Theorem ex-dm 30468

Description: Example for df-dm 5699. Example by David A. Wheeler. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ex-dm	⊢ (𝐹 = {⟨2, 6⟩, ⟨3, 9⟩} → dom 𝐹 = {2, 3})

Proof of Theorem ex-dm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmeq 5917	. 2 ⊢ (𝐹 = {⟨2, 6⟩, ⟨3, 9⟩} → dom 𝐹 = dom {⟨2, 6⟩, ⟨3, 9⟩})
2		6nn 12353	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ
3	2	elexi 3501	. . 3 ⊢ 6 ∈ V
4		9nn 12362	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ
5	4	elexi 3501	. . 3 ⊢ 9 ∈ V
6	3, 5	dmprop 6239	. 2 ⊢ dom {⟨2, 6⟩, ⟨3, 9⟩} = {2, 3}
7	1, 6	eqtrdi 2791	1 ⊢ (𝐹 = {⟨2, 6⟩, ⟨3, 9⟩} → dom 𝐹 = {2, 3})

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537  {cpr 4633  ⟨cop 4637  dom cdm 5689  ℕcn 12264  2c2 12319  3c3 12320  6c6 12323  9c9 12326

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-1cn 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334

This theorem is referenced by: (None)