MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dv11cn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dv11cn 25388
Description: Two functions defined on a ball whose derivatives are the same and which are equal at any given point 𝐢 in the ball must be equal everywhere. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dv11cn.x 𝑋 = (𝐴(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑅)
dv11cn.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
dv11cn.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ℝ*)
dv11cn.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚)
dv11cn.g (πœ‘ β†’ 𝐺:π‘‹βŸΆβ„‚)
dv11cn.d (πœ‘ β†’ dom (β„‚ D 𝐹) = 𝑋)
dv11cn.e (πœ‘ β†’ (β„‚ D 𝐹) = (β„‚ D 𝐺))
dv11cn.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑋)
dv11cn.p (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜πΆ) = (πΊβ€˜πΆ))
Assertion
Ref Expression
dv11cn (πœ‘ β†’ 𝐹 = 𝐺)

Proof of Theorem dv11cn
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dv11cn.f . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚)
21ffnd 6673 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 Fn 𝑋)
3 dv11cn.g . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐺:π‘‹βŸΆβ„‚)
43ffnd 6673 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 Fn 𝑋)
5 dv11cn.x . . . . . 6 𝑋 = (𝐴(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑅)
65ovexi 7395 . . . . 5 𝑋 ∈ V
76a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ V)
8 inidm 4182 . . . 4 (𝑋 ∩ 𝑋) = 𝑋
92, 4, 7, 7, 8offn 7634 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺) Fn 𝑋)
10 0cn 11155 . . . 4 0 ∈ β„‚
11 fnconstg 6734 . . . 4 (0 ∈ β„‚ β†’ (𝑋 Γ— {0}) Fn 𝑋)
1210, 11mp1i 13 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑋 Γ— {0}) Fn 𝑋)
13 subcl 11408 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (π‘₯ βˆ’ 𝑦) ∈ β„‚)
1413adantl 483 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚)) β†’ (π‘₯ βˆ’ 𝑦) ∈ β„‚)
1514, 1, 3, 7, 7, 8off 7639 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺):π‘‹βŸΆβ„‚)
1615ffvelcdmda 7039 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ((𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺)β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
17 dv11cn.c . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑋)
1817anim1ci 617 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋))
19 cnxmet 24159 . . . . . . . . . . 11 (abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚)
20 dv11cn.a . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
21 dv11cn.r . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ℝ*)
22 blssm 23794 . . . . . . . . . . 11 (((abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚) ∧ 𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ (𝐴(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑅) βŠ† β„‚)
2319, 20, 21, 22mp3an2i 1467 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐴(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑅) βŠ† β„‚)
245, 23eqsstrid 3996 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† β„‚)
251ffvelcdmda 7039 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
263ffvelcdmda 7039 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
271feqmptd 6914 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (πΉβ€˜π‘₯)))
283feqmptd 6914 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))
297, 25, 26, 27, 28offval2 7641 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))))
3029oveq2d 7377 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (β„‚ D (𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺)) = (β„‚ D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯)))))
31 cnelprrecn 11152 . . . . . . . . . . . . . . 15 β„‚ ∈ {ℝ, β„‚}
3231a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ β„‚ ∈ {ℝ, β„‚})
33 fvexd 6861 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ((β„‚ D 𝐹)β€˜π‘₯) ∈ V)
3427oveq2d 7377 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (β„‚ D 𝐹) = (β„‚ D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (πΉβ€˜π‘₯))))
35 dvfcn 25295 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (β„‚ D 𝐹):dom (β„‚ D 𝐹)βŸΆβ„‚
36 dv11cn.d . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ dom (β„‚ D 𝐹) = 𝑋)
3736feq2d 6658 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ ((β„‚ D 𝐹):dom (β„‚ D 𝐹)βŸΆβ„‚ ↔ (β„‚ D 𝐹):π‘‹βŸΆβ„‚))
3835, 37mpbii 232 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (β„‚ D 𝐹):π‘‹βŸΆβ„‚)
3938feqmptd 6914 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (β„‚ D 𝐹) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((β„‚ D 𝐹)β€˜π‘₯)))
4034, 39eqtr3d 2775 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (β„‚ D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (πΉβ€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((β„‚ D 𝐹)β€˜π‘₯)))
41 dv11cn.e . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (β„‚ D 𝐹) = (β„‚ D 𝐺))
4228oveq2d 7377 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (β„‚ D 𝐺) = (β„‚ D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (πΊβ€˜π‘₯))))
4341, 39, 423eqtr3rd 2782 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (β„‚ D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (πΊβ€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((β„‚ D 𝐹)β€˜π‘₯)))
4432, 25, 33, 40, 26, 33, 43dvmptsub 25354 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (β„‚ D (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯)))) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (((β„‚ D 𝐹)β€˜π‘₯) βˆ’ ((β„‚ D 𝐹)β€˜π‘₯))))
4538ffvelcdmda 7039 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ((β„‚ D 𝐹)β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
