MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fdmfifsupp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fdmfifsupp 9249
Description: A function with a finite domain is always finitely supported. (Contributed by AV, 25-May-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fdmfisuppfi.f (𝜑𝐹:𝐷𝑅)
fdmfisuppfi.d (𝜑𝐷 ∈ Fin)
fdmfisuppfi.z (𝜑𝑍𝑉)
Assertion
Ref Expression
fdmfifsupp (𝜑𝐹 finSupp 𝑍)

Proof of Theorem fdmfifsupp
StepHypRef Expression
1 fdmfisuppfi.f . . 3 (𝜑𝐹:𝐷𝑅)
21ffund 6668 . 2 (𝜑 → Fun 𝐹)
3 fdmfisuppfi.d . . 3 (𝜑𝐷 ∈ Fin)
4 fdmfisuppfi.z . . 3 (𝜑𝑍𝑉)
51, 3, 4fdmfisuppfi 9248 . 2 (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)
61ffnd 6665 . . . 4 (𝜑𝐹 Fn 𝐷)
7 fnex 7162 . . . 4 ((𝐹 Fn 𝐷𝐷 ∈ Fin) → 𝐹 ∈ V)
86, 3, 7syl2anc 585 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ V)
9 isfsupp 9243 . . 3 ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍𝑉) → (𝐹 finSupp 𝑍 ↔ (Fun 𝐹 ∧ (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)))
108, 4, 9syl2anc 585 . 2 (𝜑 → (𝐹 finSupp 𝑍 ↔ (Fun 𝐹 ∧ (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)))
112, 5, 10mpbir2and 712 1 (𝜑𝐹 finSupp 𝑍)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  wcel 2107  Vcvv 3444   class class class wbr 5104  Fun wfun 6486   Fn wfn 6487  wf 6488  (class class class)co 7350   supp csupp 8060  Fincfn 8817   finSupp cfsupp 9239
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-rep 5241  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pr 5383  ax-un 7663
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3064  df-rex 3073  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-iun 4955  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6444  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7353  df-oprab 7354  df-mpo 7355  df-om 7794  df-supp 8061  df-1o 8380  df-en 8818  df-fin 8821  df-fsupp 9240
This theorem is referenced by:  fsuppmptdm  9250  fndmfifsupp  9252  gsumreidx  19629  gsummptfif1o  19680  frlmfibas  21097  elfilspd  21138  psrmulcllem  21284  tmdgsum  23374  tsmslem1  23408  tsmssubm  23422  tsmsres  23423  tsmsf1o  23424  tsmsmhm  23425  tsmsadd  23426  tsmsxplem1  23432  tsmsxplem2  23433  imasdsf1olem  23654  xrge0gsumle  24124  xrge0tsms  24125  rrxbasefi  24702  ehlbase  24707  jensenlem2  26265  jensen  26266  amgmlem  26267  amgm  26268  wilthlem2  26346  wilthlem3  26347  xrge0tsmsd  31700  gsumle  31733  linds2eq  31968  elrspunidl  31999  esumpfinvalf  32455  k0004ss2  42225  sge0tsms  44412  fsuppmptdmf  46248  linccl  46286  lcosn0  46292  islinindfis  46321  snlindsntor  46343  ldepspr  46345  zlmodzxzldeplem2  46373  amgmwlem  47040  amgmlemALT  47041
  Copyright terms: Public domain W3C validator