Theorem fdmfifsupp 9068

Description: A function with a finite domain is always finitely supported. (Contributed by AV, 25-May-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fdmfisuppfi.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶𝑅)
fdmfisuppfi.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Fin)
fdmfisuppfi.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
fdmfifsupp	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 𝑍)

Proof of Theorem fdmfifsupp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fdmfisuppfi.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶𝑅)
2	1	ffund 6588	. 2 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
3		fdmfisuppfi.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Fin)
4		fdmfisuppfi.z	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
5	1, 3, 4	fdmfisuppfi 9067	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)
6	1	ffnd 6585	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐷)
7		fnex 7075	. . . 4 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐷 ∧ 𝐷 ∈ Fin) → 𝐹 ∈ V)
8	6, 3, 7	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
9		isfsupp 9062	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝐹 finSupp 𝑍 ↔ (Fun 𝐹 ∧ (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)))
10	8, 4, 9	syl2anc 583	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 finSupp 𝑍 ↔ (Fun 𝐹 ∧ (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)))
11	2, 5, 10	mpbir2and 709	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108  Vcvv 3422   class class class wbr 5070  Fun wfun 6412   Fn wfn 6413  ⟶wf 6414  (class class class)co 7255   supp csupp 7948  Fincfn 8691   finSupp cfsupp 9058

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pr 5347  ax-un 7566

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-supp 7949  df-1o 8267  df-en 8692  df-fin 8695  df-fsupp 9059

This theorem is referenced by:  fsuppmptdm  9069  fndmfifsupp  9071  gsumreidx  19433  gsummptfif1o  19484  frlmfibas  20879  elfilspd  20920  psrmulcllem  21066  tmdgsum  23154  tsmslem1  23188  tsmssubm  23202  tsmsres  23203  tsmsf1o  23204  tsmsmhm  23205  tsmsadd  23206  tsmsxplem1  23212  tsmsxplem2  23213  imasdsf1olem  23434  xrge0gsumle  23902  xrge0tsms  23903  rrxbasefi  24479  ehlbase  24484  jensenlem2  26042  jensen  26043  amgmlem  26044  amgm  26045  wilthlem2  26123  wilthlem3  26124  xrge0tsmsd  31219  gsumle  31252  linds2eq  31477  elrspunidl  31508  esumpfinvalf  31944  k0004ss2  41651  sge0tsms  43808  fsuppmptdmf  45605  linccl  45643  lcosn0  45649  islinindfis  45678  snlindsntor  45700  ldepspr  45702  zlmodzxzldeplem2  45730  amgmwlem  46392  amgmlemALT  46393