Theorem efgrcl 18440

Description: Lemma for efgval 18442. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Feb-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
efgval.w	⊢ 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜))

Assertion

Ref	Expression
efgrcl	⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑊 = Word (𝐼 × 2𝑜)))

Proof of Theorem efgrcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2on0 7810	. . . 4 ⊢ 2𝑜 ≠ ∅
2		dmxp 5548	. . . 4 ⊢ (2𝑜 ≠ ∅ → dom (𝐼 × 2𝑜) = 𝐼)
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ dom (𝐼 × 2𝑜) = 𝐼
4		elfvex 6446	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜)) → Word (𝐼 × 2𝑜) ∈ V)
5		efgval.w	. . . . . 6 ⊢ 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜))
6	4, 5	eleq2s 2897	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → Word (𝐼 × 2𝑜) ∈ V)
7		wrdexb 13544	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 × 2𝑜) ∈ V ↔ Word (𝐼 × 2𝑜) ∈ V)
8	6, 7	sylibr 226	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → (𝐼 × 2𝑜) ∈ V)
9	8	dmexd 7334	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → dom (𝐼 × 2𝑜) ∈ V)
10	3, 9	syl5eqelr 2884	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → 𝐼 ∈ V)
11		fvi 6481	. . . 4 ⊢ (Word (𝐼 × 2𝑜) ∈ V → ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜)) = Word (𝐼 × 2𝑜))
12	6, 11	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜)) = Word (𝐼 × 2𝑜))
13	5, 12	syl5eq 2846	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → 𝑊 = Word (𝐼 × 2𝑜))
14	10, 13	jca 508	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑊 = Word (𝐼 × 2𝑜)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 385   = wceq 1653   ∈ wcel 2157   ≠ wne 2972  Vcvv 3386  ∅c0 4116   I cid 5220   × cxp 5311  dom cdm 5313  ‘cfv 6102  2_𝑜c2o 7794  Word cword 13533

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2378  ax-ext 2778  ax-rep 4965  ax-sep 4976  ax-nul 4984  ax-pow 5036  ax-pr 5098  ax-un 7184  ax-cnex 10281  ax-resscn 10282  ax-1cn 10283  ax-icn 10284  ax-addcl 10285  ax-addrcl 10286  ax-mulcl 10287  ax-mulrcl 10288  ax-mulcom 10289  ax-addass 10290  ax-mulass 10291  ax-distr 10292  ax-i2m1 10293  ax-1ne0 10294  ax-1rid 10295  ax-rnegex 10296  ax-rrecex 10297  ax-cnre 10298  ax-pre-lttri 10299  ax-pre-lttrn 10300  ax-pre-ltadd 10301  ax-pre-mulgt0 10302

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2592  df-eu 2610  df-clab 2787  df-cleq 2793  df-clel 2796  df-nfc 2931  df-ne 2973  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3388  df-sbc 3635  df-csb 3730  df-dif 3773  df-un 3775  df-in 3777  df-ss 3784  df-pss 3786  df-nul 4117  df-if 4279  df-pw 4352  df-sn 4370  df-pr 4372  df-tp 4374  df-op 4376  df-uni 4630  df-iun 4713  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-tr 4947  df-id 5221  df-eprel 5226  df-po 5234  df-so 5235  df-fr 5272  df-we 5274  df-xp 5319  df-rel 5320  df-cnv 5321  df-co 5322  df-dm 5323  df-rn 5324  df-res 5325  df-ima 5326  df-pred 5899  df-ord 5945  df-on 5946  df-lim 5947  df-suc 5948  df-iota 6065  df-fun 6104  df-fn 6105  df-f 6106  df-f1 6107  df-fo 6108  df-f1o 6109  df-fv 6110  df-riota 6840  df-ov 6882  df-oprab 6883  df-mpt2 6884  df-om 7301  df-1st 7402  df-2nd 7403  df-wrecs 7646  df-recs 7708  df-rdg 7746  df-2o 7801  df-er 7983  df-map 8098  df-pm 8099  df-en 8197  df-dom 8198  df-sdom 8199  df-pnf 10366  df-mnf 10367  df-xr 10368  df-ltxr 10369  df-le 10370  df-sub 10559  df-neg 10560  df-nn 11314  df-n0 11580  df-z 11666  df-uz 11930  df-fz 12580  df-fzo 12720  df-word 13534

This theorem is referenced by:  efglem  18441  efgval  18442  efgtf  18447  efginvrel2  18452  efginvrel1  18453  efgredlemc  18471  efgcpbllemb  18482  efgcpbl2  18484  frgpcpbl  18486  frgpeccl  18488  frgpadd  18490  frgpinv  18491  frgpuplem  18499  frgpup1  18502  frgpnabllem1  18590