MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ex-res Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ex-res 30461
Description: Example for df-res 5696. Example by David A. Wheeler. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
ex-res ((𝐹 = {⟨2, 6⟩, ⟨3, 9⟩} ∧ 𝐵 = {1, 2}) → (𝐹𝐵) = {⟨2, 6⟩})

Proof of Theorem ex-res
StepHypRef Expression
1 simpl 482 . . . . 5 ((𝐹 = {⟨2, 6⟩, ⟨3, 9⟩} ∧ 𝐵 = {1, 2}) → 𝐹 = {⟨2, 6⟩, ⟨3, 9⟩})
2 df-pr 4628 . . . . 5 {⟨2, 6⟩, ⟨3, 9⟩} = ({⟨2, 6⟩} ∪ {⟨3, 9⟩})
31, 2eqtrdi 2792 . . . 4 ((𝐹 = {⟨2, 6⟩, ⟨3, 9⟩} ∧ 𝐵 = {1, 2}) → 𝐹 = ({⟨2, 6⟩} ∪ {⟨3, 9⟩}))
43reseq1d 5995 . . 3 ((𝐹 = {⟨2, 6⟩, ⟨3, 9⟩} ∧ 𝐵 = {1, 2}) → (𝐹𝐵) = (({⟨2, 6⟩} ∪ {⟨3, 9⟩}) ↾ 𝐵))
5 resundir 6011 . . 3 (({⟨2, 6⟩} ∪ {⟨3, 9⟩}) ↾ 𝐵) = (({⟨2, 6⟩} ↾ 𝐵) ∪ ({⟨3, 9⟩} ↾ 𝐵))
64, 5eqtrdi 2792 . 2 ((𝐹 = {⟨2, 6⟩, ⟨3, 9⟩} ∧ 𝐵 = {1, 2}) → (𝐹𝐵) = (({⟨2, 6⟩} ↾ 𝐵) ∪ ({⟨3, 9⟩} ↾ 𝐵)))
7 2re 12341 . . . . . . 7 2 ∈ ℝ
87elexi 3502 . . . . . 6 2 ∈ V
9 6re 12357 . . . . . . 7 6 ∈ ℝ
109elexi 3502 . . . . . 6 6 ∈ V
118, 10relsnop 5814 . . . . 5 Rel {⟨2, 6⟩}
12 dmsnopss 6233 . . . . . 6 dom {⟨2, 6⟩} ⊆ {2}
13 snsspr2 4814 . . . . . . 7 {2} ⊆ {1, 2}
14 simpr 484 . . . . . . 7 ((𝐹 = {⟨2, 6⟩, ⟨3, 9⟩} ∧ 𝐵 = {1, 2}) → 𝐵 = {1, 2})
1513, 14sseqtrrid 4026 . . . . . 6 ((𝐹 = {⟨2, 6⟩, ⟨3, 9⟩} ∧ 𝐵 = {1, 2}) → {2} ⊆ 𝐵)
1612, 15sstrid 3994 . . . . 5 ((𝐹 = {⟨2, 6⟩, ⟨3, 9⟩} ∧ 𝐵 = {1, 2}) → dom {⟨2, 6⟩} ⊆ 𝐵)
17 relssres 6039 . . . . 5 ((Rel {⟨2, 6⟩} ∧ dom {⟨2, 6⟩} ⊆ 𝐵) → ({⟨2, 6⟩} ↾ 𝐵) = {⟨2, 6⟩})
1811, 16, 17sylancr 587 . . . 4 ((𝐹 = {⟨2, 6⟩, ⟨3, 9⟩} ∧ 𝐵 = {1, 2}) → ({⟨2, 6⟩} ↾ 𝐵) = {⟨2, 6⟩})
19 1re 11262 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
20 1lt3 12440 . . . . . . . 8 1 < 3
2119, 20gtneii 11374 . . . . . . 7 3 ≠ 1
22 2lt3 12439 . . . . . . . 8 2 < 3
237, 22gtneii 11374 . . . . . . 7 3 ≠ 2
2421, 23nelpri 4654 . . . . . 6 ¬ 3 ∈ {1, 2}
2514eleq2d 2826 . . . . . 6 ((𝐹 = {⟨2, 6⟩, ⟨3, 9⟩} ∧ 𝐵 = {1, 2}) → (3 ∈ 𝐵 ↔ 3 ∈ {1, 2}))
2624, 25mtbiri 327 . . . . 5 ((𝐹 = {⟨2, 6⟩, ⟨3, 9⟩} ∧ 𝐵 = {1, 2}) → ¬ 3 ∈ 𝐵)
27 ressnop0 7172 . . . . 5 (¬ 3 ∈ 𝐵 → ({⟨3, 9⟩} ↾ 𝐵) = ∅)
2826, 27syl 17 . . . 4 ((𝐹 = {⟨2, 6⟩, ⟨3, 9⟩} ∧ 𝐵 = {1, 2}) → ({⟨3, 9⟩} ↾ 𝐵) = ∅)
2918, 28uneq12d 4168 . . 3 ((𝐹 = {⟨2, 6⟩, ⟨3, 9⟩} ∧ 𝐵 = {1, 2}) → (({⟨2, 6⟩} ↾ 𝐵) ∪ ({⟨3, 9⟩} ↾ 𝐵)) = ({⟨2, 6⟩} ∪ ∅))
30 un0 4393 . . 3 ({⟨2, 6⟩} ∪ ∅) = {⟨2, 6⟩}
3129, 30eqtrdi 2792 . 2 ((𝐹 = {⟨2, 6⟩, ⟨3, 9⟩} ∧ 𝐵 = {1, 2}) → (({⟨2, 6⟩} ↾ 𝐵) ∪ ({⟨3, 9⟩} ↾ 𝐵)) = {⟨2, 6⟩})
326, 31eqtrd 2776 1 ((𝐹 = {⟨2, 6⟩, ⟨3, 9⟩} ∧ 𝐵 = {1, 2}) → (𝐹𝐵) = {⟨2, 6⟩})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395   = wceq 1539  wcel 2107  cun 3948  wss 3950  c0 4332  {csn 4625  {cpr 4627  cop 4631  dom cdm 5684  cres 5686  Rel wrel 5689  cr 11155  1c1 11157  2c2 12322  3c3 12323  6c6 12326  9c9 12329
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-id 5577  df-po 5591  df-so 5592  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334
This theorem is referenced by:  ex-ima  30462
  Copyright terms: Public domain W3C validator