MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dveq0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dveq0 25926
Description: If a continuous function has zero derivative at all points on the interior of a closed interval, then it must be a constant function. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 3-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dveq0.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
dveq0.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
dveq0.c (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚))
dveq0.d (πœ‘ β†’ (ℝ D 𝐹) = ((𝐴(,)𝐡) Γ— {0}))
Assertion
Ref Expression
dveq0 (πœ‘ β†’ 𝐹 = ((𝐴[,]𝐡) Γ— {(πΉβ€˜π΄)}))

Proof of Theorem dveq0
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dveq0.c . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚))
2 cncff 24806 . . . 4 (𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚) β†’ 𝐹:(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„‚)
31, 2syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹:(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„‚)
43ffnd 6717 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹 Fn (𝐴[,]𝐡))
5 fvex 6904 . . 3 (πΉβ€˜π΄) ∈ V
6 fnconstg 6779 . . 3 ((πΉβ€˜π΄) ∈ V β†’ ((𝐴[,]𝐡) Γ— {(πΉβ€˜π΄)}) Fn (𝐴[,]𝐡))
75, 6mp1i 13 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐴[,]𝐡) Γ— {(πΉβ€˜π΄)}) Fn (𝐴[,]𝐡))
85fvconst2 7210 . . . 4 (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) β†’ (((𝐴[,]𝐡) Γ— {(πΉβ€˜π΄)})β€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π΄))
98adantl 481 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (((𝐴[,]𝐡) Γ— {(πΉβ€˜π΄)})β€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π΄))
103adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝐹:(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„‚)
11 dveq0.a . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
1211adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
1312rexrd 11288 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
14 dveq0.b . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
1514adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
1615rexrd 11288 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
17 elicc2 13415 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 𝐡)))
1811, 14, 17syl2anc 583 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 𝐡)))
1918biimpa 476 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 𝐡))
2019simp1d 1140 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
2119simp2d 1141 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝐴 ≀ π‘₯)
2219simp3d 1142 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ π‘₯ ≀ 𝐡)
2312, 20, 15, 21, 22letrd 11395 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝐴 ≀ 𝐡)
24 lbicc2 13467 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐡))
2513, 16, 23, 24syl3anc 1369 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐡))
2610, 25ffvelcdmd 7089 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π΄) ∈ β„‚)
273ffvelcdmda 7088 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
2826, 27subcld 11595 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ ((πΉβ€˜π΄) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) ∈ β„‚)
29 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡))
3025, 29jca 511 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)))
31 dveq0.d . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (ℝ D 𝐹) = ((𝐴(,)𝐡) Γ— {0}))
3231dmeqd 5902 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ dom (ℝ D 𝐹) = dom ((𝐴(,)𝐡) Γ— {0}))
33 c0ex 11232 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ V
3433snnz 4776 . . . . . . . . . . 11 {0} β‰  βˆ…
35 dmxp 5925 . . . . . . . . . . 11 ({0} β‰  βˆ… β†’ dom ((𝐴(,)𝐡) Γ— {0}) = (𝐴(,)𝐡))
3634, 35ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 dom ((𝐴(,)𝐡) Γ— {0}) = (𝐴(,)𝐡)
3732, 36eqtrdi 2784 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐡))
38 0red 11241 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 0 ∈ ℝ)
3931fveq1d 6893 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦) = (((𝐴(,)𝐡) Γ— {0})β€˜π‘¦))
4033fvconst2 7210 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡) β†’ (((𝐴(,)𝐡) Γ— {0})β€˜π‘¦) = 0)
4139, 40sylan9eq 2788 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦) = 0)
4241abs00bd 15264 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦)) = 0)
43 0le0 12337 . . . . . . . . . 10 0 ≀ 0
4442, 43eqbrtrdi 5181 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦)) ≀ 0)
4511, 14, 1, 37, 38, 44dvlip 25919 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡))) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π΄) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯))) ≀ (0 Β· (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘₯))))
