Theorem dveq0 25516

Description: If a continuous function has zero derivative at all points on the interior of a closed interval, then it must be a constant function. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 3-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dveq0.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
dveq0.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
dveq0.c	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
dveq0.d	⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝐹) = ((𝐴(,)𝐵) × {0}))

Assertion

Ref	Expression
dveq0	⊢ (𝜑 → 𝐹 = ((𝐴[,]𝐵) × {(𝐹‘𝐴)}))

Proof of Theorem dveq0

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dveq0.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
2		cncff 24408	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
4	3	ffnd 6718	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn (𝐴[,]𝐵))
5		fvex 6904	. . 3 ⊢ (𝐹‘𝐴) ∈ V
6		fnconstg 6779	. . 3 ⊢ ((𝐹‘𝐴) ∈ V → ((𝐴[,]𝐵) × {(𝐹‘𝐴)}) Fn (𝐴[,]𝐵))
7	5, 6	mp1i 13	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴[,]𝐵) × {(𝐹‘𝐴)}) Fn (𝐴[,]𝐵))
8	5	fvconst2 7204	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) → (((𝐴[,]𝐵) × {(𝐹‘𝐴)})‘𝑥) = (𝐹‘𝐴))
9	8	adantl 482	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (((𝐴[,]𝐵) × {(𝐹‘𝐴)})‘𝑥) = (𝐹‘𝐴))
10	3	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
11		dveq0.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
12	11	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
13	12	rexrd 11263	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
14		dveq0.b	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
15	14	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
16	15	rexrd 11263	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
17		elicc2 13388	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)))
18	11, 14, 17	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)))
19	18	biimpa 477	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵))
20	19	simp1d 1142	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ)
21	19	simp2d 1143	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴 ≤ 𝑥)
22	19	simp3d 1144	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ≤ 𝐵)
23	12, 20, 15, 21, 22	letrd 11370	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴 ≤ 𝐵)
24		lbicc2 13440	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
25	13, 16, 23, 24	syl3anc 1371	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
26	10, 25	ffvelcdmd 7087	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝐴) ∈ ℂ)
27	3	ffvelcdmda 7086	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
28	26, 27	subcld 11570	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝐹‘𝐴) − (𝐹‘𝑥)) ∈ ℂ)
29		simpr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
30	25, 29	jca 512	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)))
31		dveq0.d	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝐹) = ((𝐴(,)𝐵) × {0}))
32	31	dmeqd 5905	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) = dom ((𝐴(,)𝐵) × {0}))
33		c0ex 11207	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ V
34	33	snnz 4780	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {0} ≠ ∅
35		dmxp 5928	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ({0} ≠ ∅ → dom ((𝐴(,)𝐵) × {0}) = (𝐴(,)𝐵))
36	34, 35	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ dom ((𝐴(,)𝐵) × {0}) = (𝐴(,)𝐵)
37	32, 36	eqtrdi 2788	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐵))
38		0red 11216	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
39	31	fveq1d 6893	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) = (((𝐴(,)𝐵) × {0})‘𝑦))
40	33	fvconst2 7204	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (((𝐴(,)𝐵) × {0})‘𝑦) = 0)
41	39, 40	sylan9eq 2792	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑦) = 0)
42	41	abs00bd 15237	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑦)) = 0)
43		0le0 12312	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ≤ 0
44	42, 43	eqbrtrdi 5187	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑦)) ≤ 0)
45	11, 14, 1, 37, 38, 44	dvlip 25509	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (abs‘((𝐹‘𝐴) − (𝐹‘𝑥))) ≤ (0 · (abs‘(𝐴 − 𝑥))))
46	30, 45	syldan 591	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (abs‘((𝐹‘𝐴) − (𝐹‘𝑥))) ≤ (0 · (abs‘(𝐴 − 𝑥))))
47	12	recnd 11241	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴 ∈ ℂ)
48	20	recnd 11241	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ℂ)
49	47, 48	subcld 11570	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐴 − 𝑥) ∈ ℂ)
50	49	abscld 15382	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (abs‘(𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ)
51	50	recnd 11241	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (abs‘(𝐴 − 𝑥)) ∈ ℂ)
52	51	mul02d 11411	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (0 · (abs‘(𝐴 − 𝑥))) = 0)
53	46, 52	breqtrd 5174	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (abs‘((𝐹‘𝐴) − (𝐹‘𝑥))) ≤ 0)
54	28	absge0d 15390	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 0 ≤ (abs‘((𝐹‘𝐴) − (𝐹‘𝑥))))
55	28	abscld 15382	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (abs‘((𝐹‘𝐴) − (𝐹‘𝑥))) ∈ ℝ)
56		0re 11215	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
57		letri3 11298	. . . . . . 7 ⊢ (((abs‘((𝐹‘𝐴) − (𝐹‘𝑥))) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((abs‘((𝐹‘𝐴) − (𝐹‘𝑥))) = 0 ↔ ((abs‘((𝐹‘𝐴) − (𝐹‘𝑥))) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (abs‘((𝐹‘𝐴) − (𝐹‘𝑥))))))
58	55, 56, 57	sylancl 586	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((abs‘((𝐹‘𝐴) − (𝐹‘𝑥))) = 0 ↔ ((abs‘((𝐹‘𝐴) − (𝐹‘𝑥))) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (abs‘((𝐹‘𝐴) − (𝐹‘𝑥))))))
59	53, 54, 58	mpbir2and 711	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (abs‘((𝐹‘𝐴) − (𝐹‘𝑥))) = 0)
60	28, 59	abs00d 15392	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝐹‘𝐴) − (𝐹‘𝑥)) = 0)
61	26, 27, 60	subeq0d 11578	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝐴) = (𝐹‘𝑥))
62	9, 61	eqtr2d 2773	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝑥) = (((𝐴[,]𝐵) × {(𝐹‘𝐴)})‘𝑥))
63	4, 7, 62	eqfnfvd 7035	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = ((𝐴[,]𝐵) × {(𝐹‘𝐴)}))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940  Vcvv 3474  ∅c0 4322  {csn 4628   class class class wbr 5148   × cxp 5674  dom cdm 5676   Fn wfn 6538  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7408  ℂcc 11107  ℝcr 11108  0cc0 11109   · cmul 11114  ℝ^*cxr 11246   ≤ cle 11248   − cmin 11443  (,)cioo 13323  [,]cicc 13326  abscabs 15180  –cn→ccncf 24391   D cdv 25379

