Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fsuppmptdmf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsuppmptdmf 44770
Description: A mapping with a finite domain is finitely supported. (Contributed by AV, 4-Sep-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fsuppmptdmf.n 𝑥𝜑
fsuppmptdmf.f 𝐹 = (𝑥𝐴𝑌)
fsuppmptdmf.a (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fsuppmptdmf.y ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑌𝑉)
fsuppmptdmf.z (𝜑𝑍𝑊)
Assertion
Ref Expression
fsuppmptdmf (𝜑𝐹 finSupp 𝑍)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑉
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝑊(𝑥)   𝑌(𝑥)   𝑍(𝑥)

Proof of Theorem fsuppmptdmf
StepHypRef Expression
1 fsuppmptdmf.n . . 3 𝑥𝜑
2 fsuppmptdmf.y . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑌𝑉)
3 fsuppmptdmf.f . . 3 𝐹 = (𝑥𝐴𝑌)
41, 2, 3fmptdf 6862 . 2 (𝜑𝐹:𝐴𝑉)
5 fsuppmptdmf.a . 2 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
6 fsuppmptdmf.z . 2 (𝜑𝑍𝑊)
74, 5, 6fdmfifsupp 8831 1 (𝜑𝐹 finSupp 𝑍)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wnf 1785  wcel 2112   class class class wbr 5033  cmpt 5113  Fincfn 8496   finSupp cfsupp 8821
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-supp 7818  df-er 8276  df-en 8497  df-fin 8500  df-fsupp 8822
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator