Theorem 3nn 12225

Description: 3 is a positive integer. (Contributed by NM, 8-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
3nn	⊢ 3 ∈ ℕ

Proof of Theorem 3nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-3 12210	. 2 ⊢ 3 = (2 + 1)
2		2nn 12219	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
3		peano2nn 12158	. . 3 ⊢ (2 ∈ ℕ → (2 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (2 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2824	1 ⊢ 3 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7353  1c1 11029   + caddc 11031  ℕcn 12146  2c2 12201  3c3 12202

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-1cn 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-ov 7356  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210

This theorem is referenced by:  4nn  12229  3ne0  12252  3nn0  12420  3z  12526  ige3m2fz  13469  fvf1tp  13711  tpf1ofv0  14421  tpf1ofv1  14422  tpf1ofv2  14423  tpfo  14425  f1oun2prg  14842  01sqrexlem7  15173  bpoly4  15984  fsumcube  15985  sin01bnd  16112  egt2lt3  16133  rpnnen2lem2  16142  rpnnen2lem3  16143  rpnnen2lem4  16144  rpnnen2lem9  16149  rpnnen2lem11  16151  5ndvds3  16342  3lcm2e6woprm  16544  3lcm2e6  16661  prmo3  16971  5prm  17038  6nprm  17039  7prm  17040  9nprm  17042  11prm  17044  13prm  17045  17prm  17046  19prm  17047  23prm  17048  prmlem2  17049  37prm  17050  43prm  17051  83prm  17052  139prm  17053  163prm  17054  317prm  17055  631prm  17056  1259lem5  17064  2503lem1  17066  2503lem2  17067  2503lem3  17068  4001lem4  17073  4001prm  17074  mulrndx  17216  mulridx  17217  rngstr  17220  unifndx  17317  unifid  17318  unifndxnn  17319  slotsdifunifndx  17323  lt6abl  19792  cnfldstr  21281  cnfldstrOLD  21296  tangtx  26430  1cubrlem  26767  1cubr  26768  dcubic1lem  26769  dcubic2  26770  dcubic  26772  mcubic  26773  cubic2  26774  cubic  26775  quartlem3  26785  quart  26787  log2cnv  26870  log2tlbnd  26871  log2ublem1  26872  log2ublem2  26873  log2ub  26875  ppiublem1  27129  ppiub  27131  chtub  27139  bposlem3  27213  bposlem4  27214  bposlem5  27215  bposlem6  27216  bposlem9  27219  lgsdir2lem5  27256  dchrvmasumlem2  27425  dchrvmasumlema  27427  pntleml  27538  tgcgr4  28494  axlowdimlem16  28920  axlowdimlem17  28921  usgrexmpldifpr  29221  upgr3v3e3cycl  30142  ex-cnv  30399  ex-rn  30402  ex-mod  30411  2sqr3minply  33749  cos9thpiminplylem1  33751  cos9thpiminplylem2  33752  cos9thpiminplylem5  33755  fib4  34374  circlevma  34612  circlemethhgt  34613  hgt750lema  34627  sinccvglem  35647  cnndvlem1  36513  mblfinlem3  37641  itg2addnclem2  37654  itg2addnc  37656  lcm3un  41991  aks4d1p1  42052  3cubeslem2  42661  3cubeslem3r  42663  3cubes  42666  rmydioph  42990  rmxdioph  42992  expdiophlem2  42998  expdioph  42999  amgm3d  44175  lhe4.4ex1a  44305  modm2nep1  47354  modm1nep2  47356  257prm  47549  fmtno4prmfac193  47561  fmtno4nprmfac193  47562  3ndvds4  47583  139prmALT  47584  31prm  47585  127prm  47587  41prothprm  47607  341fppr2  47722  nfermltl2rev  47731  wtgoldbnnsum4prm  47790  bgoldbnnsum3prm  47792  bgoldbtbndlem1  47793  tgoldbach  47805  grtriclwlk3  47933  gpg3kgrtriexlem2  48072  gpg3kgrtriexlem5  48075  gpg3kgrtriexlem6  48076  gpg3kgrtriex  48077