4645subidd 11508 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (((β„‚ D 𝐹)β€˜π‘₯) βˆ’ ((β„‚ D 𝐹)β€˜π‘₯)) = 0)
4746mpteq2dva 5209 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (((β„‚ D 𝐹)β€˜π‘₯) βˆ’ ((β„‚ D 𝐹)β€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 0))
48 fconstmpt 5698 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑋 Γ— {0}) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ 0)
4947, 48eqtr4di 2791 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (((β„‚ D 𝐹)β€˜π‘₯) βˆ’ ((β„‚ D 𝐹)β€˜π‘₯))) = (𝑋 Γ— {0}))
5030, 44, 493eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (β„‚ D (𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺)) = (𝑋 Γ— {0}))
5150dmeqd 5865 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ dom (β„‚ D (𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺)) = dom (𝑋 Γ— {0}))
52 snnzg 4739 . . . . . . . . . . . 12 (0 ∈ β„‚ β†’ {0} β‰  βˆ…)
53 dmxp 5888 . . . . . . . . . . . 12 ({0} β‰  βˆ… β†’ dom (𝑋 Γ— {0}) = 𝑋)
5410, 52, 53mp2b 10 . . . . . . . . . . 11 dom (𝑋 Γ— {0}) = 𝑋
5551, 54eqtrdi 2789 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ dom (β„‚ D (𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺)) = 𝑋)
56 eqimss2 4005 . . . . . . . . . 10 (dom (β„‚ D (𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺)) = 𝑋 β†’ 𝑋 βŠ† dom (β„‚ D (𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺)))
5755, 56syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† dom (β„‚ D (𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺)))
58 0red 11166 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 0 ∈ ℝ)
5950fveq1d 6848 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((β„‚ D (𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺))β€˜π‘₯) = ((𝑋 Γ— {0})β€˜π‘₯))
60 c0ex 11157 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ V
6160fvconst2 7157 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ 𝑋 β†’ ((𝑋 Γ— {0})β€˜π‘₯) = 0)
6259, 61sylan9eq 2793 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ((β„‚ D (𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺))β€˜π‘₯) = 0)
6362abs00bd 15185 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (absβ€˜((β„‚ D (𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺))β€˜π‘₯)) = 0)
64 0le0 12262 . . . . . . . . . 10 0 ≀ 0
6563, 64eqbrtrdi 5148 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (absβ€˜((β„‚ D (𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺))β€˜π‘₯)) ≀ 0)
6624, 15, 20, 21, 5, 57, 58, 65dvlipcn 25381 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ (absβ€˜(((𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺)β€˜π‘₯) βˆ’ ((𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺)β€˜πΆ))) ≀ (0 Β· (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐢))))
6718, 66syldan 592 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (absβ€˜(((𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺)β€˜π‘₯) βˆ’ ((𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺)β€˜πΆ))) ≀ (0 Β· (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐢))))
6829fveq1d 6848 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺)β€˜πΆ) = ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯)))β€˜πΆ))
69 fveq2 6846 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ = 𝐢 β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜πΆ))
70 fveq2 6846 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ = 𝐢 β†’ (πΊβ€˜π‘₯) = (πΊβ€˜πΆ))
7169, 70oveq12d 7379 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ = 𝐢 β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯)) = ((πΉβ€˜πΆ) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)))
72 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯)))
73 ovex 7394 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πΉβ€˜πΆ) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) ∈ V
7471, 72, 73fvmpt 6952 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐢 ∈ 𝑋 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯)))β€˜πΆ) = ((πΉβ€˜πΆ) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)))
7517, 74syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯)))β€˜πΆ) = ((πΉβ€˜πΆ) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)))
761, 17ffvelcdmd 7040 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜πΆ) ∈ β„‚)
77 dv11cn.p . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜πΆ) = (πΊβ€˜πΆ))
7876, 77subeq0bd 11589 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜πΆ) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) = 0)
7968, 75, 783eqtrd 2777 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺)β€˜πΆ) = 0)
8079adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ((𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺)β€˜πΆ) = 0)
8180oveq2d 7377 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (((𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺)β€˜π‘₯) βˆ’ ((𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺)β€˜πΆ)) = (((𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺)β€˜π‘₯) βˆ’ 0))
8216subid1d 11509 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (((𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺)β€˜π‘₯) βˆ’ 0) = ((𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺)β€˜π‘₯))
8381, 82eqtrd 2773 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (((𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺)β€˜π‘₯) βˆ’ ((𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺)β€˜πΆ)) = ((𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺)β€˜π‘₯))
