MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dv11cn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dv11cn 24597
Description: Two functions defined on a ball whose derivatives are the same and which are equal at any given point 𝐶 in the ball must be equal everywhere. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dv11cn.x 𝑋 = (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)
dv11cn.a (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
dv11cn.r (𝜑𝑅 ∈ ℝ*)
dv11cn.f (𝜑𝐹:𝑋⟶ℂ)
dv11cn.g (𝜑𝐺:𝑋⟶ℂ)
dv11cn.d (𝜑 → dom (ℂ D 𝐹) = 𝑋)
dv11cn.e (𝜑 → (ℂ D 𝐹) = (ℂ D 𝐺))
dv11cn.c (𝜑𝐶𝑋)
dv11cn.p (𝜑 → (𝐹𝐶) = (𝐺𝐶))
Assertion
Ref Expression
dv11cn (𝜑𝐹 = 𝐺)

Proof of Theorem dv11cn
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dv11cn.f . . . . 5 (𝜑𝐹:𝑋⟶ℂ)
21ffnd 6514 . . . 4 (𝜑𝐹 Fn 𝑋)
3 dv11cn.g . . . . 5 (𝜑𝐺:𝑋⟶ℂ)
43ffnd 6514 . . . 4 (𝜑𝐺 Fn 𝑋)
5 dv11cn.x . . . . . 6 𝑋 = (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)
65ovexi 7189 . . . . 5 𝑋 ∈ V
76a1i 11 . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ V)
8 inidm 4194 . . . 4 (𝑋𝑋) = 𝑋
92, 4, 7, 7, 8offn 7419 . . 3 (𝜑 → (𝐹f𝐺) Fn 𝑋)
10 0cn 10632 . . . 4 0 ∈ ℂ
11 fnconstg 6566 . . . 4 (0 ∈ ℂ → (𝑋 × {0}) Fn 𝑋)
1210, 11mp1i 13 . . 3 (𝜑 → (𝑋 × {0}) Fn 𝑋)
13 subcl 10884 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥𝑦) ∈ ℂ)
1413adantl 484 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥𝑦) ∈ ℂ)
1514, 1, 3, 7, 7, 8off 7423 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹f𝐺):𝑋⟶ℂ)
1615ffvelrnda 6850 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝐹f𝐺)‘𝑥) ∈ ℂ)
17 dv11cn.c . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶𝑋)
1817anim1ci 617 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝑥𝑋𝐶𝑋))
19 cnxmet 23380 . . . . . . . . . . 11 (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
20 dv11cn.a . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
21 dv11cn.r . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑅 ∈ ℝ*)
22 blssm 23027 . . . . . . . . . . 11 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑅) ⊆ ℂ)
2319, 20, 21, 22mp3an2i 1462 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴(ball‘(abs ∘ − ))𝑅) ⊆ ℂ)
245, 23eqsstrid 4014 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋 ⊆ ℂ)
251ffvelrnda 6850 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
263ffvelrnda 6850 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐺𝑥) ∈ ℂ)
271feqmptd 6732 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ (𝐹𝑥)))
283feqmptd 6732 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐺 = (𝑥𝑋 ↦ (𝐺𝑥)))
297, 25, 26, 27, 28offval2 7425 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐹f𝐺) = (𝑥𝑋 ↦ ((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))))
3029oveq2d 7171 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (ℂ D (𝐹f𝐺)) = (ℂ D (𝑥𝑋 ↦ ((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥)))))
31 cnelprrecn 10629 . . . . . . . . . . . . . . 15 ℂ ∈ {ℝ, ℂ}
3231a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
33 fvexd 6684 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝑋) → ((ℂ D 𝐹)‘𝑥) ∈ V)
3427oveq2d 7171 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (ℂ D 𝐹) = (ℂ D (𝑥𝑋 ↦ (𝐹𝑥))))
35 dvfcn 24505 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (ℂ D 𝐹):dom (ℂ D 𝐹)⟶ℂ
36 dv11cn.d . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → dom (ℂ D 𝐹) = 𝑋)
