.d . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → dom (ℂ D 𝐹) = 𝑋)
3736feq2d 6722 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((ℂ D 𝐹):dom (ℂ D 𝐹)⟶ℂ ↔ (ℂ D 𝐹):𝑋⟶ℂ))
3835, 37mpbii 233 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (ℂ D 𝐹):𝑋⟶ℂ)
3938feqmptd 6977 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (ℂ D 𝐹) = (𝑥𝑋 ↦ ((ℂ D 𝐹)‘𝑥)))
4034, 39eqtr3d 2779 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (ℂ D (𝑥𝑋 ↦ (𝐹𝑥))) = (𝑥𝑋 ↦ ((ℂ D 𝐹)‘𝑥)))
41 dv11cn.e . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (ℂ D 𝐹) = (ℂ D 𝐺))
4228oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (ℂ D 𝐺) = (ℂ D (𝑥𝑋 ↦ (𝐺𝑥))))
4341, 39, 423eqtr3rd 2786 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (ℂ D (𝑥𝑋 ↦ (𝐺𝑥))) = (𝑥𝑋 ↦ ((ℂ D 𝐹)‘𝑥)))
4432, 25, 33, 40, 26, 33, 43dvmptsub 26005 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (ℂ D (𝑥𝑋 ↦ ((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥)))) = (𝑥𝑋 ↦ (((ℂ D 𝐹)‘𝑥) − ((ℂ D 𝐹)‘𝑥))))
4538ffvelcdmda 7104 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥𝑋) → ((ℂ D 𝐹)‘𝑥) ∈ ℂ)
4645subidd 11608 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥𝑋) → (((ℂ D 𝐹)‘𝑥) − ((ℂ D 𝐹)‘𝑥)) = 0)
4746mpteq2dva 5242 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ (((ℂ D 𝐹)‘𝑥) − ((ℂ D 𝐹)‘𝑥))) = (𝑥𝑋 ↦ 0))
48 fconstmpt 5747 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑋 × {0}) = (𝑥𝑋 ↦ 0)
4947, 48eqtr4di 2795 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ (((ℂ D 𝐹)‘𝑥) − ((ℂ D 𝐹)‘𝑥))) = (𝑋 × {0}))
5030, 44, 493eqtrd 2781 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (ℂ D (𝐹f𝐺)) = (𝑋 × {0}))
5150dmeqd 5916 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → dom (ℂ D (𝐹f𝐺)) = dom (𝑋 × {0}))
52 snnzg 4774 . . . . . . . . . . . 12 (0 ∈ ℂ → {0} ≠ ∅)
53 dmxp 5939 . . . . . . . . . . . 12 ({0} ≠ ∅ → dom (𝑋 × {0}) = 𝑋)
5410, 52, 53mp2b 10 . . . . . . . . . . 11 dom (𝑋 × {0}) = 𝑋
5551, 54eqtrdi 2793 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → dom (ℂ D (𝐹f𝐺)) = 𝑋)
56 eqimss2 4043 . . . . . . . . . 10 (dom (ℂ D (𝐹f𝐺)) = 𝑋𝑋 ⊆ dom (ℂ D (𝐹f𝐺)))
5755, 56syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋 ⊆ dom (ℂ D (𝐹f𝐺)))
58 0red 11264 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
5950fveq1d 6908 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((ℂ D (𝐹f𝐺))‘𝑥) = ((𝑋 × {0})‘𝑥))
60 c0ex 11255 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ V
6160fvconst2 7224 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥𝑋 → ((𝑋 × {0})‘𝑥) = 0)
6259, 61sylan9eq 2797 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝑋) → ((ℂ D (𝐹f𝐺))‘𝑥) = 0)
6362abs00bd 15330 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝑋) → (abs‘((ℂ D (𝐹f𝐺))‘𝑥)) = 0)
64 0le0 12367 . . . . . . . . . 10 0 ≤ 0
6563, 64eqbrtrdi 5182 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝑋) → (abs‘((ℂ D (𝐹f𝐺))‘𝑥)) ≤ 0)
6624, 15, 20, 21, 5, 57, 58, 65dvlipcn 26033 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝐶𝑋)) → (abs‘(((𝐹f𝐺)‘𝑥) − ((𝐹f𝐺)‘𝐶))) ≤ (0 · (abs‘(𝑥𝐶))))
6718, 66syldan 591 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → (abs‘(((𝐹f𝐺)‘𝑥) − ((𝐹f𝐺)‘𝐶))) ≤ (0 · (abs‘(𝑥𝐶))))
6829fveq1d 6908 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐹f𝐺)‘𝐶) = ((𝑥𝑋 ↦ ((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥)))‘𝐶))
69 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝐶 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝐶))
70 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝐶 → (𝐺𝑥) = (𝐺𝐶))
7169, 70oveq12d 7449 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝐶 → ((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥)) = ((𝐹𝐶) − (𝐺𝐶)))
72 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥𝑋 ↦ ((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))) = (𝑥𝑋 ↦ ((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥)))
73 ovex 7464 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹𝐶) − (𝐺𝐶)) ∈ V
7471, 72, 73fvmpt 7016 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐶𝑋 → ((𝑥𝑋 ↦ ((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥)))‘𝐶) = ((𝐹𝐶) − (𝐺𝐶)))
