Theorem fdmfifsupp 9336

Description: A function with a finite domain is always finitely supported. (Contributed by AV, 25-May-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fdmfisuppfi.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶𝑅)
fdmfisuppfi.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Fin)
fdmfisuppfi.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
fdmfifsupp	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 𝑍)

Proof of Theorem fdmfifsupp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fdmfisuppfi.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶𝑅)
2	1	ffund 6712	. 2 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
3		fdmfisuppfi.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Fin)
4		fdmfisuppfi.z	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
5	1, 3, 4	fdmfisuppfi 9335	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)
6	1	ffnd 6708	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐷)
7		fnex 7217	. . . 4 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐷 ∧ 𝐷 ∈ Fin) → 𝐹 ∈ V)
8	6, 3, 7	syl2anc 595	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
9		isfsupp 9326	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝐹 finSupp 𝑍 ↔ (Fun 𝐹 ∧ (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)))
10	8, 4, 9	syl2anc 595	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 finSupp 𝑍 ↔ (Fun 𝐹 ∧ (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)))
11	2, 5, 10	mpbir2and 725	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∈ wcel 2143  Vcvv 3455   class class class wbr 5110  Fun wfun 6532   Fn wfn 6533  ⟶wf 6534  (class class class)co 7412   supp csupp 8157  Fincfn 8944   finSupp cfsupp 9322

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pr 5406  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-supp 8158  df-1o 8454  df-en 8945  df-fin 8948  df-fsupp 9323

This theorem is referenced by:  fsuppmptdm  9337  fndmfifsupp  9339  gsumreidx  19988  gsummptfif1o  20039  gsumle  20216  frlmfibas  21893  elfilspd  21934  rhmpsrlem1  22071  tmdgsum  24233  tsmslem1  24267  tsmssubm  24281  tsmsres  24282  tsmsf1o  24283  tsmsmhm  24284  tsmsadd  24285  tsmsxplem1  24291  tsmsxplem2  24292  imasdsf1olem  24511  xrge0gsumle  24972  xrge0tsms  24973  rrxbasefi  25550  ehlbase  25555  jensenlem2  27130  jensen  27131  amgmlem  27132  amgm  27133  wilthlem2  27211  wilthlem3  27212  wrdfsupp  33235  gsummulsubdishift2  33367  xrge0tsmsd  33371  linds2eq  33672  elrspunidl  33714  rprmdvdsprod  33802  selvply1rhmlema  33886  selvply1rhmlemb  33887  psrmonprod  33920  esplyfvaln  33942  esumpfinvalf  34444  k0004ss2  44858  sge0tsms  47074  fsuppmptdmf  49135  linccl  49171  lcosn0  49177  islinindfis  49206  snlindsntor  49228  ldepspr  49230  zlmodzxzldeplem2  49258  amgmwlem  50579  amgmlemALT  50580