Theorem 3nn 12344

Description: 3 is a positive integer. (Contributed by NM, 8-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
3nn	⊢ 3 ∈ ℕ

Proof of Theorem 3nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-3 12328	. 2 ⊢ 3 = (2 + 1)
2		2nn 12338	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
3		peano2nn 12269	. . 3 ⊢ (2 ∈ ℕ → (2 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (2 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2856	1 ⊢ 3 ∈ ℕ

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7413  1c1 11125   + caddc 11127  ℕcn 12257  2c2 12319  3c3 12320

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-1cn 11182

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7416  df-om 7863  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-nn 12258  df-2 12327  df-3 12328

This theorem is used by:  4nn  12348  3pos  12373  3ne0  12374  3nn0  12546  3z  12651  ige3m2fz  13603  fvf1tp  13850  tpf1ofv0  14561  tpf1ofv1  14562  tpf1ofv2  14563  tpfo  14565  f1oun2prg  14988  01sqrexlem7  15335  bpoly4  16145  fsumcube  16146  sin01bnd  16273  egt2lt3  16294  rpnnen2lem2  16303  rpnnen2lem3  16304  rpnnen2lem4  16305  rpnnen2lem9  16310  rpnnen2lem11  16312  5ndvds3  16503  3lcm2e6woprm  16705  3lcm2e6  16823  prmo3  17133  5prm  17200  6nprm  17201  7prm  17202  9nprm  17204  11prm  17207  13prm  17208  17prm  17209  19prm  17210  23prm  17211  prmlem2  17212  37prm  17213  43prm  17214  83prm  17215  139prm  17216  163prm  17217  317prm  17218  631prm  17219  1259lem5  17227  2503lem1  17229  2503lem2  17230  2503lem3  17231  4001lem4  17236  4001prm  17237  mulrndx  17379  mulridx  17380  rngstr  17383  unifndx  17480  unifid  17481  unifndxnn  17482  slotsdifunifndx  17486  lt6abl  20022  cnfldstr  21587  tangtx  26743  1cubrlem  27078  1cubr  27079  dcubic1lem  27080  dcubic2  27081  dcubic  27083  mcubic  27084  cubic2  27085  cubic  27086  quartlem3  27096  quart  27098  log2cnv  27181  log2tlbnd  27182  log2ublem1  27183  log2ublem2  27184  log2ub  27186  ppiublem1  27438  ppiub  27440  chtub  27448  bposlem3  27522  bposlem4  27523  bposlem5  27524  bposlem6  27525  bposlem9  27528  lgsdir2lem5  27565  dchrvmasumlem2  27734  dchrvmasumlema  27736  pntleml  27847  tgcgr4  28873  axlowdimlem16  29414  axlowdimlem17  29415  usgrexmpldifpr  29718  upgr3v3e3cycl  30660  ex-cnv  30917  ex-rn  30920  ex-mod  30929  2sqr3minply  34290  cos9thpiminplylem1  34292  cos9thpiminplylem2  34293  cos9thpiminplylem5  34296  fib4  34915  circlevma  35150  circlemethhgt  35151  hgt750lema  35165  sinccvglem  36251  cnndvlem1  37234  mblfinlem3  38408  itg2addnclem2  38421  itg2addnc  38423  lcm3un  42881  aks4d1p1  42942  3cubeslem2  43530  3cubeslem3r  43532  3cubes  43535  rmydioph  43855  rmxdioph  43857  expdiophlem2  43863  expdioph  43864  amgm3d  45039  lhe4.4ex1a  45153  modm2nep1  48260  modm1nep2  48262  257prm  48464  fmtno4prmfac193  48476  fmtno4nprmfac193  48477  3ndvds4  48498  139prmALT  48499  31prm  48500  127prm  48502  41prothprm  48522  341fppr2  48650  nfermltl2rev  48659  wtgoldbnnsum4prm  48718  bgoldbnnsum3prm  48720  bgoldbtbndlem1  48721  tgoldbach  48733  grtriclwlk3  48861  gpg3kgrtriexlem2  49000  gpg3kgrtriexlem5  49003  gpg3kgrtriexlem6  49004  gpg3kgrtriex  49005  1elfz13  50776  2elfz13  50777  3elfz13  50778  veronesevrowd  50812  veroquadgsumlem  50816