3736feq2d 6499 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((ℂ D 𝐹):dom (ℂ D 𝐹)⟶ℂ ↔ (ℂ D 𝐹):𝑋⟶ℂ))
3835, 37mpbii 235 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (ℂ D 𝐹):𝑋⟶ℂ)
3938feqmptd 6732 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (ℂ D 𝐹) = (𝑥𝑋 ↦ ((ℂ D 𝐹)‘𝑥)))
4034, 39eqtr3d 2858 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (ℂ D (𝑥𝑋 ↦ (𝐹𝑥))) = (𝑥𝑋 ↦ ((ℂ D 𝐹)‘𝑥)))
41 dv11cn.e . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (ℂ D 𝐹) = (ℂ D 𝐺))
4228oveq2d 7171 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (ℂ D 𝐺) = (ℂ D (𝑥𝑋 ↦ (𝐺𝑥))))
4341, 39, 423eqtr3rd 2865 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (ℂ D (𝑥𝑋 ↦ (𝐺𝑥))) = (𝑥𝑋 ↦ ((ℂ D 𝐹)‘𝑥)))
4432, 25, 33, 40, 26, 33, 43dvmptsub 24563 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (ℂ D (𝑥𝑋 ↦ ((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥)))) = (𝑥𝑋 ↦ (((ℂ D 𝐹)‘𝑥) − ((ℂ D 𝐹)‘𝑥))))
4538ffvelrnda 6850 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥𝑋) → ((ℂ D 𝐹)‘𝑥) ∈ ℂ)
4645subidd 10984 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥𝑋) → (((ℂ D 𝐹)‘𝑥) − ((ℂ D 𝐹)‘𝑥)) = 0)
4746mpteq2dva 5160 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ (((ℂ D 𝐹)‘𝑥) − ((ℂ D 𝐹)‘𝑥))) = (𝑥𝑋 ↦ 0))
48 fconstmpt 5613 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑋 × {0}) = (𝑥𝑋 ↦ 0)
4947, 48syl6eqr 2874 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ (((ℂ D 𝐹)‘𝑥) − ((ℂ D 𝐹)‘𝑥))) = (𝑋 × {0}))
5030, 44, 493eqtrd 2860 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (ℂ D (𝐹f𝐺)) = (𝑋 × {0}))
5150dmeqd 5773 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → dom (ℂ D (𝐹f𝐺)) = dom (𝑋 × {0}))
52 snnzg 4709 . . . . . . . . . . . 12 (0 ∈ ℂ → {0} ≠ ∅)
53 dmxp 5798 . . . . . . . . . . . 12 ({0} ≠ ∅ → dom (𝑋 × {0}) = 𝑋)
5410, 52, 53mp2b 10 . . . . . . . . . . 11 dom (𝑋 × {0}) = 𝑋
5551, 54syl6eq 2872 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → dom (ℂ D (𝐹f𝐺)) = 𝑋)
56 eqimss2 4023 . . . . . . . . . 10 (dom (ℂ D (𝐹f𝐺)) = 𝑋𝑋 ⊆ dom (ℂ D (𝐹f𝐺)))
5755, 56syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋 ⊆ dom (ℂ D (𝐹f𝐺)))
58 0red 10643 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
5950fveq1d 6671 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((ℂ D (𝐹f𝐺))‘𝑥) = ((𝑋 × {0})‘𝑥))
60 c0ex 10634 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ V
6160fvconst2 6965 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥𝑋 → ((𝑋 × {0})‘𝑥) = 0)
6259, 61sylan9eq 2876 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝑋) → ((ℂ D (𝐹f𝐺))‘𝑥) = 0)
6362abs00bd 14650 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝑋) → (abs‘((ℂ D (𝐹f𝐺))‘𝑥)) = 0)
64 0le0 11737 . . . . . . . . . 10 0 ≤ 0
6563, 64eqbrtrdi 5104 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝑋) → (abs‘((ℂ D (𝐹f𝐺))‘𝑥)) ≤ 0)
6624, 15, 20, 21, 5, 57, 58, 65dvlipcn 24590 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝐶𝑋)) → (abs‘(((𝐹f𝐺)‘𝑥) − ((𝐹f𝐺)‘𝐶))) ≤ (0 · (abs‘(𝑥𝐶))))
6718, 66syldan 593 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → (abs‘(((𝐹f𝐺)‘𝑥) − ((𝐹f𝐺)‘𝐶))) ≤ (0 · (abs‘(𝑥𝐶))))
6829fveq1d 6671 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐹f𝐺)‘𝐶) = ((𝑥𝑋 ↦ ((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥)))‘𝐶))
69 fveq2 6669 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝐶 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝐶))
