Theorem 2nn 12366

Description: 2 is a positive integer. (Contributed by NM, 20-Aug-2001.)

Assertion

Ref	Expression
2nn	⊢ 2 ∈ ℕ

Proof of Theorem 2nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-2 12356	. 2 ⊢ 2 = (1 + 1)
2		1nn 12304	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ
3		peano2nn 12305	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℕ → (1 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (1 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2840	1 ⊢ 2 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7448  1c1 11185   + caddc 11187  ℕcn 12293  2c2 12348

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-1cn 11242

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-ov 7451  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-nn 12294  df-2 12356

This theorem is referenced by:  3nn  12372  2nn0  12570  2z  12675  uz3m2nn  12956  ige2m1fz1  13673  sqeq0  14170  sqeq0d  14195  expmulnbnd  14284  faclbnd5  14347  bcn2  14368  f1oun2prg  14966  wrdl2exs2  14995  pfx2  14996  wwlktovf  15005  reusq0  15511  climcndslem1  15897  climcndslem2  15898  climcnds  15899  harmonic  15907  geo2sum  15921  geo2lim  15923  ege2le3  16138  ef01bndlem  16232  egt2lt3  16254  nthruc  16300  mod2eq0even  16394  bits0o  16476  bitsp1  16477  bitsfzolem  16480  bitsfzo  16481  bitsmod  16482  bitsfi  16483  bitscmp  16484  bitsinv1lem  16487  bitsinv1  16488  2ebits  16493  bitsinvp1  16495  sadcaddlem  16503  sadadd3  16507  sadaddlem  16512  sadasslem  16516  bitsres  16519  bitsuz  16520  bitsshft  16521  smumullem  16538  smumul  16539  sqgcd  16609  3lcm2e6woprm  16662  prm2orodd  16738  4nprm  16742  prmdvdssq  16765  isevengcd2  16777  3lcm2e6  16779  pythagtriplem4  16866  iserodd  16882  oddprmdvds  16950  prmreclem3  16965  prmreclem5  16967  prmreclem6  16968  4sqlem12  17003  vdwlem3  17030  vdwlem9  17036  vdwlem10  17037  prmo2  17087  dec2dvds  17110  dec5nprm  17113  dec2nprm  17114  2expltfac  17140  5prm  17156  6nprm  17157  7prm  17158  8nprm  17159  10nprm  17161  11prm  17162  17prm  17164  23prm  17166  37prm  17168  43prm  17169  83prm  17170  139prm  17171  163prm  17172  317prm  17173  631prm  17174  1259lem1  17178  1259lem2  17179  1259lem3  17180  1259lem4  17181  1259lem5  17182  1259prm  17183  2503lem1  17184  2503lem2  17185  2503lem3  17186  2503prm  17187  4001lem1  17188  4001lem2  17189  4001lem3  17190  4001lem4  17191  4001prm  17192  plusgndx  17337  plusgid  17338  plusgndxnn  17339  grpstr  17343  grpbaseOLD  17346  grpplusgOLD  17348  rngstr  17357  lmodstr  17384  topgrpstr  17420  dsndx  17444  dsid  17445  dsndxnn  17446  slotsdifdsndx  17453  slotsdifunifndx  17460  odrngstr  17462  imasvalstr  17511  pmtrprfvalrn  19530  psgnunilem2  19537  psgnprfval  19563  psgnprfval1  19564  mgpdsOLD  20175  oppraddOLD  20370  sraaddgOLD  21203  sradsOLD  21215  cnfldstr  21389  cnfldstrOLD  21404  cnfldfunALTOLDOLD  21416  zlmplusgOLD  21555  znaddOLD  21581  opsrplusgOLD  22095  m2detleiblem1  22651  m2detleiblem5  22652  m2detleiblem6  22653  m2detleiblem3  22656  m2detleiblem4  22657  m2detleib  22658  tmslemOLD  24516  tngplusgOLD  24679  ovollb2lem  25542  ovolunlem1a  25550  ovolunlem1  25551  ovoliunlem1  25556  ovoliunlem3  25558  dyadf  25645  dyadovol  25647  dyadss  25648  dyaddisjlem  25649  dyadmaxlem  25651  opnmbllem  25655  mbfi1fseqlem1  25770  mbfi1fseqlem3  25772  mbfi1fseqlem4  25773  mbfi1fseqlem5  25774  mbfi1fseqlem6  25775  dveflem  26037  aaliou3lem9  26410  quartlem1  26918  quartlem2  26919  zetacvg  27076  lgamgulmlem4  27093  basellem1  27142  basellem2  27143  basellem3  27144  basellem4  27145  basellem5  27146  basellem6  27147  basellem7  27148  basellem8  27149  basellem9  27150  1sgm2ppw  27262  ppiublem1  27264  chtublem  27273  mersenne  27289  perfect1  27290  perfectlem1  27291  perfectlem2  27292  perfect  27293  pcbcctr  27338  