Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mptcfsupp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mptcfsupp 45389
Description: A mapping with value 0 except of one is finitely supported. (Contributed by AV, 9-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
suppmptcfin.b 𝐵 = (Base‘𝑀)
suppmptcfin.r 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
suppmptcfin.0 0 = (0g𝑅)
suppmptcfin.1 1 = (1r𝑅)
suppmptcfin.f 𝐹 = (𝑥𝑉 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 1 , 0 ))
Assertion
Ref Expression
mptcfsupp ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) → 𝐹 finSupp 0 )
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹   𝑥,𝑀   𝑥,𝑉   𝑥,𝑋   𝑥, 1   𝑥, 0
Allowed substitution hint:   𝑅(𝑥)

Proof of Theorem mptcfsupp
StepHypRef Expression
1 suppmptcfin.f . . . 4 𝐹 = (𝑥𝑉 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 1 , 0 ))
21funmpt2 6419 . . 3 Fun 𝐹
32a1i 11 . 2 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) → Fun 𝐹)
4 suppmptcfin.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑀)
5 suppmptcfin.r . . 3 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
6 suppmptcfin.0 . . 3 0 = (0g𝑅)
7 suppmptcfin.1 . . 3 1 = (1r𝑅)
84, 5, 6, 7, 1suppmptcfin 45388 . 2 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) → (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin)
9 mptexg 7037 . . . . 5 (𝑉 ∈ 𝒫 𝐵 → (𝑥𝑉 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 1 , 0 )) ∈ V)
101, 9eqeltrid 2842 . . . 4 (𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝐹 ∈ V)
11103ad2ant2 1136 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) → 𝐹 ∈ V)
126fvexi 6731 . . 3 0 ∈ V
13 isfsupp 8989 . . 3 ((𝐹 ∈ V ∧ 0 ∈ V) → (𝐹 finSupp 0 ↔ (Fun 𝐹 ∧ (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin)))
1411, 12, 13sylancl 589 . 2 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) → (𝐹 finSupp 0 ↔ (Fun 𝐹 ∧ (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin)))
153, 8, 14mpbir2and 713 1 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑋𝑉) → 𝐹 finSupp 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1089   = wceq 1543  wcel 2110  Vcvv 3408  ifcif 4439  𝒫 cpw 4513   class class class wbr 5053  cmpt 5135  Fun wfun 6374  cfv 6380  (class class class)co 7213   supp csupp 7903  Fincfn 8626   finSupp cfsupp 8985  Basecbs 16760  Scalarcsca 16805  0gc0g 16944  1rcur 19516  LModclmod 19899
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pr 5322  ax-un 7523
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-supp 7904  df-1o 8202  df-en 8627  df-fin 8630  df-fsupp 8986
This theorem is referenced by:  lcoss  45450  el0ldep  45480
  Copyright terms: Public domain W3C validator