Theorem 3nn 12251

Description: 3 is a positive integer. (Contributed by NM, 8-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
3nn	⊢ 3 ∈ ℕ

Proof of Theorem 3nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-3 12236	. 2 ⊢ 3 = (2 + 1)
2		2nn 12245	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
3		peano2nn 12177	. . 3 ⊢ (2 ∈ ℕ → (2 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (2 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2835	1 ⊢ 3 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2119  (class class class)co 7356  1c1 11030   + caddc 11032  ℕcn 12165  2c2 12227  3c3 12228

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-1cn 11087

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-ov 7359  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236

This theorem is referenced by:  4nn  12255  3ne0  12278  3nn0  12446  3z  12551  ige3m2fz  13493  fvf1tp  13739  tpf1ofv0  14449  tpf1ofv1  14450  tpf1ofv2  14451  tpfo  14453  f1oun2prg  14870  01sqrexlem7  15201  bpoly4  16015  fsumcube  16016  sin01bnd  16143  egt2lt3  16164  rpnnen2lem2  16173  rpnnen2lem3  16174  rpnnen2lem4  16175  rpnnen2lem9  16180  rpnnen2lem11  16182  5ndvds3  16373  3lcm2e6woprm  16575  3lcm2e6  16693  prmo3  17003  5prm  17070  6nprm  17071  7prm  17072  9nprm  17074  11prm  17076  13prm  17077  17prm  17078  19prm  17079  23prm  17080  prmlem2  17081  37prm  17082  43prm  17083  83prm  17084  139prm  17085  163prm  17086  317prm  17087  631prm  17088  1259lem5  17096  2503lem1  17098  2503lem2  17099  2503lem3  17100  4001lem4  17105  4001prm  17106  mulrndx  17248  mulridx  17249  rngstr  17252  unifndx  17349  unifid  17350  unifndxnn  17351  slotsdifunifndx  17355  lt6abl  19861  cnfldstr  21349  tangtx  26487  1cubrlem  26823  1cubr  26824  dcubic1lem  26825  dcubic2  26826  dcubic  26828  mcubic  26829  cubic2  26830  cubic  26831  quartlem3  26841  quart  26843  log2cnv  26926  log2tlbnd  26927  log2ublem1  26928  log2ublem2  26929  log2ub  26931  ppiublem1  27183  ppiub  27185  chtub  27193  bposlem3  27267  bposlem4  27268  bposlem5  27269  bposlem6  27270  bposlem9  27273  lgsdir2lem5  27310  dchrvmasumlem2  27479  dchrvmasumlema  27481  pntleml  27592  tgcgr4  28617  axlowdimlem16  29044  axlowdimlem17  29045  usgrexmpldifpr  29345  upgr3v3e3cycl  30268  ex-cnv  30525  ex-rn  30528  ex-mod  30537  2sqr3minply  33964  cos9thpiminplylem1  33966  cos9thpiminplylem2  33967  cos9thpiminplylem5  33970  fib4  34588  circlevma  34826  circlemethhgt  34827  hgt750lema  34841  sinccvglem  35900  cnndvlem1  36843  mblfinlem3  38026  itg2addnclem2  38039  itg2addnc  38041  lcm3un  42500  aks4d1p1  42561  3cubeslem2  43134  3cubeslem3r  43136  3cubes  43139  rmydioph  43459  rmxdioph  43461  expdiophlem2  43467  expdioph  43468  amgm3d  44643  lhe4.4ex1a  44773  modm2nep1  47835  modm1nep2  47837  257prm  48039  fmtno4prmfac193  48051  fmtno4nprmfac193  48052  3ndvds4  48073  139prmALT  48074  31prm  48075  127prm  48077  41prothprm  48097  341fppr2  48225  nfermltl2rev  48234  wtgoldbnnsum4prm  48293  bgoldbnnsum3prm  48295  bgoldbtbndlem1  48296  tgoldbach  48308  grtriclwlk3  48436  gpg3kgrtriexlem2  48575  gpg3kgrtriexlem5  48578  gpg3kgrtriexlem6  48579  gpg3kgrtriex  48580