Theorem ex-res 31075

Description: Example for df-res 5668. Example by David A. Wheeler. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ex-res	⊢ ((𝐹 = {⟨2, 6⟩, ⟨3, 9⟩} ∧ 𝐵 = {1, 2}) → (𝐹 ↾ 𝐵) = {⟨2, 6⟩})

Proof of Theorem ex-res

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 488	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 = {⟨2, 6⟩, ⟨3, 9⟩} ∧ 𝐵 = {1, 2}) → 𝐹 = {⟨2, 6⟩, ⟨3, 9⟩})
2		df-pr 4591	. . . . 5 ⊢ {⟨2, 6⟩, ⟨3, 9⟩} = ({⟨2, 6⟩} ∪ {⟨3, 9⟩})
3	1, 2	eqtrdi 2814	. . . 4 ⊢ ((𝐹 = {⟨2, 6⟩, ⟨3, 9⟩} ∧ 𝐵 = {1, 2}) → 𝐹 = ({⟨2, 6⟩} ∪ {⟨3, 9⟩}))
4	3	reseq1d 5981	. . 3 ⊢ ((𝐹 = {⟨2, 6⟩, ⟨3, 9⟩} ∧ 𝐵 = {1, 2}) → (𝐹 ↾ 𝐵) = (({⟨2, 6⟩} ∪ {⟨3, 9⟩}) ↾ 𝐵))
5		resundir 5997	. . 3 ⊢ (({⟨2, 6⟩} ∪ {⟨3, 9⟩}) ↾ 𝐵) = (({⟨2, 6⟩} ↾ 𝐵) ∪ ({⟨3, 9⟩} ↾ 𝐵))
6	4, 5	eqtrdi 2814	. 2 ⊢ ((𝐹 = {⟨2, 6⟩, ⟨3, 9⟩} ∧ 𝐵 = {1, 2}) → (𝐹 ↾ 𝐵) = (({⟨2, 6⟩} ↾ 𝐵) ∪ ({⟨3, 9⟩} ↾ 𝐵)))
7		2re 12447	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
8	7	elexi 3476	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ V
9		6re 12463	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℝ
10	9	elexi 3476	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ V
11	8, 10	relsnop 5789	. . . . 5 ⊢ Rel {⟨2, 6⟩}
12		dmsnopss 6229	. . . . . 6 ⊢ dom {⟨2, 6⟩} ⊆ {2}
13		snsspr2 4774	. . . . . . 7 ⊢ {2} ⊆ {1, 2}
14		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 = {⟨2, 6⟩, ⟨3, 9⟩} ∧ 𝐵 = {1, 2}) → 𝐵 = {1, 2})
15	13, 14	sseqtrrid 3956	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 = {⟨2, 6⟩, ⟨3, 9⟩} ∧ 𝐵 = {1, 2}) → {2} ⊆ 𝐵)
16	12, 15	sstrid 3924	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 = {⟨2, 6⟩, ⟨3, 9⟩} ∧ 𝐵 = {1, 2}) → dom {⟨2, 6⟩} ⊆ 𝐵)
17		relssres 6024	. . . . 5 ⊢ ((Rel {⟨2, 6⟩} ∧ dom {⟨2, 6⟩} ⊆ 𝐵) → ({⟨2, 6⟩} ↾ 𝐵) = {⟨2, 6⟩})
18	11, 16, 17	sylancr 599	. . . 4 ⊢ ((𝐹 = {⟨2, 6⟩, ⟨3, 9⟩} ∧ 𝐵 = {1, 2}) → ({⟨2, 6⟩} ↾ 𝐵) = {⟨2, 6⟩})
19		1re 11338	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
20		1lt3 12548	. . . . . . . 8 ⊢ 1 < 3
21	19, 20	gtneii 11452	. . . . . . 7 ⊢ 3 ≠ 1
22		2lt3 12546	. . . . . . . 8 ⊢ 2 < 3
23	7, 22	gtneii 11452	. . . . . . 7 ⊢ 3 ≠ 2
24	21, 23	nelpri 4616	. . . . . 6 ⊢ ¬ 3 ∈ {1, 2}
25	14	eleq2d 2850	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 = {⟨2, 6⟩, ⟨3, 9⟩} ∧ 𝐵 = {1, 2}) → (3 ∈ 𝐵 ↔ 3 ∈ {1, 2}))
26	24, 25	mtbiri 330	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 = {⟨2, 6⟩, ⟨3, 9⟩} ∧ 𝐵 = {1, 2}) → ¬ 3 ∈ 𝐵)
27		ressnop0 7184	. . . . 5 ⊢ (¬ 3 ∈ 𝐵 → ({⟨3, 9⟩} ↾ 𝐵) = ∅)
28	26, 27	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝐹 = {⟨2, 6⟩, ⟨3, 9⟩} ∧ 𝐵 = {1, 2}) → ({⟨3, 9⟩} ↾ 𝐵) = ∅)
29	18, 28	uneq12d 4171	. . 3 ⊢ ((𝐹 = {⟨2, 6⟩, ⟨3, 9⟩} ∧ 𝐵 = {1, 2}) → (({⟨2, 6⟩} ↾ 𝐵) ∪ ({⟨3, 9⟩} ↾ 𝐵)) = ({⟨2, 6⟩} ∪ ∅))
30		un0 4347	. . 3 ⊢ ({⟨2, 6⟩} ∪ ∅) = {⟨2, 6⟩}
31	29, 30	eqtrdi 2814	. 2 ⊢ ((𝐹 = {⟨2, 6⟩, ⟨3, 9⟩} ∧ 𝐵 = {1, 2}) → (({⟨2, 6⟩} ↾ 𝐵) ∪ ({⟨3, 9⟩} ↾ 𝐵)) = {⟨2, 6⟩})
32	6, 31	eqtrd 2798	1 ⊢ ((𝐹 = {⟨2, 6⟩, ⟨3, 9⟩} ∧ 𝐵 = {1, 2}) → (𝐹 ↾ 𝐵) = {⟨2, 6⟩})

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ⊆ wss 3900   ∪ cun 4152  ∅c0 4281  {csn 4588  {cpr 4590  ⟨cop 4838  dom cdm 5656   ↾ cres 5658  Rel wrel 5661  ℝcr 11229  1c1 11231  2c2 12427  3c3 12428  6c6 12431  9c9 12434

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306  ax-pre-mulgt0 11307

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5551  df-po 5564  df-so 5565  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-er 8748  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-sub 11573  df-neg 11574  df-2 12435  df-3 12436  df-4 12437  df-5 12438  df-6 12439

This theorem is used by:  ex-ima  31076