Theorem dv11cn 24693

Description: Two functions defined on a ball whose derivatives are the same and which are equal at any given point 𝐶 in the ball must be equal everywhere. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dv11cn.x	⊢ 𝑋 = (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)
dv11cn.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
dv11cn.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ*)
dv11cn.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
dv11cn.g	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑋⟶ℂ)
dv11cn.d	⊢ (𝜑 → dom (ℂ D 𝐹) = 𝑋)
dv11cn.e	⊢ (𝜑 → (ℂ D 𝐹) = (ℂ D 𝐺))
dv11cn.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑋)
dv11cn.p	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐶) = (𝐺‘𝐶))

Assertion

Ref	Expression
dv11cn	⊢ (𝜑 → 𝐹 = 𝐺)

Proof of Theorem dv11cn

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dv11cn.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
2	1	ffnd 6500	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝑋)
3		dv11cn.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑋⟶ℂ)
4	3	ffnd 6500	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn 𝑋)
5		dv11cn.x	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)
6	5	ovexi 7185	. . . . 5 ⊢ 𝑋 ∈ V
7	6	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ V)
8		inidm 4124	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∩ 𝑋) = 𝑋
9	2, 4, 7, 7, 8	offn 7418	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f − 𝐺) Fn 𝑋)
10		0cn 10664	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℂ
11		fnconstg 6553	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℂ → (𝑋 × {0}) Fn 𝑋)
12	10, 11	mp1i 13	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 × {0}) Fn 𝑋)
13		subcl 10916	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 − 𝑦) ∈ ℂ)
14	13	adantl 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 − 𝑦) ∈ ℂ)
15	14, 1, 3, 7, 7, 8	off 7423	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f − 𝐺):𝑋⟶ℂ)
16	15	ffvelrnda 6843	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝐹 ∘f − 𝐺)‘𝑥) ∈ ℂ)
17		dv11cn.c	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑋)
18	17	anim1ci 619	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋))
19		cnxmet 23467	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
20		dv11cn.a	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
21		dv11cn.r	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ*)
22		blssm 23113	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑅) ⊆ ℂ)
23	19, 20, 21, 22	mp3an2i 1464	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑅) ⊆ ℂ)
24	5, 23	eqsstrid 3941	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ℂ)
25	1	ffvelrnda 6843	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
26	3	ffvelrnda 6843	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐺‘𝑥) ∈ ℂ)
27	1	feqmptd 6722	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐹‘𝑥)))
28	3	feqmptd 6722	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐺‘𝑥)))
29	7, 25, 26, 27, 28	offval2 7425	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f − 𝐺) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐹‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))))
30	29	oveq2d 7167	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (ℂ D (𝐹 ∘f − 𝐺)) = (ℂ D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐹‘𝑥) − (𝐺‘𝑥)))))
31		cnelprrecn 10661	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ℂ ∈ {ℝ, ℂ}
32	31	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
33		fvexd 6674	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((ℂ D 𝐹)‘𝑥) ∈ V)
34	27	oveq2d 7167	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (ℂ D 𝐹) = (ℂ D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐹‘𝑥))))
35		dvfcn 24600	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (ℂ D 𝐹):dom (ℂ D 𝐹)⟶ℂ
36		dv11cn.d	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → dom (ℂ D 𝐹) = 𝑋)
37	36	feq2d 6485	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((ℂ D 𝐹):dom (ℂ D 𝐹)⟶ℂ ↔ (ℂ D 𝐹):𝑋⟶ℂ))
