Theorem fin71num 10310

Description: A well-orderable set is VII-finite iff it is I-finite. Thus, even without choice, on the class of well-orderable sets all eight definitions of finite set coincide. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fin71num	⊢ (𝐴 ∈ dom card → (𝐴 ∈ FinVII ↔ 𝐴 ∈ Fin))

Proof of Theorem fin71num

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfin7-2 10309	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom card → (𝐴 ∈ FinVII ↔ (𝐴 ∈ dom card → 𝐴 ∈ Fin)))
2		biimt 361	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom card → (𝐴 ∈ Fin ↔ (𝐴 ∈ dom card → 𝐴 ∈ Fin)))
3	1, 2	bitr4d 283	1 ⊢ (𝐴 ∈ dom card → (𝐴 ∈ FinVII ↔ 𝐴 ∈ Fin))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∈ wcel 2119  dom cdm 5618  Fincfn 8883  cardccrd 9850  Fin^VIIcfin7 10197

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-om 7807  df-1o 8395  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-card 9854  df-fin7 10204

This theorem is referenced by:  fin2so  37974