Theorem 3nn 12215

Description: 3 is a positive integer. (Contributed by NM, 8-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
3nn	⊢ 3 ∈ ℕ

Proof of Theorem 3nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-3 12200	. 2 ⊢ 3 = (2 + 1)
2		2nn 12209	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
3		peano2nn 12148	. . 3 ⊢ (2 ∈ ℕ → (2 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (2 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2829	1 ⊢ 3 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2113  (class class class)co 7355  1c1 11018   + caddc 11020  ℕcn 12136  2c2 12191  3c3 12192

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-1cn 11075

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-ov 7358  df-om 7806  df-2nd 7931  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-nn 12137  df-2 12199  df-3 12200

This theorem is referenced by:  4nn  12219  3ne0  12242  3nn0  12410  3z  12515  ige3m2fz  13455  fvf1tp  13700  tpf1ofv0  14410  tpf1ofv1  14411  tpf1ofv2  14412  tpfo  14414  f1oun2prg  14831  01sqrexlem7  15162  bpoly4  15973  fsumcube  15974  sin01bnd  16101  egt2lt3  16122  rpnnen2lem2  16131  rpnnen2lem3  16132  rpnnen2lem4  16133  rpnnen2lem9  16138  rpnnen2lem11  16140  5ndvds3  16331  3lcm2e6woprm  16533  3lcm2e6  16650  prmo3  16960  5prm  17027  6nprm  17028  7prm  17029  9nprm  17031  11prm  17033  13prm  17034  17prm  17035  19prm  17036  23prm  17037  prmlem2  17038  37prm  17039  43prm  17040  83prm  17041  139prm  17042  163prm  17043  317prm  17044  631prm  17045  1259lem5  17053  2503lem1  17055  2503lem2  17056  2503lem3  17057  4001lem4  17062  4001prm  17063  mulrndx  17205  mulridx  17206  rngstr  17209  unifndx  17306  unifid  17307  unifndxnn  17308  slotsdifunifndx  17312  lt6abl  19815  cnfldstr  21302  cnfldstrOLD  21317  tangtx  26461  1cubrlem  26798  1cubr  26799  dcubic1lem  26800  dcubic2  26801  dcubic  26803  mcubic  26804  cubic2  26805  cubic  26806  quartlem3  26816  quart  26818  log2cnv  26901  log2tlbnd  26902  log2ublem1  26903  log2ublem2  26904  log2ub  26906  ppiublem1  27160  ppiub  27162  chtub  27170  bposlem3  27244  bposlem4  27245  bposlem5  27246  bposlem6  27247  bposlem9  27250  lgsdir2lem5  27287  dchrvmasumlem2  27456  dchrvmasumlema  27458  pntleml  27569  tgcgr4  28529  axlowdimlem16  28956  axlowdimlem17  28957  usgrexmpldifpr  29257  upgr3v3e3cycl  30181  ex-cnv  30438  ex-rn  30441  ex-mod  30450  2sqr3minply  33865  cos9thpiminplylem1  33867  cos9thpiminplylem2  33868  cos9thpiminplylem5  33871  fib4  34489  circlevma  34727  circlemethhgt  34728  hgt750lema  34742  sinccvglem  35788  cnndvlem1  36653  mblfinlem3  37772  itg2addnclem2  37785  itg2addnc  37787  lcm3un  42181  aks4d1p1  42242  3cubeslem2  42842  3cubeslem3r  42844  3cubes  42847  rmydioph  43171  rmxdioph  43173  expdiophlem2  43179  expdioph  43180  amgm3d  44356  lhe4.4ex1a  44486  modm2nep1  47528  modm1nep2  47530  257prm  47723  fmtno4prmfac193  47735  fmtno4nprmfac193  47736  3ndvds4  47757  139prmALT  47758  31prm  47759  127prm  47761  41prothprm  47781  341fppr2  47896  nfermltl2rev  47905  wtgoldbnnsum4prm  47964  bgoldbnnsum3prm  47966  bgoldbtbndlem1  47967  tgoldbach  47979  grtriclwlk3  48107  gpg3kgrtriexlem2  48246  gpg3kgrtriexlem5  48249  gpg3kgrtriexlem6  48250  gpg3kgrtriex  48251