bclbnd  27342  bposlem1  27346  bposlem2  27347  bposlem3  27348  bposlem4  27349  bposlem5  27350  bposlem6  27351  bposlem8  27353  lgsdir2lem2  27388  lgsqr  27413  lgsqrmodndvds  27415  gausslemma2dlem1a  27427  gausslemma2d  27436  lgseisenlem1  27437  lgseisenlem2  27438  lgseisenlem3  27439  lgseisenlem4  27440  lgsquadlem1  27442  lgsquadlem2  27443  lgsquad2lem2  27447  2lgslem1c  27455  2lgs  27469  2sqlem3  27482  2sqlem8  27488  chebbnd1lem1  27531  chebbnd1lem3  27533  logdivsum  27595  log2sumbnd  27606  pntlemd  27656  pntlema  27658  pntlemb  27659  pntlemf  27667  pntlemo  27669  ostth2lem1  27680  slotsinbpsd  28467  slotslnbpsd  28468  trkgstr  28470  ttgplusgOLD  28908  ttgdsOLD  28913  axlowdimlem6  28980  eengstr  29013  usgrexmplef  29294  cusgrsizeindb0  29485  usgr2pthlem  29799  uspgrn2crct  29841  usgr2wspthons3  29997  clwwlkn2  30076  wwlksext2clwwlk  30089  eupth2lem3lem4  30263  frgrhash2wsp  30364  2clwwlk2clwwlk  30382  dlwwlknondlwlknonf1olem1  30396  clwlknon2num  30400  numclwlk2lem2f1o  30411  ex-xp  30468  ex-cnv  30469  ex-rn  30472  ex-mod  30481  resvplusgOLD  33327  lmat22e11  33764  lmat22e12  33765  lmat22e21  33766  lmat22e22  33767  lmat22det  33768  oddpwdc  34319  eulerpartlemt  34336  eulerpartlemgh  34343  fib0  34364  fib1  34365  fib3  34368  chtvalz  34606  hgt750lem  34628  hgt750lemb  34633  hgt750leme  34635  problem5  35637  bcprod  35700  opnmbllem0  37616  mblfinlem1  37617  dvasin  37664  areacirclem1  37668  heiborlem3  37773  heiborlem5  37775  heiborlem6  37776  heiborlem7  37777  heiborlem8  37778  heibor  37781  hlhilsplusOLD  41900  12gcd5e1  41960  420gcd8e4  41963  12lcm5e60  41965  60lcm7e420  41967  420lcm8e840  41968  lcm2un  41971  lcmineqlem19  42004  lcmineqlem20  42005  lcmineqlem22  42007  lcmineqlem23  42008  lcmineqlem  42009  3lexlogpow2ineq1  42015  3lexlogpow2ineq2  42016  aks4d1p1p6  42030  aks4d1p1p5  42032  dffltz  42589  flt4lem2  42602  flt4lem5  42605  flt4lem5a  42607  flt4lem5b  42608  flt4lem5c  42609  flt4lem5d  42610  flt4lem5e  42611  flt4lem7  42614  nna4b4nsq  42615  jm2.17a  42917  jm2.17b  42918  jm2.17c  42919  acongrep  42937  acongeq  42940  jm2.27a  42962  jm2.27c  42964  rmydioph  42971  rmxdioph  42973  expdiophlem2  42979  expdioph  42980  frlmpwfi  43055  amgm2d  44160  mnringaddgdOLD  44187  hashnzfz2  44290  lhe4.4ex1a  44298  limsup10exlem  45693  wallispilem5  45990  wallispi2lem1  45992  wallispi2  45994  stirlinglem3  45997  stirlinglem8  46002  stirlinglem10  46004  stirlinglem15  46009  dirkertrigeqlem3  46021  fouriersw  46152  hoicvrrex  46477  ovnsubaddlem1  46491  ovnsubaddlem2  46492  ovnsubadd2lem  46566  ovolval5lem1  46573  ovolval5lem2  46574  elmod2  47244  fmtnoodd  47407  fmtnof1  47409  fmtnosqrt  47413  fmtnorec4  47423  257prm  47435  odz2prm2pw  47437  fmtnoprmfac1lem  47438  fmtnoprmfac1  47439  fmtnoprmfac2lem1  47440  fmtnoprmfac2  47441  fmtno4prm  47449  2pwp1prm  47463  139prmALT  47470  127prm  47473  sfprmdvdsmersenne  47477  lighneallem1  47479  lighneallem3  47481  proththdlem  47487  proththd  47488  iseven5  47538  oddprmALTV  47561  perfectALTVlem1  47595  perfectALTVlem2  47596  perfectALTV  47597  fppr2odd  47605  2exp340mod341  47607  341fppr2  47608  fpprel2  47615  nnsum3primes4  47662  nnsum3primesgbe  47666  evengpoap3  47673  nnsum4primesevenALTV  47675  bgoldbtbndlem1  47679  tgblthelfgott  47689  pw2m1lepw2m1  48249  nnpw2even  48263  logbpw2m1  48301  blenpw2  48312  nnpw2pmod  48317  blen2  48319  nnpw2p  48320  nnpw2pb  48321  blennnt2  48323  nnolog2flm1  48324  dig2nn1st  48339  0dig2pr01  48344  dig2nn0  48345  0dig2nn0e  48346  0dig2nn0o  48347  dig2bits  48348  dignn0flhalflem1  48349  dignn0ehalf  48351  dignn0flhalf  48352  nn0sumshdiglemA  48353  nn0sumshdiglemB  48354  nn0sumshdiglem1  48355  nn0sumshdiglem2  48356  nn0mullong  48359  itcovalt2lem2  48410  amgmw2d  48898