Theorem 3nn 12236

Description: 3 is a positive integer. (Contributed by NM, 8-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
3nn	⊢ 3 ∈ ℕ

Proof of Theorem 3nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-3 12221	. 2 ⊢ 3 = (2 + 1)
2		2nn 12230	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
3		peano2nn 12169	. . 3 ⊢ (2 ∈ ℕ → (2 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (2 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2833	1 ⊢ 3 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7368  1c1 11039   + caddc 11041  ℕcn 12157  2c2 12212  3c3 12213

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-1cn 11096

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7371  df-om 7819  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221

This theorem is referenced by:  4nn  12240  3ne0  12263  3nn0  12431  3z  12536  ige3m2fz  13476  fvf1tp  13721  tpf1ofv0  14431  tpf1ofv1  14432  tpf1ofv2  14433  tpfo  14435  f1oun2prg  14852  01sqrexlem7  15183  bpoly4  15994  fsumcube  15995  sin01bnd  16122  egt2lt3  16143  rpnnen2lem2  16152  rpnnen2lem3  16153  rpnnen2lem4  16154  rpnnen2lem9  16159  rpnnen2lem11  16161  5ndvds3  16352  3lcm2e6woprm  16554  3lcm2e6  16671  prmo3  16981  5prm  17048  6nprm  17049  7prm  17050  9nprm  17052  11prm  17054  13prm  17055  17prm  17056  19prm  17057  23prm  17058  prmlem2  17059  37prm  17060  43prm  17061  83prm  17062  139prm  17063  163prm  17064  317prm  17065  631prm  17066  1259lem5  17074  2503lem1  17076  2503lem2  17077  2503lem3  17078  4001lem4  17083  4001prm  17084  mulrndx  17226  mulridx  17227  rngstr  17230  unifndx  17327  unifid  17328  unifndxnn  17329  slotsdifunifndx  17333  lt6abl  19836  cnfldstr  21323  cnfldstrOLD  21338  tangtx  26482  1cubrlem  26819  1cubr  26820  dcubic1lem  26821  dcubic2  26822  dcubic  26824  mcubic  26825  cubic2  26826  cubic  26827  quartlem3  26837  quart  26839  log2cnv  26922  log2tlbnd  26923  log2ublem1  26924  log2ublem2  26925  log2ub  26927  ppiublem1  27181  ppiub  27183  chtub  27191  bposlem3  27265  bposlem4  27266  bposlem5  27267  bposlem6  27268  bposlem9  27271  lgsdir2lem5  27308  dchrvmasumlem2  27477  dchrvmasumlema  27479  pntleml  27590  tgcgr4  28615  axlowdimlem16  29042  axlowdimlem17  29043  usgrexmpldifpr  29343  upgr3v3e3cycl  30267  ex-cnv  30524  ex-rn  30527  ex-mod  30536  2sqr3minply  33957  cos9thpiminplylem1  33959  cos9thpiminplylem2  33960  cos9thpiminplylem5  33963  fib4  34581  circlevma  34819  circlemethhgt  34820  hgt750lema  34834  sinccvglem  35885  cnndvlem1  36756  mblfinlem3  37907  itg2addnclem2  37920  itg2addnc  37922  lcm3un  42382  aks4d1p1  42443  3cubeslem2  43039  3cubeslem3r  43041  3cubes  43044  rmydioph  43368  rmxdioph  43370  expdiophlem2  43376  expdioph  43377  amgm3d  44552  lhe4.4ex1a  44682  modm2nep1  47723  modm1nep2  47725  257prm  47918  fmtno4prmfac193  47930  fmtno4nprmfac193  47931  3ndvds4  47952  139prmALT  47953  31prm  47954  127prm  47956  41prothprm  47976  341fppr2  48091  nfermltl2rev  48100  wtgoldbnnsum4prm  48159  bgoldbnnsum3prm  48161  bgoldbtbndlem1  48162  tgoldbach  48174  grtriclwlk3  48302  gpg3kgrtriexlem2  48441  gpg3kgrtriexlem5  48444  gpg3kgrtriexlem6  48445  gpg3kgrtriex  48446