Theorem 3nn 12291

Description: 3 is a positive integer. (Contributed by NM, 8-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
3nn	⊢ 3 ∈ ℕ

Proof of Theorem 3nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-3 12276	. 2 ⊢ 3 = (2 + 1)
2		2nn 12285	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
3		peano2nn 12224	. . 3 ⊢ (2 ∈ ℕ → (2 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (2 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2830	1 ⊢ 3 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2107  (class class class)co 7409  1c1 11111   + caddc 11113  ℕcn 12212  2c2 12267  3c3 12268

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-1cn 11168

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276

This theorem is referenced by:  4nn  12295  3nn0  12490  3z  12595  ige3m2fz  13525  f1oun2prg  14868  01sqrexlem7  15195  bpoly4  16003  fsumcube  16004  sin01bnd  16128  egt2lt3  16149  rpnnen2lem2  16158  rpnnen2lem3  16159  rpnnen2lem4  16160  rpnnen2lem9  16165  rpnnen2lem11  16167  3lcm2e6woprm  16552  3lcm2e6  16668  prmo3  16974  5prm  17042  6nprm  17043  7prm  17044  9nprm  17046  11prm  17048  13prm  17049  17prm  17050  19prm  17051  23prm  17052  prmlem2  17053  37prm  17054  43prm  17055  83prm  17056  139prm  17057  163prm  17058  317prm  17059  631prm  17060  1259lem5  17068  2503lem1  17070  2503lem2  17071  2503lem3  17072  4001lem4  17077  4001prm  17078  mulrndx  17238  mulridx  17239  rngstr  17243  unifndx  17340  unifid  17341  unifndxnn  17342  slotsdifunifndx  17346  lt6abl  19763  sramulrOLD  20797  cnfldstr  20946  cnfldfunALTOLD  20958  zlmmulrOLD  21073  znmulOLD  21097  opsrmulrOLD  21611  tuslemOLD  23772  tngmulrOLD  24157  tangtx  26015  1cubrlem  26346  1cubr  26347  dcubic1lem  26348  dcubic2  26349  dcubic  26351  mcubic  26352  cubic2  26353  cubic  26354  quartlem3  26364  quart  26366  log2cnv  26449  log2tlbnd  26450  log2ublem1  26451  log2ublem2  26452  log2ub  26454  ppiublem1  26705  ppiub  26707  chtub  26715  bposlem3  26789  bposlem4  26790  bposlem5  26791  bposlem6  26792  bposlem9  26795  lgsdir2lem5  26832  dchrvmasumlem2  27001  dchrvmasumlema  27003  pntleml  27114  tgcgr4  27782  axlowdimlem16  28215  axlowdimlem17  28216  usgrexmpldifpr  28515  upgr3v3e3cycl  29433  ex-cnv  29690  ex-rn  29693  ex-mod  29702  resvmulrOLD  32454  fib4  33403  circlevma  33654  circlemethhgt  33655  hgt750lema  33669  sinccvglem  34657  cnndvlem1  35413  mblfinlem3  36527  itg2addnclem2  36540  itg2addnc  36542  hlhilsmulOLD  40816  lcm3un  40880  aks4d1p1  40941  3cubeslem2  41423  3cubeslem3r  41425  3cubes  41428  rmydioph  41753  rmxdioph  41755  expdiophlem2  41761  expdioph  41762  amgm3d  42951  lhe4.4ex1a  43088  257prm  46229  fmtno4prmfac193  46241  fmtno4nprmfac193  46242  3ndvds4  46263  139prmALT  46264  31prm  46265  127prm  46267  41prothprm  46287  341fppr2  46402  nfermltl2rev  46411  wtgoldbnnsum4prm  46470  bgoldbnnsum3prm  46472  bgoldbtbndlem1  46473  tgoldbach  46485