MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dveq0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dveq0 25857
Description: If a continuous function has zero derivative at all points on the interior of a closed interval, then it must be a constant function. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 3-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dveq0.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
dveq0.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
dveq0.c (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚))
dveq0.d (πœ‘ β†’ (ℝ D 𝐹) = ((𝐴(,)𝐡) Γ— {0}))
Assertion
Ref Expression
dveq0 (πœ‘ β†’ 𝐹 = ((𝐴[,]𝐡) Γ— {(πΉβ€˜π΄)}))

Proof of Theorem dveq0
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dveq0.c . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚))
2 cncff 24737 . . . 4 (𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚) β†’ 𝐹:(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„‚)
31, 2syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹:(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„‚)
43ffnd 6709 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹 Fn (𝐴[,]𝐡))
5 fvex 6895 . . 3 (πΉβ€˜π΄) ∈ V
6 fnconstg 6770 . . 3 ((πΉβ€˜π΄) ∈ V β†’ ((𝐴[,]𝐡) Γ— {(πΉβ€˜π΄)}) Fn (𝐴[,]𝐡))
75, 6mp1i 13 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐴[,]𝐡) Γ— {(πΉβ€˜π΄)}) Fn (𝐴[,]𝐡))
85fvconst2 7198 . . . 4 (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) β†’ (((𝐴[,]𝐡) Γ— {(πΉβ€˜π΄)})β€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π΄))
98adantl 481 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (((𝐴[,]𝐡) Γ— {(πΉβ€˜π΄)})β€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π΄))
103adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝐹:(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„‚)
11 dveq0.a . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
1211adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
1312rexrd 11262 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
14 dveq0.b . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
1514adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
1615rexrd 11262 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
17 elicc2 13387 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 𝐡)))
1811, 14, 17syl2anc 583 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 𝐡)))
1918biimpa 476 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 𝐡))
2019simp1d 1139 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
2119simp2d 1140 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝐴 ≀ π‘₯)
2219simp3d 1141 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ π‘₯ ≀ 𝐡)
2312, 20, 15, 21, 22letrd 11369 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝐴 ≀ 𝐡)
24 lbicc2 13439 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐡))
2513, 16, 23, 24syl3anc 1368 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐡))
2610, 25ffvelcdmd 7078 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π΄) ∈ β„‚)
273ffvelcdmda 7077 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
2826, 27subcld 11569 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ ((πΉβ€˜π΄) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) ∈ β„‚)
29 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡))
3025, 29jca 511 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)))
31 dveq0.d . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (ℝ D 𝐹) = ((𝐴(,)𝐡) Γ— {0}))
3231dmeqd 5896 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ dom (ℝ D 𝐹) = dom ((𝐴(,)𝐡) Γ— {0}))
33 c0ex 11206 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ V
3433snnz 4773 . . . . . . . . . . 11 {0} β‰  βˆ…
35 dmxp 5919 . . . . . . . . . . 11 ({0} β‰  βˆ… β†’ dom ((𝐴(,)𝐡) Γ— {0}) = (𝐴(,)𝐡))
3634, 35ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 dom ((𝐴(,)𝐡) Γ— {0}) = (𝐴(,)𝐡)
3732, 36eqtrdi 2780 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐡))
38 0red 11215 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 0 ∈ ℝ)
3931fveq1d 6884 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦) = (((𝐴(,)𝐡) Γ— {0})β€˜π‘¦))
4033fvconst2 7198 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡) β†’ (((𝐴(,)𝐡) Γ— {0})β€˜π‘¦) = 0)
4139, 40sylan9eq 2784 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦) = 0)
4241abs00bd 15236 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦)) = 0)
43 0le0 12311 . . . . . . . . . 10 0 ≀ 0
4442, 43eqbrtrdi 5178 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦)) ≀ 0)
4511, 14, 1, 37, 38, 44dvlip 25850 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡))) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π΄) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯))) ≀ (0 Β· (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘₯))))
4630, 45syldan 590 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π΄) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯))) ≀ (0 Β· (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘₯))))
4712recnd 11240 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