70 fveq2 6669 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝐶 → (𝐺𝑥) = (𝐺𝐶))
7169, 70oveq12d 7173 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝐶 → ((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥)) = ((𝐹𝐶) − (𝐺𝐶)))
72 eqid 2821 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥𝑋 ↦ ((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))) = (𝑥𝑋 ↦ ((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥)))
73 ovex 7188 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹𝐶) − (𝐺𝐶)) ∈ V
7471, 72, 73fvmpt 6767 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐶𝑋 → ((𝑥𝑋 ↦ ((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥)))‘𝐶) = ((𝐹𝐶) − (𝐺𝐶)))
7517, 74syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑥𝑋 ↦ ((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥)))‘𝐶) = ((𝐹𝐶) − (𝐺𝐶)))
761, 17ffvelrnd 6851 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐹𝐶) ∈ ℂ)
77 dv11cn.p . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐹𝐶) = (𝐺𝐶))
7876, 77subeq0bd 11065 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐹𝐶) − (𝐺𝐶)) = 0)
7968, 75, 783eqtrd 2860 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐹f𝐺)‘𝐶) = 0)
8079adantr 483 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝐹f𝐺)‘𝐶) = 0)
8180oveq2d 7171 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝑋) → (((𝐹f𝐺)‘𝑥) − ((𝐹f𝐺)‘𝐶)) = (((𝐹f𝐺)‘𝑥) − 0))
8216subid1d 10985 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝑋) → (((𝐹f𝐺)‘𝑥) − 0) = ((𝐹f𝐺)‘𝑥))
8381, 82eqtrd 2856 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑋) → (((𝐹f𝐺)‘𝑥) − ((𝐹f𝐺)‘𝐶)) = ((𝐹f𝐺)‘𝑥))
8483fveq2d 6673 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → (abs‘(((𝐹f𝐺)‘𝑥) − ((𝐹f𝐺)‘𝐶))) = (abs‘((𝐹f𝐺)‘𝑥)))
8524sselda 3966 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑥 ∈ ℂ)
8624, 17sseldd 3967 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
8786adantr 483 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐶 ∈ ℂ)
8885, 87subcld 10996 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝑥𝐶) ∈ ℂ)
8988abscld 14795 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝑋) → (abs‘(𝑥𝐶)) ∈ ℝ)
9089recnd 10668 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑋) → (abs‘(𝑥𝐶)) ∈ ℂ)
9190mul02d 10837 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → (0 · (abs‘(𝑥𝐶))) = 0)
9267, 84, 913brtr3d 5096 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → (abs‘((𝐹f𝐺)‘𝑥)) ≤ 0)
9316absge0d 14803 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → 0 ≤ (abs‘((𝐹f𝐺)‘𝑥)))
9416abscld 14795 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → (abs‘((𝐹f𝐺)‘𝑥)) ∈ ℝ)
95 0re 10642 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ
96 letri3 10725 . . . . . . 7 (((abs‘((𝐹f𝐺)‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((abs‘((𝐹f𝐺)‘𝑥)) = 0 ↔ ((abs‘((𝐹f𝐺)‘𝑥)) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (abs‘((𝐹f𝐺)‘𝑥)))))
9794, 95, 96sylancl 588 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → ((abs‘((𝐹f𝐺)‘𝑥)) = 0 ↔ ((abs‘((𝐹f𝐺)‘𝑥)) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (abs‘((𝐹f𝐺)‘𝑥)))))
9892, 93, 97mpbir2and 711 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → (abs‘((𝐹f𝐺)‘𝑥)) = 0)
9916, 98abs00d 14805 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝐹f𝐺)‘𝑥) = 0)
10061adantl 484 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝑋 × {0})‘𝑥) = 0)
