Theorem 3nn 12291

Description: 3 is a positive integer. (Contributed by NM, 8-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
3nn	⊢ 3 ∈ ℕ

Proof of Theorem 3nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-3 12275	. 2 ⊢ 3 = (2 + 1)
2		2nn 12285	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
3		peano2nn 12216	. . 3 ⊢ (2 ∈ ℕ → (2 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (2 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2857	1 ⊢ 3 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2141  (class class class)co 7391  1c1 11068   + caddc 11070  ℕcn 12204  2c2 12266  3c3 12267

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-1cn 11125

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6283  df-ord 6344  df-on 6345  df-lim 6346  df-suc 6347  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-ov 7394  df-om 7842  df-2nd 7966  df-frecs 8256  df-wrecs 8287  df-recs 8336  df-rdg 8375  df-nn 12205  df-2 12274  df-3 12275

This theorem is referenced by:  4nn  12295  3pos  12320  3ne0  12321  3nn0  12493  3z  12598  ige3m2fz  13547  fvf1tp  13793  tpf1ofv0  14503  tpf1ofv1  14504  tpf1ofv2  14505  tpfo  14507  f1oun2prg  14924  01sqrexlem7  15266  bpoly4  16080  fsumcube  16081  sin01bnd  16208  egt2lt3  16229  rpnnen2lem2  16238  rpnnen2lem3  16239  rpnnen2lem4  16240  rpnnen2lem9  16245  rpnnen2lem11  16247  5ndvds3  16438  3lcm2e6woprm  16640  3lcm2e6  16758  prmo3  17068  5prm  17135  6nprm  17136  7prm  17137  9nprm  17139  11prm  17142  13prm  17143  17prm  17144  19prm  17145  23prm  17146  prmlem2  17147  37prm  17148  43prm  17149  83prm  17150  139prm  17151  163prm  17152  317prm  17153  631prm  17154  1259lem5  17162  2503lem1  17164  2503lem2  17165  2503lem3  17166  4001lem4  17171  4001prm  17172  mulrndx  17314  mulridx  17315  rngstr  17318  unifndx  17415  unifid  17416  unifndxnn  17417  slotsdifunifndx  17421  lt6abl  19926  cnfldstr  21414  tangtx  26558  1cubrlem  26894  1cubr  26895  dcubic1lem  26896  dcubic2  26897  dcubic  26899  mcubic  26900  cubic2  26901  cubic  26902  quartlem3  26912  quart  26914  log2cnv  26997  log2tlbnd  26998  log2ublem1  26999  log2ublem2  27000  log2ub  27002  ppiublem1  27254  ppiub  27256  chtub  27264  bposlem3  27338  bposlem4  27339  bposlem5  27340  bposlem6  27341  bposlem9  27344  lgsdir2lem5  27381  dchrvmasumlem2  27550  dchrvmasumlema  27552  pntleml  27663  tgcgr4  28688  axlowdimlem16  29115  axlowdimlem17  29116  usgrexmpldifpr  29416  upgr3v3e3cycl  30339  ex-cnv  30596  ex-rn  30599  ex-mod  30608  2sqr3minply  34038  cos9thpiminplylem1  34040  cos9thpiminplylem2  34041  cos9thpiminplylem5  34044  fib4  34662  circlevma  34897  circlemethhgt  34898  hgt750lema  34912  sinccvglem  35983  cnndvlem1  36936  mblfinlem3  38119  itg2addnclem2  38132  itg2addnc  38134  lcm3un  42593  aks4d1p1  42654  3cubeslem2  43227  3cubeslem3r  43229  3cubes  43232  rmydioph  43552  rmxdioph  43554  expdiophlem2  43560  expdioph  43561  amgm3d  44736  lhe4.4ex1a  44866  modm2nep1  47927  modm1nep2  47929  257prm  48131  fmtno4prmfac193  48143  fmtno4nprmfac193  48144  3ndvds4  48165  139prmALT  48166  31prm  48167  127prm  48169  41prothprm  48189  341fppr2  48317  nfermltl2rev  48326  wtgoldbnnsum4prm  48385  bgoldbnnsum3prm  48387  bgoldbtbndlem1  48388  tgoldbach  48400  grtriclwlk3  48528  gpg3kgrtriexlem2  48667  gpg3kgrtriexlem5  48670  gpg3kgrtriexlem6  48671  gpg3kgrtriex  48672