Theorem ex-rn 29690

Description: Example for df-rn 5687. Example by David A. Wheeler. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ex-rn	⊢ (𝐹 = {⟨2, 6⟩, ⟨3, 9⟩} → ran 𝐹 = {6, 9})

Proof of Theorem ex-rn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rneq 5935	. 2 ⊢ (𝐹 = {⟨2, 6⟩, ⟨3, 9⟩} → ran 𝐹 = ran {⟨2, 6⟩, ⟨3, 9⟩})
2		df-pr 4631	. . . 4 ⊢ {⟨2, 6⟩, ⟨3, 9⟩} = ({⟨2, 6⟩} ∪ {⟨3, 9⟩})
3	2	rneqi 5936	. . 3 ⊢ ran {⟨2, 6⟩, ⟨3, 9⟩} = ran ({⟨2, 6⟩} ∪ {⟨3, 9⟩})
4		rnun 6145	. . 3 ⊢ ran ({⟨2, 6⟩} ∪ {⟨3, 9⟩}) = (ran {⟨2, 6⟩} ∪ ran {⟨3, 9⟩})
5		2nn 12284	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ
6	5	elexi 3493	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ V
7	6	rnsnop 6223	. . . . 5 ⊢ ran {⟨2, 6⟩} = {6}
8		3nn 12290	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℕ
9	8	elexi 3493	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ V
10	9	rnsnop 6223	. . . . 5 ⊢ ran {⟨3, 9⟩} = {9}
11	7, 10	uneq12i 4161	. . . 4 ⊢ (ran {⟨2, 6⟩} ∪ ran {⟨3, 9⟩}) = ({6} ∪ {9})
12		df-pr 4631	. . . 4 ⊢ {6, 9} = ({6} ∪ {9})
13	11, 12	eqtr4i 2763	. . 3 ⊢ (ran {⟨2, 6⟩} ∪ ran {⟨3, 9⟩}) = {6, 9}
14	3, 4, 13	3eqtri 2764	. 2 ⊢ ran {⟨2, 6⟩, ⟨3, 9⟩} = {6, 9}
15	1, 14	eqtrdi 2788	1 ⊢ (𝐹 = {⟨2, 6⟩, ⟨3, 9⟩} → ran 𝐹 = {6, 9})

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∪ cun 3946  {csn 4628  {cpr 4630  ⟨cop 4634  ran crn 5677  ℕcn 12211  2c2 12266  3c3 12267  6c6 12270  9c9 12273

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-1cn 11167

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7411  df-om 7855  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275

This theorem is referenced by: (None)