Theorem 2nn 12207

Description: 2 is a positive integer. (Contributed by NM, 20-Aug-2001.)

Assertion

Ref	Expression
2nn	⊢ 2 ∈ ℕ

Proof of Theorem 2nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-2 12197	. 2 ⊢ 2 = (1 + 1)
2		1nn 12145	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ
3		peano2nn 12146	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℕ → (1 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (1 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2829	1 ⊢ 2 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2113  (class class class)co 7354  1c1 11016   + caddc 11018  ℕcn 12134  2c2 12189

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pr 5374  ax-un 7676  ax-1cn 11073

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-ov 7357  df-om 7805  df-2nd 7930  df-frecs 8219  df-wrecs 8250  df-recs 8299  df-rdg 8337  df-nn 12135  df-2 12197

This theorem is referenced by:  3nn  12213  2ne0  12238  2nn0  12407  2z  12512  uz3m2nn  12796  ige2m1fz1  13520  sqeq0  14031  sqeq0d  14056  expmulnbnd  14146  faclbnd5  14209  bcn2  14230  f1oun2prg  14828  wrdl2exs2  14857  pfx2  14858  wwlktovf  14867  reusq0  15376  climcndslem1  15760  climcndslem2  15761  climcnds  15762  harmonic  15770  geo2sum  15784  geo2lim  15786  ege2le3  16001  ef01bndlem  16097  egt2lt3  16119  nthruc  16165  mod2eq0even  16261  bits0o  16345  bitsp1  16346  bitsfzolem  16349  bitsfzo  16350  bitsmod  16351  bitsfi  16352  bitscmp  16353  bitsinv1lem  16356  bitsinv1  16357  2ebits  16362  bitsinvp1  16364  sadcaddlem  16372  sadadd3  16376  sadaddlem  16381  sadasslem  16385  bitsres  16388  bitsuz  16389  bitsshft  16390  smumullem  16407  smumul  16408  sqgcd  16477  3lcm2e6woprm  16530  prm2orodd  16606  4nprm  16610  prmdvdssq  16633  isevengcd2  16645  3lcm2e6  16647  pythagtriplem4  16735  iserodd  16751  oddprmdvds  16819  prmreclem3  16834  prmreclem5  16836  prmreclem6  16837  4sqlem12  16872  vdwlem3  16899  vdwlem9  16905  vdwlem10  16906  prmo2  16956  dec2dvds  16979  dec5nprm  16982  dec2nprm  16983  2expltfac  17008  5prm  17024  6nprm  17025  7prm  17026  8nprm  17027  10nprm  17029  11prm  17030  17prm  17032  23prm  17034  37prm  17036  43prm  17037  83prm  17038  139prm  17039  163prm  17040  317prm  17041  631prm  17042  1259lem1  17046  1259lem2  17047  1259lem3  17048  1259lem4  17049  1259lem5  17050  1259prm  17051  2503lem1  17052  2503lem2  17053  2503lem3  17054  2503prm  17055  4001lem1  17056  4001lem2  17057  4001lem3  17058  4001lem4  17059  4001prm  17060  plusgndx  17191  plusgid  17192  plusgndxnn  17193  rngstr  17206  lmodstr  17233  topgrpstr  17269  dsndx  17293  dsid  17294  dsndxnn  17295  slotsdifdsndx  17302  slotsdifunifndx  17309  odrngstr  17311  imasvalstr  17359  pmtrprfvalrn  19404  psgnunilem2  19411  psgnprfval  19437  psgnprfval1  19438  cnfldstr  21297  cnfldstrOLD  21312  m2detleiblem1  22542  m2detleiblem5  22543  m2detleiblem6  22544  m2detleiblem3  22547  m2detleiblem4  22548  m2detleib  22549  ovollb2lem  25419  ovolunlem1a  25427  ovolunlem1  25428  ovoliunlem1  25433  ovoliunlem3  25435  dyadf  25522  dyadovol  25524  dyadss  25525  dyaddisjlem  25526  dyadmaxlem  25528  opnmbllem  25532  mbfi1fseqlem1  25646  mbfi1fseqlem3  25648  mbfi1fseqlem4  25649  mbfi1fseqlem5  25650  mbfi1fseqlem6  25651  dveflem  25913  aaliou3lem9  26288  quartlem1  26797  quartlem2  26798  zetacvg  26955  lgamgulmlem4  26972  basellem1  27021  basellem2  27022  basellem3  27023  basellem4  27024  basellem5  27025  basellem6  27026  basellem7  27027  basellem8  27028  basellem9  27029  1sgm2ppw  27141  ppiublem1  27143  chtublem  27152  mersenne  27168  perfect1  27169  perfectlem1  27170  perfectlem2  27171  perfect  27172  pcbcctr  27217  bclbnd  27221  bposlem1  27225  bposlem2  27226  bposlem3  27227  bposlem4  27228  bposlem5  27229  bposlem6  27230  bposlem8  27232  