Theorem 2nn 12254

Description: 2 is a positive integer. (Contributed by NM, 20-Aug-2001.)

Assertion

Ref	Expression
2nn	⊢ 2 ∈ ℕ

Proof of Theorem 2nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-2 12244	. 2 ⊢ 2 = (1 + 1)
2		1nn 12185	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ
3		peano2nn 12186	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℕ → (1 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (1 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2832	1 ⊢ 2 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7367  1c1 11039   + caddc 11041  ℕcn 12174  2c2 12236

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-1cn 11096

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-ov 7370  df-om 7818  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-nn 12175  df-2 12244

This theorem is referenced by:  3nn  12260  2ne0  12285  2nn0  12454  2z  12559  uz3m2nn  12844  ige2m1fz1  13570  sqeq0  14082  sqeq0d  14107  expmulnbnd  14197  faclbnd5  14260  bcn2  14281  f1oun2prg  14879  wrdl2exs2  14908  pfx2  14909  wwlktovf  14918  reusq0  15427  climcndslem1  15814  climcndslem2  15815  climcnds  15816  harmonic  15824  geo2sum  15838  geo2lim  15840  ege2le3  16055  ef01bndlem  16151  egt2lt3  16173  nthruc  16219  mod2eq0even  16315  bits0o  16399  bitsp1  16400  bitsfzolem  16403  bitsfzo  16404  bitsmod  16405  bitsfi  16406  bitscmp  16407  bitsinv1lem  16410  bitsinv1  16411  2ebits  16416  bitsinvp1  16418  sadcaddlem  16426  sadadd3  16430  sadaddlem  16435  sadasslem  16439  bitsres  16442  bitsuz  16443  bitsshft  16444  smumullem  16461  smumul  16462  sqgcd  16531  3lcm2e6woprm  16584  prm2orodd  16660  4nprm  16664  prmdvdssq  16688  isevengcd2  16700  3lcm2e6  16702  pythagtriplem4  16790  iserodd  16806  oddprmdvds  16874  prmreclem3  16889  prmreclem5  16891  prmreclem6  16892  4sqlem12  16927  vdwlem3  16954  vdwlem9  16960  vdwlem10  16961  prmo2  17011  dec2dvds  17034  dec5nprm  17037  dec2nprm  17038  2expltfac  17063  5prm  17079  6nprm  17080  7prm  17081  8nprm  17082  10nprm  17084  11prm  17085  17prm  17087  23prm  17089  37prm  17091  43prm  17092  83prm  17093  139prm  17094  163prm  17095  317prm  17096  631prm  17097  1259lem1  17101  1259lem2  17102  1259lem3  17103  1259lem4  17104  1259lem5  17105  1259prm  17106  2503lem1  17107  2503lem2  17108  2503lem3  17109  2503prm  17110  4001lem1  17111  4001lem2  17112  4001lem3  17113  4001lem4  17114  4001prm  17115  plusgndx  17246  plusgid  17247  plusgndxnn  17248  rngstr  17261  lmodstr  17288  topgrpstr  17324  dsndx  17348  dsid  17349  dsndxnn  17350  slotsdifdsndx  17357  slotsdifunifndx  17364  odrngstr  17366  imasvalstr  17414  pmtrprfvalrn  19463  psgnunilem2  19470  psgnprfval  19496  psgnprfval1  19497  cnfldstr  21354  m2detleiblem1  22589  m2detleiblem5  22590  m2detleiblem6  22591  m2detleiblem3  22594  m2detleiblem4  22595  m2detleib  22596  ovollb2lem  25455  ovolunlem1a  25463  ovolunlem1  25464  ovoliunlem1  25469  ovoliunlem3  25471  dyadf  25558  dyadovol  25560  dyadss  25561  dyaddisjlem  25562  dyadmaxlem  25564  opnmbllem  25568  mbfi1fseqlem1  25682  mbfi1fseqlem3  25684  mbfi1fseqlem4  25685  mbfi1fseqlem5  25686  mbfi1fseqlem6  25687  dveflem  25946  aaliou3lem9  26316  quartlem1  26821  quartlem2  26822  zetacvg  26978  lgamgulmlem4  26995  basellem1  27044  basellem2  27045  basellem3  27046  basellem4  27047  basellem5  27048  basellem6  27049  basellem7  27050  basellem8  27051  basellem9  27052  1sgm2ppw  27163  ppiublem1  27165  chtublem  27174  mersenne  27190  perfect1  27191  perfectlem1  27192  perfectlem2  27193  perfect  27194  pcbcctr  27239  bclbnd  27243  bposlem1  27247  bposlem2  27248  bposlem3  27249  bposlem4  27250  bposlem5  27251  bposlem6  27252  bposlem8  27254  lgsdir2lem2  27289  lgsqr  27314  lgsqrmodndvds  