38	35, 37	mpbii 236	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (ℂ D 𝐹):𝑋⟶ℂ)
39	38	feqmptd 6722	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (ℂ D 𝐹) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((ℂ D 𝐹)‘𝑥)))
40	34, 39	eqtr3d 2796	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (ℂ D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐹‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((ℂ D 𝐹)‘𝑥)))
41		dv11cn.e	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (ℂ D 𝐹) = (ℂ D 𝐺))
42	28	oveq2d 7167	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (ℂ D 𝐺) = (ℂ D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐺‘𝑥))))
43	41, 39, 42	3eqtr3rd 2803	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (ℂ D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐺‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((ℂ D 𝐹)‘𝑥)))
44	32, 25, 33, 40, 26, 33, 43	dvmptsub 24659	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (ℂ D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐹‘𝑥) − (𝐺‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (((ℂ D 𝐹)‘𝑥) − ((ℂ D 𝐹)‘𝑥))))
45	38	ffvelrnda 6843	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((ℂ D 𝐹)‘𝑥) ∈ ℂ)
46	45	subidd 11016	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((ℂ D 𝐹)‘𝑥) − ((ℂ D 𝐹)‘𝑥)) = 0)
47	46	mpteq2dva 5128	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (((ℂ D 𝐹)‘𝑥) − ((ℂ D 𝐹)‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 0))
48		fconstmpt 5584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑋 × {0}) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 0)
49	47, 48	eqtr4di 2812	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (((ℂ D 𝐹)‘𝑥) − ((ℂ D 𝐹)‘𝑥))) = (𝑋 × {0}))
50	30, 44, 49	3eqtrd 2798	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (ℂ D (𝐹 ∘f − 𝐺)) = (𝑋 × {0}))
51	50	dmeqd 5746	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → dom (ℂ D (𝐹 ∘f − 𝐺)) = dom (𝑋 × {0}))
52		snnzg 4668	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 ∈ ℂ → {0} ≠ ∅)
53		dmxp 5771	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ({0} ≠ ∅ → dom (𝑋 × {0}) = 𝑋)
54	10, 52, 53	mp2b 10	. . . . . . . . . . 11 ⊢ dom (𝑋 × {0}) = 𝑋
55	51, 54	eqtrdi 2810	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → dom (ℂ D (𝐹 ∘f − 𝐺)) = 𝑋)
56		eqimss2 3950	. . . . . . . . . 10 ⊢ (dom (ℂ D (𝐹 ∘f − 𝐺)) = 𝑋 → 𝑋 ⊆ dom (ℂ D (𝐹 ∘f − 𝐺)))
57	55, 56	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ dom (ℂ D (𝐹 ∘f − 𝐺)))
58		0red 10675	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
59	50	fveq1d 6661	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((ℂ D (𝐹 ∘f − 𝐺))‘𝑥) = ((𝑋 × {0})‘𝑥))
60		c0ex 10666	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ∈ V
61	60	fvconst2 6958	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 → ((𝑋 × {0})‘𝑥) = 0)
62	59, 61	sylan9eq 2814	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((ℂ D (𝐹 ∘f − 𝐺))‘𝑥) = 0)
63	62	abs00bd 14692	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (abs‘((ℂ D (𝐹 ∘f − 𝐺))‘𝑥)) = 0)
64		0le0 11768	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ≤ 0
65	63, 64	eqbrtrdi 5072	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (abs‘((ℂ D (𝐹 ∘f − 𝐺))‘𝑥)) ≤ 0)
66	24, 15, 20, 21, 5, 57, 58, 65	dvlipcn 24686	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (abs‘(((𝐹 ∘f − 𝐺)‘𝑥) − ((𝐹 ∘f − 𝐺)‘𝐶))) ≤ (0 · (abs‘(𝑥 − 𝐶))))
67	18, 66	syldan 595	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (abs‘(((𝐹 ∘f − 𝐺)‘𝑥) − ((𝐹 ∘f − 𝐺)‘𝐶))) ≤ (0 · (abs‘(𝑥 − 𝐶))))
68	29	fveq1d 6661	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∘f − 𝐺)‘𝐶) = ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐹‘𝑥) − (𝐺‘𝑥)))‘𝐶))
69		fveq2 6659	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝐶))
70		fveq2 6659	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → (𝐺‘𝑥) = (𝐺‘𝐶))
71	69, 70	oveq12d 7169	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → ((𝐹‘𝑥) − (𝐺‘𝑥)) = ((𝐹‘𝐶) − (𝐺‘𝐶)))
72		eqid 2759	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐹‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐹‘𝑥) − (𝐺‘𝑥)))