4630, 45syldan 590 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π΄) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯))) ≀ (0 Β· (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘₯))))
4712recnd 11266 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
4820recnd 11266 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
4947, 48subcld 11595 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (𝐴 βˆ’ π‘₯) ∈ β„‚)
5049abscld 15409 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘₯)) ∈ ℝ)
5150recnd 11266 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘₯)) ∈ β„‚)
5251mul02d 11436 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (0 Β· (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘₯))) = 0)
5346, 52breqtrd 5168 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π΄) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯))) ≀ 0)
5428absge0d 15417 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 0 ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π΄) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯))))
5528abscld 15409 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π΄) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯))) ∈ ℝ)
56 0re 11240 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ
57 letri3 11323 . . . . . . 7 (((absβ€˜((πΉβ€˜π΄) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯))) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π΄) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯))) = 0 ↔ ((absβ€˜((πΉβ€˜π΄) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯))) ≀ 0 ∧ 0 ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π΄) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯))))))
5855, 56, 57sylancl 585 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π΄) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯))) = 0 ↔ ((absβ€˜((πΉβ€˜π΄) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯))) ≀ 0 ∧ 0 ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π΄) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯))))))
5953, 54, 58mpbir2and 712 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π΄) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯))) = 0)
6028, 59abs00d 15419 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ ((πΉβ€˜π΄) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) = 0)
6126, 27, 60subeq0d 11603 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π΄) = (πΉβ€˜π‘₯))
629, 61eqtr2d 2769 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (((𝐴[,]𝐡) Γ— {(πΉβ€˜π΄)})β€˜π‘₯))
634, 7, 62eqfnfvd 7037 1 (πœ‘ β†’ 𝐹 = ((𝐴[,]𝐡) Γ— {(πΉβ€˜π΄)}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2936  Vcvv 3470  βˆ…c0 4318  {csn 4624   class class class wbr 5142   Γ— cxp 5670  dom cdm 5672   Fn wfn 6537  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  β„‚cc 11130  β„cr 11131  0cc0 11132   Β· cmul 11137  β„*cxr 11271   ≀ cle 11273   βˆ’ cmin 11468  (,)cioo 13350  [,]cicc 13353  abscabs 15207  β€“cnβ†’ccncf 24789   D cdv 25785
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209  ax-pre-sup 11210  ax-addf 11211
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8718  df-map 8840  df-pm 8841  df-ixp 8910  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fsupp 9380  df-fi 9428  df-sup 9459  df-inf 9460  df-oi 9527  df-card 9956  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11896  df-nn 12237  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305  df-9 12306  df-n0 12497  df-z 12583  df-dec 12702  df-uz 12847  df-q 12957  df-rp 13001  df-xneg 13118  df-xadd 13119  df-xmul 13120  df-ioo 13354  df-ico 13356  df-icc 13357  df-fz 13511  df-fzo 13654  df-seq 13993  df-exp 14053  df-hash 14316  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-struct 17109  df-sets 17126  df-slot 17144  df-ndx 17156  df-base 17174  df-ress 17203  df-plusg 17239  df-mulr 17240  df-starv 17241  df-sca 17242  df-vsca 17243  df-ip 17244  df-tset 17245  df-ple 17246  df-ds 17248  df-unif 17249  df-hom 17250  df-cco 17251  df-rest 17397  df-topn 17398  df-0g 17416  df-gsum 17417  df-topgen 17418  df-pt 17419  df-prds 17422  df-xrs 17477  df-qtop 17482  df-imas 17483  df-xps 17485  df-mre 17559  df-mrc 17560  df-acs 17562  df-mgm 18593  df-sgrp 18672  df-mnd 18688  df-submnd 18734  df-mulg 19017  df-cntz 19261  df-cmn 19730  df-psmet 21264  df-xmet 21265  df-met 21266  df-bl 21267  df-mopn 21268  df-fbas 21269  df-fg 21270  df-cnfld 21273  df-top 22789  df-topon 22806  df-topsp 22828  df-bases 22842  df-cld 22916  df-ntr 22917  df-cls 22918  df-nei 22995  df-lp 23033  df-perf 23034  df-cn 23124  df-cnp 23125  df-haus 23212  df-cmp 23284  df-tx 23459  df-hmeo 23652  df-fil 23743  df-fm 23835  df-flim 23836  df-flf 23837  df-xms 24219  df-ms 24220  df-tms 24221  df-cncf 24791  df-limc 25788  df-dv 25789
This theorem is referenced by:  ftc2  25972  ftc2nc  37169
  Copyright terms: Public domain W3C validator