Theorem 3nn 12426

Description: 3 is a positive integer. (Contributed by NM, 8-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
3nn	⊢ 3 ∈ ℕ

Proof of Theorem 3nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-3 12410	. 2 ⊢ 3 = (2 + 1)
2		2nn 12420	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
3		peano2nn 12351	. . 3 ⊢ (2 ∈ ℕ → (2 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (2 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2856	1 ⊢ 3 ∈ ℕ

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2144  (class class class)co 7421  1c1 11205   + caddc 11207  ℕcn 12339  2c2 12401  3c3 12402

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-1cn 11262

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-ov 7424  df-om 7879  df-2nd 8003  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-nn 12340  df-2 12409  df-3 12410

This theorem is used by:  4nn  12430  3pos  12455  3ne0  12456  3nn0  12628  3z  12733  ige3m2fz  13686  fvf1tp  13933  tpf1ofv0  14645  tpf1ofv1  14646  tpf1ofv2  14647  tpfo  14649  f1oun2prg  15074  01sqrexlem7  15421  bpoly4  16231  fsumcube  16232  sin01bnd  16359  egt2lt3  16380  rpnnen2lem2  16389  rpnnen2lem3  16390  rpnnen2lem4  16391  rpnnen2lem9  16396  rpnnen2lem11  16398  5ndvds3  16589  3lcm2e6woprm  16796  3lcm2e6  16914  prmo3  17225  5prm  17292  6nprm  17293  7prm  17294  9nprm  17296  11prm  17299  13prm  17300  17prm  17301  19prm  17302  23prm  17303  prmlem2  17304  37prm  17305  43prm  17306  83prm  17307  139prm  17308  163prm  17309  317prm  17310  631prm  17311  1259lem5  17319  2503lem1  17321  2503lem2  17322  2503lem3  17323  4001lem4  17328  4001prm  17329  mulrndx  17471  mulridx  17472  rngstr  17475  unifndx  17572  unifid  17573  unifndxnn  17574  slotsdifunifndx  17578  lt6abl  20115  cnfldstr  21686  tangtx  26840  1cubrlem  27175  1cubr  27176  dcubic1lem  27177  dcubic2  27178  dcubic  27180  mcubic  27181  cubic2  27182  cubic  27183  quartlem3  27193  quart  27195  log2cnv  27278  log2tlbnd  27279  log2ublem1  27280  log2ublem2  27281  log2ub  27283  ppiublem1  27535  ppiub  27537  chtub  27545  bposlem3  27619  bposlem4  27620  bposlem5  27621  bposlem6  27622  bposlem9  27625  lgsdir2lem5  27662  dchrvmasumlem2  27831  dchrvmasumlema  27833  pntleml  27944  fltoprm  28001  tgcgr4  29000  axlowdimlem16  29541  axlowdimlem17  29542  usgrexmpldifpr  29845  upgr3v3e3cycl  30787  ex-cnv  31044  ex-rn  31047  ex-mod  31056  2sqr3minply  34459  cos9thpiminplylem1  34461  cos9thpiminplylem2  34462  cos9thpiminplylem5  34465  fib4  35083  circlevma  35318  circlemethhgt  35319  hgt750lema  35333  sinccvglem  36524  cnndvlem1  37496  mblfinlem3  38671  itg2addnclem2  38684  itg2addnc  38686  lcm3un  43159  aks4d1p1  43220  3cubeslem2  43789  3cubeslem3r  43791  3cubes  43794  rmydioph  44115  rmxdioph  44117  expdiophlem2  44123  expdioph  44124  amgm3d  45293  lhe4.4ex1a  45407  modm2nep1  48536  modm1nep2  48538  257prm  48740  fmtno4prmfac193  48752  fmtno4nprmfac193  48753  3ndvds4  48774  139prmALT  48775  31prm  48776  127prm  48778  41prothprm  48798  341fppr2  48926  nfermltl2rev  48935  wtgoldbnnsum4prm  48994  bgoldbnnsum3prm  48996  bgoldbtbndlem1  48997  tgoldbach  49009  grtriclwlk3  49137  gpg3kgrtriexlem2  49276  gpg3kgrtriexlem5  49279  gpg3kgrtriexlem6  49280  gpg3kgrtriex  49281  1elfz13  51112  2elfz13  51113  3elfz13  51114  veronesevrowd  51148  veroquadgsumlem  51152