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187  ax-addf 11188  ax-mulf 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7669  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8146  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-2o 8466  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-fi 9405  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12974  df-xneg 13091  df-xadd 13092  df-xmul 13093  df-ioo 13327  df-ico 13329  df-icc 13330  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-seq 13966  df-exp 14027  df-hash 14290  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-hom 17220  df-cco 17221  df-rest 17367  df-topn 17368  df-0g 17386  df-gsum 17387  df-topgen 17388  df-pt 17389  df-prds 17392  df-xrs 17447  df-qtop 17452  df-imas 17453  df-xps 17455  df-mre 17529  df-mrc 17530  df-acs 17532  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-submnd 18671  df-mulg 18950  df-cntz 19180  df-cmn 19649  df-psmet 20935  df-xmet 20936  df-met 20937  df-bl 20938  df-mopn 20939  df-fbas 20940  df-fg 20941  df-cnfld 20944  df-top 22395  df-topon 22412  df-topsp 22434  df-bases 22448  df-cld 22522  df-ntr 22523  df-cls 22524  df-nei 22601  df-lp 22639  df-perf 22640  df-cn 22730  df-cnp 22731  df-haus 22818  df-cmp 22890  df-tx 23065  df-hmeo 23258  df-fil 23349  df-fm 23441  df-flim 23442  df-flf 23443  df-xms 23825  df-ms 23826  df-tms 23827  df-cncf 24393  df-limc 25382  df-dv 25383

This theorem is referenced by:  ftc2  25560  ftc2nc  36565