Theorem 3nn 12317

Description: 3 is a positive integer. (Contributed by NM, 8-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
3nn	⊢ 3 ∈ ℕ

Proof of Theorem 3nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-3 12302	. 2 ⊢ 3 = (2 + 1)
2		2nn 12311	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
3		peano2nn 12250	. . 3 ⊢ (2 ∈ ℕ → (2 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (2 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2830	1 ⊢ 3 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7403  1c1 11128   + caddc 11130  ℕcn 12238  2c2 12293  3c3 12294

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pr 5402  ax-un 7727  ax-1cn 11185

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-ov 7406  df-om 7860  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-nn 12239  df-2 12301  df-3 12302

This theorem is referenced by:  4nn  12321  3ne0  12344  3nn0  12517  3z  12623  ige3m2fz  13563  fvf1tp  13804  tpf1ofv0  14512  tpf1ofv1  14513  tpf1ofv2  14514  tpfo  14516  f1oun2prg  14934  01sqrexlem7  15265  bpoly4  16073  fsumcube  16074  sin01bnd  16201  egt2lt3  16222  rpnnen2lem2  16231  rpnnen2lem3  16232  rpnnen2lem4  16233  rpnnen2lem9  16238  rpnnen2lem11  16240  5ndvds3  16430  3lcm2e6woprm  16632  3lcm2e6  16749  prmo3  17059  5prm  17126  6nprm  17127  7prm  17128  9nprm  17130  11prm  17132  13prm  17133  17prm  17134  19prm  17135  23prm  17136  prmlem2  17137  37prm  17138  43prm  17139  83prm  17140  139prm  17141  163prm  17142  317prm  17143  631prm  17144  1259lem5  17152  2503lem1  17154  2503lem2  17155  2503lem3  17156  4001lem4  17161  4001prm  17162  mulrndx  17306  mulridx  17307  rngstr  17310  unifndx  17407  unifid  17408  unifndxnn  17409  slotsdifunifndx  17413  lt6abl  19874  cnfldstr  21315  cnfldstrOLD  21330  tangtx  26464  1cubrlem  26801  1cubr  26802  dcubic1lem  26803  dcubic2  26804  dcubic  26806  mcubic  26807  cubic2  26808  cubic  26809  quartlem3  26819  quart  26821  log2cnv  26904  log2tlbnd  26905  log2ublem1  26906  log2ublem2  26907  log2ub  26909  ppiublem1  27163  ppiub  27165  chtub  27173  bposlem3  27247  bposlem4  27248  bposlem5  27249  bposlem6  27250  bposlem9  27253  lgsdir2lem5  27290  dchrvmasumlem2  27459  dchrvmasumlema  27461  pntleml  27572  tgcgr4  28456  axlowdimlem16  28882  axlowdimlem17  28883  usgrexmpldifpr  29183  upgr3v3e3cycl  30107  ex-cnv  30364  ex-rn  30367  ex-mod  30376  2sqr3minply  33760  cos9thpiminplylem1  33762  cos9thpiminplylem2  33763  cos9thpiminplylem5  33766  fib4  34382  circlevma  34620  circlemethhgt  34621  hgt750lema  34635  sinccvglem  35640  cnndvlem1  36501  mblfinlem3  37629  itg2addnclem2  37642  itg2addnc  37644  lcm3un  41974  aks4d1p1  42035  3cubeslem2  42655  3cubeslem3r  42657  3cubes  42660  rmydioph  42985  rmxdioph  42987  expdiophlem2  42993  expdioph  42994  amgm3d  44170  lhe4.4ex1a  44301  257prm  47523  fmtno4prmfac193  47535  fmtno4nprmfac193  47536  3ndvds4  47557  139prmALT  47558  31prm  47559  127prm  47561  41prothprm  47581  341fppr2  47696  nfermltl2rev  47705  wtgoldbnnsum4prm  47764  bgoldbnnsum3prm  47766  bgoldbtbndlem1  47767  tgoldbach  47779  grtriclwlk3  47905  gpg3kgrtriexlem2  48034  gpg3kgrtriexlem5  48037  gpg3kgrtriexlem6  48038  gpg3kgrtriex  48039  gpg5grlic  48041