Theorem 3nn 11564

Description: 3 is a positive integer. (Contributed by NM, 8-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
3nn	⊢ 3 ∈ ℕ

Proof of Theorem 3nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-3 11549	. 2 ⊢ 3 = (2 + 1)
2		2nn 11558	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
3		peano2nn 11498	. . 3 ⊢ (2 ∈ ℕ → (2 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (2 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2879	1 ⊢ 3 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2081  (class class class)co 7016  1c1 10384   + caddc 10386  ℕcn 11486  2c2 11540  3c3 11541

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-1cn 10441

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-iun 4827  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-ov 7019  df-om 7437  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-nn 11487  df-2 11548  df-3 11549

This theorem is referenced by:  4nn  11568  3nn0  11763  3z  11864  ige3m2fz  12781  f1oun2prg  14115  sqrlem7  14442  bpoly4  15246  fsumcube  15247  sin01bnd  15371  egt2lt3  15392  rpnnen2lem2  15401  rpnnen2lem3  15402  rpnnen2lem4  15403  rpnnen2lem9  15408  rpnnen2lem11  15410  3lcm2e6woprm  15788  3lcm2e6  15901  prmo3  16206  5prm  16271  6nprm  16272  7prm  16273  9nprm  16275  11prm  16277  13prm  16278  17prm  16279  19prm  16280  23prm  16281  prmlem2  16282  37prm  16283  43prm  16284  83prm  16285  139prm  16286  163prm  16287  317prm  16288  631prm  16289  1259lem5  16297  2503lem1  16299  2503lem2  16300  2503lem3  16301  4001lem4  16306  4001prm  16307  mulrndx  16444  mulrid  16445  rngstr  16448  ressmulr  16454  unifndx  16506  unifid  16507  lt6abl  18736  sramulr  19642  opsrmulr  19948  cnfldstr  20229  cnfldfun  20239  zlmmulr  20349  znmul  20370  ressunif  22554  tuslem  22559  tngmulr  22936  tangtx  24774  1cubrlem  25100  1cubr  25101  dcubic1lem  25102  dcubic2  25103  dcubic  25105  mcubic  25106  cubic2  25107  cubic  25108  quartlem3  25118  quart  25120  log2cnv  25204  log2tlbnd  25205  log2ublem1  25206  log2ublem2  25207  log2ub  25209  ppiublem1  25460  ppiub  25462  chtub  25470  bposlem3  25544  bposlem4  25545  bposlem5  25546  bposlem6  25547  bposlem9  25550  lgsdir2lem5  25587  dchrvmasumlem2  25756  dchrvmasumlema  25758  pntleml  25869  tgcgr4  25999  axlowdimlem16  26426  axlowdimlem17  26427  usgrexmpldifpr  26723  upgr3v3e3cycl  27646  ex-cnv  27908  ex-rn  27911  ex-mod  27920  resvmulr  30562  fib4  31279  circlevma  31530  circlemethhgt  31531  hgt750lema  31545  sinccvglem  32523  cnndvlem1  33485  mblfinlem3  34462  itg2addnclem2  34475  itg2addnclem3  34476  itg2addnc  34477  hlhilsmul  38608  rmydioph  39096  rmxdioph  39098  expdiophlem2  39104  expdioph  39105  amgm3d  40038  lhe4.4ex1a  40199  257prm  43205  fmtno4prmfac193  43217  fmtno4nprmfac193  43218  3ndvds4  43240  139prmALT  43241  31prm  43242  127prm  43245  41prothprm  43266  341fppr2  43381  nfermltl2rev  43390  wtgoldbnnsum4prm  43449  bgoldbnnsum3prm  43451  bgoldbtbndlem1  43452  tgoldbach  43464