Theorem fdmfifsupp 9288

Description: A function with a finite domain is always finitely supported. (Contributed by AV, 25-May-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fdmfisuppfi.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶𝑅)
fdmfisuppfi.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Fin)
fdmfisuppfi.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
fdmfifsupp	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 𝑍)

Proof of Theorem fdmfifsupp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fdmfisuppfi.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶𝑅)
2	1	ffund 6672	. 2 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
3		fdmfisuppfi.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Fin)
4		fdmfisuppfi.z	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
5	1, 3, 4	fdmfisuppfi 9287	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)
6	1	ffnd 6669	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐷)
7		fnex 7172	. . . 4 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐷 ∧ 𝐷 ∈ Fin) → 𝐹 ∈ V)
8	6, 3, 7	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
9		isfsupp 9278	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝐹 finSupp 𝑍 ↔ (Fun 𝐹 ∧ (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)))
10	8, 4, 9	syl2anc 585	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 finSupp 𝑍 ↔ (Fun 𝐹 ∧ (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)))
11	2, 5, 10	mpbir2and 714	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114  Vcvv 3429   class class class wbr 5085  Fun wfun 6492   Fn wfn 6493  ⟶wf 6494  (class class class)co 7367   supp csupp 8110  Fincfn 8893   finSupp cfsupp 9274

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pr 5375  ax-un 7689

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-supp 8111  df-1o 8405  df-en 8894  df-fin 8897  df-fsupp 9275

This theorem is referenced by:  fsuppmptdm  9289  fndmfifsupp  9291  gsumreidx  19892  gsummptfif1o  19943  gsumle  20120  frlmfibas  21742  elfilspd  21783  rhmpsrlem1  21919  tmdgsum  24060  tsmslem1  24094  tsmssubm  24108  tsmsres  24109  tsmsf1o  24110  tsmsmhm  24111  tsmsadd  24112  tsmsxplem1  24118  tsmsxplem2  24119  imasdsf1olem  24338  xrge0gsumle  24799  xrge0tsms  24800  rrxbasefi  25377  ehlbase  25382  jensenlem2  26951  jensen  26952  amgmlem  26953  amgm  26954  wilthlem2  27032  wilthlem3  27033  wrdfsupp  32997  gsummulsubdishift2  33130  xrge0tsmsd  33134  linds2eq  33441  elrspunidl  33488  rprmdvdsprod  33594  psrmonprod  33696  esplyfvaln  33718  esumpfinvalf  34220  k0004ss2  44579  sge0tsms  46808  fsuppmptdmf  48854  linccl  48890  lcosn0  48896  islinindfis  48925  snlindsntor  48947  ldepspr  48949  zlmodzxzldeplem2  48977  amgmwlem  50277  amgmlemALT  50278