Theorem dffin7-2 10381

Description: Class form of isfin7-2 10379. (Contributed by Mario Carneiro, 17-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dffin7-2	⊢ FinVII = (Fin ∪ (V ∖ dom card))

Proof of Theorem dffin7-2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imor 866	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ dom card → 𝑥 ∈ Fin) ↔ (¬ 𝑥 ∈ dom card ∨ 𝑥 ∈ Fin))
2		isfin7-2 10379	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ V → (𝑥 ∈ FinVII ↔ (𝑥 ∈ dom card → 𝑥 ∈ Fin)))
3	2	elv 3468	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ FinVII ↔ (𝑥 ∈ dom card → 𝑥 ∈ Fin))
4		elun 4115	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (Fin ∪ (V ∖ dom card)) ↔ (𝑥 ∈ Fin ∨ 𝑥 ∈ (V ∖ dom card)))
5		orcom 883	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ Fin ∨ 𝑥 ∈ (V ∖ dom card)) ↔ (𝑥 ∈ (V ∖ dom card) ∨ 𝑥 ∈ Fin))
6		vex 3467	. . . . . 6 ⊢ 𝑥 ∈ V
7		eldif 3923	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (V ∖ dom card) ↔ (𝑥 ∈ V ∧ ¬ 𝑥 ∈ dom card))
8	6, 7	mpbiran 721	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (V ∖ dom card) ↔ ¬ 𝑥 ∈ dom card)
9	8	orbi1i 926	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (V ∖ dom card) ∨ 𝑥 ∈ Fin) ↔ (¬ 𝑥 ∈ dom card ∨ 𝑥 ∈ Fin))
10	4, 5, 9	3bitri 300	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (Fin ∪ (V ∖ dom card)) ↔ (¬ 𝑥 ∈ dom card ∨ 𝑥 ∈ Fin))
11	1, 3, 10	3bitr4i 306	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ FinVII ↔ 𝑥 ∈ (Fin ∪ (V ∖ dom card)))
12	11	eqriv 2766	1 ⊢ FinVII = (Fin ∪ (V ∖ dom card))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∨ wo 860   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  Vcvv 3463   ∖ cdif 3910   ∪ cun 3911  dom cdm 5662  Fincfn 8942  cardccrd 9920  Fin^VIIcfin7 10267

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-om 7862  df-1o 8452  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-card 9924  df-fin7 10274

This theorem is referenced by:  dfacfin7  10382