7517, 74syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑥𝑋 ↦ ((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥)))‘𝐶) = ((𝐹𝐶) − (𝐺𝐶)))
761, 17ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐹𝐶) ∈ ℂ)
77 dv11cn.p . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐹𝐶) = (𝐺𝐶))
7876, 77subeq0bd 11689 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐹𝐶) − (𝐺𝐶)) = 0)
7968, 75, 783eqtrd 2781 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐹f𝐺)‘𝐶) = 0)
8079adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝐹f𝐺)‘𝐶) = 0)
8180oveq2d 7447 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝑋) → (((𝐹f𝐺)‘𝑥) − ((𝐹f𝐺)‘𝐶)) = (((𝐹f𝐺)‘𝑥) − 0))
8216subid1d 11609 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝑋) → (((𝐹f𝐺)‘𝑥) − 0) = ((𝐹f𝐺)‘𝑥))
8381, 82eqtrd 2777 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑋) → (((𝐹f𝐺)‘𝑥) − ((𝐹f𝐺)‘𝐶)) = ((𝐹f𝐺)‘𝑥))
8483fveq2d 6910 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → (abs‘(((𝐹f𝐺)‘𝑥) − ((𝐹f𝐺)‘𝐶))) = (abs‘((𝐹f𝐺)‘𝑥)))
8524sselda 3983 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑥 ∈ ℂ)
8624, 17sseldd 3984 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
8786adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐶 ∈ ℂ)
8885, 87subcld 11620 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝑥𝐶) ∈ ℂ)
8988abscld 15475 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝑋) → (abs‘(𝑥𝐶)) ∈ ℝ)
9089recnd 11289 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑋) → (abs‘(𝑥𝐶)) ∈ ℂ)
9190mul02d 11459 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → (0 · (abs‘(𝑥𝐶))) = 0)
9267, 84, 913brtr3d 5174 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → (abs‘((𝐹f𝐺)‘𝑥)) ≤ 0)
9316absge0d 15483 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → 0 ≤ (abs‘((𝐹f𝐺)‘𝑥)))
9416abscld 15475 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → (abs‘((𝐹f𝐺)‘𝑥)) ∈ ℝ)
95 0re 11263 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ
96 letri3 11346 . . . . . . 7 (((abs‘((𝐹f𝐺)‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((abs‘((𝐹f𝐺)‘𝑥)) = 0 ↔ ((abs‘((𝐹f𝐺)‘𝑥)) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (abs‘((𝐹f𝐺)‘𝑥)))))
9794, 95, 96sylancl 586 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → ((abs‘((𝐹f𝐺)‘𝑥)) = 0 ↔ ((abs‘((𝐹f𝐺)‘𝑥)) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (abs‘((𝐹f𝐺)‘𝑥)))))
9892, 93, 97mpbir2and 713 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → (abs‘((𝐹f𝐺)‘𝑥)) = 0)
9916, 98abs00d 15485 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝐹f𝐺)‘𝑥) = 0)
10061adantl 481 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝑋 × {0})‘𝑥) = 0)
10199, 100eqtr4d 2780 . . 3 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝐹f𝐺)‘𝑥) = ((𝑋 × {0})‘𝑥))
1029, 12, 101eqfnfvd 7054 . 2 (𝜑 → (𝐹f𝐺) = (𝑋 × {0}))
103 ofsubeq0 12263 . . 3 ((𝑋 ∈ V ∧ 𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝐺:𝑋⟶ℂ) → ((𝐹f𝐺) = (𝑋 × {0}) ↔ 𝐹 = 𝐺))
1046, 1, 3, 103mp3an2i 1468 . 2 (𝜑 → ((𝐹f𝐺) = (𝑋 × {0}) ↔ 𝐹 = 𝐺))
105102, 104mpbid 232 1 (𝜑𝐹 = 𝐺)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  Vcvv 3480  wss 3951  c0 4333  {csn 4626  {cpr 4628   class class class wbr 5143  cmpt 5225   × cxp 5683  dom cdm 5685  ccom 5689   Fn wfn 6556  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  f cof 7695  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155   · cmul 11160  *cxr 11294  cle 11296  cmin 11492  abscabs 15273  ∞Metcxmet 21349  ballcbl 21351   D cdv 25898
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-mulg 19086  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-fbas 21361  df-fg 21362  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029  df-nei 23106  df-lp 23144  df-perf 23145  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-haus 23323  df-cmp 23395  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-fil 23854  df-fm 23946  df-flim 23947  df-flf 23948  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332  df-cncf 24904  df-limc 25901  df-dv 25902
This theorem is referenced by:  logtayl  26702  binomcxplemnotnn0  44375
  Copyright terms: Public domain W3C validator