Theorem xrltletrd 13182

Description: Transitive law for ordering on extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrlttrd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
xrlttrd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
xrlttrd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
xrltletrd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
xrltletrd.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
xrltletrd	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)

Proof of Theorem xrltletrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrltletrd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
2		xrltletrd.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)
3		xrlttrd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
4		xrlttrd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
5		xrlttrd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
6		xrltletr 13178	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1396	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
8	1, 2, 7	mp2and 711	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∈ wcel 2149   class class class wbr 5110  ℝ^*cxr 11238   < clt 11239   ≤ cle 11240

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5554  df-po 5567  df-so 5568  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245

This theorem is referenced by:  xlt2add  13282  xadddi2  13319  supxrre  13349  infxrre  13359  ixxlb  13390  elicore  13421  elico2  13433  elicc2  13434  caucvgrlem  15720  isnzr2hash  20599  xrsdsreclblem  21528  xblss2ps  24523  xblss2  24524  tgioo  24918  xrge0tsms  24957  xrhmeo  25070  ovoliunlem1  25626  ovoliun  25629  ioombl1lem2  25683  vitalilem4  25735  itg2monolem2  25875  itg2gt0  25884  dvferm1lem  26108  dvferm2lem  26110  lhop1lem  26137  pserdvlem2  26553  abelthlem3  26558  logtayl  26787  xrge0tsmsd  33330  ply1degltdimlem  33953  esum2d  34424  usgrcyclgt2v  35518  relowlssretop  37892  itg2gt0cn  38209  areacirclem5  38246  aks6d1c6lem3  42824  aks6d1c7lem2  42833  xrge0nemnfd  45933  supxrgere  45934  supxrgelem  45938  infrpge  45952  xrralrecnnge  45990  supxrunb3  45999  icoopn  46126  limsupre  46240  limsupre3lem  46331  xlimpnfv  46437  fourierdlem27  46733  fourierdlem87  46792  gsumge0cl  46970  sge0pr  46993  sge0ssre  46996  sge0xaddlem1  47032  meaiuninc3v  47083  pimiooltgt  47309  pimdecfgtioc  47314  preimageiingt  47319  finfdm  47445