Theorem fdmfifsupp 9259

Description: A function with a finite domain is always finitely supported. (Contributed by AV, 25-May-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fdmfisuppfi.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶𝑅)
fdmfisuppfi.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Fin)
fdmfisuppfi.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
fdmfifsupp	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 𝑍)

Proof of Theorem fdmfifsupp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fdmfisuppfi.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶𝑅)
2	1	ffund 6655	. 2 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
3		fdmfisuppfi.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Fin)
4		fdmfisuppfi.z	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
5	1, 3, 4	fdmfisuppfi 9258	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)
6	1	ffnd 6652	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐷)
7		fnex 7151	. . . 4 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐷 ∧ 𝐷 ∈ Fin) → 𝐹 ∈ V)
8	6, 3, 7	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
9		isfsupp 9249	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝐹 finSupp 𝑍 ↔ (Fun 𝐹 ∧ (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)))
10	8, 4, 9	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 finSupp 𝑍 ↔ (Fun 𝐹 ∧ (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)))
11	2, 5, 10	mpbir2and 713	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2111  Vcvv 3436   class class class wbr 5089  Fun wfun 6475   Fn wfn 6476  ⟶wf 6477  (class class class)co 7346   supp csupp 8090  Fincfn 8869   finSupp cfsupp 9245

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pr 5368  ax-un 7668

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-supp 8091  df-1o 8385  df-en 8870  df-fin 8873  df-fsupp 9246

This theorem is referenced by:  fsuppmptdm  9260  fndmfifsupp  9262  gsumreidx  19829  gsummptfif1o  19880  gsumle  20057  frlmfibas  21699  elfilspd  21740  rhmpsrlem1  21877  tmdgsum  24010  tsmslem1  24044  tsmssubm  24058  tsmsres  24059  tsmsf1o  24060  tsmsmhm  24061  tsmsadd  24062  tsmsxplem1  24068  tsmsxplem2  24069  imasdsf1olem  24288  xrge0gsumle  24749  xrge0tsms  24750  rrxbasefi  25337  ehlbase  25342  jensenlem2  26925  jensen  26926  amgmlem  26927  amgm  26928  wilthlem2  27006  wilthlem3  27007  wrdfsupp  32918  xrge0tsmsd  33042  linds2eq  33346  elrspunidl  33393  rprmdvdsprod  33499  esumpfinvalf  34089  k0004ss2  44244  sge0tsms  46477  fsuppmptdmf  48477  linccl  48514  lcosn0  48520  islinindfis  48549  snlindsntor  48571  ldepspr  48573  zlmodzxzldeplem2  48601  amgmwlem  49902  amgmlemALT  49903