Theorem 2nn 12409

Description: 2 is a positive integer. (Contributed by NM, 20-Aug-2001.)

Assertion

Ref	Expression
2nn	⊢ 2 ∈ ℕ

Proof of Theorem 2nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-2 12398	. 2 ⊢ 2 = (1 + 1)
2		1nn 12339	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ
3		peano2nn 12340	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℕ → (1 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (1 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2857	1 ⊢ 2 ∈ ℕ

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7418  1c1 11194   + caddc 11196  ℕcn 12328  2c2 12390

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-1cn 11251

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7421  df-om 7876  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-nn 12329  df-2 12398

This theorem is used by:  3nn  12415  0le2  12438  2pos  12440  2ne0  12442  2nn0  12616  2z  12721  uz3m2nn  13014  ige2m1fz1  13743  sqeq0  14256  sqeq0d  14281  expmulnbnd  14372  faclbnd5  14435  bcn2  14456  f1oun2prg  15061  wrdl2exs2  15090  pfx2  15091  wwlktovf  15102  reusq0  15625  climcndslem1  16011  climcndslem2  16012  climcnds  16013  harmonic  16021  geo2sum  16035  geo2lim  16037  ege2le3  16249  ef01bndlem  16345  egt2lt3  16367  nthruc  16413  mod2eq0even  16509  bits0o  16593  bitsp1  16594  bitsfzolem  16597  bitsfzo  16598  bitsmod  16599  bitsfi  16600  bitscmp  16601  bitsinv1lem  16604  bitsinv1  16605  2ebits  16610  bitsinvp1  16612  sadcaddlem  16620  sadadd3  16624  sadaddlem  16629  sadasslem  16633  bitsres  16636  bitsuz  16637  bitsshft  16638  smumullem  16655  smumul  16656  sqgcd  16729  dvdssqnn  16734  3lcm2e6woprm  16783  prm2orodd  16859  4nprm  16863  prmdvdssq  16887  isevengcd2  16899  3lcm2e6  16901  pythagtriplem4  16990  iserodd  17006  oddprmdvds  17074  prmreclem3  17089  prmreclem5  17091  prmreclem6  17092  4sqlem12  17127  vdwlem3  17154  vdwlem9  17160  vdwlem10  17161  prmo2  17211  dec2dvds  17234  dec5nprm  17237  dec2nprm  17238  2expltfac  17263  5prm  17279  6nprm  17280  7prm  17281  8nprm  17282  10nprmOLD  17285  11prm  17286  17prm  17288  23prm  17290  37prm  17292  43prm  17293  83prm  17294  139prm  17295  163prm  17296  317prm  17297  631prm  17298  1259lem1  17302  1259lem2  17303  1259lem3  17304  1259lem4  17305  1259lem5  17306  1259prm  17307  2503lem1  17308  2503lem2  17309  2503lem3  17310  2503prm  17311  4001lem1  17312  4001lem2  17313  4001lem3  17314  4001lem4  17315  4001prm  17316  plusgndx  17447  plusgid  17448  plusgndxnn  17449  rngstr  17462  lmodstr  17489  topgrpstr  17525  dsndx  17549  dsid  17550  dsndxnn  17551  slotsdifdsndx  17558  slotsdifunifndx  17565  odrngstr  17567  imasvalstr  17615  pmtrprfvalrn  19695  psgnunilem2  19702  psgnprfval  19728  psgnprfval1  19729  cnfldstr  21673  m2detleiblem1  22932  m2detleiblem5  22933  m2detleiblem6  22934  m2detleiblem3  22937  m2detleiblem4  22938  m2detleib  22939  ovollb2lem  25802  ovolunlem1a  25810  ovolunlem1  25811  ovoliunlem1  25816  ovoliunlem3  25818  dyadf  25905  dyadovol  25907  dyadss  25908  dyaddisjlem  25909  dyadmaxlem  25911  opnmbllem  25915  mbfi1fseqlem1  26029  mbfi1fseqlem3  26031  mbfi1fseqlem4  26032  mbfi1fseqlem5  26033  mbfi1fseqlem6  26034  dveflem  26292  aaliou3lem9  26670  quartlem1  27178  quartlem2  27179  zetacvg  27335  lgamgulmlem4  27352  basellem1  27401  basellem2  27402  basellem3  27403  basellem4  27404  basellem5  27405  basellem6  27406  basellem7  27407  basellem8  27408  basellem9  27409  1sgm2ppw  27520  ppiublem1  27522  chtublem  27531  mersenne  27547  perfect1  27548  perfectlem1  27549  perfectlem2  27550  perfect  27551  pcbcctr  27596  bclbnd  27600  bposlem1  27604  bposlem2  27605  bposlem3  27606  bposlem4  27607  bposlem5  27608  bposlem6  27609  bposlem8  27611  lgsdir2lem2  27646  lgsqr  27671  lgsqrmodndvds  27673  gausslemma2dlem1a  