Theorem ex-res 30403

Description: Example for df-res 5635. Example by David A. Wheeler. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ex-res	⊢ ((𝐹 = {⟨2, 6⟩, ⟨3, 9⟩} ∧ 𝐵 = {1, 2}) → (𝐹 ↾ 𝐵) = {⟨2, 6⟩})

Proof of Theorem ex-res

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 = {⟨2, 6⟩, ⟨3, 9⟩} ∧ 𝐵 = {1, 2}) → 𝐹 = {⟨2, 6⟩, ⟨3, 9⟩})
2		df-pr 4582	. . . . 5 ⊢ {⟨2, 6⟩, ⟨3, 9⟩} = ({⟨2, 6⟩} ∪ {⟨3, 9⟩})
3	1, 2	eqtrdi 2780	. . . 4 ⊢ ((𝐹 = {⟨2, 6⟩, ⟨3, 9⟩} ∧ 𝐵 = {1, 2}) → 𝐹 = ({⟨2, 6⟩} ∪ {⟨3, 9⟩}))
4	3	reseq1d 5933	. . 3 ⊢ ((𝐹 = {⟨2, 6⟩, ⟨3, 9⟩} ∧ 𝐵 = {1, 2}) → (𝐹 ↾ 𝐵) = (({⟨2, 6⟩} ∪ {⟨3, 9⟩}) ↾ 𝐵))
5		resundir 5949	. . 3 ⊢ (({⟨2, 6⟩} ∪ {⟨3, 9⟩}) ↾ 𝐵) = (({⟨2, 6⟩} ↾ 𝐵) ∪ ({⟨3, 9⟩} ↾ 𝐵))
6	4, 5	eqtrdi 2780	. 2 ⊢ ((𝐹 = {⟨2, 6⟩, ⟨3, 9⟩} ∧ 𝐵 = {1, 2}) → (𝐹 ↾ 𝐵) = (({⟨2, 6⟩} ↾ 𝐵) ∪ ({⟨3, 9⟩} ↾ 𝐵)))
7		2re 12220	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
8	7	elexi 3461	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ V
9		6re 12236	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℝ
10	9	elexi 3461	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ V
11	8, 10	relsnop 5752	. . . . 5 ⊢ Rel {⟨2, 6⟩}
12		dmsnopss 6167	. . . . . 6 ⊢ dom {⟨2, 6⟩} ⊆ {2}
13		snsspr2 4769	. . . . . . 7 ⊢ {2} ⊆ {1, 2}
14		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 = {⟨2, 6⟩, ⟨3, 9⟩} ∧ 𝐵 = {1, 2}) → 𝐵 = {1, 2})
15	13, 14	sseqtrrid 3981	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 = {⟨2, 6⟩, ⟨3, 9⟩} ∧ 𝐵 = {1, 2}) → {2} ⊆ 𝐵)
16	12, 15	sstrid 3949	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 = {⟨2, 6⟩, ⟨3, 9⟩} ∧ 𝐵 = {1, 2}) → dom {⟨2, 6⟩} ⊆ 𝐵)
17		relssres 5977	. . . . 5 ⊢ ((Rel {⟨2, 6⟩} ∧ dom {⟨2, 6⟩} ⊆ 𝐵) → ({⟨2, 6⟩} ↾ 𝐵) = {⟨2, 6⟩})
18	11, 16, 17	sylancr 587	. . . 4 ⊢ ((𝐹 = {⟨2, 6⟩, ⟨3, 9⟩} ∧ 𝐵 = {1, 2}) → ({⟨2, 6⟩} ↾ 𝐵) = {⟨2, 6⟩})
19		1re 11134	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
20		1lt3 12314	. . . . . . . 8 ⊢ 1 < 3
21	19, 20	gtneii 11246	. . . . . . 7 ⊢ 3 ≠ 1
22		2lt3 12313	. . . . . . . 8 ⊢ 2 < 3
23	7, 22	gtneii 11246	. . . . . . 7 ⊢ 3 ≠ 2
24	21, 23	nelpri 4609	. . . . . 6 ⊢ ¬ 3 ∈ {1, 2}
25	14	eleq2d 2814	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 = {⟨2, 6⟩, ⟨3, 9⟩} ∧ 𝐵 = {1, 2}) → (3 ∈ 𝐵 ↔ 3 ∈ {1, 2}))
26	24, 25	mtbiri 327	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 = {⟨2, 6⟩, ⟨3, 9⟩} ∧ 𝐵 = {1, 2}) → ¬ 3 ∈ 𝐵)
27		ressnop0 7091	. . . . 5 ⊢ (¬ 3 ∈ 𝐵 → ({⟨3, 9⟩} ↾ 𝐵) = ∅)
28	26, 27	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐹 = {⟨2, 6⟩, ⟨3, 9⟩} ∧ 𝐵 = {1, 2}) → ({⟨3, 9⟩} ↾ 𝐵) = ∅)
29	18, 28	uneq12d 4122	. . 3 ⊢ ((𝐹 = {⟨2, 6⟩, ⟨3, 9⟩} ∧ 𝐵 = {1, 2}) → (({⟨2, 6⟩} ↾ 𝐵) ∪ ({⟨3, 9⟩} ↾ 𝐵)) = ({⟨2, 6⟩} ∪ ∅))
30		un0 4347	. . 3 ⊢ ({⟨2, 6⟩} ∪ ∅) = {⟨2, 6⟩}
31	29, 30	eqtrdi 2780	. 2 ⊢ ((𝐹 = {⟨2, 6⟩, ⟨3, 9⟩} ∧ 𝐵 = {1, 2}) → (({⟨2, 6⟩} ↾ 𝐵) ∪ ({⟨3, 9⟩} ↾ 𝐵)) = {⟨2, 6⟩})
32	6, 31	eqtrd 2764	1 ⊢ ((𝐹 = {⟨2, 6⟩, ⟨3, 9⟩} ∧ 𝐵 = {1, 2}) → (𝐹 ↾ 𝐵) = {⟨2, 6⟩})

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ∪ cun 3903   ⊆ wss 3905  ∅c0 4286  {csn 4579  {cpr 4581  ⟨cop 4585  dom cdm 5623   ↾ cres 5625  Rel wrel 5628  ℝcr 11027  1c1 11029  2c2 12201  3c3 12202  6c6 12205  9c9 12208

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5518  df-po 5531  df-so 5532  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-2 12209  df-3 12210  df-4 12211  df-5 12212  df-6 12213

This theorem is referenced by:  ex-ima  30404