Theorem ex-res 30526

Description: Example for df-res 5636. Example by David A. Wheeler. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ex-res	⊢ ((𝐹 = {⟨2, 6⟩, ⟨3, 9⟩} ∧ 𝐵 = {1, 2}) → (𝐹 ↾ 𝐵) = {⟨2, 6⟩})

Proof of Theorem ex-res

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 = {⟨2, 6⟩, ⟨3, 9⟩} ∧ 𝐵 = {1, 2}) → 𝐹 = {⟨2, 6⟩, ⟨3, 9⟩})
2		df-pr 4571	. . . . 5 ⊢ {⟨2, 6⟩, ⟨3, 9⟩} = ({⟨2, 6⟩} ∪ {⟨3, 9⟩})
3	1, 2	eqtrdi 2788	. . . 4 ⊢ ((𝐹 = {⟨2, 6⟩, ⟨3, 9⟩} ∧ 𝐵 = {1, 2}) → 𝐹 = ({⟨2, 6⟩} ∪ {⟨3, 9⟩}))
4	3	reseq1d 5937	. . 3 ⊢ ((𝐹 = {⟨2, 6⟩, ⟨3, 9⟩} ∧ 𝐵 = {1, 2}) → (𝐹 ↾ 𝐵) = (({⟨2, 6⟩} ∪ {⟨3, 9⟩}) ↾ 𝐵))
5		resundir 5953	. . 3 ⊢ (({⟨2, 6⟩} ∪ {⟨3, 9⟩}) ↾ 𝐵) = (({⟨2, 6⟩} ↾ 𝐵) ∪ ({⟨3, 9⟩} ↾ 𝐵))
6	4, 5	eqtrdi 2788	. 2 ⊢ ((𝐹 = {⟨2, 6⟩, ⟨3, 9⟩} ∧ 𝐵 = {1, 2}) → (𝐹 ↾ 𝐵) = (({⟨2, 6⟩} ↾ 𝐵) ∪ ({⟨3, 9⟩} ↾ 𝐵)))
7		2re 12246	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
8	7	elexi 3453	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ V
9		6re 12262	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℝ
10	9	elexi 3453	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ V
11	8, 10	relsnop 5754	. . . . 5 ⊢ Rel {⟨2, 6⟩}
12		dmsnopss 6172	. . . . . 6 ⊢ dom {⟨2, 6⟩} ⊆ {2}
13		snsspr2 4759	. . . . . . 7 ⊢ {2} ⊆ {1, 2}
14		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 = {⟨2, 6⟩, ⟨3, 9⟩} ∧ 𝐵 = {1, 2}) → 𝐵 = {1, 2})
15	13, 14	sseqtrrid 3966	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 = {⟨2, 6⟩, ⟨3, 9⟩} ∧ 𝐵 = {1, 2}) → {2} ⊆ 𝐵)
16	12, 15	sstrid 3934	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 = {⟨2, 6⟩, ⟨3, 9⟩} ∧ 𝐵 = {1, 2}) → dom {⟨2, 6⟩} ⊆ 𝐵)
17		relssres 5981	. . . . 5 ⊢ ((Rel {⟨2, 6⟩} ∧ dom {⟨2, 6⟩} ⊆ 𝐵) → ({⟨2, 6⟩} ↾ 𝐵) = {⟨2, 6⟩})
18	11, 16, 17	sylancr 588	. . . 4 ⊢ ((𝐹 = {⟨2, 6⟩, ⟨3, 9⟩} ∧ 𝐵 = {1, 2}) → ({⟨2, 6⟩} ↾ 𝐵) = {⟨2, 6⟩})
19		1re 11135	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
20		1lt3 12340	. . . . . . . 8 ⊢ 1 < 3
21	19, 20	gtneii 11249	. . . . . . 7 ⊢ 3 ≠ 1
22		2lt3 12339	. . . . . . . 8 ⊢ 2 < 3
23	7, 22	gtneii 11249	. . . . . . 7 ⊢ 3 ≠ 2
24	21, 23	nelpri 4600	. . . . . 6 ⊢ ¬ 3 ∈ {1, 2}
25	14	eleq2d 2823	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 = {⟨2, 6⟩, ⟨3, 9⟩} ∧ 𝐵 = {1, 2}) → (3 ∈ 𝐵 ↔ 3 ∈ {1, 2}))
26	24, 25	mtbiri 327	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 = {⟨2, 6⟩, ⟨3, 9⟩} ∧ 𝐵 = {1, 2}) → ¬ 3 ∈ 𝐵)
27		ressnop0 7100	. . . . 5 ⊢ (¬ 3 ∈ 𝐵 → ({⟨3, 9⟩} ↾ 𝐵) = ∅)
28	26, 27	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐹 = {⟨2, 6⟩, ⟨3, 9⟩} ∧ 𝐵 = {1, 2}) → ({⟨3, 9⟩} ↾ 𝐵) = ∅)
29	18, 28	uneq12d 4110	. . 3 ⊢ ((𝐹 = {⟨2, 6⟩, ⟨3, 9⟩} ∧ 𝐵 = {1, 2}) → (({⟨2, 6⟩} ↾ 𝐵) ∪ ({⟨3, 9⟩} ↾ 𝐵)) = ({⟨2, 6⟩} ∪ ∅))
30		un0 4335	. . 3 ⊢ ({⟨2, 6⟩} ∪ ∅) = {⟨2, 6⟩}
31	29, 30	eqtrdi 2788	. 2 ⊢ ((𝐹 = {⟨2, 6⟩, ⟨3, 9⟩} ∧ 𝐵 = {1, 2}) → (({⟨2, 6⟩} ↾ 𝐵) ∪ ({⟨3, 9⟩} ↾ 𝐵)) = {⟨2, 6⟩})
32	6, 31	eqtrd 2772	1 ⊢ ((𝐹 = {⟨2, 6⟩, ⟨3, 9⟩} ∧ 𝐵 = {1, 2}) → (𝐹 ↾ 𝐵) = {⟨2, 6⟩})

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∪ cun 3888   ⊆ wss 3890  ∅c0 4274  {csn 4568  {cpr 4570  ⟨cop 4574  dom cdm 5624   ↾ cres 5626  Rel wrel 5629  ℝcr 11028  1c1 11030  2c2 12227  3c3 12228  6c6 12231  9c9 12234

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239

This theorem is referenced by:  ex-ima  30527