Theorem ex-rn 30472

Description: Example for df-rn 5711. Example by David A. Wheeler. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ex-rn	⊢ (𝐹 = {⟨2, 6⟩, ⟨3, 9⟩} → ran 𝐹 = {6, 9})

Proof of Theorem ex-rn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rneq 5961	. 2 ⊢ (𝐹 = {⟨2, 6⟩, ⟨3, 9⟩} → ran 𝐹 = ran {⟨2, 6⟩, ⟨3, 9⟩})
2		df-pr 4651	. . . 4 ⊢ {⟨2, 6⟩, ⟨3, 9⟩} = ({⟨2, 6⟩} ∪ {⟨3, 9⟩})
3	2	rneqi 5962	. . 3 ⊢ ran {⟨2, 6⟩, ⟨3, 9⟩} = ran ({⟨2, 6⟩} ∪ {⟨3, 9⟩})
4		rnun 6177	. . 3 ⊢ ran ({⟨2, 6⟩} ∪ {⟨3, 9⟩}) = (ran {⟨2, 6⟩} ∪ ran {⟨3, 9⟩})
5		2nn 12366	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ
6	5	elexi 3511	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ V
7	6	rnsnop 6255	. . . . 5 ⊢ ran {⟨2, 6⟩} = {6}
8		3nn 12372	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℕ
9	8	elexi 3511	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ V
10	9	rnsnop 6255	. . . . 5 ⊢ ran {⟨3, 9⟩} = {9}
11	7, 10	uneq12i 4189	. . . 4 ⊢ (ran {⟨2, 6⟩} ∪ ran {⟨3, 9⟩}) = ({6} ∪ {9})
12		df-pr 4651	. . . 4 ⊢ {6, 9} = ({6} ∪ {9})
13	11, 12	eqtr4i 2771	. . 3 ⊢ (ran {⟨2, 6⟩} ∪ ran {⟨3, 9⟩}) = {6, 9}
14	3, 4, 13	3eqtri 2772	. 2 ⊢ ran {⟨2, 6⟩, ⟨3, 9⟩} = {6, 9}
15	1, 14	eqtrdi 2796	1 ⊢ (𝐹 = {⟨2, 6⟩, ⟨3, 9⟩} → ran 𝐹 = {6, 9})

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∪ cun 3974  {csn 4648  {cpr 4650  ⟨cop 4654  ran crn 5701  ℕcn 12293  2c2 12348  3c3 12349  6c6 12352  9c9 12355

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-1cn 11242

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-ov 7451  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357

This theorem is referenced by: (None)