MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dv11cn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dv11cn 25509
Description: Two functions defined on a ball whose derivatives are the same and which are equal at any given point 𝐶 in the ball must be equal everywhere. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dv11cn.x 𝑋 = (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)
dv11cn.a (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
dv11cn.r (𝜑𝑅 ∈ ℝ*)
dv11cn.f (𝜑𝐹:𝑋⟶ℂ)
dv11cn.g (𝜑𝐺:𝑋⟶ℂ)
dv11cn.d (𝜑 → dom (ℂ D 𝐹) = 𝑋)
dv11cn.e (𝜑 → (ℂ D 𝐹) = (ℂ D 𝐺))
dv11cn.c (𝜑𝐶𝑋)
dv11cn.p (𝜑 → (𝐹𝐶) = (𝐺𝐶))
Assertion
Ref Expression
dv11cn (𝜑𝐹 = 𝐺)

Proof of Theorem dv11cn
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dv11cn.f . . . . 5 (𝜑𝐹:𝑋⟶ℂ)
21ffnd 6715 . . . 4 (𝜑𝐹 Fn 𝑋)
3 dv11cn.g . . . . 5 (𝜑𝐺:𝑋⟶ℂ)
43ffnd 6715 . . . 4 (𝜑𝐺 Fn 𝑋)
5 dv11cn.x . . . . . 6 𝑋 = (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)
65ovexi 7439 . . . . 5 𝑋 ∈ V
76a1i 11 . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ V)
8 inidm 4217 . . . 4 (𝑋𝑋) = 𝑋
92, 4, 7, 7, 8offn 7679 . . 3 (𝜑 → (𝐹f𝐺) Fn 𝑋)
10 0cn 11202 . . . 4 0 ∈ ℂ
11 fnconstg 6776 . . . 4 (0 ∈ ℂ → (𝑋 × {0}) Fn 𝑋)
1210, 11mp1i 13 . . 3 (𝜑 → (𝑋 × {0}) Fn 𝑋)
13 subcl 11455 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥𝑦) ∈ ℂ)
1413adantl 482 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥𝑦) ∈ ℂ)
1514, 1, 3, 7, 7, 8off 7684 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹f𝐺):𝑋⟶ℂ)
1615ffvelcdmda 7083 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝐹f𝐺)‘𝑥) ∈ ℂ)
17 dv11cn.c . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶𝑋)
1817anim1ci 616 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝑥𝑋𝐶𝑋))
19 cnxmet 24280 . . . . . . . . . . 11 (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
20 dv11cn.a . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
21 dv11cn.r . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑅 ∈ ℝ*)
22 blssm 23915 . . . . . . . . . . 11 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑅) ⊆ ℂ)
2319, 20, 21, 22mp3an2i 1466 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑅) ⊆ ℂ)
245, 23eqsstrid 4029 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋 ⊆ ℂ)
251ffvelcdmda 7083 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
263ffvelcdmda 7083 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐺𝑥) ∈ ℂ)
271feqmptd 6957 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ (𝐹𝑥)))
283feqmptd 6957 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐺 = (𝑥𝑋 ↦ (𝐺𝑥)))
297, 25, 26, 27, 28offval2 7686 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐹f𝐺) = (𝑥𝑋 ↦ ((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))))
3029oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (ℂ D (𝐹f𝐺)) = (ℂ D (𝑥𝑋 ↦ ((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥)))))
31 cnelprrecn 11199 . . . . . . . . . . . . . . 15 ℂ ∈ {ℝ, ℂ}
3231a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
33 fvexd 6903 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝑋) → ((ℂ D 𝐹)‘𝑥) ∈ V)
3427oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (ℂ D 𝐹) = (ℂ D (𝑥𝑋 ↦ (𝐹𝑥))))
35 dvfcn 25416 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (ℂ D 𝐹):dom (ℂ D 𝐹)⟶ℂ
36 dv11cn.d . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → dom (ℂ D 𝐹) = 𝑋)
3736feq2d 6700 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((ℂ D 𝐹):dom (ℂ D 𝐹)⟶ℂ ↔ (ℂ D 𝐹):𝑋⟶ℂ))
3835, 37mpbii 232 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (ℂ D 𝐹):𝑋⟶ℂ)
3938feqmptd 6957 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (ℂ D 𝐹) = (𝑥𝑋 ↦ ((ℂ D 𝐹)‘𝑥)))
4034, 39eqtr3d 2774 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (ℂ D (𝑥𝑋 ↦ (𝐹𝑥))) = (𝑥𝑋 ↦ ((ℂ D 𝐹)‘𝑥)))
41 dv11cn.e . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (ℂ D 𝐹) = (ℂ D 𝐺))
4228oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (ℂ D 𝐺) = (ℂ D (𝑥𝑋 ↦ (𝐺𝑥))))
