Theorem mptcfsupp 49433

Description: A mapping with value 0 except of one is finitely supported. (Contributed by AV, 9-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
suppmptcfin.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
suppmptcfin.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
suppmptcfin.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
suppmptcfin.1	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
suppmptcfin.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 1 , 0 ))

Assertion

Ref	Expression
mptcfsupp	⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝐹 finSupp 0 )

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹   𝑥,𝑀   𝑥,𝑉   𝑥,𝑋   𝑥, 1   𝑥, 0

Allowed substitution hint:   𝑅(𝑥)

Proof of Theorem mptcfsupp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suppmptcfin.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 1 , 0 ))
2	1	funmpt2 6571	. . 3 ⊢ Fun 𝐹
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → Fun 𝐹)
4		suppmptcfin.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
5		suppmptcfin.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
6		suppmptcfin.0	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
7		suppmptcfin.1	. . 3 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
8	4, 5, 6, 7, 1	suppmptcfin 49432	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin)
9		mptexg 7219	. . . . 5 ⊢ (𝑉 ∈ 𝒫 𝐵 → (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 1 , 0 )) ∈ V)
10	1, 9	eqeltrid 2865	. . . 4 ⊢ (𝑉 ∈ 𝒫 𝐵 → 𝐹 ∈ V)
11	10	3ad2ant2 1152	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝐹 ∈ V)
12	6	fvexi 6891	. . 3 ⊢ 0 ∈ V
13		isfsupp 9341	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 0 ∈ V) → (𝐹 finSupp 0 ↔ (Fun 𝐹 ∧ (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin)))
14	11, 12, 13	sylancl 598	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐹 finSupp 0 ↔ (Fun 𝐹 ∧ (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin)))
15	3, 8, 14	mpbir2and 726	1 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝐹 finSupp 0 )

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3451  ifcif 4482  𝒫 cpw 4557   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186  Fun wfun 6525  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412   supp csupp 8161  Fincfn 8957   finSupp cfsupp 9337  Basecbs 17367  Scalarcsca 17411  0_gc0g 17590  1_rcur 20387  LModclmod 21115

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pr 5391  ax-un 7740

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-supp 8162  df-1o 8460  df-en 8958  df-fin 8961  df-fsupp 9338

This theorem is used by:  lcoss  49492  el0ldep  49522