Theorem ex-dm 31022

Description: Example for df-dm 5661. Example by David A. Wheeler. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ex-dm	⊢ (𝐹 = {⟨2, 6⟩, ⟨3, 9⟩} → dom 𝐹 = {2, 3})

Proof of Theorem ex-dm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmeq 5885	. 2 ⊢ (𝐹 = {⟨2, 6⟩, ⟨3, 9⟩} → dom 𝐹 = dom {⟨2, 6⟩, ⟨3, 9⟩})
2		6nn 12413	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ
3	2	elexi 3473	. . 3 ⊢ 6 ∈ V
4		9nn 12422	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ
5	4	elexi 3473	. . 3 ⊢ 9 ∈ V
6	3, 5	dmprop 6211	. 2 ⊢ dom {⟨2, 6⟩, ⟨3, 9⟩} = {2, 3}
7	1, 6	eqtrdi 2812	1 ⊢ (𝐹 = {⟨2, 6⟩, ⟨3, 9⟩} → dom 𝐹 = {2, 3})

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570  {cpr 4586  ⟨cop 4590  dom cdm 5651  ℕcn 12316  2c2 12378  3c3 12379  6c6 12382  9c9 12385

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-1cn 11239

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-ov 7415  df-om 7867  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-nn 12317  df-2 12386  df-3 12387  df-4 12388  df-5 12389  df-6 12390  df-7 12391  df-8 12392  df-9 12393

This theorem is used by: (None)