Theorem 3nn 12331

Description: 3 is a positive integer. (Contributed by NM, 8-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
3nn	⊢ 3 ∈ ℕ

Proof of Theorem 3nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-3 12315	. 2 ⊢ 3 = (2 + 1)
2		2nn 12325	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
3		peano2nn 12256	. . 3 ⊢ (2 ∈ ℕ → (2 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (2 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2861	1 ⊢ 3 ∈ ℕ

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2146  (class class class)co 7416  1c1 11112   + caddc 11114  ℕcn 12244  2c2 12306  3c3 12307

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-1cn 11169

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7419  df-om 7865  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-nn 12245  df-2 12314  df-3 12315

This theorem is used by:  4nn  12335  3pos  12360  3ne0  12361  3nn0  12533  3z  12638  ige3m2fz  13588  fvf1tp  13835  tpf1ofv0  14546  tpf1ofv1  14547  tpf1ofv2  14548  tpfo  14550  f1oun2prg  14973  01sqrexlem7  15318  bpoly4  16130  fsumcube  16131  sin01bnd  16258  egt2lt3  16279  rpnnen2lem2  16288  rpnnen2lem3  16289  rpnnen2lem4  16290  rpnnen2lem9  16295  rpnnen2lem11  16297  5ndvds3  16488  3lcm2e6woprm  16690  3lcm2e6  16808  prmo3  17118  5prm  17185  6nprm  17186  7prm  17187  9nprm  17189  11prm  17192  13prm  17193  17prm  17194  19prm  17195  23prm  17196  prmlem2  17197  37prm  17198  43prm  17199  83prm  17200  139prm  17201  163prm  17202  317prm  17203  631prm  17204  1259lem5  17212  2503lem1  17214  2503lem2  17215  2503lem3  17216  4001lem4  17221  4001prm  17222  mulrndx  17364  mulridx  17365  rngstr  17368  unifndx  17465  unifid  17466  unifndxnn  17467  slotsdifunifndx  17471  lt6abl  19988  cnfldstr  21553  tangtx  26699  1cubrlem  27035  1cubr  27036  dcubic1lem  27037  dcubic2  27038  dcubic  27040  mcubic  27041  cubic2  27042  cubic  27043  quartlem3  27053  quart  27055  log2cnv  27138  log2tlbnd  27139  log2ublem1  27140  log2ublem2  27141  log2ub  27143  ppiublem1  27395  ppiub  27397  chtub  27405  bposlem3  27479  bposlem4  27480  bposlem5  27481  bposlem6  27482  bposlem9  27485  lgsdir2lem5  27522  dchrvmasumlem2  27691  dchrvmasumlema  27693  pntleml  27804  tgcgr4  28829  axlowdimlem16  29336  axlowdimlem17  29337  usgrexmpldifpr  29637  upgr3v3e3cycl  30560  ex-cnv  30817  ex-rn  30820  ex-mod  30829  2sqr3minply  34193  cos9thpiminplylem1  34195  cos9thpiminplylem2  34196  cos9thpiminplylem5  34199  fib4  34818  circlevma  35053  circlemethhgt  35054  hgt750lema  35068  sinccvglem  36177  cnndvlem1  37159  mblfinlem3  38343  itg2addnclem2  38356  itg2addnc  38358  lcm3un  42815  aks4d1p1  42876  3cubeslem2  43449  3cubeslem3r  43451  3cubes  43454  rmydioph  43774  rmxdioph  43776  expdiophlem2  43782  expdioph  43783  amgm3d  44958  lhe4.4ex1a  45072  modm2nep1  48142  modm1nep2  48144  257prm  48346  fmtno4prmfac193  48358  fmtno4nprmfac193  48359  3ndvds4  48380  139prmALT  48381  31prm  48382  127prm  48384  41prothprm  48404  341fppr2  48532  nfermltl2rev  48541  wtgoldbnnsum4prm  48600  bgoldbnnsum3prm  48602  bgoldbtbndlem1  48603  tgoldbach  48615  grtriclwlk3  48743  gpg3kgrtriexlem2  48882  gpg3kgrtriexlem5  48885  gpg3kgrtriexlem6  48886  gpg3kgrtriex  48887  3elfz13  50660