lgsdir2lem2  27267  lgsqr  27292  lgsqrmodndvds  27294  gausslemma2dlem1a  27306  gausslemma2d  27315  lgseisenlem1  27316  lgseisenlem2  27317  lgseisenlem3  27318  lgseisenlem4  27319  lgsquadlem1  27321  lgsquadlem2  27322  lgsquad2lem2  27326  2lgslem1c  27334  2lgs  27348  2sqlem3  27361  2sqlem8  27367  chebbnd1lem1  27410  chebbnd1lem3  27412  logdivsum  27474  log2sumbnd  27485  pntlemd  27535  pntlema  27537  pntlemb  27538  pntlemf  27546  pntlemo  27548  ostth2lem1  27559  slotsinbpsd  28422  slotslnbpsd  28423  trkgstr  28425  axlowdimlem6  28929  eengstr  28962  usgrexmplef  29241  cusgrsizeindb0  29432  usgr2pthlem  29745  uspgrn2crct  29790  usgr2wspthons3  29949  clwwlkn2  30028  wwlksext2clwwlk  30041  eupth2lem3lem4  30215  frgrhash2wsp  30316  2clwwlk2clwwlk  30334  dlwwlknondlwlknonf1olem1  30348  clwlknon2num  30352  numclwlk2lem2f1o  30363  ex-xp  30420  ex-cnv  30421  ex-rn  30424  ex-mod  30433  2exple2exp  32835  fldext2rspun  33718  cos9thpiminplylem1  33818  lmat22e11  33854  lmat22e12  33855  lmat22e21  33856  lmat22e22  33857  lmat22det  33858  oddpwdc  34390  eulerpartlemt  34407  eulerpartlemgh  34414  fib0  34435  fib1  34436  fib3  34439  chtvalz  34665  hgt750lem  34687  hgt750lemb  34692  hgt750leme  34694  problem5  35736  bcprod  35805  opnmbllem0  37719  mblfinlem1  37720  dvasin  37767  areacirclem1  37771  heiborlem3  37876  heiborlem5  37878  heiborlem6  37879  heiborlem7  37880  heiborlem8  37881  heibor  37884  12gcd5e1  42119  420gcd8e4  42122  12lcm5e60  42124  60lcm7e420  42126  420lcm8e840  42127  lcm2un  42130  lcmineqlem19  42163  lcmineqlem20  42164  lcmineqlem22  42166  lcmineqlem23  42167  lcmineqlem  42168  3lexlogpow2ineq1  42174  3lexlogpow2ineq2  42175  aks4d1p1p6  42189  aks4d1p1p5  42191  readvrec2  42482  dffltz  42755  flt4lem2  42768  flt4lem5  42771  flt4lem5a  42773  flt4lem5b  42774  flt4lem5c  42775  flt4lem5d  42776  flt4lem5e  42777  flt4lem7  42780  nna4b4nsq  42781  jm2.17a  43080  jm2.17b  43081  jm2.17c  43082  acongrep  43100  acongeq  43103  jm2.27a  43125  jm2.27c  43127  rmydioph  43134  rmxdioph  43136  expdiophlem2  43142  expdioph  43143  frlmpwfi  43218  amgm2d  44318  hashnzfz2  44441  lhe4.4ex1a  44449  limsup10exlem  45897  wallispilem5  46194  wallispi2lem1  46196  wallispi2  46198  stirlinglem3  46201  stirlinglem8  46206  stirlinglem10  46208  stirlinglem15  46213  dirkertrigeqlem3  46225  fouriersw  46356  hoicvrrex  46681  ovnsubaddlem1  46695  ovnsubaddlem2  46696  ovnsubadd2lem  46770  ovolval5lem1  46777  ovolval5lem2  46778  nthrucw  47011  ceilhalfelfzo1  47457  elmod2  47482  fmtnoodd  47660  fmtnof1  47662  fmtnosqrt  47666  fmtnorec4  47676  257prm  47688  odz2prm2pw  47690  fmtnoprmfac1lem  47691  fmtnoprmfac1  47692  fmtnoprmfac2lem1  47693  fmtnoprmfac2  47694  fmtno4prm  47702  2pwp1prm  47716  139prmALT  47723  127prm  47726  sfprmdvdsmersenne  47730  lighneallem1  47732  lighneallem3  47734  proththdlem  47740  proththd  47741  iseven5  47791  oddprmALTV  47814  perfectALTVlem1  47848  perfectALTVlem2  47849  perfectALTV  47850  fppr2odd  47858  2exp340mod341  47860  341fppr2  47861  fpprel2  47868  nnsum3primes4  47915  nnsum3primesgbe  47919  evengpoap3  47926  nnsum4primesevenALTV  47928  bgoldbtbndlem1  47932  tgblthelfgott  47942  gpgusgralem  48183  gpg3nbgrvtx0  48203  gpg3kgrtriexlem2  48211  gpg3kgrtriexlem5  48214  pw2m1lepw2m1  48648  nnpw2even  48657  logbpw2m1  48695  blenpw2  48706  nnpw2pmod  48711  blen2  48713  nnpw2p  48714  nnpw2pb  48715  blennnt2  48717  nnolog2flm1  48718  dig2nn1st  48733  0dig2pr01  48738  dig2nn0  48739  0dig2nn0e  48740  0dig2nn0o  48741  dig2bits  48742  dignn0flhalflem1  48743  dignn0ehalf  48745  dignn0flhalf  48746  nn0sumshdiglemA  48747  nn0sumshdiglemB  48748  nn0sumshdiglem1  48749  nn0sumshdiglem2  48750  nn0mullong  48753  itcovalt2lem2  48804  amgmw2d  49932