Theorem 3nn 12316

Description: 3 is a positive integer. (Contributed by NM, 8-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
3nn	⊢ 3 ∈ ℕ

Proof of Theorem 3nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-3 12300	. 2 ⊢ 3 = (2 + 1)
2		2nn 12310	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
3		peano2nn 12241	. . 3 ⊢ (2 ∈ ℕ → (2 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (2 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2865	1 ⊢ 3 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2149  (class class class)co 7408  1c1 11097   + caddc 11099  ℕcn 12229  2c2 12291  3c3 12292

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-1cn 11154

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7411  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-nn 12230  df-2 12299  df-3 12300

This theorem is referenced by:  4nn  12320  3pos  12345  3ne0  12346  3nn0  12518  3z  12623  ige3m2fz  13572  fvf1tp  13818  tpf1ofv0  14529  tpf1ofv1  14530  tpf1ofv2  14531  tpfo  14533  f1oun2prg  14950  01sqrexlem7  15295  bpoly4  16109  fsumcube  16110  sin01bnd  16237  egt2lt3  16258  rpnnen2lem2  16267  rpnnen2lem3  16268  rpnnen2lem4  16269  rpnnen2lem9  16274  rpnnen2lem11  16276  5ndvds3  16467  3lcm2e6woprm  16669  3lcm2e6  16787  prmo3  17097  5prm  17164  6nprm  17165  7prm  17166  9nprm  17168  11prm  17171  13prm  17172  17prm  17173  19prm  17174  23prm  17175  prmlem2  17176  37prm  17177  43prm  17178  83prm  17179  139prm  17180  163prm  17181  317prm  17182  631prm  17183  1259lem5  17191  2503lem1  17193  2503lem2  17194  2503lem3  17195  4001lem4  17200  4001prm  17201  mulrndx  17343  mulridx  17344  rngstr  17347  unifndx  17444  unifid  17445  unifndxnn  17446  slotsdifunifndx  17450  lt6abl  19961  cnfldstr  21489  tangtx  26632  1cubrlem  26968  1cubr  26969  dcubic1lem  26970  dcubic2  26971  dcubic  26973  mcubic  26974  cubic2  26975  cubic  26976  quartlem3  26986  quart  26988  log2cnv  27071  log2tlbnd  27072  log2ublem1  27073  log2ublem2  27074  log2ub  27076  ppiublem1  27328  ppiub  27330  chtub  27338  bposlem3  27412  bposlem4  27413  bposlem5  27414  bposlem6  27415  bposlem9  27418  lgsdir2lem5  27455  dchrvmasumlem2  27624  dchrvmasumlema  27626  pntleml  27737  tgcgr4  28762  axlowdimlem16  29244  axlowdimlem17  29245  usgrexmpldifpr  29545  upgr3v3e3cycl  30468  ex-cnv  30725  ex-rn  30728  ex-mod  30737  2sqr3minply  34111  cos9thpiminplylem1  34113  cos9thpiminplylem2  34114  cos9thpiminplylem5  34117  fib4  34735  circlevma  34970  circlemethhgt  34971  hgt750lema  34985  sinccvglem  36059  cnndvlem1  37011  mblfinlem3  38193  itg2addnclem2  38206  itg2addnc  38208  lcm3un  42667  aks4d1p1  42728  3cubeslem2  43301  3cubeslem3r  43303  3cubes  43306  rmydioph  43626  rmxdioph  43628  expdiophlem2  43634  expdioph  43635  amgm3d  44810  lhe4.4ex1a  44924  modm2nep1  47991  modm1nep2  47993  257prm  48195  fmtno4prmfac193  48207  fmtno4nprmfac193  48208  3ndvds4  48229  139prmALT  48230  31prm  48231  127prm  48233  41prothprm  48253  341fppr2  48381  nfermltl2rev  48390  wtgoldbnnsum4prm  48449  bgoldbnnsum3prm  48451  bgoldbtbndlem1  48452  tgoldbach  48464  grtriclwlk3  48592  gpg3kgrtriexlem2  48731  gpg3kgrtriexlem5  48734  gpg3kgrtriexlem6  48735  gpg3kgrtriex  48736