MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrltletrd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrltletrd 13008
Description: Transitive law for ordering on extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
xrlttrd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
xrlttrd.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
xrlttrd.3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ*)
xrltletrd.4 (𝜑𝐴 < 𝐵)
xrltletrd.5 (𝜑𝐵𝐶)
Assertion
Ref Expression
xrltletrd (𝜑𝐴 < 𝐶)

Proof of Theorem xrltletrd
StepHypRef Expression
1 xrltletrd.4 . 2 (𝜑𝐴 < 𝐵)
2 xrltletrd.5 . 2 (𝜑𝐵𝐶)
3 xrlttrd.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
4 xrlttrd.2 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
5 xrlttrd.3 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ*)
6 xrltletr 13004 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴 < 𝐵𝐵𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
73, 4, 5, 6syl3anc 1371 . 2 (𝜑 → ((𝐴 < 𝐵𝐵𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
81, 2, 7mp2and 697 1 (𝜑𝐴 < 𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  wcel 2106   class class class wbr 5103  *cxr 11121   < clt 11122  cle 11123
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7662  ax-cnex 11040  ax-resscn 11041  ax-pre-lttri 11058  ax-pre-lttrn 11059
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-id 5528  df-po 5542  df-so 5543  df-xp 5636  df-rel 5637  df-cnv 5638  df-co 5639  df-dm 5640  df-rn 5641  df-res 5642  df-ima 5643  df-iota 6443  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-er 8581  df-en 8817  df-dom 8818  df-sdom 8819  df-pnf 11124  df-mnf 11125  df-xr 11126  df-ltxr 11127  df-le 11128
This theorem is referenced by:  xlt2add  13107  xadddi2  13144  supxrre  13174  infxrre  13183  ixxlb  13214  elicore  13244  elico2  13256  elicc2  13257  caucvgrlem  15491  isnzr2hash  20657  xrsdsreclblem  20766  xblss2ps  23676  xblss2  23677  tgioo  24081  xrge0tsms  24119  xrhmeo  24231  ovoliunlem1  24788  ovoliun  24791  ioombl1lem2  24845  vitalilem4  24897  itg2monolem2  25038  itg2gt0  25047  dvferm1lem  25270  dvferm2lem  25272  lhop1lem  25299  pserdvlem2  25709  abelthlem3  25714  logtayl  25937  xrge0tsmsd  31693  esum2d  32465  usgrcyclgt2v  33498  relowlssretop  35729  itg2gt0cn  36028  areacirclem5  36065  xrge0nemnfd  43323  supxrgere  43324  supxrgelem  43328  infrpge  43342  xrralrecnnge  43382  supxrunb3  43391  icoopn  43516  limsupre  43635  limsupre3lem  43726  xlimpnfv  43832  fourierdlem27  44128  fourierdlem87  44187  gsumge0cl  44365  sge0pr  44388  sge0ssre  44391  sge0xaddlem1  44427  meaiuninc3v  44478  pimiooltgt  44704  pimdecfgtioc  44709  preimageiingt  44714
  Copyright terms: Public domain W3C validator