Theorem 3nn 12035

Description: 3 is a positive integer. (Contributed by NM, 8-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
3nn	⊢ 3 ∈ ℕ

Proof of Theorem 3nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-3 12020	. 2 ⊢ 3 = (2 + 1)
2		2nn 12029	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
3		peano2nn 11968	. . 3 ⊢ (2 ∈ ℕ → (2 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (2 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2836	1 ⊢ 3 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7268  1c1 10856   + caddc 10858  ℕcn 11956  2c2 12011  3c3 12012

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pr 5355  ax-un 7579  ax-1cn 10913

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-pss 3910  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4845  df-iun 4931  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-tr 5196  df-id 5488  df-eprel 5494  df-po 5502  df-so 5503  df-fr 5543  df-we 5545  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-pred 6199  df-ord 6266  df-on 6267  df-lim 6268  df-suc 6269  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-ov 7271  df-om 7701  df-2nd 7818  df-frecs 8081  df-wrecs 8112  df-recs 8186  df-rdg 8225  df-nn 11957  df-2 12019  df-3 12020

This theorem is referenced by:  4nn  12039  3nn0  12234  3z  12336  ige3m2fz  13262  f1oun2prg  14611  sqrlem7  14941  bpoly4  15750  fsumcube  15751  sin01bnd  15875  egt2lt3  15896  rpnnen2lem2  15905  rpnnen2lem3  15906  rpnnen2lem4  15907  rpnnen2lem9  15912  rpnnen2lem11  15914  3lcm2e6woprm  16301  3lcm2e6  16417  prmo3  16723  5prm  16791  6nprm  16792  7prm  16793  9nprm  16795  11prm  16797  13prm  16798  17prm  16799  19prm  16800  23prm  16801  prmlem2  16802  37prm  16803  43prm  16804  83prm  16805  139prm  16806  163prm  16807  317prm  16808  631prm  16809  1259lem5  16817  2503lem1  16819  2503lem2  16820  2503lem3  16821  4001lem4  16826  4001prm  16827  mulrndx  16984  mulrid  16985  rngstr  16989  unifndx  17086  unifid  17087  unifndxnn  17088  slotsdifunifndx  17092  lt6abl  19477  sramulrOLD  20427  cnfldstr  20580  cnfldfunOLD  20591  zlmmulrOLD  20706  znmulOLD  20730  opsrmulrOLD  21238  tuslemOLD  23400  tngmulrOLD  23785  tangtx  25643  1cubrlem  25972  1cubr  25973  dcubic1lem  25974  dcubic2  25975  dcubic  25977  mcubic  25978  cubic2  25979  cubic  25980  quartlem3  25990  quart  25992  log2cnv  26075  log2tlbnd  26076  log2ublem1  26077  log2ublem2  26078  log2ub  26080  ppiublem1  26331  ppiub  26333  chtub  26341  bposlem3  26415  bposlem4  26416  bposlem5  26417  bposlem6  26418  bposlem9  26421  lgsdir2lem5  26458  dchrvmasumlem2  26627  dchrvmasumlema  26629  pntleml  26740  tgcgr4  26873  axlowdimlem16  27306  axlowdimlem17  27307  usgrexmpldifpr  27606  upgr3v3e3cycl  28523  ex-cnv  28780  ex-rn  28783  ex-mod  28792  resvmulrOLD  31518  fib4  32350  circlevma  32601  circlemethhgt  32602  hgt750lema  32616  sinccvglem  33609  cnndvlem1  34696  mblfinlem3  35795  itg2addnclem2  35808  itg2addnc  35810  hlhilsmulOLD  39938  lcm3un  40003  aks4d1p1  40064  3cubeslem2  40487  3cubeslem3r  40489  3cubes  40492  rmydioph  40816  rmxdioph  40818  expdiophlem2  40824  expdioph  40825  amgm3d  41763  lhe4.4ex1a  41900  257prm  44965  fmtno4prmfac193  44977  fmtno4nprmfac193  44978  3ndvds4  44999  139prmALT  45000  31prm  45001  127prm  45003  41prothprm  45023  341fppr2  45138  nfermltl2rev  45147  wtgoldbnnsum4prm  45206  bgoldbnnsum3prm  45208  bgoldbtbndlem1  45209  tgoldbach  45221