Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dveq0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dveq0 24714
 Description: If a continuous function has zero derivative at all points on the interior of a closed interval, then it must be a constant function. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 3-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dveq0.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
dveq0.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
dveq0.c (𝜑𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
dveq0.d (𝜑 → (ℝ D 𝐹) = ((𝐴(,)𝐵) × {0}))
Assertion
Ref Expression
dveq0 (𝜑𝐹 = ((𝐴[,]𝐵) × {(𝐹𝐴)}))

Proof of Theorem dveq0
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dveq0.c . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
2 cncff 23609 . . . 4 (𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
31, 2syl 17 . . 3 (𝜑𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
43ffnd 6505 . 2 (𝜑𝐹 Fn (𝐴[,]𝐵))
5 fvex 6677 . . 3 (𝐹𝐴) ∈ V
6 fnconstg 6558 . . 3 ((𝐹𝐴) ∈ V → ((𝐴[,]𝐵) × {(𝐹𝐴)}) Fn (𝐴[,]𝐵))
75, 6mp1i 13 . 2 (𝜑 → ((𝐴[,]𝐵) × {(𝐹𝐴)}) Fn (𝐴[,]𝐵))
85fvconst2 6964 . . . 4 (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) → (((𝐴[,]𝐵) × {(𝐹𝐴)})‘𝑥) = (𝐹𝐴))
98adantl 485 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (((𝐴[,]𝐵) × {(𝐹𝐴)})‘𝑥) = (𝐹𝐴))
103adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
11 dveq0.a . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
1211adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
1312rexrd 10743 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
14 dveq0.b . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
1514adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
1615rexrd 10743 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
17 elicc2 12858 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑥𝑥𝐵)))
1811, 14, 17syl2anc 587 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑥𝑥𝐵)))
1918biimpa 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑥𝑥𝐵))
2019simp1d 1140 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ)
2119simp2d 1141 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴𝑥)
2219simp3d 1142 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥𝐵)
2312, 20, 15, 21, 22letrd 10849 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴𝐵)
24 lbicc2 12910 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
2513, 16, 23, 24syl3anc 1369 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
2610, 25ffvelrnd 6850 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝐴) ∈ ℂ)
273ffvelrnda 6849 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
2826, 27subcld 11049 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝐹𝐴) − (𝐹𝑥)) ∈ ℂ)
29 simpr 488 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
3025, 29jca 515 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)))
31 dveq0.d . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (ℝ D 𝐹) = ((𝐴(,)𝐵) × {0}))
3231dmeqd 5752 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) = dom ((𝐴(,)𝐵) × {0}))
33 c0ex 10687 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ V
3433snnz 4673 . . . . . . . . . . 11 {0} ≠ ∅
35 dmxp 5776 . . . . . . . . . . 11 ({0} ≠ ∅ → dom ((𝐴(,)𝐵) × {0}) = (𝐴(,)𝐵))
3634, 35ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 dom ((𝐴(,)𝐵) × {0}) = (𝐴(,)𝐵)
3732, 36eqtrdi 2810 . . . . . . . . 9 (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐵))
38 0red 10696 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
3931fveq1d 6666 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) = (((𝐴(,)𝐵) × {0})‘𝑦))
4033fvconst2 6964 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (((𝐴(,)𝐵) × {0})‘𝑦) = 0)
4139, 40sylan9eq 2814 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) = 0)
4241abs00bd 14713 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑦)) = 0)
43 0le0 11789 . . . . . . . . . 10 0 ≤ 0
4442, 43eqbrtrdi 5076 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑦)) ≤ 0)
4511, 14, 1, 37, 38, 44dvlip 24707 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (abs‘((𝐹𝐴) − (𝐹𝑥))) ≤ (0 · (abs‘(𝐴𝑥))))
4630, 45syldan 594 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (abs‘((𝐹𝐴) − (𝐹𝑥))) ≤ (0 · (abs‘(𝐴𝑥))))
4712recnd 10721 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴 ∈ ℂ)
4820recnd 10721 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ℂ)
4947, 48subcld 11049 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐴𝑥) ∈ ℂ)
5049abscld 14858 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (abs‘(𝐴𝑥)) ∈ ℝ)
5150recnd 10721 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (abs‘(𝐴𝑥)) ∈ ℂ)
5251mul02d 10890 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (0 · (abs‘(𝐴𝑥))) = 0)
5346, 52breqtrd 5063 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (abs‘((𝐹𝐴) − (𝐹𝑥))) ≤ 0)
5428absge0d 14866 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 0 ≤ (abs‘((𝐹𝐴) − (𝐹𝑥))))
