MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  3nn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 3nn 11705
Description: 3 is a positive integer. (Contributed by NM, 8-Jan-2006.)
Assertion
Ref Expression
3nn 3 ∈ ℕ

Proof of Theorem 3nn
StepHypRef Expression
1 df-3 11690 . 2 3 = (2 + 1)
2 2nn 11699 . . 3 2 ∈ ℕ
3 peano2nn 11639 . . 3 (2 ∈ ℕ → (2 + 1) ∈ ℕ)
42, 3ax-mp 5 . 2 (2 + 1) ∈ ℕ
51, 4eqeltri 2909 1 3 ∈ ℕ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2105  (class class class)co 7145  1c1 10527   + caddc 10529  cn 11627  2c2 11681  3c3 11682
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7450  ax-1cn 10584
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4833  df-iun 4914  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-ov 7148  df-om 7569  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-nn 11628  df-2 11689  df-3 11690
This theorem is referenced by:  4nn  11709  3nn0  11904  3z  12004  ige3m2fz  12921  f1oun2prg  14269  sqrlem7  14598  bpoly4  15403  fsumcube  15404  sin01bnd  15528  egt2lt3  15549  rpnnen2lem2  15558  rpnnen2lem3  15559  rpnnen2lem4  15560  rpnnen2lem9  15565  rpnnen2lem11  15567  3lcm2e6woprm  15949  3lcm2e6  16062  prmo3  16367  5prm  16432  6nprm  16433  7prm  16434  9nprm  16436  11prm  16438  13prm  16439  17prm  16440  19prm  16441  23prm  16442  prmlem2  16443  37prm  16444  43prm  16445  83prm  16446  139prm  16447  163prm  16448  317prm  16449  631prm  16450  1259lem5  16458  2503lem1  16460  2503lem2  16461  2503lem3  16462  4001lem4  16467  4001prm  16468  mulrndx  16605  mulrid  16606  rngstr  16609  ressmulr  16615  unifndx  16667  unifid  16668  lt6abl  18946  sramulr  19883  opsrmulr  20191  cnfldstr  20477  cnfldfun  20487  zlmmulr  20597  znmul  20618  ressunif  22800  tuslem  22805  tngmulr  23182  tangtx  25020  1cubrlem  25346  1cubr  25347  dcubic1lem  25348  dcubic2  25349  dcubic  25351  mcubic  25352  cubic2  25353  cubic  25354  quartlem3  25364  quart  25366  log2cnv  25450  log2tlbnd  25451  log2ublem1  25452  log2ublem2  25453  log2ub  25455  ppiublem1  25706  ppiub  25708  chtub  25716  bposlem3  25790  bposlem4  25791  bposlem5  25792  bposlem6  25793  bposlem9  25796  lgsdir2lem5  25833  dchrvmasumlem2  26002  dchrvmasumlema  26004  pntleml  26115  tgcgr4  26245  axlowdimlem16  26671  axlowdimlem17  26672  usgrexmpldifpr  26968  upgr3v3e3cycl  27887  ex-cnv  28144  ex-rn  28147  ex-mod  28156  resvmulr  30836  fib4  31562  circlevma  31813  circlemethhgt  31814  hgt750lema  31828  sinccvglem  32813  cnndvlem1  33774  mblfinlem3  34813  itg2addnclem2  34826  itg2addnclem3  34827  itg2addnc  34828  hlhilsmul  38959  3cubeslem2  39162  3cubeslem3r  39164  3cubes  39167  rmydioph  39491  rmxdioph  39493  expdiophlem2  39499  expdioph  39500  amgm3d  40433  lhe4.4ex1a  40541  257prm  43570  fmtno4prmfac193  43582  fmtno4nprmfac193  43583  3ndvds4  43605  139prmALT  43606  31prm  43607  127prm  43610  41prothprm  43631  341fppr2  43746  nfermltl2rev  43755  wtgoldbnnsum4prm  43814  bgoldbnnsum3prm  43816  bgoldbtbndlem1  43817  tgoldbach  43829
  Copyright terms: Public domain W3C validator