4341, 39, 423eqtr3rd 2781 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (ℂ D (𝑥𝑋 ↦ (𝐺𝑥))) = (𝑥𝑋 ↦ ((ℂ D 𝐹)‘𝑥)))
4432, 25, 33, 40, 26, 33, 43dvmptsub 25475 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (ℂ D (𝑥𝑋 ↦ ((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥)))) = (𝑥𝑋 ↦ (((ℂ D 𝐹)‘𝑥) − ((ℂ D 𝐹)‘𝑥))))
4538ffvelcdmda 7083 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥𝑋) → ((ℂ D 𝐹)‘𝑥) ∈ ℂ)
4645subidd 11555 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥𝑋) → (((ℂ D 𝐹)‘𝑥) − ((ℂ D 𝐹)‘𝑥)) = 0)
4746mpteq2dva 5247 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ (((ℂ D 𝐹)‘𝑥) − ((ℂ D 𝐹)‘𝑥))) = (𝑥𝑋 ↦ 0))
48 fconstmpt 5736 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑋 × {0}) = (𝑥𝑋 ↦ 0)
4947, 48eqtr4di 2790 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ (((ℂ D 𝐹)‘𝑥) − ((ℂ D 𝐹)‘𝑥))) = (𝑋 × {0}))
5030, 44, 493eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (ℂ D (𝐹f𝐺)) = (𝑋 × {0}))
5150dmeqd 5903 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → dom (ℂ D (𝐹f𝐺)) = dom (𝑋 × {0}))
52 snnzg 4777 . . . . . . . . . . . 12 (0 ∈ ℂ → {0} ≠ ∅)
53 dmxp 5926 . . . . . . . . . . . 12 ({0} ≠ ∅ → dom (𝑋 × {0}) = 𝑋)
5410, 52, 53mp2b 10 . . . . . . . . . . 11 dom (𝑋 × {0}) = 𝑋
5551, 54eqtrdi 2788 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → dom (ℂ D (𝐹f𝐺)) = 𝑋)
56 eqimss2 4040 . . . . . . . . . 10 (dom (ℂ D (𝐹f𝐺)) = 𝑋𝑋 ⊆ dom (ℂ D (𝐹f𝐺)))
5755, 56syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋 ⊆ dom (ℂ D (𝐹f𝐺)))
58 0red 11213 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
5950fveq1d 6890 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((ℂ D (𝐹f𝐺))‘𝑥) = ((𝑋 × {0})‘𝑥))
60 c0ex 11204 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ V
6160fvconst2 7201 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥𝑋 → ((𝑋 × {0})‘𝑥) = 0)
6259, 61sylan9eq 2792 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝑋) → ((ℂ D (𝐹f𝐺))‘𝑥) = 0)
6362abs00bd 15234 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝑋) → (abs‘((ℂ D (𝐹f𝐺))‘𝑥)) = 0)
64 0le0 12309 . . . . . . . . . 10 0 ≤ 0
6563, 64eqbrtrdi 5186 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝑋) → (abs‘((ℂ D (𝐹f𝐺))‘𝑥)) ≤ 0)
6624, 15, 20, 21, 5, 57, 58, 65dvlipcn 25502 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝐶𝑋)) → (abs‘(((𝐹f𝐺)‘𝑥) − ((𝐹f𝐺)‘𝐶))) ≤ (0 · (abs‘(𝑥𝐶))))
6718, 66syldan 591 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → (abs‘(((𝐹f𝐺)‘𝑥) − ((𝐹f𝐺)‘𝐶))) ≤ (0 · (abs‘(𝑥𝐶))))
6829fveq1d 6890 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐹f𝐺)‘𝐶) = ((𝑥𝑋 ↦ ((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥)))‘𝐶))
69 fveq2 6888 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝐶 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝐶))
70 fveq2 6888 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝐶 → (𝐺𝑥) = (𝐺𝐶))
7169, 70oveq12d 7423 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝐶 → ((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥)) = ((𝐹𝐶) − (𝐺𝐶)))
72 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥𝑋 ↦ ((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))) = (𝑥𝑋 ↦ ((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥)))
73 ovex 7438 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹𝐶) − (𝐺𝐶)) ∈ V
7471, 72, 73fvmpt 6995 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐶𝑋 → ((𝑥𝑋 ↦ ((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥)))‘𝐶) = ((𝐹𝐶) − (𝐺𝐶)))
7517, 74syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑥𝑋 ↦ ((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥)))‘𝐶) = ((𝐹𝐶) − (𝐺𝐶)))
761, 17ffvelcdmd 7084 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐹𝐶) ∈ ℂ)
77 dv11cn.p . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐹𝐶) = (𝐺𝐶))
7876, 77subeq0bd 11636 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐹𝐶) − (𝐺𝐶)) = 0)
7968, 75, 783eqtrd 2776 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐹f𝐺)‘𝐶) = 0)
8079adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝐹f𝐺)‘𝐶) = 0)
