MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dffin7-2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dffin7-2 10395
Description: Class form of isfin7-2 10393. (Contributed by Mario Carneiro, 17-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
dffin7-2 FinVII = (Fin ∪ (V ∖ dom card))

Proof of Theorem dffin7-2
StepHypRef Expression
1 imor 850 . . 3 ((𝑥 ∈ dom card → 𝑥 ∈ Fin) ↔ (¬ 𝑥 ∈ dom card ∨ 𝑥 ∈ Fin))
2 isfin7-2 10393 . . . 4 (𝑥 ∈ V → (𝑥 ∈ FinVII ↔ (𝑥 ∈ dom card → 𝑥 ∈ Fin)))
32elv 3474 . . 3 (𝑥 ∈ FinVII ↔ (𝑥 ∈ dom card → 𝑥 ∈ Fin))
4 elun 4143 . . . 4 (𝑥 ∈ (Fin ∪ (V ∖ dom card)) ↔ (𝑥 ∈ Fin ∨ 𝑥 ∈ (V ∖ dom card)))
5 orcom 867 . . . 4 ((𝑥 ∈ Fin ∨ 𝑥 ∈ (V ∖ dom card)) ↔ (𝑥 ∈ (V ∖ dom card) ∨ 𝑥 ∈ Fin))
6 vex 3472 . . . . . 6 𝑥 ∈ V
7 eldif 3953 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (V ∖ dom card) ↔ (𝑥 ∈ V ∧ ¬ 𝑥 ∈ dom card))
86, 7mpbiran 706 . . . . 5 (𝑥 ∈ (V ∖ dom card) ↔ ¬ 𝑥 ∈ dom card)
98orbi1i 910 . . . 4 ((𝑥 ∈ (V ∖ dom card) ∨ 𝑥 ∈ Fin) ↔ (¬ 𝑥 ∈ dom card ∨ 𝑥 ∈ Fin))
104, 5, 93bitri 297 . . 3 (𝑥 ∈ (Fin ∪ (V ∖ dom card)) ↔ (¬ 𝑥 ∈ dom card ∨ 𝑥 ∈ Fin))
111, 3, 103bitr4i 303 . 2 (𝑥 ∈ FinVII𝑥 ∈ (Fin ∪ (V ∖ dom card)))
1211eqriv 2723 1 FinVII = (Fin ∪ (V ∖ dom card))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wo 844   = wceq 1533  wcel 2098  Vcvv 3468  cdif 3940  cun 3941  dom cdm 5669  Fincfn 8941  cardccrd 9932  FinVIIcfin7 10281
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-om 7853  df-1o 8467  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-card 9936  df-fin7 10288
This theorem is referenced by:  dfacfin7  10396
  Copyright terms: Public domain W3C validator