Theorem ex-rn 30427

Description: Example for df-rn 5630. Example by David A. Wheeler. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ex-rn	⊢ (𝐹 = {⟨2, 6⟩, ⟨3, 9⟩} → ran 𝐹 = {6, 9})

Proof of Theorem ex-rn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rneq 5881	. 2 ⊢ (𝐹 = {⟨2, 6⟩, ⟨3, 9⟩} → ran 𝐹 = ran {⟨2, 6⟩, ⟨3, 9⟩})
2		df-pr 4578	. . . 4 ⊢ {⟨2, 6⟩, ⟨3, 9⟩} = ({⟨2, 6⟩} ∪ {⟨3, 9⟩})
3	2	rneqi 5882	. . 3 ⊢ ran {⟨2, 6⟩, ⟨3, 9⟩} = ran ({⟨2, 6⟩} ∪ {⟨3, 9⟩})
4		rnun 6098	. . 3 ⊢ ran ({⟨2, 6⟩} ∪ {⟨3, 9⟩}) = (ran {⟨2, 6⟩} ∪ ran {⟨3, 9⟩})
5		2nn 12204	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ
6	5	elexi 3459	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ V
7	6	rnsnop 6177	. . . . 5 ⊢ ran {⟨2, 6⟩} = {6}
8		3nn 12210	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℕ
9	8	elexi 3459	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ V
10	9	rnsnop 6177	. . . . 5 ⊢ ran {⟨3, 9⟩} = {9}
11	7, 10	uneq12i 4115	. . . 4 ⊢ (ran {⟨2, 6⟩} ∪ ran {⟨3, 9⟩}) = ({6} ∪ {9})
12		df-pr 4578	. . . 4 ⊢ {6, 9} = ({6} ∪ {9})
13	11, 12	eqtr4i 2757	. . 3 ⊢ (ran {⟨2, 6⟩} ∪ ran {⟨3, 9⟩}) = {6, 9}
14	3, 4, 13	3eqtri 2758	. 2 ⊢ ran {⟨2, 6⟩, ⟨3, 9⟩} = {6, 9}
15	1, 14	eqtrdi 2782	1 ⊢ (𝐹 = {⟨2, 6⟩, ⟨3, 9⟩} → ran 𝐹 = {6, 9})

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∪ cun 3895  {csn 4575  {cpr 4577  ⟨cop 4581  ran crn 5620  ℕcn 12131  2c2 12186  3c3 12187  6c6 12190  9c9 12193

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-1cn 11070

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-ov 7355  df-om 7803  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-nn 12132  df-2 12194  df-3 12195

This theorem is referenced by: (None)