Theorem 3nn 12462

Description: 3 is a positive integer. (Contributed by NM, 8-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
3nn	⊢ 3 ∈ ℕ

Proof of Theorem 3nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-3 12446	. 2 ⊢ 3 = (2 + 1)
2		2nn 12456	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
3		peano2nn 12387	. . 3 ⊢ (2 ∈ ℕ → (2 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (2 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2860	1 ⊢ 3 ∈ ℕ

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2147  (class class class)co 7451  1c1 11240   + caddc 11242  ℕcn 12375  2c2 12437  3c3 12438

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-1cn 11297

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-ov 7454  df-om 7912  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446

This theorem is used by:  4nn  12466  3pos  12491  3ne0  12492  3nn0  12664  3z  12769  ige3m2fz  13722  fvf1tp  13969  tpf1ofv0  14682  tpf1ofv1  14683  tpf1ofv2  14684  tpfo  14686  f1oun2prg  15111  01sqrexlem7  15458  bpoly4  16269  fsumcube  16270  sin01bnd  16397  egt2lt3  16418  rpnnen2lem2  16427  rpnnen2lem3  16428  rpnnen2lem4  16429  rpnnen2lem9  16434  rpnnen2lem11  16436  5ndvds3  16627  3lcm2e6woprm  16834  3lcm2e6  16952  prmo3  17263  5prm  17330  6nprm  17331  7prm  17332  9nprm  17334  11prm  17337  13prm  17338  17prm  17339  19prm  17340  23prm  17341  prmlem2  17342  37prm  17343  43prm  17344  83prm  17345  139prm  17346  163prm  17347  317prm  17348  631prm  17349  1259lem5  17357  2503lem1  17359  2503lem2  17360  2503lem3  17361  4001lem4  17366  4001prm  17367  mulrndx  17511  mulridx  17512  rngstr  17515  unifndx  17612  unifid  17613  unifndxnn  17614  slotsdifunifndx  17618  lt6abl  20160  cnfldstr  21731  tangtx  26891  1cubrlem  27226  1cubr  27227  dcubic1lem  27228  dcubic2  27229  dcubic  27231  mcubic  27232  cubic2  27233  cubic  27234  quartlem3  27244  quart  27246  log2cnv  27329  log2tlbnd  27330  log2ublem1  27331  log2ublem2  27332  log2ub  27334  ppiublem1  27586  ppiub  27588  chtub  27596  bposlem3  27670  bposlem4  27671  bposlem5  27672  bposlem6  27673  bposlem9  27676  lgsdir2lem5  27713  dchrvmasumlem2  27882  dchrvmasumlema  27884  pntleml  27995  fltoprm  28052  tgcgr4  29051  axlowdimlem16  29592  axlowdimlem17  29593  usgrexmpldifpr  29896  upgr3v3e3cycl  30838  ex-cnv  31095  ex-rn  31098  ex-mod  31107  2sqr3minply  34523  cos9thpiminplylem1  34525  cos9thpiminplylem2  34526  cos9thpiminplylem5  34529  fib4  35147  circlevma  35382  circlemethhgt  35383  hgt750lema  35397  sinccvglem  36645  cnndvlem1  37618  mblfinlem3  38845  itg2addnclem2  38858  itg2addnc  38860  lcm3un  43331  aks4d1p1  43392  3cubeslem2  43961  3cubeslem3r  43963  3cubes  43966  rmydioph  44287  rmxdioph  44289  expdiophlem2  44295  expdioph  44296  amgm3d  45460  lhe4.4ex1a  45574  modm2nep1  48715  modm1nep2  48717  257prm  48919  fmtno4prmfac193  48931  fmtno4nprmfac193  48932  3ndvds4  48953  139prmALT  48954  31prm  48955  127prm  48957  41prothprm  48977  341fppr2  49105  nfermltl2rev  49114  wtgoldbnnsum4prm  49173  bgoldbnnsum3prm  49175  bgoldbtbndlem1  49176  tgoldbach  49188  grtriclwlk3  49316  gpg3kgrtriexlem2  49455  gpg3kgrtriexlem5  49458  gpg3kgrtriexlem6  49459  gpg3kgrtriex  49460  bru3val  49753  bru3cj  49754  bru3sqbru  49757  bru3sqez  49758  ezsubrg  49759  1elfz13  51371  2elfz13  51372  3elfz13  51373  veronesevrowd  51407  veroquadgsumlem  51411