Theorem 3nn 12321

Description: 3 is a positive integer. (Contributed by NM, 8-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
3nn	⊢ 3 ∈ ℕ

Proof of Theorem 3nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-3 12305	. 2 ⊢ 3 = (2 + 1)
2		2nn 12315	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
3		peano2nn 12246	. . 3 ⊢ (2 ∈ ℕ → (2 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (2 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2859	1 ⊢ 3 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2143  (class class class)co 7412  1c1 11102   + caddc 11104  ℕcn 12234  2c2 12296  3c3 12297

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-1cn 11159

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7415  df-om 7864  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305

This theorem is referenced by:  4nn  12325  3pos  12350  3ne0  12351  3nn0  12523  3z  12628  ige3m2fz  13578  fvf1tp  13824  tpf1ofv0  14535  tpf1ofv1  14536  tpf1ofv2  14537  tpfo  14539  f1oun2prg  14956  01sqrexlem7  15301  bpoly4  16114  fsumcube  16115  sin01bnd  16242  egt2lt3  16263  rpnnen2lem2  16272  rpnnen2lem3  16273  rpnnen2lem4  16274  rpnnen2lem9  16279  rpnnen2lem11  16281  5ndvds3  16472  3lcm2e6woprm  16674  3lcm2e6  16792  prmo3  17102  5prm  17169  6nprm  17170  7prm  17171  9nprm  17173  11prm  17176  13prm  17177  17prm  17178  19prm  17179  23prm  17180  prmlem2  17181  37prm  17182  43prm  17183  83prm  17184  139prm  17185  163prm  17186  317prm  17187  631prm  17188  1259lem5  17196  2503lem1  17198  2503lem2  17199  2503lem3  17200  4001lem4  17205  4001prm  17206  mulrndx  17348  mulridx  17349  rngstr  17352  unifndx  17449  unifid  17450  unifndxnn  17451  slotsdifunifndx  17455  lt6abl  19966  cnfldstr  21505  tangtx  26651  1cubrlem  26987  1cubr  26988  dcubic1lem  26989  dcubic2  26990  dcubic  26992  mcubic  26993  cubic2  26994  cubic  26995  quartlem3  27005  quart  27007  log2cnv  27090  log2tlbnd  27091  log2ublem1  27092  log2ublem2  27093  log2ub  27095  ppiublem1  27347  ppiub  27349  chtub  27357  bposlem3  27431  bposlem4  27432  bposlem5  27433  bposlem6  27434  bposlem9  27437  lgsdir2lem5  27474  dchrvmasumlem2  27643  dchrvmasumlema  27645  pntleml  27756  tgcgr4  28781  axlowdimlem16  29288  axlowdimlem17  29289  usgrexmpldifpr  29589  upgr3v3e3cycl  30512  ex-cnv  30769  ex-rn  30772  ex-mod  30781  2sqr3minply  34151  cos9thpiminplylem1  34153  cos9thpiminplylem2  34154  cos9thpiminplylem5  34157  fib4  34775  circlevma  35010  circlemethhgt  35011  hgt750lema  35025  sinccvglem  36145  cnndvlem1  37107  mblfinlem3  38291  itg2addnclem2  38304  itg2addnc  38306  lcm3un  42763  aks4d1p1  42824  3cubeslem2  43399  3cubeslem3r  43401  3cubes  43404  rmydioph  43724  rmxdioph  43726  expdiophlem2  43732  expdioph  43733  amgm3d  44908  lhe4.4ex1a  45022  modm2nep1  48092  modm1nep2  48094  257prm  48296  fmtno4prmfac193  48308  fmtno4nprmfac193  48309  3ndvds4  48330  139prmALT  48331  31prm  48332  127prm  48334  41prothprm  48354  341fppr2  48482  nfermltl2rev  48491  wtgoldbnnsum4prm  48550  bgoldbnnsum3prm  48552  bgoldbtbndlem1  48553  tgoldbach  48565  grtriclwlk3  48693  gpg3kgrtriexlem2  48832  gpg3kgrtriexlem5  48835  gpg3kgrtriexlem6  48836  gpg3kgrtriex  48837