8180oveq2d 7421 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝑋) → (((𝐹f𝐺)‘𝑥) − ((𝐹f𝐺)‘𝐶)) = (((𝐹f𝐺)‘𝑥) − 0))
8216subid1d 11556 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝑋) → (((𝐹f𝐺)‘𝑥) − 0) = ((𝐹f𝐺)‘𝑥))
8381, 82eqtrd 2772 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑋) → (((𝐹f𝐺)‘𝑥) − ((𝐹f𝐺)‘𝐶)) = ((𝐹f𝐺)‘𝑥))
8483fveq2d 6892 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → (abs‘(((𝐹f𝐺)‘𝑥) − ((𝐹f𝐺)‘𝐶))) = (abs‘((𝐹f𝐺)‘𝑥)))
8524sselda 3981 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑥 ∈ ℂ)
8624, 17sseldd 3982 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
8786adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐶 ∈ ℂ)
8885, 87subcld 11567 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝑥𝐶) ∈ ℂ)
8988abscld 15379 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝑋) → (abs‘(𝑥𝐶)) ∈ ℝ)
9089recnd 11238 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑋) → (abs‘(𝑥𝐶)) ∈ ℂ)
9190mul02d 11408 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → (0 · (abs‘(𝑥𝐶))) = 0)
9267, 84, 913brtr3d 5178 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → (abs‘((𝐹f𝐺)‘𝑥)) ≤ 0)
9316absge0d 15387 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → 0 ≤ (abs‘((𝐹f𝐺)‘𝑥)))
9416abscld 15379 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → (abs‘((𝐹f𝐺)‘𝑥)) ∈ ℝ)
95 0re 11212 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ
96 letri3 11295 . . . . . . 7 (((abs‘((𝐹f𝐺)‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((abs‘((𝐹f𝐺)‘𝑥)) = 0 ↔ ((abs‘((𝐹f𝐺)‘𝑥)) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (abs‘((𝐹f𝐺)‘𝑥)))))
9794, 95, 96sylancl 586 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → ((abs‘((𝐹f𝐺)‘𝑥)) = 0 ↔ ((abs‘((𝐹f𝐺)‘𝑥)) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (abs‘((𝐹f𝐺)‘𝑥)))))
9892, 93, 97mpbir2and 711 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → (abs‘((𝐹f𝐺)‘𝑥)) = 0)
9916, 98abs00d 15389 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝐹f𝐺)‘𝑥) = 0)
10061adantl 482 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝑋 × {0})‘𝑥) = 0)
10199, 100eqtr4d 2775 . . 3 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝐹f𝐺)‘𝑥) = ((𝑋 × {0})‘𝑥))
1029, 12, 101eqfnfvd 7032 . 2 (𝜑 → (𝐹f𝐺) = (𝑋 × {0}))
103 ofsubeq0 12205 . . 3 ((𝑋 ∈ V ∧ 𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝐺:𝑋⟶ℂ) → ((𝐹f𝐺) = (𝑋 × {0}) ↔ 𝐹 = 𝐺))
1046, 1, 3, 103mp3an2i 1466 . 2 (𝜑 → ((𝐹f𝐺) = (𝑋 × {0}) ↔ 𝐹 = 𝐺))
105102, 104mpbid 231 1 (𝜑𝐹 = 𝐺)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2940  Vcvv 3474  wss 3947  c0 4321  {csn 4627  {cpr 4629   class class class wbr 5147  cmpt 5230   × cxp 5673  dom cdm 5675  ccom 5679   Fn wfn 6535  wf 6536  cfv 6540  (class class class)co 7405  f cof 7664  cc 11104  cr 11105  0cc0 11106   · cmul 11111  *cxr 11243  cle 11245  cmin 11440  abscabs 15177  ∞Metcxmet 20921  ballcbl 20923   D cdv 25371
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ioo 13324  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-hom 17217  df-cco 17218  df-rest 17364  df-topn 17365  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-topgen 17385  df-pt 17386  df-prds 17389  df-xrs 17444  df-qtop 17449  df-imas 17450  df-xps 17452  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-submnd 18668  df-mulg 18945  df-cntz 19175  df-cmn 19644  df-psmet 20928  df-xmet 20929  df-met 20930  df-bl 20931  df-mopn 20932  df-fbas 20933  df-fg 20934  df-cnfld 20937  df-top 22387  df-topon 22404  df-topsp 22426  df-bases 22440  df-cld 22514  df-ntr 22515  df-cls 22516  df-nei 22593  df-lp 22631  df-perf 22632  df-cn 22722  df-cnp 22723  df-haus 22810  df-cmp 22882  df-tx 23057  df-hmeo 23250  df-fil 23341  df-fm 23433  df-flim 23434  df-flf 23435  df-xms 23817  df-ms 23818  df-tms 23819  df-cncf 24385  df-limc 25374  df-dv 25375
This theorem is referenced by:  logtayl  26159  binomcxplemnotnn0  43100
  Copyright terms: Public domain W3C validator