MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  3nn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 3nn 11704
Description: 3 is a positive integer. (Contributed by NM, 8-Jan-2006.)
Assertion
Ref Expression
3nn 3 ∈ ℕ

Proof of Theorem 3nn
StepHypRef Expression
1 df-3 11689 . 2 3 = (2 + 1)
2 2nn 11698 . . 3 2 ∈ ℕ
3 peano2nn 11638 . . 3 (2 ∈ ℕ → (2 + 1) ∈ ℕ)
42, 3ax-mp 5 . 2 (2 + 1) ∈ ℕ
51, 4eqeltri 2906 1 3 ∈ ℕ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2105  (class class class)co 7145  1c1 10526   + caddc 10528  cn 11626  2c2 11680  3c3 11681
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-1cn 10583
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-ov 7148  df-om 7570  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689
This theorem is referenced by:  4nn  11708  3nn0  11903  3z  12003  ige3m2fz  12919  f1oun2prg  14267  sqrlem7  14596  bpoly4  15401  fsumcube  15402  sin01bnd  15526  egt2lt3  15547  rpnnen2lem2  15556  rpnnen2lem3  15557  rpnnen2lem4  15558  rpnnen2lem9  15563  rpnnen2lem11  15565  3lcm2e6woprm  15947  3lcm2e6  16060  prmo3  16365  5prm  16430  6nprm  16431  7prm  16432  9nprm  16434  11prm  16436  13prm  16437  17prm  16438  19prm  16439  23prm  16440  prmlem2  16441  37prm  16442  43prm  16443  83prm  16444  139prm  16445  163prm  16446  317prm  16447  631prm  16448  1259lem5  16456  2503lem1  16458  2503lem2  16459  2503lem3  16460  4001lem4  16465  4001prm  16466  mulrndx  16603  mulrid  16604  rngstr  16607  ressmulr  16613  unifndx  16665  unifid  16666  lt6abl  18944  sramulr  19881  opsrmulr  20189  cnfldstr  20475  cnfldfun  20485  zlmmulr  20595  znmul  20616  ressunif  22798  tuslem  22803  tngmulr  23180  tangtx  25018  1cubrlem  25346  1cubr  25347  dcubic1lem  25348  dcubic2  25349  dcubic  25351  mcubic  25352  cubic2  25353  cubic  25354  quartlem3  25364  quart  25366  log2cnv  25449  log2tlbnd  25450  log2ublem1  25451  log2ublem2  25452  log2ub  25454  ppiublem1  25705  ppiub  25707  chtub  25715  bposlem3  25789  bposlem4  25790  bposlem5  25791  bposlem6  25792  bposlem9  25795  lgsdir2lem5  25832  dchrvmasumlem2  26001  dchrvmasumlema  26003  pntleml  26114  tgcgr4  26244  axlowdimlem16  26670  axlowdimlem17  26671  usgrexmpldifpr  26967  upgr3v3e3cycl  27886  ex-cnv  28143  ex-rn  28146  ex-mod  28155  resvmulr  30835  fib4  31561  circlevma  31812  circlemethhgt  31813  hgt750lema  31827  sinccvglem  32812  cnndvlem1  33773  mblfinlem3  34812  itg2addnclem2  34825  itg2addnclem3  34826  itg2addnc  34827  hlhilsmul  38957  3cubeslem2  39160  3cubeslem3r  39162  3cubes  39165  rmydioph  39489  rmxdioph  39491  expdiophlem2  39497  expdioph  39498  amgm3d  40430  lhe4.4ex1a  40538  257prm  43600  fmtno4prmfac193  43612  fmtno4nprmfac193  43613  3ndvds4  43635  139prmALT  43636  31prm  43637  127prm  43640  41prothprm  43661  341fppr2  43776  nfermltl2rev  43785  wtgoldbnnsum4prm  43844  bgoldbnnsum3prm  43846  bgoldbtbndlem1  43847  tgoldbach  43859
  Copyright terms: Public domain W3C validator