10199, 100eqtr4d 2859 . . 3 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝐹f𝐺)‘𝑥) = ((𝑋 × {0})‘𝑥))
1029, 12, 101eqfnfvd 6804 . 2 (𝜑 → (𝐹f𝐺) = (𝑋 × {0}))
103 ofsubeq0 11634 . . 3 ((𝑋 ∈ V ∧ 𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝐺:𝑋⟶ℂ) → ((𝐹f𝐺) = (𝑋 × {0}) ↔ 𝐹 = 𝐺))
1046, 1, 3, 103mp3an2i 1462 . 2 (𝜑 → ((𝐹f𝐺) = (𝑋 × {0}) ↔ 𝐹 = 𝐺))
105102, 104mpbid 234 1 (𝜑𝐹 = 𝐺)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 208  wa 398   = wceq 1533  wcel 2110  wne 3016  Vcvv 3494  wss 3935  c0 4290  {csn 4566  {cpr 4568   class class class wbr 5065  cmpt 5145   × cxp 5552  dom cdm 5554  ccom 5558   Fn wfn 6349  wf 6350  cfv 6354  (class class class)co 7155  f cof 7406  cc 10534  cr 10535  0cc0 10536   · cmul 10541  *cxr 10673  cle 10675  cmin 10869  abscabs 14592  ∞Metcxmet 20529  ballcbl 20531   D cdv 24460
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5189  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613  ax-pre-sup 10614  ax-addf 10615  ax-mulf 10616
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4838  df-int 4876  df-iun 4920  df-iin 4921  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-tr 5172  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-se 5514  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-isom 6363  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-of 7408  df-om 7580  df-1st 7688  df-2nd 7689  df-supp 7830  df-wrecs 7946  df-recs 8007  df-rdg 8045  df-1o 8101  df-2o 8102  df-oadd 8105  df-er 8288  df-map 8407  df-pm 8408  df-ixp 8461  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-fin 8512  df-fsupp 8833  df-fi 8874  df-sup 8905  df-inf 8906  df-oi 8973  df-card 9367  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-div 11297  df-nn 11638  df-2 11699  df-3 11700  df-4 11701  df-5 11702  df-6 11703  df-7 11704  df-8 11705  df-9 11706  df-n0 11897  df-z 11981  df-dec 12098  df-uz 12243  df-q 12348  df-rp 12389  df-xneg 12506  df-xadd 12507  df-xmul 12508  df-ioo 12741  df-ico 12743  df-icc 12744  df-fz 12892  df-fzo 13033  df-seq 13369  df-exp 13429  df-hash 13690  df-cj 14457  df-re 14458  df-im 14459  df-sqrt 14593  df-abs 14594  df-struct 16484  df-ndx 16485  df-slot 16486  df-base 16488  df-sets 16489  df-ress 16490  df-plusg 16577  df-mulr 16578  df-starv 16579  df-sca 16580  df-vsca 16581  df-ip 16582  df-tset 16583  df-ple 16584  df-ds 16586  df-unif 16587  df-hom 16588  df-cco 16589  df-rest 16695  df-topn 16696  df-0g 16714  df-gsum 16715  df-topgen 16716  df-pt 16717  df-prds 16720  df-xrs 16774  df-qtop 16779  df-imas 16780  df-xps 16782  df-mre 16856  df-mrc 16857  df-acs 16859  df-mgm 17851  df-sgrp 17900  df-mnd 17911  df-submnd 17956  df-mulg 18224  df-cntz 18446  df-cmn 18907  df-psmet 20536  df-xmet 20537  df-met 20538  df-bl 20539  df-mopn 20540  df-fbas 20541  df-fg 20542  df-cnfld 20545  df-top 21501  df-topon 21518  df-topsp 21540  df-bases 21553  df-cld 21626  df-ntr 21627  df-cls 21628  df-nei 21705  df-lp 21743  df-perf 21744  df-cn 21834  df-cnp 21835  df-haus 21922  df-cmp 21994  df-tx 22169  df-hmeo 22362  df-fil 22453  df-fm 22545  df-flim 22546  df-flf 22547  df-xms 22929  df-ms 22930  df-tms 22931  df-cncf 23485  df-limc 24463  df-dv 24464
This theorem is referenced by:  logtayl  25242  binomcxplemnotnn0  40686
  Copyright terms: Public domain W3C validator