Theorem mptcfsupp 48319

Description: A mapping with value 0 except of one is finitely supported. (Contributed by AV, 9-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
suppmptcfin.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
suppmptcfin.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
suppmptcfin.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
suppmptcfin.1	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
suppmptcfin.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 1 , 0 ))

Assertion

Ref	Expression
mptcfsupp	⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝐹 finSupp 0 )

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹   𝑥,𝑀   𝑥,𝑉   𝑥,𝑋   𝑥, 1   𝑥, 0

Allowed substitution hint:   𝑅(𝑥)

Proof of Theorem mptcfsupp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suppmptcfin.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 1 , 0 ))
2	1	funmpt2 6580	. . 3 ⊢ Fun 𝐹
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → Fun 𝐹)
4		suppmptcfin.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
5		suppmptcfin.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
6		suppmptcfin.0	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
7		suppmptcfin.1	. . 3 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
8	4, 5, 6, 7, 1	suppmptcfin 48318	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin)
9		mptexg 7218	. . . . 5 ⊢ (𝑉 ∈ 𝒫 𝐵 → (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 1 , 0 )) ∈ V)
10	1, 9	eqeltrid 2839	. . . 4 ⊢ (𝑉 ∈ 𝒫 𝐵 → 𝐹 ∈ V)
11	10	3ad2ant2 1134	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝐹 ∈ V)
12	6	fvexi 6895	. . 3 ⊢ 0 ∈ V
13		isfsupp 9382	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 0 ∈ V) → (𝐹 finSupp 0 ↔ (Fun 𝐹 ∧ (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin)))
14	11, 12, 13	sylancl 586	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐹 finSupp 0 ↔ (Fun 𝐹 ∧ (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin)))
15	3, 8, 14	mpbir2and 713	1 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝐹 finSupp 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3464  ifcif 4505  𝒫 cpw 4580   class class class wbr 5124   ↦ cmpt 5206  Fun wfun 6530  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   supp csupp 8164  Fincfn 8964   finSupp cfsupp 9378  Basecbs 17233  Scalarcsca 17279  0_gc0g 17458  1_rcur 20146  LModclmod 20822

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pr 5407  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-supp 8165  df-1o 8485  df-en 8965  df-fin 8968  df-fsupp 9379

This theorem is referenced by:  lcoss  48379  el0ldep  48409