Theorem ex-rn 30376

Description: Example for df-rn 5695. Example by David A. Wheeler. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ex-rn	⊢ (𝐹 = {⟨2, 6⟩, ⟨3, 9⟩} → ran 𝐹 = {6, 9})

Proof of Theorem ex-rn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rneq 5944	. 2 ⊢ (𝐹 = {⟨2, 6⟩, ⟨3, 9⟩} → ran 𝐹 = ran {⟨2, 6⟩, ⟨3, 9⟩})
2		df-pr 4636	. . . 4 ⊢ {⟨2, 6⟩, ⟨3, 9⟩} = ({⟨2, 6⟩} ∪ {⟨3, 9⟩})
3	2	rneqi 5945	. . 3 ⊢ ran {⟨2, 6⟩, ⟨3, 9⟩} = ran ({⟨2, 6⟩} ∪ {⟨3, 9⟩})
4		rnun 6159	. . 3 ⊢ ran ({⟨2, 6⟩} ∪ {⟨3, 9⟩}) = (ran {⟨2, 6⟩} ∪ ran {⟨3, 9⟩})
5		2nn 12339	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ
6	5	elexi 3484	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ V
7	6	rnsnop 6237	. . . . 5 ⊢ ran {⟨2, 6⟩} = {6}
8		3nn 12345	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℕ
9	8	elexi 3484	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ V
10	9	rnsnop 6237	. . . . 5 ⊢ ran {⟨3, 9⟩} = {9}
11	7, 10	uneq12i 4161	. . . 4 ⊢ (ran {⟨2, 6⟩} ∪ ran {⟨3, 9⟩}) = ({6} ∪ {9})
12		df-pr 4636	. . . 4 ⊢ {6, 9} = ({6} ∪ {9})
13	11, 12	eqtr4i 2757	. . 3 ⊢ (ran {⟨2, 6⟩} ∪ ran {⟨3, 9⟩}) = {6, 9}
14	3, 4, 13	3eqtri 2758	. 2 ⊢ ran {⟨2, 6⟩, ⟨3, 9⟩} = {6, 9}
15	1, 14	eqtrdi 2782	1 ⊢ (𝐹 = {⟨2, 6⟩, ⟨3, 9⟩} → ran 𝐹 = {6, 9})

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1534   ∪ cun 3945  {csn 4633  {cpr 4635  ⟨cop 4639  ran crn 5685  ℕcn 12266  2c2 12321  3c3 12322  6c6 12325  9c9 12328

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5306  ax-nul 5313  ax-pr 5435  ax-un 7748  ax-1cn 11218

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4916  df-iun 5005  df-br 5156  df-opab 5218  df-mpt 5239  df-tr 5273  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5639  df-we 5641  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6314  df-ord 6381  df-on 6382  df-lim 6383  df-suc 6384  df-iota 6508  df-fun 6558  df-fn 6559  df-f 6560  df-f1 6561  df-fo 6562  df-f1o 6563  df-fv 6564  df-ov 7429  df-om 7879  df-2nd 8006  df-frecs 8298  df-wrecs 8329  df-recs 8403  df-rdg 8442  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330

This theorem is referenced by: (None)