Theorem 3nn 12345

Description: 3 is a positive integer. (Contributed by NM, 8-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
3nn	⊢ 3 ∈ ℕ

Proof of Theorem 3nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-3 12330	. 2 ⊢ 3 = (2 + 1)
2		2nn 12339	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
3		peano2nn 12278	. . 3 ⊢ (2 ∈ ℕ → (2 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (2 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2837	1 ⊢ 3 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7431  1c1 11156   + caddc 11158  ℕcn 12266  2c2 12321  3c3 12322

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-1cn 11213

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330

This theorem is referenced by:  4nn  12349  3nn0  12544  3z  12650  ige3m2fz  13588  fvf1tp  13829  tpf1ofv0  14535  tpf1ofv1  14536  tpf1ofv2  14537  tpfo  14539  f1oun2prg  14956  01sqrexlem7  15287  bpoly4  16095  fsumcube  16096  sin01bnd  16221  egt2lt3  16242  rpnnen2lem2  16251  rpnnen2lem3  16252  rpnnen2lem4  16253  rpnnen2lem9  16258  rpnnen2lem11  16260  5ndvds3  16450  3lcm2e6woprm  16652  3lcm2e6  16769  prmo3  17079  5prm  17146  6nprm  17147  7prm  17148  9nprm  17150  11prm  17152  13prm  17153  17prm  17154  19prm  17155  23prm  17156  prmlem2  17157  37prm  17158  43prm  17159  83prm  17160  139prm  17161  163prm  17162  317prm  17163  631prm  17164  1259lem5  17172  2503lem1  17174  2503lem2  17175  2503lem3  17176  4001lem4  17181  4001prm  17182  mulrndx  17337  mulridx  17338  rngstr  17342  unifndx  17439  unifid  17440  unifndxnn  17441  slotsdifunifndx  17445  lt6abl  19913  sramulrOLD  21182  cnfldstr  21366  cnfldstrOLD  21381  cnfldfunALTOLDOLD  21393  zlmmulrOLD  21534  znmulOLD  21560  opsrmulrOLD  22074  tuslemOLD  24276  tngmulrOLD  24661  tangtx  26547  1cubrlem  26884  1cubr  26885  dcubic1lem  26886  dcubic2  26887  dcubic  26889  mcubic  26890  cubic2  26891  cubic  26892  quartlem3  26902  quart  26904  log2cnv  26987  log2tlbnd  26988  log2ublem1  26989  log2ublem2  26990  log2ub  26992  ppiublem1  27246  ppiub  27248  chtub  27256  bposlem3  27330  bposlem4  27331  bposlem5  27332  bposlem6  27333  bposlem9  27336  lgsdir2lem5  27373  dchrvmasumlem2  27542  dchrvmasumlema  27544  pntleml  27655  tgcgr4  28539  axlowdimlem16  28972  axlowdimlem17  28973  usgrexmpldifpr  29275  upgr3v3e3cycl  30199  ex-cnv  30456  ex-rn  30459  ex-mod  30468  resvmulrOLD  33366  2sqr3minply  33791  fib4  34406  circlevma  34657  circlemethhgt  34658  hgt750lema  34672  sinccvglem  35677  cnndvlem1  36538  mblfinlem3  37666  itg2addnclem2  37679  itg2addnc  37681  hlhilsmulOLD  41947  lcm3un  42016  aks4d1p1  42077  3cubeslem2  42696  3cubeslem3r  42698  3cubes  42701  rmydioph  43026  rmxdioph  43028  expdiophlem2  43034  expdioph  43035  amgm3d  44212  lhe4.4ex1a  44348  257prm  47548  fmtno4prmfac193  47560  fmtno4nprmfac193  47561  3ndvds4  47582  139prmALT  47583  31prm  47584  127prm  47586  41prothprm  47606  341fppr2  47721  nfermltl2rev  47730  wtgoldbnnsum4prm  47789  bgoldbnnsum3prm  47791  bgoldbtbndlem1  47792  tgoldbach  47804  grtriclwlk3  47912  gpg3kgrtriexlem2  48040  gpg3kgrtriexlem5  48043  gpg3kgrtriexlem6  48044  gpg3kgrtriex  48045  gpg5grlic  48047