Theorem 3nn 12273

Description: 3 is a positive integer. (Contributed by NM, 8-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
3nn	⊢ 3 ∈ ℕ

Proof of Theorem 3nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-3 12258	. 2 ⊢ 3 = (2 + 1)
2		2nn 12267	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
3		peano2nn 12206	. . 3 ⊢ (2 ∈ ℕ → (2 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (2 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2828	1 ⊢ 3 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2106  (class class class)co 7393  1c1 11093   + caddc 11095  ℕcn 12194  2c2 12249  3c3 12250

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-1cn 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6289  df-ord 6356  df-on 6357  df-lim 6358  df-suc 6359  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-ov 7396  df-om 7839  df-2nd 7958  df-frecs 8248  df-wrecs 8279  df-recs 8353  df-rdg 8392  df-nn 12195  df-2 12257  df-3 12258

This theorem is referenced by:  4nn  12277  3nn0  12472  3z  12577  ige3m2fz  13507  f1oun2prg  14850  01sqrexlem7  15177  bpoly4  15985  fsumcube  15986  sin01bnd  16110  egt2lt3  16131  rpnnen2lem2  16140  rpnnen2lem3  16141  rpnnen2lem4  16142  rpnnen2lem9  16147  rpnnen2lem11  16149  3lcm2e6woprm  16534  3lcm2e6  16650  prmo3  16956  5prm  17024  6nprm  17025  7prm  17026  9nprm  17028  11prm  17030  13prm  17031  17prm  17032  19prm  17033  23prm  17034  prmlem2  17035  37prm  17036  43prm  17037  83prm  17038  139prm  17039  163prm  17040  317prm  17041  631prm  17042  1259lem5  17050  2503lem1  17052  2503lem2  17053  2503lem3  17054  4001lem4  17059  4001prm  17060  mulrndx  17220  mulridx  17221  rngstr  17225  unifndx  17322  unifid  17323  unifndxnn  17324  slotsdifunifndx  17328  lt6abl  19722  sramulrOLD  20746  cnfldstr  20880  cnfldfunALTOLD  20892  zlmmulrOLD  21006  znmulOLD  21030  opsrmulrOLD  21539  tuslemOLD  23701  tngmulrOLD  24086  tangtx  25944  1cubrlem  26273  1cubr  26274  dcubic1lem  26275  dcubic2  26276  dcubic  26278  mcubic  26279  cubic2  26280  cubic  26281  quartlem3  26291  quart  26293  log2cnv  26376  log2tlbnd  26377  log2ublem1  26378  log2ublem2  26379  log2ub  26381  ppiublem1  26632  ppiub  26634  chtub  26642  bposlem3  26716  bposlem4  26717  bposlem5  26718  bposlem6  26719  bposlem9  26722  lgsdir2lem5  26759  dchrvmasumlem2  26928  dchrvmasumlema  26930  pntleml  27041  tgcgr4  27647  axlowdimlem16  28080  axlowdimlem17  28081  usgrexmpldifpr  28380  upgr3v3e3cycl  29298  ex-cnv  29555  ex-rn  29558  ex-mod  29567  resvmulrOLD  32316  fib4  33234  circlevma  33485  circlemethhgt  33486  hgt750lema  33500  sinccvglem  34488  cnndvlem1  35217  mblfinlem3  36331  itg2addnclem2  36344  itg2addnc  36346  hlhilsmulOLD  40621  lcm3un  40685  aks4d1p1  40746  3cubeslem2  41194  3cubeslem3r  41196  3cubes  41199  rmydioph  41524  rmxdioph  41526  expdiophlem2  41532  expdioph  41533  amgm3d  42722  lhe4.4ex1a  42859  257prm  46001  fmtno4prmfac193  46013  fmtno4nprmfac193  46014  3ndvds4  46035  139prmALT  46036  31prm  46037  127prm  46039  41prothprm  46059  341fppr2  46174  nfermltl2rev  46183  wtgoldbnnsum4prm  46242  bgoldbnnsum3prm  46244  bgoldbtbndlem1  46245  tgoldbach  46257