Theorem fdmfifsupp 9285

Description: A function with a finite domain is always finitely supported. (Contributed by AV, 25-May-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fdmfisuppfi.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶𝑅)
fdmfisuppfi.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Fin)
fdmfisuppfi.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
fdmfifsupp	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 𝑍)

Proof of Theorem fdmfifsupp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fdmfisuppfi.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶𝑅)
2	1	ffund 6666	. 2 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
3		fdmfisuppfi.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Fin)
4		fdmfisuppfi.z	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
5	1, 3, 4	fdmfisuppfi 9284	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)
6	1	ffnd 6663	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐷)
7		fnex 7168	. . . 4 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐷 ∧ 𝐷 ∈ Fin) → 𝐹 ∈ V)
8	6, 3, 7	syl2anc 590	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
9		isfsupp 9275	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝐹 finSupp 𝑍 ↔ (Fun 𝐹 ∧ (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)))
10	8, 4, 9	syl2anc 590	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 finSupp 𝑍 ↔ (Fun 𝐹 ∧ (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)))
11	2, 5, 10	mpbir2and 719	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∈ wcel 2119  Vcvv 3432   class class class wbr 5079  Fun wfun 6486   Fn wfn 6487  ⟶wf 6488  (class class class)co 7363   supp csupp 8107  Fincfn 8890   finSupp cfsupp 9271

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pr 5369  ax-un 7685

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-ral 3055  df-rex 3065  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-supp 8108  df-1o 8402  df-en 8891  df-fin 8894  df-fsupp 9272

This theorem is referenced by:  fsuppmptdm  9286  fndmfifsupp  9288  gsumreidx  19890  gsummptfif1o  19941  gsumle  20118  frlmfibas  21744  elfilspd  21785  rhmpsrlem1  21922  tmdgsum  24085  tsmslem1  24119  tsmssubm  24133  tsmsres  24134  tsmsf1o  24135  tsmsmhm  24136  tsmsadd  24137  tsmsxplem1  24143  tsmsxplem2  24144  imasdsf1olem  24363  xrge0gsumle  24824  xrge0tsms  24825  rrxbasefi  25402  ehlbase  25407  jensenlem2  26976  jensen  26977  amgmlem  26978  amgm  26979  wilthlem2  27057  wilthlem3  27058  wrdfsupp  33023  gsummulsubdishift2  33157  xrge0tsmsd  33161  linds2eq  33471  elrspunidl  33518  rprmdvdsprod  33624  selvply1rhmlema  33709  selvply1rhmlemb  33710  psrmonprod  33743  esplyfvaln  33765  esumpfinvalf  34267  k0004ss2  44603  sge0tsms  46830  fsuppmptdmf  48876  linccl  48912  lcosn0  48918  islinindfis  48947  snlindsntor  48969  ldepspr  48971  zlmodzxzldeplem2  48999  amgmwlem  50299  amgmlemALT  50300