Theorem dprdf2 19877

Description: The function 𝑆 is a family of subgroups. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dprdcntz.1	⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd 𝑆)
dprdcntz.2	⊢ (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
dprdf2	⊢ (𝜑 → 𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))

Proof of Theorem dprdf2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dprdcntz.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd 𝑆)
2		dprdf 19876	. . 3 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → 𝑆:dom 𝑆⟶(SubGrp‘𝐺))
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆:dom 𝑆⟶(SubGrp‘𝐺))
4		dprdcntz.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
5	4	feq2d 6704	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆:dom 𝑆⟶(SubGrp‘𝐺) ↔ 𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺)))
6	3, 5	mpbid 231	1 ⊢ (𝜑 → 𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   class class class wbr 5149  dom cdm 5677  ⟶wf 6540  ‘cfv 6544  SubGrpcsubg 19000   DProd cdprd 19863

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-ixp 8892  df-dprd 19865

This theorem is referenced by:  dprdff  19882  dprdfid  19887  dprdfinv  19889  dprdfadd  19890  dprdfeq0  19892  dprdres  19898  dprdss  19899  dprdf1o  19902  dprdf1  19903  subgdprd  19905  dmdprdsplitlem  19907  dprdcntz2  19908  dpjlem  19921  dpjcntz  19922  dpjdisj  19923  dpjlsm  19924  dpjf  19927  dpjidcl  19928  dpjlid  19931  dpjghm  19933  dpjghm2  19934  ablfac1c  19941  ablfac1eulem  19942  ablfac1eu  19943  ablfaclem2  19956  ablfaclem3  19957  dchrptlem3  26769