Theorem fsuppmptdmf 48320

Description: A mapping with a finite domain is finitely supported. (Contributed by AV, 4-Sep-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsuppmptdmf.n	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
fsuppmptdmf.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑌)
fsuppmptdmf.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fsuppmptdmf.y	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑌 ∈ 𝑉)
fsuppmptdmf.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
fsuppmptdmf	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 𝑍)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑉

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝑊(𝑥)   𝑌(𝑥)   𝑍(𝑥)

Proof of Theorem fsuppmptdmf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fsuppmptdmf.n	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
2		fsuppmptdmf.y	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑌 ∈ 𝑉)
3		fsuppmptdmf.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑌)
4	1, 2, 3	fmptdf 7112	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝑉)
5		fsuppmptdmf.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
6		fsuppmptdmf.z	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑊)
7	4, 5, 6	fdmfifsupp 9392	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540  Ⅎwnf 1783   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5124   ↦ cmpt 5206  Fincfn 8964   finSupp cfsupp 9378

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pr 5407  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-supp 8165  df-1o 8485  df-en 8965  df-fin 8968  df-fsupp 9379

This theorem is referenced by: (None)