Theorem xrltletrd 13103

Description: Transitive law for ordering on extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrlttrd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
xrlttrd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
xrlttrd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
xrltletrd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
xrltletrd.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
xrltletrd	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)

Proof of Theorem xrltletrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrltletrd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
2		xrltletrd.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)
3		xrlttrd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
4		xrlttrd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
5		xrlttrd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
6		xrltletr 13099	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1379	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
8	1, 2, 7	mp2and 705	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2119   class class class wbr 5072  ℝ^*cxr 11169   < clt 11170   ≤ cle 11171

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-id 5513  df-po 5526  df-so 5527  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176

This theorem is referenced by:  xlt2add  13203  xadddi2  13240  supxrre  13270  infxrre  13280  ixxlb  13311  elicore  13342  elico2  13354  elicc2  13355  caucvgrlem  15626  isnzr2hash  20491  xrsdsreclblem  21388  xblss2ps  24384  xblss2  24385  tgioo  24779  xrge0tsms  24818  xrhmeo  24931  ovoliunlem1  25487  ovoliun  25490  ioombl1lem2  25544  vitalilem4  25596  itg2monolem2  25736  itg2gt0  25745  dvferm1lem  25969  dvferm2lem  25971  lhop1lem  25998  pserdvlem2  26411  abelthlem3  26416  logtayl  26642  xrge0tsmsd  33154  ply1degltdimlem  33806  esum2d  34277  usgrcyclgt2v  35359  relowlssretop  37725  itg2gt0cn  38042  areacirclem5  38079  aks6d1c6lem3  42657  aks6d1c7lem2  42666  xrge0nemnfd  45777  supxrgere  45778  supxrgelem  45782  infrpge  45796  xrralrecnnge  45834  supxrunb3  45843  icoopn  45970  limsupre  46084  limsupre3lem  46175  xlimpnfv  46281  fourierdlem27  46577  fourierdlem87  46636  gsumge0cl  46814  sge0pr  46837  sge0ssre  46840  sge0xaddlem1  46876  meaiuninc3v  46927  pimiooltgt  47153  pimdecfgtioc  47158  preimageiingt  47163  finfdm  47289