Theorem 3nn 12251

Description: 3 is a positive integer. (Contributed by NM, 8-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
3nn	⊢ 3 ∈ ℕ

Proof of Theorem 3nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-3 12236	. 2 ⊢ 3 = (2 + 1)
2		2nn 12245	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
3		peano2nn 12177	. . 3 ⊢ (2 ∈ ℕ → (2 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (2 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2833	1 ⊢ 3 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7360  1c1 11030   + caddc 11032  ℕcn 12165  2c2 12227  3c3 12228

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-1cn 11087

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7363  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236

This theorem is referenced by:  4nn  12255  3ne0  12278  3nn0  12446  3z  12551  ige3m2fz  13493  fvf1tp  13739  tpf1ofv0  14449  tpf1ofv1  14450  tpf1ofv2  14451  tpfo  14453  f1oun2prg  14870  01sqrexlem7  15201  bpoly4  16015  fsumcube  16016  sin01bnd  16143  egt2lt3  16164  rpnnen2lem2  16173  rpnnen2lem3  16174  rpnnen2lem4  16175  rpnnen2lem9  16180  rpnnen2lem11  16182  5ndvds3  16373  3lcm2e6woprm  16575  3lcm2e6  16693  prmo3  17003  5prm  17070  6nprm  17071  7prm  17072  9nprm  17074  11prm  17076  13prm  17077  17prm  17078  19prm  17079  23prm  17080  prmlem2  17081  37prm  17082  43prm  17083  83prm  17084  139prm  17085  163prm  17086  317prm  17087  631prm  17088  1259lem5  17096  2503lem1  17098  2503lem2  17099  2503lem3  17100  4001lem4  17105  4001prm  17106  mulrndx  17248  mulridx  17249  rngstr  17252  unifndx  17349  unifid  17350  unifndxnn  17351  slotsdifunifndx  17355  lt6abl  19861  cnfldstr  21346  cnfldstrOLD  21361  tangtx  26482  1cubrlem  26818  1cubr  26819  dcubic1lem  26820  dcubic2  26821  dcubic  26823  mcubic  26824  cubic2  26825  cubic  26826  quartlem3  26836  quart  26838  log2cnv  26921  log2tlbnd  26922  log2ublem1  26923  log2ublem2  26924  log2ub  26926  ppiublem1  27179  ppiub  27181  chtub  27189  bposlem3  27263  bposlem4  27264  bposlem5  27265  bposlem6  27266  bposlem9  27269  lgsdir2lem5  27306  dchrvmasumlem2  27475  dchrvmasumlema  27477  pntleml  27588  tgcgr4  28613  axlowdimlem16  29040  axlowdimlem17  29041  usgrexmpldifpr  29341  upgr3v3e3cycl  30265  ex-cnv  30522  ex-rn  30525  ex-mod  30534  2sqr3minply  33940  cos9thpiminplylem1  33942  cos9thpiminplylem2  33943  cos9thpiminplylem5  33946  fib4  34564  circlevma  34802  circlemethhgt  34803  hgt750lema  34817  sinccvglem  35870  cnndvlem1  36813  mblfinlem3  37994  itg2addnclem2  38007  itg2addnc  38009  lcm3un  42468  aks4d1p1  42529  3cubeslem2  43131  3cubeslem3r  43133  3cubes  43136  rmydioph  43460  rmxdioph  43462  expdiophlem2  43468  expdioph  43469  amgm3d  44644  lhe4.4ex1a  44774  modm2nep1  47832  modm1nep2  47834  257prm  48036  fmtno4prmfac193  48048  fmtno4nprmfac193  48049  3ndvds4  48070  139prmALT  48071  31prm  48072  127prm  48074  41prothprm  48094  341fppr2  48222  nfermltl2rev  48231  wtgoldbnnsum4prm  48290  bgoldbnnsum3prm  48292  bgoldbtbndlem1  48293  tgoldbach  48305  grtriclwlk3  48433  gpg3kgrtriexlem2  48572  gpg3kgrtriexlem5  48575  gpg3kgrtriexlem6  48576  gpg3kgrtriex  48577