Theorem fdmfifsupp 9266

Description: A function with a finite domain is always finitely supported. (Contributed by AV, 25-May-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fdmfisuppfi.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶𝑅)
fdmfisuppfi.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Fin)
fdmfisuppfi.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
fdmfifsupp	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 𝑍)

Proof of Theorem fdmfifsupp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fdmfisuppfi.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶𝑅)
2	1	ffund 6660	. 2 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
3		fdmfisuppfi.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Fin)
4		fdmfisuppfi.z	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
5	1, 3, 4	fdmfisuppfi 9265	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)
6	1	ffnd 6657	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐷)
7		fnex 7157	. . . 4 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐷 ∧ 𝐷 ∈ Fin) → 𝐹 ∈ V)
8	6, 3, 7	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
9		isfsupp 9256	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝐹 finSupp 𝑍 ↔ (Fun 𝐹 ∧ (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)))
10	8, 4, 9	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 finSupp 𝑍 ↔ (Fun 𝐹 ∧ (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)))
11	2, 5, 10	mpbir2and 713	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2113  Vcvv 3437   class class class wbr 5093  Fun wfun 6480   Fn wfn 6481  ⟶wf 6482  (class class class)co 7352   supp csupp 8096  Fincfn 8875   finSupp cfsupp 9252

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pr 5372  ax-un 7674

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-supp 8097  df-1o 8391  df-en 8876  df-fin 8879  df-fsupp 9253

This theorem is referenced by:  fsuppmptdm  9267  fndmfifsupp  9269  gsumreidx  19831  gsummptfif1o  19882  gsumle  20059  frlmfibas  21701  elfilspd  21742  rhmpsrlem1  21879  tmdgsum  24011  tsmslem1  24045  tsmssubm  24059  tsmsres  24060  tsmsf1o  24061  tsmsmhm  24062  tsmsadd  24063  tsmsxplem1  24069  tsmsxplem2  24070  imasdsf1olem  24289  xrge0gsumle  24750  xrge0tsms  24751  rrxbasefi  25338  ehlbase  25343  jensenlem2  26926  jensen  26927  amgmlem  26928  amgm  26929  wilthlem2  27007  wilthlem3  27008  wrdfsupp  32925  xrge0tsmsd  33049  linds2eq  33353  elrspunidl  33400  rprmdvdsprod  33506  esumpfinvalf  34110  k0004ss2  44270  sge0tsms  46503  fsuppmptdmf  48503  linccl  48540  lcosn0  48546  islinindfis  48575  snlindsntor  48597  ldepspr  48599  zlmodzxzldeplem2  48627  amgmwlem  49928  amgmlemALT  49929