Theorem 3nn 12415

Description: 3 is a positive integer. (Contributed by NM, 8-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
3nn	⊢ 3 ∈ ℕ

Proof of Theorem 3nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-3 12399	. 2 ⊢ 3 = (2 + 1)
2		2nn 12409	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
3		peano2nn 12340	. . 3 ⊢ (2 ∈ ℕ → (2 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (2 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2857	1 ⊢ 3 ∈ ℕ

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7418  1c1 11194   + caddc 11196  ℕcn 12328  2c2 12390  3c3 12391

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-1cn 11251

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7421  df-om 7876  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-nn 12329  df-2 12398  df-3 12399

This theorem is used by:  4nn  12419  3pos  12444  3ne0  12445  3nn0  12617  3z  12722  ige3m2fz  13675  fvf1tp  13922  tpf1ofv0  14634  tpf1ofv1  14635  tpf1ofv2  14636  tpfo  14638  f1oun2prg  15061  01sqrexlem7  15408  bpoly4  16218  fsumcube  16219  sin01bnd  16346  egt2lt3  16367  rpnnen2lem2  16376  rpnnen2lem3  16377  rpnnen2lem4  16378  rpnnen2lem9  16383  rpnnen2lem11  16385  5ndvds3  16576  3lcm2e6woprm  16783  3lcm2e6  16901  prmo3  17212  5prm  17279  6nprm  17280  7prm  17281  9nprm  17283  11prm  17286  13prm  17287  17prm  17288  19prm  17289  23prm  17290  prmlem2  17291  37prm  17292  43prm  17293  83prm  17294  139prm  17295  163prm  17296  317prm  17297  631prm  17298  1259lem5  17306  2503lem1  17308  2503lem2  17309  2503lem3  17310  4001lem4  17315  4001prm  17316  mulrndx  17458  mulridx  17459  rngstr  17462  unifndx  17559  unifid  17560  unifndxnn  17561  slotsdifunifndx  17565  lt6abl  20102  cnfldstr  21673  tangtx  26827  1cubrlem  27162  1cubr  27163  dcubic1lem  27164  dcubic2  27165  dcubic  27167  mcubic  27168  cubic2  27169  cubic  27170  quartlem3  27180  quart  27182  log2cnv  27265  log2tlbnd  27266  log2ublem1  27267  log2ublem2  27268  log2ub  27270  ppiublem1  27522  ppiub  27524  chtub  27532  bposlem3  27606  bposlem4  27607  bposlem5  27608  bposlem6  27609  bposlem9  27612  lgsdir2lem5  27649  dchrvmasumlem2  27818  dchrvmasumlema  27820  pntleml  27931  fltoprm  27988  tgcgr4  28987  axlowdimlem16  29528  axlowdimlem17  29529  usgrexmpldifpr  29832  upgr3v3e3cycl  30774  ex-cnv  31031  ex-rn  31034  ex-mod  31043  2sqr3minply  34405  cos9thpiminplylem1  34407  cos9thpiminplylem2  34408  cos9thpiminplylem5  34411  fib4  35029  circlevma  35264  circlemethhgt  35265  hgt750lema  35279  sinccvglem  36416  cnndvlem1  37383  mblfinlem3  38557  itg2addnclem2  38570  itg2addnc  38572  lcm3un  43045  aks4d1p1  43106  3cubeslem2  43675  3cubeslem3r  43677  3cubes  43680  rmydioph  44000  rmxdioph  44002  expdiophlem2  44008  expdioph  44009  amgm3d  45184  lhe4.4ex1a  45298  modm2nep1  48411  modm1nep2  48413  257prm  48615  fmtno4prmfac193  48627  fmtno4nprmfac193  48628  3ndvds4  48649  139prmALT  48650  31prm  48651  127prm  48653  41prothprm  48673  341fppr2  48801  nfermltl2rev  48810  wtgoldbnnsum4prm  48869  bgoldbnnsum3prm  48871  bgoldbtbndlem1  48872  tgoldbach  48884  grtriclwlk3  49012  gpg3kgrtriexlem2  49151  gpg3kgrtriexlem5  49154  gpg3kgrtriexlem6  49155  gpg3kgrtriex  49156  1elfz13  50912  2elfz13  50913  3elfz13  50914  veronesevrowd  50948  veroquadgsumlem  50952