Theorem 3nn 12241

Description: 3 is a positive integer. (Contributed by NM, 8-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
3nn	⊢ 3 ∈ ℕ

Proof of Theorem 3nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-3 12226	. 2 ⊢ 3 = (2 + 1)
2		2nn 12235	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
3		peano2nn 12174	. . 3 ⊢ (2 ∈ ℕ → (2 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (2 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2824	1 ⊢ 3 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7369  1c1 11045   + caddc 11047  ℕcn 12162  2c2 12217  3c3 12218

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-1cn 11102

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-ov 7372  df-om 7823  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226

This theorem is referenced by:  4nn  12245  3ne0  12268  3nn0  12436  3z  12542  ige3m2fz  13485  fvf1tp  13727  tpf1ofv0  14437  tpf1ofv1  14438  tpf1ofv2  14439  tpfo  14441  f1oun2prg  14859  01sqrexlem7  15190  bpoly4  16001  fsumcube  16002  sin01bnd  16129  egt2lt3  16150  rpnnen2lem2  16159  rpnnen2lem3  16160  rpnnen2lem4  16161  rpnnen2lem9  16166  rpnnen2lem11  16168  5ndvds3  16359  3lcm2e6woprm  16561  3lcm2e6  16678  prmo3  16988  5prm  17055  6nprm  17056  7prm  17057  9nprm  17059  11prm  17061  13prm  17062  17prm  17063  19prm  17064  23prm  17065  prmlem2  17066  37prm  17067  43prm  17068  83prm  17069  139prm  17070  163prm  17071  317prm  17072  631prm  17073  1259lem5  17081  2503lem1  17083  2503lem2  17084  2503lem3  17085  4001lem4  17090  4001prm  17091  mulrndx  17233  mulridx  17234  rngstr  17237  unifndx  17334  unifid  17335  unifndxnn  17336  slotsdifunifndx  17340  lt6abl  19801  cnfldstr  21242  cnfldstrOLD  21257  tangtx  26390  1cubrlem  26727  1cubr  26728  dcubic1lem  26729  dcubic2  26730  dcubic  26732  mcubic  26733  cubic2  26734  cubic  26735  quartlem3  26745  quart  26747  log2cnv  26830  log2tlbnd  26831  log2ublem1  26832  log2ublem2  26833  log2ub  26835  ppiublem1  27089  ppiub  27091  chtub  27099  bposlem3  27173  bposlem4  27174  bposlem5  27175  bposlem6  27176  bposlem9  27179  lgsdir2lem5  27216  dchrvmasumlem2  27385  dchrvmasumlema  27387  pntleml  27498  tgcgr4  28434  axlowdimlem16  28860  axlowdimlem17  28861  usgrexmpldifpr  29161  upgr3v3e3cycl  30082  ex-cnv  30339  ex-rn  30342  ex-mod  30351  2sqr3minply  33743  cos9thpiminplylem1  33745  cos9thpiminplylem2  33746  cos9thpiminplylem5  33749  fib4  34368  circlevma  34606  circlemethhgt  34607  hgt750lema  34621  sinccvglem  35632  cnndvlem1  36498  mblfinlem3  37626  itg2addnclem2  37639  itg2addnc  37641  lcm3un  41976  aks4d1p1  42037  3cubeslem2  42646  3cubeslem3r  42648  3cubes  42651  rmydioph  42976  rmxdioph  42978  expdiophlem2  42984  expdioph  42985  amgm3d  44161  lhe4.4ex1a  44291  modm2nep1  47340  modm1nep2  47342  257prm  47535  fmtno4prmfac193  47547  fmtno4nprmfac193  47548  3ndvds4  47569  139prmALT  47570  31prm  47571  127prm  47573  41prothprm  47593  341fppr2  47708  nfermltl2rev  47717  wtgoldbnnsum4prm  47776  bgoldbnnsum3prm  47778  bgoldbtbndlem1  47779  tgoldbach  47791  grtriclwlk3  47917  gpg3kgrtriexlem2  48048  gpg3kgrtriexlem5  48051  gpg3kgrtriexlem6  48052  gpg3kgrtriex  48053