Theorem fdmfifsupp 8845

Description: A function with a finite domain is always finitely supported. (Contributed by AV, 25-May-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fdmfisuppfi.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶𝑅)
fdmfisuppfi.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Fin)
fdmfisuppfi.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
fdmfifsupp	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 𝑍)

Proof of Theorem fdmfifsupp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fdmfisuppfi.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶𝑅)
2	1	ffund 6520	. 2 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
3		fdmfisuppfi.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Fin)
4		fdmfisuppfi.z	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
5	1, 3, 4	fdmfisuppfi 8844	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)
6	1	ffnd 6517	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐷)
7		fnex 6982	. . . 4 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐷 ∧ 𝐷 ∈ Fin) → 𝐹 ∈ V)
8	6, 3, 7	syl2anc 586	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
9		isfsupp 8839	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝐹 finSupp 𝑍 ↔ (Fun 𝐹 ∧ (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)))
10	8, 4, 9	syl2anc 586	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 finSupp 𝑍 ↔ (Fun 𝐹 ∧ (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)))
11	2, 5, 10	mpbir2and 711	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∈ wcel 2114  Vcvv 3496   class class class wbr 5068  Fun wfun 6351   Fn wfn 6352  ⟶wf 6353  (class class class)co 7158   supp csupp 7832  Fincfn 8511   finSupp cfsupp 8835

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-supp 7833  df-er 8291  df-en 8512  df-fin 8515  df-fsupp 8836

This theorem is referenced by:  fsuppmptdm  8846  fndmfifsupp  8848  gsumreidx  19039  gsummptfif1o  19090  psrmulcllem  20169  frlmfibas  20908  elfilspd  20949  tmdgsum  22705  tsmslem1  22739  tsmssubm  22753  tsmsres  22754  tsmsf1o  22755  tsmsmhm  22756  tsmsadd  22757  tsmsxplem1  22763  tsmsxplem2  22764  imasdsf1olem  22985  xrge0gsumle  23443  xrge0tsms  23444  rrxbasefi  24015  ehlbase  24020  jensenlem2  25567  jensen  25568  amgmlem  25569  amgm  25570  wilthlem2  25648  wilthlem3  25649  xrge0tsmsd  30694  gsumle  30727  linds2eq  30943  esumpfinvalf  31337  k0004ss2  40509  sge0tsms  42669  fsuppmptdmf  44436  linccl  44476  lcosn0  44482  islinindfis  44511  snlindsntor  44533  ldepspr  44535  zlmodzxzldeplem2  44563  amgmwlem  44910  amgmlemALT  44911