MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fclselbas Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fclselbas 23841
Description: A cluster point is in the base set. (Contributed by Jeff Hankins, 11-Nov-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
fclselbas.1 𝑋 = βˆͺ 𝐽
Assertion
Ref Expression
fclselbas (𝐴 ∈ (𝐽 fClus 𝐹) β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)

Proof of Theorem fclselbas
Dummy variables π‘œ 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fclselbas.1 . . . . . 6 𝑋 = βˆͺ 𝐽
21fclsfil 23835 . . . . 5 (𝐴 ∈ (𝐽 fClus 𝐹) β†’ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹))
3 fclstopon 23837 . . . . 5 (𝐴 ∈ (𝐽 fClus 𝐹) β†’ (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ↔ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹)))
42, 3mpbird 257 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝐽 fClus 𝐹) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
5 fclsopn 23839 . . . 4 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) β†’ (𝐴 ∈ (𝐽 fClus 𝐹) ↔ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘œ ∈ 𝐽 (𝐴 ∈ π‘œ β†’ βˆ€π‘  ∈ 𝐹 (π‘œ ∩ 𝑠) β‰  βˆ…))))
64, 2, 5syl2anc 583 . . 3 (𝐴 ∈ (𝐽 fClus 𝐹) β†’ (𝐴 ∈ (𝐽 fClus 𝐹) ↔ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘œ ∈ 𝐽 (𝐴 ∈ π‘œ β†’ βˆ€π‘  ∈ 𝐹 (π‘œ ∩ 𝑠) β‰  βˆ…))))
76ibi 267 . 2 (𝐴 ∈ (𝐽 fClus 𝐹) β†’ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘œ ∈ 𝐽 (𝐴 ∈ π‘œ β†’ βˆ€π‘  ∈ 𝐹 (π‘œ ∩ 𝑠) β‰  βˆ…)))
87simpld 494 1 (𝐴 ∈ (𝐽 fClus 𝐹) β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2932  βˆ€wral 3053   ∩ cin 3939  βˆ…c0 4314  βˆͺ cuni 4899  β€˜cfv 6533  (class class class)co 7401  TopOnctopon 22733  Filcfil 23670   fClus cfcls 23761
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-iin 4990  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-id 5564  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-fbas 21224  df-top 22717  df-topon 22734  df-cld 22844  df-ntr 22845  df-cls 22846  df-fil 23671  df-fcls 23766
This theorem is referenced by:  fclsneii  23842  fclsnei  23844  fclsfnflim  23852  flimfnfcls  23853  fcfelbas  23861  cnfcf  23867  cfilfcls  25123
  Copyright terms: Public domain W3C validator