MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrltletrd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrltletrd 12546
Description: Transitive law for ordering on extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
xrlttrd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
xrlttrd.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
xrlttrd.3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ*)
xrltletrd.4 (𝜑𝐴 < 𝐵)
xrltletrd.5 (𝜑𝐵𝐶)
Assertion
Ref Expression
xrltletrd (𝜑𝐴 < 𝐶)

Proof of Theorem xrltletrd
StepHypRef Expression
1 xrltletrd.4 . 2 (𝜑𝐴 < 𝐵)
2 xrltletrd.5 . 2 (𝜑𝐵𝐶)
3 xrlttrd.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
4 xrlttrd.2 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
5 xrlttrd.3 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ*)
6 xrltletr 12542 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴 < 𝐵𝐵𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
73, 4, 5, 6syl3anc 1368 . 2 (𝜑 → ((𝐴 < 𝐵𝐵𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
81, 2, 7mp2and 698 1 (𝜑𝐴 < 𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  wcel 2112   class class class wbr 5033  *cxr 10667   < clt 10668  cle 10669
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-op 4535  df-uni 4804  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-id 5428  df-po 5442  df-so 5443  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674
This theorem is referenced by:  xlt2add  12645  xadddi2  12682  supxrre  12712  infxrre  12721  ixxlb  12752  elicore  12781  elico2  12793  elicc2  12794  caucvgrlem  15025  isnzr2hash  20034  xrsdsreclblem  20141  xblss2ps  23012  xblss2  23013  tgioo  23405  xrge0tsms  23443  xrhmeo  23555  ovoliunlem1  24110  ovoliun  24113  ioombl1lem2  24167  vitalilem4  24219  itg2monolem2  24359  itg2gt0  24368  dvferm1lem  24591  dvferm2lem  24593  lhop1lem  24620  pserdvlem2  25027  abelthlem3  25032  logtayl  25255  xrge0tsmsd  30746  esum2d  31466  usgrcyclgt2v  32492  relowlssretop  34781  itg2gt0cn  35111  areacirclem5  35148  xrge0nemnfd  41957  supxrgere  41958  supxrgelem  41962  infrpge  41976  xrralrecnnge  42019  supxrunb3  42029  icoopn  42155  limsupre  42276  limsupre3lem  42367  xlimpnfv  42473  fourierdlem27  42769  fourierdlem87  42828  gsumge0cl  43003  sge0pr  43026  sge0ssre  43029  sge0xaddlem1  43065  meaiuninc3v  43116  pimiooltgt  43339  pimdecfgtioc  43343  preimageiingt  43348
  Copyright terms: Public domain W3C validator