MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ex-res Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ex-res 29427
Description: Example for df-res 5650. Example by David A. Wheeler. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
ex-res ((𝐹 = {⟨2, 6⟩, ⟨3, 9⟩} ∧ 𝐵 = {1, 2}) → (𝐹𝐵) = {⟨2, 6⟩})

Proof of Theorem ex-res
StepHypRef Expression
1 simpl 484 . . . . 5 ((𝐹 = {⟨2, 6⟩, ⟨3, 9⟩} ∧ 𝐵 = {1, 2}) → 𝐹 = {⟨2, 6⟩, ⟨3, 9⟩})
2 df-pr 4594 . . . . 5 {⟨2, 6⟩, ⟨3, 9⟩} = ({⟨2, 6⟩} ∪ {⟨3, 9⟩})
31, 2eqtrdi 2793 . . . 4 ((𝐹 = {⟨2, 6⟩, ⟨3, 9⟩} ∧ 𝐵 = {1, 2}) → 𝐹 = ({⟨2, 6⟩} ∪ {⟨3, 9⟩}))
43reseq1d 5941 . . 3 ((𝐹 = {⟨2, 6⟩, ⟨3, 9⟩} ∧ 𝐵 = {1, 2}) → (𝐹𝐵) = (({⟨2, 6⟩} ∪ {⟨3, 9⟩}) ↾ 𝐵))
5 resundir 5957 . . 3 (({⟨2, 6⟩} ∪ {⟨3, 9⟩}) ↾ 𝐵) = (({⟨2, 6⟩} ↾ 𝐵) ∪ ({⟨3, 9⟩} ↾ 𝐵))
64, 5eqtrdi 2793 . 2 ((𝐹 = {⟨2, 6⟩, ⟨3, 9⟩} ∧ 𝐵 = {1, 2}) → (𝐹𝐵) = (({⟨2, 6⟩} ↾ 𝐵) ∪ ({⟨3, 9⟩} ↾ 𝐵)))
7 2re 12234 . . . . . . 7 2 ∈ ℝ
87elexi 3467 . . . . . 6 2 ∈ V
9 6re 12250 . . . . . . 7 6 ∈ ℝ
109elexi 3467 . . . . . 6 6 ∈ V
118, 10relsnop 5766 . . . . 5 Rel {⟨2, 6⟩}
12 dmsnopss 6171 . . . . . 6 dom {⟨2, 6⟩} ⊆ {2}
13 snsspr2 4780 . . . . . . 7 {2} ⊆ {1, 2}
14 simpr 486 . . . . . . 7 ((𝐹 = {⟨2, 6⟩, ⟨3, 9⟩} ∧ 𝐵 = {1, 2}) → 𝐵 = {1, 2})
1513, 14sseqtrrid 4002 . . . . . 6 ((𝐹 = {⟨2, 6⟩, ⟨3, 9⟩} ∧ 𝐵 = {1, 2}) → {2} ⊆ 𝐵)
1612, 15sstrid 3960 . . . . 5 ((𝐹 = {⟨2, 6⟩, ⟨3, 9⟩} ∧ 𝐵 = {1, 2}) → dom {⟨2, 6⟩} ⊆ 𝐵)
17 relssres 5983 . . . . 5 ((Rel {⟨2, 6⟩} ∧ dom {⟨2, 6⟩} ⊆ 𝐵) → ({⟨2, 6⟩} ↾ 𝐵) = {⟨2, 6⟩})
1811, 16, 17sylancr 588 . . . 4 ((𝐹 = {⟨2, 6⟩, ⟨3, 9⟩} ∧ 𝐵 = {1, 2}) → ({⟨2, 6⟩} ↾ 𝐵) = {⟨2, 6⟩})
19 1re 11162 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
20 1lt3 12333 . . . . . . . 8 1 < 3
2119, 20gtneii 11274 . . . . . . 7 3 ≠ 1
22 2lt3 12332 . . . . . . . 8 2 < 3
237, 22gtneii 11274 . . . . . . 7 3 ≠ 2
2421, 23nelpri 4620 . . . . . 6 ¬ 3 ∈ {1, 2}
2514eleq2d 2824 . . . . . 6 ((𝐹 = {⟨2, 6⟩, ⟨3, 9⟩} ∧ 𝐵 = {1, 2}) → (3 ∈ 𝐵 ↔ 3 ∈ {1, 2}))
2624, 25mtbiri 327 . . . . 5 ((𝐹 = {⟨2, 6⟩, ⟨3, 9⟩} ∧ 𝐵 = {1, 2}) → ¬ 3 ∈ 𝐵)
27 ressnop0 7104 . . . . 5 (¬ 3 ∈ 𝐵 → ({⟨3, 9⟩} ↾ 𝐵) = ∅)
2826, 27syl 17 . . . 4 ((𝐹 = {⟨2, 6⟩, ⟨3, 9⟩} ∧ 𝐵 = {1, 2}) → ({⟨3, 9⟩} ↾ 𝐵) = ∅)
2918, 28uneq12d 4129 . . 3 ((𝐹 = {⟨2, 6⟩, ⟨3, 9⟩} ∧ 𝐵 = {1, 2}) → (({⟨2, 6⟩} ↾ 𝐵) ∪ ({⟨3, 9⟩} ↾ 𝐵)) = ({⟨2, 6⟩} ∪ ∅))
30 un0 4355 . . 3 ({⟨2, 6⟩} ∪ ∅) = {⟨2, 6⟩}
3129, 30eqtrdi 2793 . 2 ((𝐹 = {⟨2, 6⟩, ⟨3, 9⟩} ∧ 𝐵 = {1, 2}) → (({⟨2, 6⟩} ↾ 𝐵) ∪ ({⟨3, 9⟩} ↾ 𝐵)) = {⟨2, 6⟩})
326, 31eqtrd 2777 1 ((𝐹 = {⟨2, 6⟩, ⟨3, 9⟩} ∧ 𝐵 = {1, 2}) → (𝐹𝐵) = {⟨2, 6⟩})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  cun 3913  wss 3915  c0 4287  {csn 4591  {cpr 4593  cop 4597  dom cdm 5638  cres 5640  Rel wrel 5643  cr 11057  1c1 11059  2c2 12215  3c3 12216  6c6 12219  9c9 12222
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-po 5550  df-so 5551  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227
This theorem is referenced by:  ex-ima  29428
  Copyright terms: Public domain W3C validator