Theorem 3nn 12342

Description: 3 is a positive integer. (Contributed by NM, 8-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
3nn	⊢ 3 ∈ ℕ

Proof of Theorem 3nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-3 12327	. 2 ⊢ 3 = (2 + 1)
2		2nn 12336	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
3		peano2nn 12275	. . 3 ⊢ (2 ∈ ℕ → (2 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (2 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2834	1 ⊢ 3 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2105  (class class class)co 7430  1c1 11153   + caddc 11155  ℕcn 12263  2c2 12318  3c3 12319

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-1cn 11210

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-ov 7433  df-om 7887  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327

This theorem is referenced by:  4nn  12346  3nn0  12541  3z  12647  ige3m2fz  13584  fvf1tp  13825  tpf1ofv0  14531  tpf1ofv1  14532  tpf1ofv2  14533  tpfo  14535  f1oun2prg  14952  01sqrexlem7  15283  bpoly4  16091  fsumcube  16092  sin01bnd  16217  egt2lt3  16238  rpnnen2lem2  16247  rpnnen2lem3  16248  rpnnen2lem4  16249  rpnnen2lem9  16254  rpnnen2lem11  16256  5ndvds3  16446  3lcm2e6woprm  16648  3lcm2e6  16765  prmo3  17074  5prm  17142  6nprm  17143  7prm  17144  9nprm  17146  11prm  17148  13prm  17149  17prm  17150  19prm  17151  23prm  17152  prmlem2  17153  37prm  17154  43prm  17155  83prm  17156  139prm  17157  163prm  17158  317prm  17159  631prm  17160  1259lem5  17168  2503lem1  17170  2503lem2  17171  2503lem3  17172  4001lem4  17177  4001prm  17178  mulrndx  17338  mulridx  17339  rngstr  17343  unifndx  17440  unifid  17441  unifndxnn  17442  slotsdifunifndx  17446  lt6abl  19927  sramulrOLD  21199  cnfldstr  21383  cnfldstrOLD  21398  cnfldfunALTOLDOLD  21410  zlmmulrOLD  21551  znmulOLD  21577  opsrmulrOLD  22091  tuslemOLD  24291  tngmulrOLD  24676  tangtx  26561  1cubrlem  26898  1cubr  26899  dcubic1lem  26900  dcubic2  26901  dcubic  26903  mcubic  26904  cubic2  26905  cubic  26906  quartlem3  26916  quart  26918  log2cnv  27001  log2tlbnd  27002  log2ublem1  27003  log2ublem2  27004  log2ub  27006  ppiublem1  27260  ppiub  27262  chtub  27270  bposlem3  27344  bposlem4  27345  bposlem5  27346  bposlem6  27347  bposlem9  27350  lgsdir2lem5  27387  dchrvmasumlem2  27556  dchrvmasumlema  27558  pntleml  27669  tgcgr4  28553  axlowdimlem16  28986  axlowdimlem17  28987  usgrexmpldifpr  29289  upgr3v3e3cycl  30208  ex-cnv  30465  ex-rn  30468  ex-mod  30477  resvmulrOLD  33345  2sqr3minply  33752  fib4  34385  circlevma  34635  circlemethhgt  34636  hgt750lema  34650  sinccvglem  35656  cnndvlem1  36519  mblfinlem3  37645  itg2addnclem2  37658  itg2addnc  37660  hlhilsmulOLD  41927  lcm3un  41996  aks4d1p1  42057  3cubeslem2  42672  3cubeslem3r  42674  3cubes  42677  rmydioph  43002  rmxdioph  43004  expdiophlem2  43010  expdioph  43011  amgm3d  44188  lhe4.4ex1a  44324  257prm  47485  fmtno4prmfac193  47497  fmtno4nprmfac193  47498  3ndvds4  47519  139prmALT  47520  31prm  47521  127prm  47523  41prothprm  47543  341fppr2  47658  nfermltl2rev  47667  wtgoldbnnsum4prm  47726  bgoldbnnsum3prm  47728  bgoldbtbndlem1  47729  tgoldbach  47741  grtriclwlk3  47849  gpg5grlic  47974