Theorem 3nn 12272

Description: 3 is a positive integer. (Contributed by NM, 8-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
3nn	⊢ 3 ∈ ℕ

Proof of Theorem 3nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-3 12257	. 2 ⊢ 3 = (2 + 1)
2		2nn 12266	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
3		peano2nn 12205	. . 3 ⊢ (2 ∈ ℕ → (2 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (2 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2825	1 ⊢ 3 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7390  1c1 11076   + caddc 11078  ℕcn 12193  2c2 12248  3c3 12249

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-1cn 11133

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-ov 7393  df-om 7846  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257

This theorem is referenced by:  4nn  12276  3ne0  12299  3nn0  12467  3z  12573  ige3m2fz  13516  fvf1tp  13758  tpf1ofv0  14468  tpf1ofv1  14469  tpf1ofv2  14470  tpfo  14472  f1oun2prg  14890  01sqrexlem7  15221  bpoly4  16032  fsumcube  16033  sin01bnd  16160  egt2lt3  16181  rpnnen2lem2  16190  rpnnen2lem3  16191  rpnnen2lem4  16192  rpnnen2lem9  16197  rpnnen2lem11  16199  5ndvds3  16390  3lcm2e6woprm  16592  3lcm2e6  16709  prmo3  17019  5prm  17086  6nprm  17087  7prm  17088  9nprm  17090  11prm  17092  13prm  17093  17prm  17094  19prm  17095  23prm  17096  prmlem2  17097  37prm  17098  43prm  17099  83prm  17100  139prm  17101  163prm  17102  317prm  17103  631prm  17104  1259lem5  17112  2503lem1  17114  2503lem2  17115  2503lem3  17116  4001lem4  17121  4001prm  17122  mulrndx  17264  mulridx  17265  rngstr  17268  unifndx  17365  unifid  17366  unifndxnn  17367  slotsdifunifndx  17371  lt6abl  19832  cnfldstr  21273  cnfldstrOLD  21288  tangtx  26421  1cubrlem  26758  1cubr  26759  dcubic1lem  26760  dcubic2  26761  dcubic  26763  mcubic  26764  cubic2  26765  cubic  26766  quartlem3  26776  quart  26778  log2cnv  26861  log2tlbnd  26862  log2ublem1  26863  log2ublem2  26864  log2ub  26866  ppiublem1  27120  ppiub  27122  chtub  27130  bposlem3  27204  bposlem4  27205  bposlem5  27206  bposlem6  27207  bposlem9  27210  lgsdir2lem5  27247  dchrvmasumlem2  27416  dchrvmasumlema  27418  pntleml  27529  tgcgr4  28465  axlowdimlem16  28891  axlowdimlem17  28892  usgrexmpldifpr  29192  upgr3v3e3cycl  30116  ex-cnv  30373  ex-rn  30376  ex-mod  30385  2sqr3minply  33777  cos9thpiminplylem1  33779  cos9thpiminplylem2  33780  cos9thpiminplylem5  33783  fib4  34402  circlevma  34640  circlemethhgt  34641  hgt750lema  34655  sinccvglem  35666  cnndvlem1  36532  mblfinlem3  37660  itg2addnclem2  37673  itg2addnc  37675  lcm3un  42010  aks4d1p1  42071  3cubeslem2  42680  3cubeslem3r  42682  3cubes  42685  rmydioph  43010  rmxdioph  43012  expdiophlem2  43018  expdioph  43019  amgm3d  44195  lhe4.4ex1a  44325  modm2nep1  47371  modm1nep2  47373  257prm  47566  fmtno4prmfac193  47578  fmtno4nprmfac193  47579  3ndvds4  47600  139prmALT  47601  31prm  47602  127prm  47604  41prothprm  47624  341fppr2  47739  nfermltl2rev  47748  wtgoldbnnsum4prm  47807  bgoldbnnsum3prm  47809  bgoldbtbndlem1  47810  tgoldbach  47822  grtriclwlk3  47948  gpg3kgrtriexlem2  48079  gpg3kgrtriexlem5  48082  gpg3kgrtriexlem6  48083  gpg3kgrtriex  48084