MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dveq0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dveq0 25387
Description: If a continuous function has zero derivative at all points on the interior of a closed interval, then it must be a constant function. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 3-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dveq0.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
dveq0.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
dveq0.c (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚))
dveq0.d (πœ‘ β†’ (ℝ D 𝐹) = ((𝐴(,)𝐡) Γ— {0}))
Assertion
Ref Expression
dveq0 (πœ‘ β†’ 𝐹 = ((𝐴[,]𝐡) Γ— {(πΉβ€˜π΄)}))

Proof of Theorem dveq0
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dveq0.c . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚))
2 cncff 24279 . . . 4 (𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cnβ†’β„‚) β†’ 𝐹:(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„‚)
31, 2syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹:(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„‚)
43ffnd 6673 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹 Fn (𝐴[,]𝐡))
5 fvex 6859 . . 3 (πΉβ€˜π΄) ∈ V
6 fnconstg 6734 . . 3 ((πΉβ€˜π΄) ∈ V β†’ ((𝐴[,]𝐡) Γ— {(πΉβ€˜π΄)}) Fn (𝐴[,]𝐡))
75, 6mp1i 13 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐴[,]𝐡) Γ— {(πΉβ€˜π΄)}) Fn (𝐴[,]𝐡))
85fvconst2 7157 . . . 4 (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) β†’ (((𝐴[,]𝐡) Γ— {(πΉβ€˜π΄)})β€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π΄))
98adantl 483 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (((𝐴[,]𝐡) Γ— {(πΉβ€˜π΄)})β€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π΄))
103adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝐹:(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„‚)
11 dveq0.a . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
1211adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
1312rexrd 11213 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
14 dveq0.b . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
1514adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
1615rexrd 11213 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
17 elicc2 13338 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 𝐡)))
1811, 14, 17syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 𝐡)))
1918biimpa 478 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 𝐡))
2019simp1d 1143 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
2119simp2d 1144 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝐴 ≀ π‘₯)
2219simp3d 1145 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ π‘₯ ≀ 𝐡)
2312, 20, 15, 21, 22letrd 11320 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝐴 ≀ 𝐡)
24 lbicc2 13390 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐡))
2513, 16, 23, 24syl3anc 1372 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐡))
2610, 25ffvelcdmd 7040 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π΄) ∈ β„‚)
273ffvelcdmda 7039 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
2826, 27subcld 11520 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ ((πΉβ€˜π΄) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) ∈ β„‚)
29 simpr 486 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡))
3025, 29jca 513 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)))
31 dveq0.d . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (ℝ D 𝐹) = ((𝐴(,)𝐡) Γ— {0}))
3231dmeqd 5865 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ dom (ℝ D 𝐹) = dom ((𝐴(,)𝐡) Γ— {0}))
33 c0ex 11157 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ V
3433snnz 4741 . . . . . . . . . . 11 {0} β‰  βˆ…
35 dmxp 5888 . . . . . . . . . . 11 ({0} β‰  βˆ… β†’ dom ((𝐴(,)𝐡) Γ— {0}) = (𝐴(,)𝐡))
3634, 35ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 dom ((𝐴(,)𝐡) Γ— {0}) = (𝐴(,)𝐡)
3732, 36eqtrdi 2789 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐡))
38 0red 11166 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 0 ∈ ℝ)
3931fveq1d 6848 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦) = (((𝐴(,)𝐡) Γ— {0})β€˜π‘¦))
4033fvconst2 7157 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡) β†’ (((𝐴(,)𝐡) Γ— {0})β€˜π‘¦) = 0)
4139, 40sylan9eq 2793 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦) = 0)
4241abs00bd 15185 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦)) = 0)
43 0le0 12262 . . . . . . . . . 10 0 ≀ 0
4442, 43eqbrtrdi 5148 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (absβ€˜((ℝ D 𝐹)β€˜π‘¦)) ≀ 0)
4511, 14, 1, 37, 38, 44dvlip 25380 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡))) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π΄) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯))) ≀ (0 Β· (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘₯))))
