Theorem fsuppmptdmf 48883

Description: A mapping with a finite domain is finitely supported. (Contributed by AV, 4-Sep-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsuppmptdmf.n	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
fsuppmptdmf.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑌)
fsuppmptdmf.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fsuppmptdmf.y	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑌 ∈ 𝑉)
fsuppmptdmf.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
fsuppmptdmf	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 𝑍)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑉

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝑊(𝑥)   𝑌(𝑥)   𝑍(𝑥)

Proof of Theorem fsuppmptdmf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fsuppmptdmf.n	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
2		fsuppmptdmf.y	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑌 ∈ 𝑉)
3		fsuppmptdmf.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑌)
4	1, 2, 3	fmptdf 7062	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝑉)
5		fsuppmptdmf.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
6		fsuppmptdmf.z	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑊)
7	4, 5, 6	fdmfifsupp 9282	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1548  Ⅎwnf 1791   ∈ wcel 2121   class class class wbr 5075   ↦ cmpt 5156  Fincfn 8887   finSupp cfsupp 9268

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5202  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pr 5365  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-ral 3056  df-rex 3066  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-supp 8105  df-1o 8399  df-en 8888  df-fin 8891  df-fsupp 9269

This theorem is referenced by: (None)