73		ovex 7184	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹‘𝐶) − (𝐺‘𝐶)) ∈ V
74	71, 72, 73	fvmpt 6760	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑋 → ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐹‘𝑥) − (𝐺‘𝑥)))‘𝐶) = ((𝐹‘𝐶) − (𝐺‘𝐶)))
75	17, 74	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐹‘𝑥) − (𝐺‘𝑥)))‘𝐶) = ((𝐹‘𝐶) − (𝐺‘𝐶)))
76	1, 17	ffvelrnd 6844	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐶) ∈ ℂ)
77		dv11cn.p	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐶) = (𝐺‘𝐶))
78	76, 77	subeq0bd 11097	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐶) − (𝐺‘𝐶)) = 0)
79	68, 75, 78	3eqtrd 2798	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∘f − 𝐺)‘𝐶) = 0)
80	79	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝐹 ∘f − 𝐺)‘𝐶) = 0)
81	80	oveq2d 7167	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((𝐹 ∘f − 𝐺)‘𝑥) − ((𝐹 ∘f − 𝐺)‘𝐶)) = (((𝐹 ∘f − 𝐺)‘𝑥) − 0))
82	16	subid1d 11017	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((𝐹 ∘f − 𝐺)‘𝑥) − 0) = ((𝐹 ∘f − 𝐺)‘𝑥))
83	81, 82	eqtrd 2794	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((𝐹 ∘f − 𝐺)‘𝑥) − ((𝐹 ∘f − 𝐺)‘𝐶)) = ((𝐹 ∘f − 𝐺)‘𝑥))
84	83	fveq2d 6663	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (abs‘(((𝐹 ∘f − 𝐺)‘𝑥) − ((𝐹 ∘f − 𝐺)‘𝐶))) = (abs‘((𝐹 ∘f − 𝐺)‘𝑥)))
85	24	sselda 3893	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ ℂ)
86	24, 17	sseldd 3894	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
87	86	adantr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐶 ∈ ℂ)
88	85, 87	subcld 11028	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑥 − 𝐶) ∈ ℂ)
89	88	abscld 14837	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (abs‘(𝑥 − 𝐶)) ∈ ℝ)
90	89	recnd 10700	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (abs‘(𝑥 − 𝐶)) ∈ ℂ)
91	90	mul02d 10869	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (0 · (abs‘(𝑥 − 𝐶))) = 0)
92	67, 84, 91	3brtr3d 5064	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (abs‘((𝐹 ∘f − 𝐺)‘𝑥)) ≤ 0)
93	16	absge0d 14845	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 0 ≤ (abs‘((𝐹 ∘f − 𝐺)‘𝑥)))
94	16	abscld 14837	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (abs‘((𝐹 ∘f − 𝐺)‘𝑥)) ∈ ℝ)
95		0re 10674	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
96		letri3 10757	. . . . . . 7 ⊢ (((abs‘((𝐹 ∘f − 𝐺)‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((abs‘((𝐹 ∘f − 𝐺)‘𝑥)) = 0 ↔ ((abs‘((𝐹 ∘f − 𝐺)‘𝑥)) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (abs‘((𝐹 ∘f − 𝐺)‘𝑥)))))
97	94, 95, 96	sylancl 590	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((abs‘((𝐹 ∘f − 𝐺)‘𝑥)) = 0 ↔ ((abs‘((𝐹 ∘f − 𝐺)‘𝑥)) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (abs‘((𝐹 ∘f − 𝐺)‘𝑥)))))
98	92, 93, 97	mpbir2and 713	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (abs‘((𝐹 ∘f − 𝐺)‘𝑥)) = 0)
99	16, 98	abs00d 14847	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝐹 ∘f − 𝐺)‘𝑥) = 0)
100	61	adantl 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑋 × {0})‘𝑥) = 0)
101	99, 100	eqtr4d 2797	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝐹 ∘f − 𝐺)‘𝑥) = ((𝑋 × {0})‘𝑥))
102	9, 12, 101	eqfnfvd 6797	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f − 𝐺) = (𝑋 × {0}))
103		ofsubeq0 11664	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝐺:𝑋⟶ℂ) → ((𝐹 ∘f − 𝐺) = (𝑋 × {0}) ↔ 𝐹 = 𝐺))
104	6, 1, 3, 103	mp3an2i 1464	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∘f − 𝐺) = (𝑋 × {0}) ↔ 𝐹 = 𝐺))
105	102, 104	mpbid 235	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = 𝐺)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1539   ∈ wcel 2112   ≠ wne 2952  Vcvv 3410   ⊆ wss 3859  ∅c0 4226  {csn 4523  {cpr 4525   class class class wbr 5033   ↦ cmpt 5113   × cxp 5523  dom cdm 5525   ∘ ccom 5529   Fn wfn 6331  ⟶wf 6332  ‘cfv 6336  (class class class)co 7151   ∘_f cof 7404  ℂcc 10566  ℝcr 10567  0cc0 10568   · cmul 10573  ℝ^*cxr 10705   ≤ cle 10707   − cmin 10901  abscabs 14634  ∞Metcxmet 20144  ballcbl 20146   D cdv 24555

