Theorem 3nn 12372

Description: 3 is a positive integer. (Contributed by NM, 8-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
3nn	⊢ 3 ∈ ℕ

Proof of Theorem 3nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-3 12357	. 2 ⊢ 3 = (2 + 1)
2		2nn 12366	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
3		peano2nn 12305	. . 3 ⊢ (2 ∈ ℕ → (2 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (2 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2840	1 ⊢ 3 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7448  1c1 11185   + caddc 11187  ℕcn 12293  2c2 12348  3c3 12349

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-1cn 11242

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-ov 7451  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357

This theorem is referenced by:  4nn  12376  3nn0  12571  3z  12676  ige3m2fz  13608  fvf1tp  13840  tpf1ofv0  14545  tpf1ofv1  14546  tpf1ofv2  14547  tpfo  14549  f1oun2prg  14966  01sqrexlem7  15297  bpoly4  16107  fsumcube  16108  sin01bnd  16233  egt2lt3  16254  rpnnen2lem2  16263  rpnnen2lem3  16264  rpnnen2lem4  16265  rpnnen2lem9  16270  rpnnen2lem11  16272  3lcm2e6woprm  16662  3lcm2e6  16779  prmo3  17088  5prm  17156  6nprm  17157  7prm  17158  9nprm  17160  11prm  17162  13prm  17163  17prm  17164  19prm  17165  23prm  17166  prmlem2  17167  37prm  17168  43prm  17169  83prm  17170  139prm  17171  163prm  17172  317prm  17173  631prm  17174  1259lem5  17182  2503lem1  17184  2503lem2  17185  2503lem3  17186  4001lem4  17191  4001prm  17192  mulrndx  17352  mulridx  17353  rngstr  17357  unifndx  17454  unifid  17455  unifndxnn  17456  slotsdifunifndx  17460  lt6abl  19937  sramulrOLD  21205  cnfldstr  21389  cnfldstrOLD  21404  cnfldfunALTOLDOLD  21416  zlmmulrOLD  21557  znmulOLD  21583  opsrmulrOLD  22097  tuslemOLD  24297  tngmulrOLD  24682  tangtx  26565  1cubrlem  26902  1cubr  26903  dcubic1lem  26904  dcubic2  26905  dcubic  26907  mcubic  26908  cubic2  26909  cubic  26910  quartlem3  26920  quart  26922  log2cnv  27005  log2tlbnd  27006  log2ublem1  27007  log2ublem2  27008  log2ub  27010  ppiublem1  27264  ppiub  27266  chtub  27274  bposlem3  27348  bposlem4  27349  bposlem5  27350  bposlem6  27351  bposlem9  27354  lgsdir2lem5  27391  dchrvmasumlem2  27560  dchrvmasumlema  27562  pntleml  27673  tgcgr4  28557  axlowdimlem16  28990  axlowdimlem17  28991  usgrexmpldifpr  29293  upgr3v3e3cycl  30212  ex-cnv  30469  ex-rn  30472  ex-mod  30481  resvmulrOLD  33331  2sqr3minply  33738  fib4  34369  circlevma  34619  circlemethhgt  34620  hgt750lema  34634  sinccvglem  35640  cnndvlem1  36503  mblfinlem3  37619  itg2addnclem2  37632  itg2addnc  37634  hlhilsmulOLD  41902  lcm3un  41972  aks4d1p1  42033  3cubeslem2  42641  3cubeslem3r  42643  3cubes  42646  rmydioph  42971  rmxdioph  42973  expdiophlem2  42979  expdioph  42980  amgm3d  44161  lhe4.4ex1a  44298  257prm  47435  fmtno4prmfac193  47447  fmtno4nprmfac193  47448  3ndvds4  47469  139prmALT  47470  31prm  47471  127prm  47473  41prothprm  47493  341fppr2  47608  nfermltl2rev  47617  wtgoldbnnsum4prm  47676  bgoldbnnsum3prm  47678  bgoldbtbndlem1  47679  tgoldbach  47691  grtriclwlk3  47796