Theorem dprdf2 20067

Description: The function 𝑆 is a family of subgroups. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dprdcntz.1	⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd 𝑆)
dprdcntz.2	⊢ (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
dprdf2	⊢ (𝜑 → 𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))

Proof of Theorem dprdf2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dprdcntz.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd 𝑆)
2		dprdf 20066	. . 3 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → 𝑆:dom 𝑆⟶(SubGrp‘𝐺))
3	1, 2	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆:dom 𝑆⟶(SubGrp‘𝐺))
4		dprdcntz.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
5	4	feq2d 6679	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆:dom 𝑆⟶(SubGrp‘𝐺) ↔ 𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺)))
6	3, 5	mpbid 235	1 ⊢ (𝜑 → 𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1563   class class class wbr 5104  dom cdm 5651  ⟶wf 6521  ‘cfv 6525  SubGrpcsubg 19174   DProd cdprd 20053

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5231  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-ixp 8884  df-dprd 20055

This theorem is referenced by:  dprdff  20072  dprdfid  20077  dprdfinv  20079  dprdfadd  20080  dprdfeq0  20082  dprdres  20088  dprdss  20089  dprdf1o  20092  dprdf1  20093  subgdprd  20095  dmdprdsplitlem  20097  dprdcntz2  20098  dpjlem  20111  dpjcntz  20112  dpjdisj  20113  dpjlsm  20114  dpjf  20117  dpjidcl  20118  dpjlid  20121  dpjghm  20123  dpjghm2  20124  ablfac1c  20131  ablfac1eulem  20132  ablfac1eu  20133  ablfaclem2  20146  ablfaclem3  20147  dchrptlem3  27384