8483fveq2d 6850 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (absβ€˜(((𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺)β€˜π‘₯) βˆ’ ((𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺)β€˜πΆ))) = (absβ€˜((𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺)β€˜π‘₯)))
8524sselda 3948 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
8624, 17sseldd 3949 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
8786adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
8885, 87subcld 11520 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯ βˆ’ 𝐢) ∈ β„‚)
8988abscld 15330 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐢)) ∈ ℝ)
9089recnd 11191 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐢)) ∈ β„‚)
9190mul02d 11361 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (0 Β· (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐢))) = 0)
9267, 84, 913brtr3d 5140 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (absβ€˜((𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺)β€˜π‘₯)) ≀ 0)
9316absge0d 15338 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 0 ≀ (absβ€˜((𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺)β€˜π‘₯)))
9416abscld 15330 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (absβ€˜((𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺)β€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
95 0re 11165 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ
96 letri3 11248 . . . . . . 7 (((absβ€˜((𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺)β€˜π‘₯)) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) β†’ ((absβ€˜((𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺)β€˜π‘₯)) = 0 ↔ ((absβ€˜((𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺)β€˜π‘₯)) ≀ 0 ∧ 0 ≀ (absβ€˜((𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺)β€˜π‘₯)))))
9794, 95, 96sylancl 587 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ((absβ€˜((𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺)β€˜π‘₯)) = 0 ↔ ((absβ€˜((𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺)β€˜π‘₯)) ≀ 0 ∧ 0 ≀ (absβ€˜((𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺)β€˜π‘₯)))))
9892, 93, 97mpbir2and 712 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (absβ€˜((𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺)β€˜π‘₯)) = 0)
9916, 98abs00d 15340 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ((𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺)β€˜π‘₯) = 0)
10061adantl 483 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ((𝑋 Γ— {0})β€˜π‘₯) = 0)
10199, 100eqtr4d 2776 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ((𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺)β€˜π‘₯) = ((𝑋 Γ— {0})β€˜π‘₯))
1029, 12, 101eqfnfvd 6989 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺) = (𝑋 Γ— {0}))
103 ofsubeq0 12158 . . 3 ((𝑋 ∈ V ∧ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚ ∧ 𝐺:π‘‹βŸΆβ„‚) β†’ ((𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺) = (𝑋 Γ— {0}) ↔ 𝐹 = 𝐺))
1046, 1, 3, 103mp3an2i 1467 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺) = (𝑋 Γ— {0}) ↔ 𝐹 = 𝐺))
105102, 104mpbid 231 1 (πœ‘ β†’ 𝐹 = 𝐺)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  Vcvv 3447   βŠ† wss 3914  βˆ…c0 4286  {csn 4590  {cpr 4592   class class class wbr 5109   ↦ cmpt 5192   Γ— cxp 5635  dom cdm 5637   ∘ ccom 5641   Fn wfn 6495  βŸΆwf 6496  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361   ∘f cof 7619  β„‚cc 11057  β„cr 11058  0cc0 11059   Β· cmul 11064  β„*cxr 11196   ≀ cle 11198   βˆ’ cmin 11393  abscabs 15128  βˆžMetcxmet 20804  ballcbl 20806   D cdv 25250
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137  ax-addf 11138  ax-mulf 11139
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7621  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-supp 8097  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-2o 8417  df-er 8654  df-map 8773  df-pm 8774  df-ixp 8842  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-fsupp 9312  df-fi 9355  df-sup 9386  df-inf 9387  df-oi 9454  df-card 9883  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-z 12508  df-dec 12627  df-uz 12772  df-q 12882  df-rp 12924  df-xneg 13041  df-xadd 13042  df-xmul 13043  df-ioo 13277  df-ico 13279  df-icc 13280  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-seq 13916  df-exp 13977  df-hash 14240  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-struct 17027  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-starv 17156  df-sca 17157  df-vsca 17158  df-ip 17159  df-tset 17160  df-ple 17161  df-ds 17163  df-unif 17164  df-hom 17165  df-cco 17166  df-rest 17312  df-topn 17313  df-0g 17331  df-gsum 17332  df-topgen 17333  df-pt 17334  df-prds 17337  df-xrs 17392  df-qtop 17397  df-imas 17398  df-xps 17400  df-mre 17474  df-mrc 17475  df-acs 17477  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-submnd 18610  df-mulg 18881  df-cntz 19105  df-cmn 19572  df-psmet 20811  df-xmet 20812  df-met 20813  df-bl 20814  df-mopn 20815  df-fbas 20816  df-fg 20817  df-cnfld 20820  df-top 22266  df-topon 22283  df-topsp 22305  df-bases 22319  df-cld 22393  df-ntr 22394  df-cls 22395  df-nei 22472  df-lp 22510  df-perf 22511  df-cn 22601  df-cnp 22602  df-haus 22689  df-cmp 22761  df-tx 22936  df-hmeo 23129  df-fil 23220  df-fm 23312  df-flim 23313  df-flf 23314  df-xms 23696  df-ms 23697  df-tms 23698  df-cncf 24264  df-limc 25253  df-dv 25254
This theorem is referenced by:  logtayl  26038  binomcxplemnotnn0  42728
  Copyright terms: Public domain W3C validator