Theorem fdmfifsupp 9318

Description: A function with a finite domain is always finitely supported. (Contributed by AV, 25-May-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fdmfisuppfi.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶𝑅)
fdmfisuppfi.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Fin)
fdmfisuppfi.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
fdmfifsupp	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 𝑍)

Proof of Theorem fdmfifsupp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fdmfisuppfi.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶𝑅)
2	1	ffund 6692	. 2 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
3		fdmfisuppfi.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Fin)
4		fdmfisuppfi.z	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
5	1, 3, 4	fdmfisuppfi 9317	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)
6	1	ffnd 6688	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐷)
7		fnex 7197	. . . 4 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐷 ∧ 𝐷 ∈ Fin) → 𝐹 ∈ V)
8	6, 3, 7	syl2anc 593	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
9		isfsupp 9308	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝐹 finSupp 𝑍 ↔ (Fun 𝐹 ∧ (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)))
10	8, 4, 9	syl2anc 593	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 finSupp 𝑍 ↔ (Fun 𝐹 ∧ (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)))
11	2, 5, 10	mpbir2and 723	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∈ wcel 2141  Vcvv 3453   class class class wbr 5099  Fun wfun 6511   Fn wfn 6512  ⟶wf 6513  (class class class)co 7392   supp csupp 8135  Fincfn 8923   finSupp cfsupp 9304

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pr 5389  ax-un 7714

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7843  df-supp 8136  df-1o 8432  df-en 8924  df-fin 8927  df-fsupp 9305

This theorem is referenced by:  fsuppmptdm  9319  fndmfifsupp  9321  gsumreidx  19940  gsummptfif1o  19991  gsumle  20168  frlmfibas  21794  elfilspd  21835  rhmpsrlem1  21972  tmdgsum  24135  tsmslem1  24169  tsmssubm  24183  tsmsres  24184  tsmsf1o  24185  tsmsmhm  24186  tsmsadd  24187  tsmsxplem1  24193  tsmsxplem2  24194  imasdsf1olem  24413  xrge0gsumle  24874  xrge0tsms  24875  rrxbasefi  25452  ehlbase  25457  jensenlem2  27029  jensen  27030  amgmlem  27031  amgm  27032  wilthlem2  27110  wilthlem3  27111  wrdfsupp  33076  gsummulsubdishift2  33210  xrge0tsmsd  33214  linds2eq  33528  elrspunidl  33575  rprmdvdsprod  33691  selvply1rhmlema  33776  selvply1rhmlemb  33777  psrmonprod  33810  esplyfvaln  33832  esumpfinvalf  34334  k0004ss2  44692  sge0tsms  46918  fsuppmptdmf  48964  linccl  49000  lcosn0  49006  islinindfis  49035  snlindsntor  49057  ldepspr  49059  zlmodzxzldeplem2  49087  amgmwlem  50387  amgmlemALT  50388