4630, 45syldan 592 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π΄) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯))) ≀ (0 Β· (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘₯))))
4712recnd 11191 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
4820recnd 11191 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
4947, 48subcld 11520 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (𝐴 βˆ’ π‘₯) ∈ β„‚)
5049abscld 15330 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘₯)) ∈ ℝ)
5150recnd 11191 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘₯)) ∈ β„‚)
5251mul02d 11361 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (0 Β· (absβ€˜(𝐴 βˆ’ π‘₯))) = 0)
5346, 52breqtrd 5135 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π΄) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯))) ≀ 0)
5428absge0d 15338 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 0 ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π΄) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯))))
5528abscld 15330 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π΄) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯))) ∈ ℝ)
56 0re 11165 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ
57 letri3 11248 . . . . . . 7 (((absβ€˜((πΉβ€˜π΄) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯))) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π΄) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯))) = 0 ↔ ((absβ€˜((πΉβ€˜π΄) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯))) ≀ 0 ∧ 0 ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π΄) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯))))))
5855, 56, 57sylancl 587 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π΄) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯))) = 0 ↔ ((absβ€˜((πΉβ€˜π΄) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯))) ≀ 0 ∧ 0 ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π΄) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯))))))
5953, 54, 58mpbir2and 712 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π΄) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯))) = 0)
6028, 59abs00d 15340 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ ((πΉβ€˜π΄) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) = 0)
6126, 27, 60subeq0d 11528 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π΄) = (πΉβ€˜π‘₯))
629, 61eqtr2d 2774 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (((𝐴[,]𝐡) Γ— {(πΉβ€˜π΄)})β€˜π‘₯))
634, 7, 62eqfnfvd 6989 1 (πœ‘ β†’ 𝐹 = ((𝐴[,]𝐡) Γ— {(πΉβ€˜π΄)}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  Vcvv 3447  βˆ…c0 4286  {csn 4590   class class class wbr 5109   Γ— cxp 5635  dom cdm 5637   Fn wfn 6495  βŸΆwf 6496  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  β„‚cc 11057  β„cr 11058  0cc0 11059   Β· cmul 11064  β„*cxr 11196   ≀ cle 11198   βˆ’ cmin 11393  (,)cioo 13273  [,]cicc 13276  abscabs 15128  β€“cnβ†’ccncf 24262   D cdv 25250
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137  ax-addf 11138  ax-mulf 11139
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7621  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-supp 8097  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-2o 8417  df-er 8654  df-map 8773  df-pm 8774  df-ixp 8842  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-fsupp 9312  df-fi 9355  df-sup 9386  df-inf 9387  df-oi 9454  df-card 9883  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-z 12508  df-dec 12627  df-uz 12772  df-q 12882  df-rp 12924  df-xneg 13041  df-xadd 13042  df-xmul 13043  df-ioo 13277  df-ico 13279  df-icc 13280  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-seq 13916  df-exp 13977  df-hash 14240  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-struct 17027  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-starv 17156  df-sca 17157  df-vsca 17158  df-ip 17159  df-tset 17160  df-ple 17161  df-ds 17163  df-unif 17164  df-hom 17165  df-cco 17166  df-rest 17312  df-topn 17313  df-0g 17331  df-gsum 17332  df-topgen 17333  df-pt 17334  df-prds 17337  df-xrs 17392  df-qtop 17397  df-imas 17398  df-xps 17400  df-mre 17474  df-mrc 17475  df-acs 17477  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-submnd 18610  df-mulg 18881  df-cntz 19105  df-cmn 19572  df-psmet 20811  df-xmet 20812  df-met 20813  df-bl 20814  df-mopn 20815  df-fbas 20816  df-fg 20817  df-cnfld 20820  df-top 22266  df-topon 22283  df-topsp 22305  df-bases 22319  df-cld 22393  df-ntr 22394  df-cls 22395  df-nei 22472  df-lp 22510  df-perf 22511  df-cn 22601  df-cnp 22602  df-haus 22689  df-cmp 22761  df-tx 22936  df-hmeo 23129  df-fil 23220  df-fm 23312  df-flim 23313  df-flf 23314  df-xms 23696  df-ms 23697  df-tms 23698  df-cncf 24264  df-limc 25253  df-dv 25254
This theorem is referenced by:  ftc2  25431  ftc2nc  36210
  Copyright terms: Public domain W3C validator