Theorem fdmfifsupp 9370

Description: A function with a finite domain is always finitely supported. (Contributed by AV, 25-May-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fdmfisuppfi.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶𝑅)
fdmfisuppfi.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Fin)
fdmfisuppfi.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
fdmfifsupp	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 𝑍)

Proof of Theorem fdmfifsupp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fdmfisuppfi.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶𝑅)
2	1	ffund 6714	. 2 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
3		fdmfisuppfi.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Fin)
4		fdmfisuppfi.z	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
5	1, 3, 4	fdmfisuppfi 9369	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)
6	1	ffnd 6710	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐷)
7		fnex 7223	. . . 4 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐷 ∧ 𝐷 ∈ Fin) → 𝐹 ∈ V)
8	6, 3, 7	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
9		isfsupp 9360	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝐹 finSupp 𝑍 ↔ (Fun 𝐹 ∧ (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)))
10	8, 4, 9	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 finSupp 𝑍 ↔ (Fun 𝐹 ∧ (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)))
11	2, 5, 10	mpbir2and 726	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 𝑍)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450   class class class wbr 5102  Fun wfun 6532   Fn wfn 6533  ⟶wf 6534  (class class class)co 7420   supp csupp 8179  Fincfn 8976   finSupp cfsupp 9356

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5390  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-supp 8180  df-1o 8479  df-en 8977  df-fin 8980  df-fsupp 9357

This theorem is used by:  fsuppmptdm  9371  fndmfifsupp  9373  gsumreidx  20136  gsummptfif1o  20187  gsumle  20364  frlmfibas  22073  elfilspd  22114  rhmpsrlem1  22253  tmdgsum  24419  tsmslem1  24453  tsmssubm  24467  tsmsres  24468  tsmsf1o  24469  tsmsmhm  24470  tsmsadd  24471  tsmsxplem1  24477  tsmsxplem2  24478  imasdsf1olem  24697  xrge0gsumle  25158  xrge0tsms  25159  rrxbasefi  25736  ehlbase  25741  jensenlem2  27320  jensen  27321  amgmlem  27322  amgm  27323  wilthlem2  27401  wilthlem3  27402  wrdfsupp  33550  gsummulsubdishift2  33676  xrge0tsmsd  33680  linds2eq  33982  elrspunidl  34024  rprmdvdsprod  34112  selvply1rhmlema  34196  selvply1rhmlemb  34197  psrmonprod  34230  esplyfvaln  34252  esumpfinvalf  34754  k0004ss2  45245  sge0tsms  47483  fsuppmptdmf  49583  linccl  49619  lcosn0  49625  islinindfis  49654  snlindsntor  49676  ldepspr  49678  zlmodzxzldeplem2  49706  amgmwlem  51155  amgmlemALT  51156