Theorem dffin7-2 10320

Description: Class form of isfin7-2 10318. (Contributed by Mario Carneiro, 17-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dffin7-2	⊢ FinVII = (Fin ∪ (V ∖ dom card))

Proof of Theorem dffin7-2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imor 854	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ dom card → 𝑥 ∈ Fin) ↔ (¬ 𝑥 ∈ dom card ∨ 𝑥 ∈ Fin))
2		isfin7-2 10318	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ V → (𝑥 ∈ FinVII ↔ (𝑥 ∈ dom card → 𝑥 ∈ Fin)))
3	2	elv 3447	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ FinVII ↔ (𝑥 ∈ dom card → 𝑥 ∈ Fin))
4		elun 4107	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (Fin ∪ (V ∖ dom card)) ↔ (𝑥 ∈ Fin ∨ 𝑥 ∈ (V ∖ dom card)))
5		orcom 871	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ Fin ∨ 𝑥 ∈ (V ∖ dom card)) ↔ (𝑥 ∈ (V ∖ dom card) ∨ 𝑥 ∈ Fin))
6		vex 3446	. . . . . 6 ⊢ 𝑥 ∈ V
7		eldif 3913	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (V ∖ dom card) ↔ (𝑥 ∈ V ∧ ¬ 𝑥 ∈ dom card))
8	6, 7	mpbiran 710	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (V ∖ dom card) ↔ ¬ 𝑥 ∈ dom card)
9	8	orbi1i 914	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (V ∖ dom card) ∨ 𝑥 ∈ Fin) ↔ (¬ 𝑥 ∈ dom card ∨ 𝑥 ∈ Fin))
10	4, 5, 9	3bitri 297	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (Fin ∪ (V ∖ dom card)) ↔ (¬ 𝑥 ∈ dom card ∨ 𝑥 ∈ Fin))
11	1, 3, 10	3bitr4i 303	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ FinVII ↔ 𝑥 ∈ (Fin ∪ (V ∖ dom card)))
12	11	eqriv 2734	1 ⊢ FinVII = (Fin ∪ (V ∖ dom card))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3442   ∖ cdif 3900   ∪ cun 3901  dom cdm 5632  Fincfn 8895  cardccrd 9859  Fin^VIIcfin7 10206

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-om 7819  df-1o 8407  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-card 9863  df-fin7 10213

This theorem is referenced by:  dfacfin7  10321