Theorem dffin7-2 10377

Description: Class form of isfin7-2 10375. (Contributed by Mario Carneiro, 17-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dffin7-2	⊢ FinVII = (Fin ∪ (V ∖ dom card))

Proof of Theorem dffin7-2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imor 866	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ dom card → 𝑥 ∈ Fin) ↔ (¬ 𝑥 ∈ dom card ∨ 𝑥 ∈ Fin))
2		isfin7-2 10375	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ V → (𝑥 ∈ FinVII ↔ (𝑥 ∈ dom card → 𝑥 ∈ Fin)))
3	2	elv 3460	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ FinVII ↔ (𝑥 ∈ dom card → 𝑥 ∈ Fin))
4		elun 4107	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (Fin ∪ (V ∖ dom card)) ↔ (𝑥 ∈ Fin ∨ 𝑥 ∈ (V ∖ dom card)))
5		orcom 883	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ Fin ∨ 𝑥 ∈ (V ∖ dom card)) ↔ (𝑥 ∈ (V ∖ dom card) ∨ 𝑥 ∈ Fin))
6		vex 3459	. . . . . 6 ⊢ 𝑥 ∈ V
7		eldif 3915	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (V ∖ dom card) ↔ (𝑥 ∈ V ∧ ¬ 𝑥 ∈ dom card))
8	6, 7	mpbiran 721	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (V ∖ dom card) ↔ ¬ 𝑥 ∈ dom card)
9	8	orbi1i 926	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (V ∖ dom card) ∨ 𝑥 ∈ Fin) ↔ (¬ 𝑥 ∈ dom card ∨ 𝑥 ∈ Fin))
10	4, 5, 9	3bitri 300	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (Fin ∪ (V ∖ dom card)) ↔ (¬ 𝑥 ∈ dom card ∨ 𝑥 ∈ Fin))
11	1, 3, 10	3bitr4i 306	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ FinVII ↔ 𝑥 ∈ (Fin ∪ (V ∖ dom card)))
12	11	eqriv 2760	1 ⊢ FinVII = (Fin ∪ (V ∖ dom card))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∨ wo 860   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  Vcvv 3455   ∖ cdif 3902   ∪ cun 3903  dom cdm 5661  Fincfn 8939  cardccrd 9917  Fin^VIIcfin7 10263

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-om 7859  df-1o 8449  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-card 9921  df-fin7 10270

This theorem is referenced by:  dfacfin7  10378