Theorem dprdf2 18722

Description: The function 𝑆 is a family of subgroups. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dprdcntz.1	⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd 𝑆)
dprdcntz.2	⊢ (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
dprdf2	⊢ (𝜑 → 𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))

Proof of Theorem dprdf2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dprdcntz.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd 𝑆)
2		dprdf 18721	. . 3 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → 𝑆:dom 𝑆⟶(SubGrp‘𝐺))
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆:dom 𝑆⟶(SubGrp‘𝐺))
4		dprdcntz.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
5	4	feq2d 6242	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆:dom 𝑆⟶(SubGrp‘𝐺) ↔ 𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺)))
6	3, 5	mpbid 224	1 ⊢ (𝜑 → 𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1653   class class class wbr 4843  dom cdm 5312  ⟶wf 6097  ‘cfv 6101  SubGrpcsubg 17901   DProd cdprd 18708

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-op 4375  df-uni 4629  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-id 5220  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-ixp 8149  df-dprd 18710

This theorem is referenced by:  dprdff  18727  dprdfid  18732  dprdfinv  18734  dprdfadd  18735  dprdfeq0  18737  dprdres  18743  dprdss  18744  dprdf1o  18747  dprdf1  18748  subgdprd  18750  dmdprdsplitlem  18752  dprdcntz2  18753  dpjlem  18766  dpjcntz  18767  dpjdisj  18768  dpjlsm  18769  dpjf  18772  dpjidcl  18773  dpjlid  18776  dpjghm  18778  dpjghm2  18779  ablfac1c  18786  ablfac1eulem  18787  ablfac1eu  18788  ablfaclem2  18801  ablfaclem3  18802  dchrptlem3  25343