Theorem ex-dm 30401

Description: Example for df-dm 5633. Example by David A. Wheeler. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ex-dm	⊢ (𝐹 = {⟨2, 6⟩, ⟨3, 9⟩} → dom 𝐹 = {2, 3})

Proof of Theorem ex-dm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmeq 5850	. 2 ⊢ (𝐹 = {⟨2, 6⟩, ⟨3, 9⟩} → dom 𝐹 = dom {⟨2, 6⟩, ⟨3, 9⟩})
2		6nn 12235	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ
3	2	elexi 3461	. . 3 ⊢ 6 ∈ V
4		9nn 12244	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ
5	4	elexi 3461	. . 3 ⊢ 9 ∈ V
6	3, 5	dmprop 6170	. 2 ⊢ dom {⟨2, 6⟩, ⟨3, 9⟩} = {2, 3}
7	1, 6	eqtrdi 2780	1 ⊢ (𝐹 = {⟨2, 6⟩, ⟨3, 9⟩} → dom 𝐹 = {2, 3})

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540  {cpr 4581  ⟨cop 4585  dom cdm 5623  ℕcn 12146  2c2 12201  3c3 12202  6c6 12205  9c9 12208

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-1cn 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-ov 7356  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-4 12211  df-5 12212  df-6 12213  df-7 12214  df-8 12215  df-9 12216

This theorem is referenced by: (None)