MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  3nn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 3nn 11351
Description: 3 is a positive integer. (Contributed by NM, 8-Jan-2006.)
Assertion
Ref Expression
3nn 3 ∈ ℕ

Proof of Theorem 3nn
StepHypRef Expression
1 df-3 11336 . 2 3 = (2 + 1)
2 2nn 11345 . . 3 2 ∈ ℕ
3 peano2nn 11288 . . 3 (2 ∈ ℕ → (2 + 1) ∈ ℕ)
42, 3ax-mp 5 . 2 (2 + 1) ∈ ℕ
51, 4eqeltri 2840 1 3 ∈ ℕ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2155  (class class class)co 6842  1c1 10190   + caddc 10192  cn 11274  2c2 11327  3c3 11328
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-1cn 10247
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-ov 6845  df-om 7264  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336
This theorem is referenced by:  4nn  11356  3nn0  11558  3z  11657  ige3m2fz  12572  f1oun2prg  13948  sqrlem7  14276  bpoly4  15074  fsumcube  15075  ef01bndlem  15198  sin01bnd  15199  egt2lt3  15218  rpnnen2lem2  15228  rpnnen2lem3  15229  rpnnen2lem4  15230  rpnnen2lem9  15235  rpnnen2lem11  15237  3lcm2e6woprm  15611  3lcm2e6  15721  prmo3  16026  5prm  16091  6nprm  16092  7prm  16093  9nprm  16095  11prm  16097  13prm  16098  17prm  16099  19prm  16100  23prm  16101  prmlem2  16102  37prm  16103  43prm  16104  83prm  16105  139prm  16106  163prm  16107  317prm  16108  631prm  16109  1259lem5  16117  2503lem1  16119  2503lem2  16120  2503lem3  16121  4001lem4  16126  4001prm  16127  mulrndx  16270  mulrid  16271  rngstr  16274  ressmulr  16280  unifndx  16332  unifid  16333  lt6abl  18562  sramulr  19454  opsrmulr  19754  cnfldstr  20021  cnfldfun  20031  zlmmulr  20141  znmul  20162  ressunif  22345  tuslem  22350  tngmulr  22727  vitalilem4  23669  tangtx  24549  1cubrlem  24859  1cubr  24860  dcubic1lem  24861  dcubic2  24862  dcubic  24864  mcubic  24865  cubic2  24866  cubic  24867  quartlem3  24877  quart  24879  log2cnv  24962  log2tlbnd  24963  log2ublem1  24964  log2ublem2  24965  log2ub  24967  ppiublem1  25218  ppiub  25220  chtub  25228  bposlem3  25302  bposlem4  25303  bposlem5  25304  bposlem6  25305  bposlem9  25308  lgsdir2lem5  25345  dchrvmasumlem2  25478  dchrvmasumlema  25480  pntibndlem1  25569  pntibndlem2  25571  pntlema  25576  pntlemb  25577  pntleml  25591  tgcgr4  25717  axlowdimlem16  26128  axlowdimlem17  26129  usgrexmpldifpr  26429  upgr3v3e3cycl  27416  ex-cnv  27688  ex-rn  27691  ex-mod  27700  resvmulr  30217  fib4  30849  circlevma  31103  circlemethhgt  31104  hgt750lema  31118  sinccvglem  31944  cnndvlem1  32899  mblfinlem3  33804  itg2addnclem2  33817  itg2addnclem3  33818  itg2addnc  33819  hlhilsmul  37829  rmydioph  38190  rmxdioph  38192  expdiophlem2  38198  expdioph  38199  amgm3d  39108  lhe4.4ex1a  39134  257prm  42081  fmtno4prmfac193  42093  fmtno4nprmfac193  42094  3ndvds4  42118  139prmALT  42119  31prm  42120  127prm  42123  41prothprm  42144  wtgoldbnnsum4prm  42298  bgoldbnnsum3prm  42300  bgoldbtbndlem1  42301  tgoldbach  42313
  Copyright terms: Public domain W3C validator