Theorem fdmfifsupp 8644

Description: A function with a finite domain is always finitely supported. (Contributed by AV, 25-May-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fdmfisuppfi.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶𝑅)
fdmfisuppfi.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Fin)
fdmfisuppfi.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
fdmfifsupp	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 𝑍)

Proof of Theorem fdmfifsupp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fdmfisuppfi.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶𝑅)
2	1	ffund 6353	. 2 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
3		fdmfisuppfi.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Fin)
4		fdmfisuppfi.z	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
5	1, 3, 4	fdmfisuppfi 8643	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)
6	1	ffnd 6350	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐷)
7		fnex 6812	. . . 4 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐷 ∧ 𝐷 ∈ Fin) → 𝐹 ∈ V)
8	6, 3, 7	syl2anc 576	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
9		isfsupp 8638	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝐹 finSupp 𝑍 ↔ (Fun 𝐹 ∧ (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)))
10	8, 4, 9	syl2anc 576	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 finSupp 𝑍 ↔ (Fun 𝐹 ∧ (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)))
11	2, 5, 10	mpbir2and 701	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 387   ∈ wcel 2051  Vcvv 3417   class class class wbr 4934  Fun wfun 6187   Fn wfn 6188  ⟶wf 6189  (class class class)co 6982   supp csupp 7639  Fincfn 8312   finSupp cfsupp 8634

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2752  ax-rep 5053  ax-sep 5064  ax-nul 5071  ax-pow 5123  ax-pr 5190  ax-un 7285

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2551  df-eu 2589  df-clab 2761  df-cleq 2773  df-clel 2848  df-nfc 2920  df-ne 2970  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3419  df-sbc 3684  df-csb 3789  df-dif 3834  df-un 3836  df-in 3838  df-ss 3845  df-pss 3847  df-nul 4182  df-if 4354  df-pw 4427  df-sn 4445  df-pr 4447  df-tp 4449  df-op 4451  df-uni 4718  df-iun 4799  df-br 4935  df-opab 4997  df-mpt 5014  df-tr 5036  df-id 5316  df-eprel 5321  df-po 5330  df-so 5331  df-fr 5370  df-we 5372  df-xp 5417  df-rel 5418  df-cnv 5419  df-co 5420  df-dm 5421  df-rn 5422  df-res 5423  df-ima 5424  df-ord 6037  df-on 6038  df-lim 6039  df-suc 6040  df-iota 6157  df-fun 6195  df-fn 6196  df-f 6197  df-f1 6198  df-fo 6199  df-f1o 6200  df-fv 6201  df-ov 6985  df-oprab 6986  df-mpo 6987  df-om 7403  df-supp 7640  df-er 8095  df-en 8313  df-fin 8316  df-fsupp 8635

This theorem is referenced by:  fsuppmptdm  8645  fndmfifsupp  8647  gsummptfif1o  18853  psrmulcllem  19893  frlmfibas  20623  elfilspd  20664  tmdgsum  22422  tsmslem1  22455  tsmssubm  22469  tsmsres  22470  tsmsf1o  22471  tsmsmhm  22472  tsmsadd  22473  tsmsxplem1  22479  tsmsxplem2  22480  imasdsf1olem  22701  xrge0gsumle  23159  xrge0tsms  23160  rrxbasefi  23731  ehlbase  23736  jensenlem2  25282  jensen  25283  amgmlem  25284  amgm  25285  wilthlem2  25363  wilthlem3  25364  gsumle  30554  xrge0tsmsd  30562  linds2eq  30644  esumpfinvalf  31011  k0004ss2  39906  sge0tsms  42128  fsuppmptdmf  43830  linccl  43871  lcosn0  43877  islinindfis  43906  snlindsntor  43928  ldepspr  43930  zlmodzxzldeplem2  43958  amgmwlem  44305  amgmlemALT  44306