Theorem 3nn 12255

Description: 3 is a positive integer. (Contributed by NM, 8-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
3nn	⊢ 3 ∈ ℕ

Proof of Theorem 3nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-3 12240	. 2 ⊢ 3 = (2 + 1)
2		2nn 12249	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
3		peano2nn 12181	. . 3 ⊢ (2 ∈ ℕ → (2 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (2 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2837	1 ⊢ 3 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2121  (class class class)co 7359  1c1 11035   + caddc 11037  ℕcn 12169  2c2 12231  3c3 12232

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pr 5364  ax-un 7681  ax-1cn 11092

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-ral 3056  df-rex 3066  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3725  df-csb 3833  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3904  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-ov 7362  df-om 7810  df-2nd 7934  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8343  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240

This theorem is referenced by:  4nn  12259  3ne0  12282  3nn0  12450  3z  12555  ige3m2fz  13497  fvf1tp  13743  tpf1ofv0  14453  tpf1ofv1  14454  tpf1ofv2  14455  tpfo  14457  f1oun2prg  14874  01sqrexlem7  15205  bpoly4  16019  fsumcube  16020  sin01bnd  16147  egt2lt3  16168  rpnnen2lem2  16177  rpnnen2lem3  16178  rpnnen2lem4  16179  rpnnen2lem9  16184  rpnnen2lem11  16186  5ndvds3  16377  3lcm2e6woprm  16579  3lcm2e6  16697  prmo3  17007  5prm  17074  6nprm  17075  7prm  17076  9nprm  17078  11prm  17080  13prm  17081  17prm  17082  19prm  17083  23prm  17084  prmlem2  17085  37prm  17086  43prm  17087  83prm  17088  139prm  17089  163prm  17090  317prm  17091  631prm  17092  1259lem5  17100  2503lem1  17102  2503lem2  17103  2503lem3  17104  4001lem4  17109  4001prm  17110  mulrndx  17252  mulridx  17253  rngstr  17256  unifndx  17353  unifid  17354  unifndxnn  17355  slotsdifunifndx  17359  lt6abl  19864  cnfldstr  21352  tangtx  26490  1cubrlem  26826  1cubr  26827  dcubic1lem  26828  dcubic2  26829  dcubic  26831  mcubic  26832  cubic2  26833  cubic  26834  quartlem3  26844  quart  26846  log2cnv  26929  log2tlbnd  26930  log2ublem1  26931  log2ublem2  26932  log2ub  26934  ppiublem1  27186  ppiub  27188  chtub  27196  bposlem3  27270  bposlem4  27271  bposlem5  27272  bposlem6  27273  bposlem9  27276  lgsdir2lem5  27313  dchrvmasumlem2  27482  dchrvmasumlema  27484  pntleml  27595  tgcgr4  28619  axlowdimlem16  29046  axlowdimlem17  29047  usgrexmpldifpr  29347  upgr3v3e3cycl  30270  ex-cnv  30527  ex-rn  30530  ex-mod  30539  2sqr3minply  33974  cos9thpiminplylem1  33976  cos9thpiminplylem2  33977  cos9thpiminplylem5  33980  fib4  34598  circlevma  34836  circlemethhgt  34837  hgt750lema  34851  sinccvglem  35913  cnndvlem1  36856  mblfinlem3  38039  itg2addnclem2  38052  itg2addnc  38054  lcm3un  42513  aks4d1p1  42574  3cubeslem2  43147  3cubeslem3r  43149  3cubes  43152  rmydioph  43472  rmxdioph  43474  expdiophlem2  43480  expdioph  43481  amgm3d  44656  lhe4.4ex1a  44786  modm2nep1  47847  modm1nep2  47849  257prm  48051  fmtno4prmfac193  48063  fmtno4nprmfac193  48064  3ndvds4  48085  139prmALT  48086  31prm  48087  127prm  48089  41prothprm  48109  341fppr2  48237  nfermltl2rev  48246  wtgoldbnnsum4prm  48305  bgoldbnnsum3prm  48307  bgoldbtbndlem1  48308  tgoldbach  48320  grtriclwlk3  48448  gpg3kgrtriexlem2  48587  gpg3kgrtriexlem5  48590  gpg3kgrtriexlem6  48591  gpg3kgrtriex  48592