Theorem xrltletrd 13187

Description: Transitive law for ordering on extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrlttrd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
xrlttrd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
xrlttrd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
xrltletrd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
xrltletrd.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
xrltletrd	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)

Proof of Theorem xrltletrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrltletrd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
2		xrltletrd.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)
3		xrlttrd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
4		xrlttrd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
5		xrlttrd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
6		xrltletr 13183	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1398	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
8	1, 2, 7	mp2and 711	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∈ wcel 2143   class class class wbr 5110  ℝ^*cxr 11243   < clt 11244   ≤ cle 11245

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5558  df-po 5571  df-so 5572  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250

This theorem is referenced by:  xlt2add  13287  xadddi2  13324  supxrre  13354  infxrre  13364  ixxlb  13395  elicore  13426  elico2  13438  elicc2  13439  caucvgrlem  15726  isnzr2hash  20604  xrsdsreclblem  21544  xblss2ps  24539  xblss2  24540  tgioo  24934  xrge0tsms  24973  xrhmeo  25086  ovoliunlem1  25642  ovoliun  25645  ioombl1lem2  25699  vitalilem4  25751  itg2monolem2  25891  itg2gt0  25900  dvferm1lem  26124  dvferm2lem  26126  lhop1lem  26153  pserdvlem2  26572  abelthlem3  26577  logtayl  26806  xrge0tsmsd  33374  ply1degltdimlem  33993  esum2d  34464  usgrcyclgt2v  35604  relowlssretop  37990  itg2gt0cn  38307  areacirclem5  38344  aks6d1c6lem3  42920  aks6d1c7lem2  42929  xrge0nemnfd  46031  supxrgere  46032  supxrgelem  46036  infrpge  46050  xrralrecnnge  46088  supxrunb3  46097  icoopn  46224  limsupre  46338  limsupre3lem  46429  xlimpnfv  46535  fourierdlem27  46831  fourierdlem87  46890  gsumge0cl  47068  sge0pr  47091  sge0ssre  47094  sge0xaddlem1  47130  meaiuninc3v  47181  pimiooltgt  47407  pimdecfgtioc  47412  preimageiingt  47417  finfdm  47543