5528abscld 14858 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (abs‘((𝐹𝐴) − (𝐹𝑥))) ∈ ℝ)
56 0re 10695 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ
57 letri3 10778 . . . . . . 7 (((abs‘((𝐹𝐴) − (𝐹𝑥))) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((abs‘((𝐹𝐴) − (𝐹𝑥))) = 0 ↔ ((abs‘((𝐹𝐴) − (𝐹𝑥))) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (abs‘((𝐹𝐴) − (𝐹𝑥))))))
5855, 56, 57sylancl 589 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((abs‘((𝐹𝐴) − (𝐹𝑥))) = 0 ↔ ((abs‘((𝐹𝐴) − (𝐹𝑥))) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (abs‘((𝐹𝐴) − (𝐹𝑥))))))
5953, 54, 58mpbir2and 712 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (abs‘((𝐹𝐴) − (𝐹𝑥))) = 0)
6028, 59abs00d 14868 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝐹𝐴) − (𝐹𝑥)) = 0)
6126, 27, 60subeq0d 11057 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝐴) = (𝐹𝑥))
629, 61eqtr2d 2795 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝑥) = (((𝐴[,]𝐵) × {(𝐹𝐴)})‘𝑥))
634, 7, 62eqfnfvd 6802 1 (𝜑𝐹 = ((𝐴[,]𝐵) × {(𝐹𝐴)}))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2112   ≠ wne 2952  Vcvv 3410  ∅c0 4228  {csn 4526   class class class wbr 5037   × cxp 5527  dom cdm 5529   Fn wfn 6336  ⟶wf 6337  ‘cfv 6341  (class class class)co 7157  ℂcc 10587  ℝcr 10588  0cc0 10589   · cmul 10594  ℝ*cxr 10726   ≤ cle 10728   − cmin 10922  (,)cioo 12793  [,]cicc 12796  abscabs 14655  –cn→ccncf 23592   D cdv 24577 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-rep 5161  ax-sep 5174  ax-nul 5181  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7466  ax-cnex 10645  ax-resscn 10646  ax-1cn 10647  ax-icn 10648  ax-addcl 10649  ax-addrcl 10650  ax-mulcl 10651  ax-mulrcl 10652  ax-mulcom 10653  ax-addass 10654  ax-mulass 10655  ax-distr 10656  ax-i2m1 10657  ax-1ne0 10658  ax-1rid 10659  ax-rnegex 10660  ax-rrecex 10661  ax-cnre 10662  ax-pre-lttri 10663  ax-pre-lttrn 10664  ax-pre-ltadd 10665  ax-pre-mulgt0 10666  ax-pre-sup 10667  ax-addf 10668  ax-mulf 10669 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-nel 3057  df-ral 3076  df-rex 3077  df-reu 3078  df-rmo 3079  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3700  df-csb 3809  df-dif 3864  df-un 3866  df-in 3868  df-ss 3878  df-pss 3880  df-nul 4229  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-tp 4531  df-op 4533  df-uni 4803  df-int 4843  df-iun 4889  df-iin 4890  df-br 5038  df-opab 5100  df-mpt 5118  df-tr 5144  df-id 5435  df-eprel 5440  df-po 5448  df-so 5449  df-fr 5488  df-se 5489  df-we 5490  df-xp 5535  df-rel 5536  df-cnv 5537  df-co 5538  df-dm 5539  df-rn 5540  df-res 5541  df-ima 5542  df-pred 6132  df-ord 6178  df-on 6179  df-lim 6180  df-suc 6181  df-iota 6300  df-fun 6343  df-fn 6344  df-f 6345  df-f1 6346  df-fo 6347  df-f1o 6348  df-fv 6349  df-isom 6350  df-riota 7115  df-ov 7160  df-oprab 7161  df-mpo 7162  df-of 7412  df-om 7587  df-1st 7700  df-2nd 7701  df-supp 7843  df-wrecs 7964  df-recs 8025  df-rdg 8063  df-1o 8119  df-2o 8120  df-er 8306  df-map 8425  df-pm 8426  df-ixp 8494  df-en 8542  df-dom 8543  df-sdom 8544  df-fin 8545  df-fsupp 8881  df-fi 8922  df-sup 8953  df-inf 8954  df-oi 9021  df-card 9415  df-pnf 10729  df-mnf 10730  df-xr 10731  df-ltxr 10732  df-le 10733  df-sub 10924  df-neg 10925  df-div 11350  df-nn 11689  df-2 11751  df-3 11752  df-4 11753  df-5 11754  df-6 11755  df-7 11756  df-8 11757  df-9 11758  df-n0 11949  df-z 12035  df-dec 12152  df-uz 12297  df-q 12403  df-rp 12445  df-xneg 12562  df-xadd 12563  df-xmul 12564  df-ioo 12797  df-ico 12799  df-icc 12800  df-fz 12954  df-fzo 13097  df-seq 13433  df-exp 13494  df-hash 13755  df-cj 14520  df-re 14521  df-im 14522  df-sqrt 14656  df-abs 14657  df-struct 16558  df-ndx 16559  df-slot 16560  df-base 16562  df-sets 16563  df-ress 16564  df-plusg 16651  df-mulr 16652  df-starv 16653  df-sca 16654  df-vsca 16655  df-ip 16656  df-tset 16657  df-ple 16658  df-ds 16660  df-unif 16661  df-hom 16662  df-cco 16663  df-rest 16769  df-topn 16770  df-0g 16788  df-gsum 16789  df-topgen 16790  df-pt 16791  df-prds 16794  df-xrs 16848  df-qtop 16853  df-imas 16854  df-xps 16856  df-mre 16930  df-mrc 16931  df-acs 16933  df-mgm 17933  df-sgrp 17982  df-mnd 17993  df-submnd 18038  df-mulg 18307  df-cntz 18529  df-cmn 18990  df-psmet 20173  df-xmet 20174  df-met 20175  df-bl 20176  df-mopn 20177  df-fbas 20178  df-fg 20179  df-cnfld 20182  df-top 21609  df-topon 21626  df-topsp 21648  df-bases 21661  df-cld 21734  df-ntr 21735  df-cls 21736  df-nei 21813  df-lp 21851  df-perf 21852  df-cn 21942  df-cnp 21943  df-haus 22030  df-cmp 22102  df-tx 22277  df-hmeo 22470  df-fil 22561  df-fm 22653  df-flim 22654  df-flf 22655  df-xms 23037  df-ms 23038  df-tms 23039  df-cncf 23594  df-limc 24580  df-dv 24581 This theorem is referenced by:  ftc2  24758  ftc2nc  35455
 Copyright terms: Public domain W3C validator