Theorem fdmfifsupp 9413

Description: A function with a finite domain is always finitely supported. (Contributed by AV, 25-May-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fdmfisuppfi.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶𝑅)
fdmfisuppfi.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Fin)
fdmfisuppfi.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
fdmfifsupp	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 𝑍)

Proof of Theorem fdmfifsupp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fdmfisuppfi.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶𝑅)
2	1	ffund 6741	. 2 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
3		fdmfisuppfi.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Fin)
4		fdmfisuppfi.z	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
5	1, 3, 4	fdmfisuppfi 9412	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)
6	1	ffnd 6738	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐷)
7		fnex 7237	. . . 4 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐷 ∧ 𝐷 ∈ Fin) → 𝐹 ∈ V)
8	6, 3, 7	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
9		isfsupp 9403	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝐹 finSupp 𝑍 ↔ (Fun 𝐹 ∧ (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)))
10	8, 4, 9	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 finSupp 𝑍 ↔ (Fun 𝐹 ∧ (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)))
11	2, 5, 10	mpbir2and 713	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2106  Vcvv 3478   class class class wbr 5148  Fun wfun 6557   Fn wfn 6558  ⟶wf 6559  (class class class)co 7431   supp csupp 8184  Fincfn 8984   finSupp cfsupp 9399

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438  ax-un 7754

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-supp 8185  df-1o 8505  df-en 8985  df-fin 8988  df-fsupp 9400

This theorem is referenced by:  fsuppmptdm  9414  fndmfifsupp  9416  gsumreidx  19950  gsummptfif1o  20001  frlmfibas  21800  elfilspd  21841  rhmpsrlem1  21978  tmdgsum  24119  tsmslem1  24153  tsmssubm  24167  tsmsres  24168  tsmsf1o  24169  tsmsmhm  24170  tsmsadd  24171  tsmsxplem1  24177  tsmsxplem2  24178  imasdsf1olem  24399  xrge0gsumle  24869  xrge0tsms  24870  rrxbasefi  25458  ehlbase  25463  jensenlem2  27046  jensen  27047  amgmlem  27048  amgm  27049  wilthlem2  27127  wilthlem3  27128  wrdfsupp  32906  xrge0tsmsd  33048  gsumle  33084  linds2eq  33389  elrspunidl  33436  rprmdvdsprod  33542  esumpfinvalf  34057  k0004ss2  44142  sge0tsms  46336  fsuppmptdmf  48223  linccl  48260  lcosn0  48266  islinindfis  48295  snlindsntor  48317  ldepspr  48319  zlmodzxzldeplem2  48347  amgmwlem  49033  amgmlemALT  49034