Theorem efgrcl 19909

Description: Lemma for efgval 19911. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Feb-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
efgval.w	⊢ 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))

Assertion

Ref	Expression
efgrcl	⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑊 = Word (𝐼 × 2o)))

Proof of Theorem efgrcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2on0 8475	. . . 4 ⊢ 2o ≠ ∅
2		dmxp 5911	. . . 4 ⊢ (2o ≠ ∅ → dom (𝐼 × 2o) = 𝐼)
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ dom (𝐼 × 2o) = 𝐼
4		elfvex 6912	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) → Word (𝐼 × 2o) ∈ V)
5		efgval.w	. . . . . 6 ⊢ 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
6	4, 5	eleq2s 2879	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → Word (𝐼 × 2o) ∈ V)
7		wrdexb 14650	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 × 2o) ∈ V ↔ Word (𝐼 × 2o) ∈ V)
8	6, 7	sylibr 237	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → (𝐼 × 2o) ∈ V)
9	8	dmexd 7904	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → dom (𝐼 × 2o) ∈ V)
10	3, 9	eqeltrrid 2866	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → 𝐼 ∈ V)
11		fvi 6953	. . . 4 ⊢ (Word (𝐼 × 2o) ∈ V → ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) = Word (𝐼 × 2o))
12	6, 11	syl 18	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) = Word (𝐼 × 2o))
13	5, 12	eqtrid 2808	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → 𝑊 = Word (𝐼 × 2o))
14	10, 13	jca 521	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑊 = Word (𝐼 × 2o)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  Vcvv 3451  ∅c0 4279   I cid 5545   × cxp 5649  dom cdm 5651  ‘cfv 6531  2_oc2o 8454  Word cword 14638

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-2o 8461  df-er 8701  df-map 8833  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-nn 12317  df-n0 12588  df-z 12675  df-uz 12947  df-fz 13621  df-fzo 13769  df-word 14639

This theorem is used by:  efglem  19910  efgval  19911  efgtf  19916  efginvrel2  19921  efginvrel1  19922  efgredlemc  19939  efgcpbllemb  19949  efgcpbl2  19951  frgpcpbl  19953  frgpeccl  19955  frgpadd  19957  frgpinv  19958  frgpuplem  19966  frgpup1  19969  frgpnabllem1  20067