Theorem fdmfifsupp 9373

Description: A function with a finite domain is always finitely supported. (Contributed by AV, 25-May-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fdmfisuppfi.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶𝑅)
fdmfisuppfi.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Fin)
fdmfisuppfi.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
fdmfifsupp	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 𝑍)

Proof of Theorem fdmfifsupp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fdmfisuppfi.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶𝑅)
2	1	ffund 6722	. 2 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
3		fdmfisuppfi.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Fin)
4		fdmfisuppfi.z	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
5	1, 3, 4	fdmfisuppfi 9372	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)
6	1	ffnd 6719	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐷)
7		fnex 7219	. . . 4 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐷 ∧ 𝐷 ∈ Fin) → 𝐹 ∈ V)
8	6, 3, 7	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
9		isfsupp 9365	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝐹 finSupp 𝑍 ↔ (Fun 𝐹 ∧ (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)))
10	8, 4, 9	syl2anc 585	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 finSupp 𝑍 ↔ (Fun 𝐹 ∧ (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)))
11	2, 5, 10	mpbir2and 712	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∈ wcel 2107  Vcvv 3475   class class class wbr 5149  Fun wfun 6538   Fn wfn 6539  ⟶wf 6540  (class class class)co 7409   supp csupp 8146  Fincfn 8939   finSupp cfsupp 9361

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428  ax-un 7725

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-supp 8147  df-1o 8466  df-en 8940  df-fin 8943  df-fsupp 9362

This theorem is referenced by:  fsuppmptdm  9374  fndmfifsupp  9376  gsumreidx  19785  gsummptfif1o  19836  frlmfibas  21317  elfilspd  21358  psrmulcllem  21506  tmdgsum  23599  tsmslem1  23633  tsmssubm  23647  tsmsres  23648  tsmsf1o  23649  tsmsmhm  23650  tsmsadd  23651  tsmsxplem1  23657  tsmsxplem2  23658  imasdsf1olem  23879  xrge0gsumle  24349  xrge0tsms  24350  rrxbasefi  24927  ehlbase  24932  jensenlem2  26492  jensen  26493  amgmlem  26494  amgm  26495  wilthlem2  26573  wilthlem3  26574  xrge0tsmsd  32209  gsumle  32242  linds2eq  32497  elrspunidl  32546  esumpfinvalf  33074  rhmmpllem1  41121  k0004ss2  42903  sge0tsms  45096  fsuppmptdmf  47057  linccl  47095  lcosn0  47101  islinindfis  47130  snlindsntor  47152  ldepspr  47154  zlmodzxzldeplem2  47182  amgmwlem  47849  amgmlemALT  47850