Theorem ex-res 29683

Description: Example for df-res 5687. Example by David A. Wheeler. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ex-res	⊢ ((𝐹 = {⟨2, 6⟩, ⟨3, 9⟩} ∧ 𝐵 = {1, 2}) → (𝐹 ↾ 𝐵) = {⟨2, 6⟩})

Proof of Theorem ex-res

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 483	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 = {⟨2, 6⟩, ⟨3, 9⟩} ∧ 𝐵 = {1, 2}) → 𝐹 = {⟨2, 6⟩, ⟨3, 9⟩})
2		df-pr 4630	. . . . 5 ⊢ {⟨2, 6⟩, ⟨3, 9⟩} = ({⟨2, 6⟩} ∪ {⟨3, 9⟩})
3	1, 2	eqtrdi 2788	. . . 4 ⊢ ((𝐹 = {⟨2, 6⟩, ⟨3, 9⟩} ∧ 𝐵 = {1, 2}) → 𝐹 = ({⟨2, 6⟩} ∪ {⟨3, 9⟩}))
4	3	reseq1d 5978	. . 3 ⊢ ((𝐹 = {⟨2, 6⟩, ⟨3, 9⟩} ∧ 𝐵 = {1, 2}) → (𝐹 ↾ 𝐵) = (({⟨2, 6⟩} ∪ {⟨3, 9⟩}) ↾ 𝐵))
5		resundir 5994	. . 3 ⊢ (({⟨2, 6⟩} ∪ {⟨3, 9⟩}) ↾ 𝐵) = (({⟨2, 6⟩} ↾ 𝐵) ∪ ({⟨3, 9⟩} ↾ 𝐵))
6	4, 5	eqtrdi 2788	. 2 ⊢ ((𝐹 = {⟨2, 6⟩, ⟨3, 9⟩} ∧ 𝐵 = {1, 2}) → (𝐹 ↾ 𝐵) = (({⟨2, 6⟩} ↾ 𝐵) ∪ ({⟨3, 9⟩} ↾ 𝐵)))
7		2re 12282	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
8	7	elexi 3493	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ V
9		6re 12298	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℝ
10	9	elexi 3493	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ V
11	8, 10	relsnop 5803	. . . . 5 ⊢ Rel {⟨2, 6⟩}
12		dmsnopss 6210	. . . . . 6 ⊢ dom {⟨2, 6⟩} ⊆ {2}
13		snsspr2 4817	. . . . . . 7 ⊢ {2} ⊆ {1, 2}
14		simpr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 = {⟨2, 6⟩, ⟨3, 9⟩} ∧ 𝐵 = {1, 2}) → 𝐵 = {1, 2})
15	13, 14	sseqtrrid 4034	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 = {⟨2, 6⟩, ⟨3, 9⟩} ∧ 𝐵 = {1, 2}) → {2} ⊆ 𝐵)
16	12, 15	sstrid 3992	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 = {⟨2, 6⟩, ⟨3, 9⟩} ∧ 𝐵 = {1, 2}) → dom {⟨2, 6⟩} ⊆ 𝐵)
17		relssres 6020	. . . . 5 ⊢ ((Rel {⟨2, 6⟩} ∧ dom {⟨2, 6⟩} ⊆ 𝐵) → ({⟨2, 6⟩} ↾ 𝐵) = {⟨2, 6⟩})
18	11, 16, 17	sylancr 587	. . . 4 ⊢ ((𝐹 = {⟨2, 6⟩, ⟨3, 9⟩} ∧ 𝐵 = {1, 2}) → ({⟨2, 6⟩} ↾ 𝐵) = {⟨2, 6⟩})
19		1re 11210	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
20		1lt3 12381	. . . . . . . 8 ⊢ 1 < 3
21	19, 20	gtneii 11322	. . . . . . 7 ⊢ 3 ≠ 1
22		2lt3 12380	. . . . . . . 8 ⊢ 2 < 3
23	7, 22	gtneii 11322	. . . . . . 7 ⊢ 3 ≠ 2
24	21, 23	nelpri 4656	. . . . . 6 ⊢ ¬ 3 ∈ {1, 2}
25	14	eleq2d 2819	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 = {⟨2, 6⟩, ⟨3, 9⟩} ∧ 𝐵 = {1, 2}) → (3 ∈ 𝐵 ↔ 3 ∈ {1, 2}))
26	24, 25	mtbiri 326	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 = {⟨2, 6⟩, ⟨3, 9⟩} ∧ 𝐵 = {1, 2}) → ¬ 3 ∈ 𝐵)
27		ressnop0 7147	. . . . 5 ⊢ (¬ 3 ∈ 𝐵 → ({⟨3, 9⟩} ↾ 𝐵) = ∅)
28	26, 27	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐹 = {⟨2, 6⟩, ⟨3, 9⟩} ∧ 𝐵 = {1, 2}) → ({⟨3, 9⟩} ↾ 𝐵) = ∅)
29	18, 28	uneq12d 4163	. . 3 ⊢ ((𝐹 = {⟨2, 6⟩, ⟨3, 9⟩} ∧ 𝐵 = {1, 2}) → (({⟨2, 6⟩} ↾ 𝐵) ∪ ({⟨3, 9⟩} ↾ 𝐵)) = ({⟨2, 6⟩} ∪ ∅))
30		un0 4389	. . 3 ⊢ ({⟨2, 6⟩} ∪ ∅) = {⟨2, 6⟩}
31	29, 30	eqtrdi 2788	. 2 ⊢ ((𝐹 = {⟨2, 6⟩, ⟨3, 9⟩} ∧ 𝐵 = {1, 2}) → (({⟨2, 6⟩} ↾ 𝐵) ∪ ({⟨3, 9⟩} ↾ 𝐵)) = {⟨2, 6⟩})
32	6, 31	eqtrd 2772	1 ⊢ ((𝐹 = {⟨2, 6⟩, ⟨3, 9⟩} ∧ 𝐵 = {1, 2}) → (𝐹 ↾ 𝐵) = {⟨2, 6⟩})

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ∪ cun 3945   ⊆ wss 3947  ∅c0 4321  {csn 4627  {cpr 4629  ⟨cop 4633  dom cdm 5675   ↾ cres 5677  Rel wrel 5680  ℝcr 11105  1c1 11107  2c2 12263  3c3 12264  6c6 12267  9c9 12270

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275

This theorem is referenced by:  ex-ima  29684