4820recnd 11240 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
4947, 48subcld 11569 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (𝐴 βˆ’ π‘₯) ∈ β„‚)
5049abscld 15381 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘₯)) ∈ ℝ)
5150recnd 11240 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘₯)) ∈ β„‚)
5251mul02d 11410 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (0 Β· (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘₯))) = 0)
5346, 52breqtrd 5165 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π΄) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯))) ≀ 0)
5428absge0d 15389 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 0 ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π΄) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯))))
5528abscld 15381 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π΄) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯))) ∈ ℝ)
56 0re 11214 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ
57 letri3 11297 . . . . . . 7 (((absβ€˜((πΉβ€˜π΄) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯))) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π΄) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯))) = 0 ↔ ((absβ€˜((πΉβ€˜π΄) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯))) ≀ 0 ∧ 0 ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π΄) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯))))))
5855, 56, 57sylancl 585 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π΄) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯))) = 0 ↔ ((absβ€˜((πΉβ€˜π΄) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯))) ≀ 0 ∧ 0 ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π΄) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯))))))
5953, 54, 58mpbir2and 710 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π΄) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯))) = 0)
6028, 59abs00d 15391 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ ((πΉβ€˜π΄) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) = 0)
6126, 27, 60subeq0d 11577 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π΄) = (πΉβ€˜π‘₯))
629, 61eqtr2d 2765 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (((𝐴[,]𝐡) Γ— {(πΉβ€˜π΄)})β€˜π‘₯))
634, 7, 62eqfnfvd 7026 1 (πœ‘ β†’ 𝐹 = ((𝐴[,]𝐡) Γ— {(πΉβ€˜π΄)}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2932  Vcvv 3466  βˆ…c0 4315  {csn 4621   class class class wbr 5139   Γ— cxp 5665  dom cdm 5667   Fn wfn 6529  βŸΆwf 6530  β€˜cfv 6534  (class class class)co 7402  β„‚cc 11105  β„cr 11106  0cc0 11107   Β· cmul 11112  β„*cxr 11245   ≀ cle 11247   βˆ’ cmin 11442  (,)cioo 13322  [,]cicc 13325  abscabs 15179  β€“cnβ†’ccncf 24720   D cdv 25716
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185  ax-addf 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-tp 4626  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-iin 4991  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-se 5623  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-isom 6543  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-of 7664  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-supp 8142  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8700  df-map 8819  df-pm 8820  df-ixp 8889  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-fsupp 9359  df-fi 9403  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9502  df-card 9931  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11870  df-nn 12211  df-2 12273  df-3 12274  df-4 12275  df-5 12276  df-6 12277  df-7 12278  df-8 12279  df-9 12280  df-n0 12471  df-z 12557  df-dec 12676  df-uz 12821  df-q 12931  df-rp 12973  df-xneg 13090  df-xadd 13091  df-xmul 13092  df-ioo 13326  df-ico 13328  df-icc 13329  df-fz 13483  df-fzo 13626  df-seq 13965  df-exp 14026  df-hash 14289  df-cj 15044  df-re 15045  df-im 15046  df-sqrt 15180  df-abs 15181  df-struct 17081  df-sets 17098  df-slot 17116  df-ndx 17128  df-base 17146  df-ress 17175  df-plusg 17211  df-mulr 17212  df-starv 17213  df-sca 17214  df-vsca 17215  df-ip 17216  df-tset 17217  df-ple 17218  df-ds 17220  df-unif 17221  df-hom 17222  df-cco 17223  df-rest 17369  df-topn 17370  df-0g 17388  df-gsum 17389  df-topgen 17390  df-pt 17391  df-prds 17394  df-xrs 17449  df-qtop 17454  df-imas 17455  df-xps 17457  df-mre 17531  df-mrc 17532  df-acs 17534  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-mulg 18988  df-cntz 19225  df-cmn 19694  df-psmet 21222  df-xmet 21223  df-met 21224  df-bl 21225  df-mopn 21226  df-fbas 21227  df-fg 21228  df-cnfld 21231  df-top 22720  df-topon 22737  df-topsp 22759  df-bases 22773  df-cld 22847  df-ntr 22848  df-cls 22849  df-nei 22926  df-lp 22964  df-perf 22965  df-cn 23055  df-cnp 23056  df-haus 23143  df-cmp 23215  df-tx 23390  df-hmeo 23583  df-fil 23674  df-fm 23766  df-flim 23767  df-flf 23768  df-xms 24150  df-ms 24151  df-tms 24152  df-cncf 24722  df-limc 25719  df-dv 25720
This theorem is referenced by:  ftc2  25903  ftc2nc  37064
  Copyright terms: Public domain W3C validator