Theorem fin71num 10283

Description: A well-orderable set is VII-finite iff it is I-finite. Thus, even without choice, on the class of well-orderable sets all eight definitions of finite set coincide. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fin71num	⊢ (𝐴 ∈ dom card → (𝐴 ∈ FinVII ↔ 𝐴 ∈ Fin))

Proof of Theorem fin71num

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfin7-2 10282	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom card → (𝐴 ∈ FinVII ↔ (𝐴 ∈ dom card → 𝐴 ∈ Fin)))
2		biimt 360	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom card → (𝐴 ∈ Fin ↔ (𝐴 ∈ dom card → 𝐴 ∈ Fin)))
3	1, 2	bitr4d 282	1 ⊢ (𝐴 ∈ dom card → (𝐴 ∈ FinVII ↔ 𝐴 ∈ Fin))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∈ wcel 2111  dom cdm 5611  Fincfn 8864  cardccrd 9823  Fin^VIIcfin7 10170

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-int 4893  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-om 7792  df-1o 8380  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-fin 8868  df-card 9827  df-fin7 10177

This theorem is referenced by:  fin2so  37647