27685  gausslemma2d  27694  lgseisenlem1  27695  lgseisenlem2  27696  lgseisenlem3  27697  lgseisenlem4  27698  lgsquadlem1  27700  lgsquadlem2  27701  lgsquad2lem2  27705  2lgslem1c  27713  2lgs  27727  2sqlem3  27740  2sqlem8  27746  chebbnd1lem1  27789  chebbnd1lem3  27791  logdivsum  27853  log2sumbnd  27864  pntlemd  27914  pntlema  27916  pntlemb  27917  pntlemf  27925  pntlemo  27927  ostth2lem1  27938  flt4lem2  27970  flt4lem5  27973  flt4lem5a  27975  flt4lem5b  27976  flt4lem5c  27977  flt4lem5d  27978  flt4lem5e  27979  flt4lem7  27982  nna4b4nsq  27983  slotsinbpsd  28896  slotslnbpsd  28897  trkgstr  28899  angmgmlem  29388  angmgmbas  29391  axlowdimlem6  29518  eengstr  29551  usgrexmplef  29833  cusgrsizeindb0  30023  usgr2pthlem  30342  uspgrn2crct  30390  usgr2wspthons3  30549  clwwlkn2  30628  wwlksext2clwwlk  30641  eupth2lem3lem4  30825  frgrhash2wsp  30926  2clwwlk2clwwlk  30944  dlwwlknondlwlknonf1olem1  30958  clwlknon2num  30962  numclwlk2lem2f1o  30973  ex-xp  31030  ex-cnv  31031  ex-rn  31034  ex-mod  31043  2exple2exp  33418  fldext2rspun  34307  cos9thpiminplylem1  34407  lmat22e11  34443  lmat22e12  34444  lmat22e21  34445  lmat22e22  34446  lmat22det  34447  oddpwdc  34979  eulerpartlemt  34996  eulerpartlemgh  35003  fib0  35024  fib1  35025  fib3  35028  chtvalz  35251  hgt750lem  35273  hgt750lemb  35278  hgt750leme  35280  problem5  36413  bcprod  36482  opnmbllem0  38554  mblfinlem1  38555  dvasin  38602  areacirclem1  38606  heiborlem3  38727  heiborlem5  38729  heiborlem6  38730  heiborlem7  38731  heiborlem8  38732  heibor  38735  12gcd5e1  43033  420gcd8e4  43036  12lcm5e60  43038  60lcm7e420  43040  420lcm8e840  43041  lcm2un  43044  lcmineqlem19  43077  lcmineqlem20  43078  lcmineqlem22  43080  lcmineqlem23  43081  lcmineqlem  43082  3lexlogpow2ineq1  43088  3lexlogpow2ineq2  43089  aks4d1p1p6  43103  aks4d1p1p5  43105  readvrec2  43392  dffltz  43650  jm2.17a  43946  jm2.17b  43947  jm2.17c  43948  acongrep  43966  acongeq  43969  jm2.27a  43991  jm2.27c  43993  rmydioph  44000  rmxdioph  44002  expdiophlem2  44008  expdioph  44009  frlmpwfi  44084  amgm2d  45183  hashnzfz2  45290  lhe4.4ex1a  45298  limsup10exlem  46751  wallispilem5  47048  wallispi2lem1  47050  wallispi2  47052  stirlinglem3  47055  stirlinglem8  47060  stirlinglem10  47062  stirlinglem15  47067  dirkertrigeqlem3  47079  fouriersw  47210  hoicvrrex  47535  ovnsubaddlem1  47549  ovnsubaddlem2  47550  ovnsubadd2lem  47624  ovolval5lem1  47631  ovolval5lem2  47632  numtowerdt  47885  ceilhalfelfzo1  48373  elmod2  48400  fmtnoodd  48587  fmtnof1  48589  fmtnosqrt  48593  fmtnorec4  48603  257prm  48615  odz2prm2pw  48617  fmtnoprmfac1lem  48618  fmtnoprmfac1  48619  fmtnoprmfac2lem1  48620  fmtnoprmfac2  48621  fmtno4prm  48629  2pwp1prm  48643  139prmALT  48650  127prm  48653  sfprmdvdsmersenne  48657  lighneallem1  48659  lighneallem3  48661  proththdlem  48667  proththd  48668  iseven5  48731  oddprmALTV  48754  perfectALTVlem1  48788  perfectALTVlem2  48789  perfectALTV  48790  fppr2odd  48798  2exp340mod341  48800  341fppr2  48801  fpprel2  48808  nnsum3primes4  48855  nnsum3primesgbe  48859  evengpoap3  48866  nnsum4primesevenALTV  48868  bgoldbtbndlem1  48872  tgblthelfgott  48882  gpgusgralem  49123  gpg3nbgrvtx0  49143  gpg3kgrtriexlem2  49151  gpg3kgrtriexlem5  49154  pw2m1lepw2m1  49601  nnpw2even  49610  logbpw2m1  49648  blenpw2  49659  nnpw2pmod  49664  blen2  49666  nnpw2p  49667  nnpw2pb  49668  blennnt2  49670  nnolog2flm1  49671  dig2nn1st  49686  0dig2pr01  49691  dig2nn0  49692  0dig2nn0e  49693  0dig2nn0o  49694  dig2bits  49695  dignn0flhalflem1  49696  dignn0ehalf  49698  dignn0flhalf  49699  nn0sumshdiglemA  49700  nn0sumshdiglemB  49701  nn0sumshdiglem1  49702  nn0sumshdiglem2  49703  nn0mullong  49706  itcovalt2lem2  49757  2elfz13  50913  veronesevrowd  50948  veroquadgsumlem  50952  amgmw2d  50958