27316  gausslemma2dlem1a  27328  gausslemma2d  27337  lgseisenlem1  27338  lgseisenlem2  27339  lgseisenlem3  27340  lgseisenlem4  27341  lgsquadlem1  27343  lgsquadlem2  27344  lgsquad2lem2  27348  2lgslem1c  27356  2lgs  27370  2sqlem3  27383  2sqlem8  27389  chebbnd1lem1  27432  chebbnd1lem3  27434  logdivsum  27496  log2sumbnd  27507  pntlemd  27557  pntlema  27559  pntlemb  27560  pntlemf  27568  pntlemo  27570  ostth2lem1  27581  slotsinbpsd  28509  slotslnbpsd  28510  trkgstr  28512  axlowdimlem6  29016  eengstr  29049  usgrexmplef  29328  cusgrsizeindb0  29518  usgr2pthlem  29831  uspgrn2crct  29876  usgr2wspthons3  30035  clwwlkn2  30114  wwlksext2clwwlk  30127  eupth2lem3lem4  30301  frgrhash2wsp  30402  2clwwlk2clwwlk  30420  dlwwlknondlwlknonf1olem1  30434  clwlknon2num  30438  numclwlk2lem2f1o  30449  ex-xp  30506  ex-cnv  30507  ex-rn  30510  ex-mod  30519  2exple2exp  32918  fldext2rspun  33826  cos9thpiminplylem1  33926  lmat22e11  33962  lmat22e12  33963  lmat22e21  33964  lmat22e22  33965  lmat22det  33966  oddpwdc  34498  eulerpartlemt  34515  eulerpartlemgh  34522  fib0  34543  fib1  34544  fib3  34547  chtvalz  34773  hgt750lem  34795  hgt750lemb  34800  hgt750leme  34802  problem5  35851  bcprod  35920  opnmbllem0  37977  mblfinlem1  37978  dvasin  38025  areacirclem1  38029  heiborlem3  38134  heiborlem5  38136  heiborlem6  38137  heiborlem7  38138  heiborlem8  38139  heibor  38142  12gcd5e1  42442  420gcd8e4  42445  12lcm5e60  42447  60lcm7e420  42449  420lcm8e840  42450  lcm2un  42453  lcmineqlem19  42486  lcmineqlem20  42487  lcmineqlem22  42489  lcmineqlem23  42490  lcmineqlem  42491  3lexlogpow2ineq1  42497  3lexlogpow2ineq2  42498  aks4d1p1p6  42512  aks4d1p1p5  42514  readvrec2  42793  dffltz  43067  flt4lem2  43080  flt4lem5  43083  flt4lem5a  43085  flt4lem5b  43086  flt4lem5c  43087  flt4lem5d  43088  flt4lem5e  43089  flt4lem7  43092  nna4b4nsq  43093  jm2.17a  43388  jm2.17b  43389  jm2.17c  43390  acongrep  43408  acongeq  43411  jm2.27a  43433  jm2.27c  43435  rmydioph  43442  rmxdioph  43444  expdiophlem2  43450  expdioph  43451  frlmpwfi  43526  amgm2d  44625  hashnzfz2  44748  lhe4.4ex1a  44756  limsup10exlem  46200  wallispilem5  46497  wallispi2lem1  46499  wallispi2  46501  stirlinglem3  46504  stirlinglem8  46509  stirlinglem10  46511  stirlinglem15  46516  dirkertrigeqlem3  46528  fouriersw  46659  hoicvrrex  46984  ovnsubaddlem1  46998  ovnsubaddlem2  46999  ovnsubadd2lem  47073  ovolval5lem1  47080  ovolval5lem2  47081  nthrucw  47316  ceilhalfelfzo1  47782  elmod2  47809  fmtnoodd  47996  fmtnof1  47998  fmtnosqrt  48002  fmtnorec4  48012  257prm  48024  odz2prm2pw  48026  fmtnoprmfac1lem  48027  fmtnoprmfac1  48028  fmtnoprmfac2lem1  48029  fmtnoprmfac2  48030  fmtno4prm  48038  2pwp1prm  48052  139prmALT  48059  127prm  48062  sfprmdvdsmersenne  48066  lighneallem1  48068  lighneallem3  48070  proththdlem  48076  proththd  48077  iseven5  48140  oddprmALTV  48163  perfectALTVlem1  48197  perfectALTVlem2  48198  perfectALTV  48199  fppr2odd  48207  2exp340mod341  48209  341fppr2  48210  fpprel2  48217  nnsum3primes4  48264  nnsum3primesgbe  48268  evengpoap3  48275  nnsum4primesevenALTV  48277  bgoldbtbndlem1  48281  tgblthelfgott  48291  gpgusgralem  48532  gpg3nbgrvtx0  48552  gpg3kgrtriexlem2  48560  gpg3kgrtriexlem5  48563  pw2m1lepw2m1  48996  nnpw2even  49005  logbpw2m1  49043  blenpw2  49054  nnpw2pmod  49059  blen2  49061  nnpw2p  49062  nnpw2pb  49063  blennnt2  49065  nnolog2flm1  49066  dig2nn1st  49081  0dig2pr01  49086  dig2nn0  49087  0dig2nn0e  49088  0dig2nn0o  49089  dig2bits  49090  dignn0flhalflem1  49091  dignn0ehalf  49093  dignn0flhalf  49094  nn0sumshdiglemA  49095  nn0sumshdiglemB  49096  nn0sumshdiglem1  49097  nn0sumshdiglem2  49098  nn0mullong  49101  itcovalt2lem2  49152  amgmw2d  50279