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7460  ax-cnex 10624  ax-resscn 10625  ax-1cn 10626  ax-icn 10627  ax-addcl 10628  ax-addrcl 10629  ax-mulcl 10630  ax-mulrcl 10631  ax-mulcom 10632  ax-addass 10633  ax-mulass 10634  ax-distr 10635  ax-i2m1 10636  ax-1ne0 10637  ax-1rid 10638  ax-rnegex 10639  ax-rrecex 10640  ax-cnre 10641  ax-pre-lttri 10642  ax-pre-lttrn 10643  ax-pre-ltadd 10644  ax-pre-mulgt0 10645  ax-pre-sup 10646  ax-addf 10647  ax-mulf 10648

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-nel 3057  df-ral 3076  df-rex 3077  df-reu 3078  df-rmo 3079  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3698  df-csb 3807  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3876  df-pss 3878  df-nul 4227  df-if 4422  df-pw 4497  df-sn 4524  df-pr 4526  df-tp 4528  df-op 4530  df-uni 4800  df-int 4840  df-iun 4886  df-iin 4887  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5431  df-eprel 5436  df-po 5444  df-so 5445  df-fr 5484  df-se 5485  df-we 5486  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6127  df-ord 6173  df-on 6174  df-lim 6175  df-suc 6176  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-isom 6345  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-of 7406  df-om 7581  df-1st 7694  df-2nd 7695  df-supp 7837  df-wrecs 7958  df-recs 8019  df-rdg 8057  df-1o 8113  df-2o 8114  df-oadd 8117  df-er 8300  df-map 8419  df-pm 8420  df-ixp 8481  df-en 8529  df-dom 8530  df-sdom 8531  df-fin 8532  df-fsupp 8860  df-fi 8901  df-sup 8932  df-inf 8933  df-oi 9000  df-card 9394  df-pnf 10708  df-mnf 10709  df-xr 10710  df-ltxr 10711  df-le 10712  df-sub 10903  df-neg 10904  df-div 11329  df-nn 11668  df-2 11730  df-3 11731  df-4 11732  df-5 11733  df-6 11734  df-7 11735  df-8 11736  df-9 11737  df-n0 11928  df-z 12014  df-dec 12131  df-uz 12276  df-q 12382  df-rp 12424  df-xneg 12541  df-xadd 12542  df-xmul 12543  df-ioo 12776  df-ico 12778  df-icc 12779  df-fz 12933  df-fzo 13076  df-seq 13412  df-exp 13473  df-hash 13734  df-cj 14499  df-re 14500  df-im 14501  df-sqrt 14635  df-abs 14636  df-struct 16536  df-ndx 16537  df-slot 16538  df-base 16540  df-sets 16541  df-ress 16542  df-plusg 16629  df-mulr 16630  df-starv 16631  df-sca 16632  df-vsca 16633  df-ip 16634  df-tset 16635  df-ple 16636  df-ds 16638  df-unif 16639  df-hom 16640  df-cco 16641  df-rest 16747  df-topn 16748  df-0g 16766  df-gsum 16767  df-topgen 16768  df-pt 16769  df-prds 16772  df-xrs 16826  df-qtop 16831  df-imas 16832  df-xps 16834  df-mre 16908  df-mrc 16909  df-acs 16911  df-mgm 17911  df-sgrp 17960  df-mnd 17971  df-submnd 18016  df-mulg 18285  df-cntz 18507  df-cmn 18968  df-psmet 20151  df-xmet 20152  df-met 20153  df-bl 20154  df-mopn 20155  df-fbas 20156  df-fg 20157  df-cnfld 20160  df-top 21587  df-topon 21604  df-topsp 21626  df-bases 21639  df-cld 21712  df-ntr 21713  df-cls 21714  df-nei 21791  df-lp 21829  df-perf 21830  df-cn 21920  df-cnp 21921  df-haus 22008  df-cmp 22080  df-tx 22255  df-hmeo 22448  df-fil 22539  df-fm 22631  df-flim 22632  df-flf 22633  df-xms 23015  df-ms 23016  df-tms 23017  df-cncf 23572  df-limc 24558  df-dv 24559

This theorem is referenced by:  logtayl  25343  binomcxplemnotnn0  41426