MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dprdf2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dprdf2 19058
Description: The function 𝑆 is a family of subgroups. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dprdcntz.1 (𝜑𝐺dom DProd 𝑆)
dprdcntz.2 (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
Assertion
Ref Expression
dprdf2 (𝜑𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))

Proof of Theorem dprdf2
StepHypRef Expression
1 dprdcntz.1 . . 3 (𝜑𝐺dom DProd 𝑆)
2 dprdf 19057 . . 3 (𝐺dom DProd 𝑆𝑆:dom 𝑆⟶(SubGrp‘𝐺))
31, 2syl 17 . 2 (𝜑𝑆:dom 𝑆⟶(SubGrp‘𝐺))
4 dprdcntz.2 . . 3 (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
54feq2d 6493 . 2 (𝜑 → (𝑆:dom 𝑆⟶(SubGrp‘𝐺) ↔ 𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺)))
63, 5mpbid 233 1 (𝜑𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1528   class class class wbr 5057  dom cdm 5548  wf 6344  cfv 6348  SubGrpcsubg 18211   DProd cdprd 19044
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-ixp 8450  df-dprd 19046
This theorem is referenced by:  dprdff  19063  dprdfid  19068  dprdfinv  19070  dprdfadd  19071  dprdfeq0  19073  dprdres  19079  dprdss  19080  dprdf1o  19083  dprdf1  19084  subgdprd  19086  dmdprdsplitlem  19088  dprdcntz2  19089  dpjlem  19102  dpjcntz  19103  dpjdisj  19104  dpjlsm  19105  dpjf  19108  dpjidcl  19109  dpjlid  19112  dpjghm  19114  dpjghm2  19115  ablfac1c  19122  ablfac1eulem  19123  ablfac1eu  19124  ablfaclem2  19137  ablfaclem3  19138  dchrptlem3  25769
  Copyright terms: Public domain W3C validator