MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dprdf2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dprdf2 19128
Description: The function 𝑆 is a family of subgroups. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dprdcntz.1 (𝜑𝐺dom DProd 𝑆)
dprdcntz.2 (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
Assertion
Ref Expression
dprdf2 (𝜑𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))

Proof of Theorem dprdf2
StepHypRef Expression
1 dprdcntz.1 . . 3 (𝜑𝐺dom DProd 𝑆)
2 dprdf 19127 . . 3 (𝐺dom DProd 𝑆𝑆:dom 𝑆⟶(SubGrp‘𝐺))
31, 2syl 17 . 2 (𝜑𝑆:dom 𝑆⟶(SubGrp‘𝐺))
4 dprdcntz.2 . . 3 (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
54feq2d 6499 . 2 (𝜑 → (𝑆:dom 𝑆⟶(SubGrp‘𝐺) ↔ 𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺)))
63, 5mpbid 234 1 (𝜑𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1533   class class class wbr 5065  dom cdm 5554  wf 6350  cfv 6354  SubGrpcsubg 18272   DProd cdprd 19114
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5189  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-op 4573  df-uni 4838  df-iun 4920  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-id 5459  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-1st 7688  df-2nd 7689  df-ixp 8461  df-dprd 19116
This theorem is referenced by:  dprdff  19133  dprdfid  19138  dprdfinv  19140  dprdfadd  19141  dprdfeq0  19143  dprdres  19149  dprdss  19150  dprdf1o  19153  dprdf1  19154  subgdprd  19156  dmdprdsplitlem  19158  dprdcntz2  19159  dpjlem  19172  dpjcntz  19173  dpjdisj  19174  dpjlsm  19175  dpjf  19178  dpjidcl  19179  dpjlid  19182  dpjghm  19184  dpjghm2  19185  ablfac1c  19192  ablfac1eulem  19193  ablfac1eu  19194  ablfaclem2  19207  ablfaclem3  19208  dchrptlem3  25841
  Copyright terms: Public domain W3C validator