Theorem fdmfifsupp 8995

Description: A function with a finite domain is always finitely supported. (Contributed by AV, 25-May-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fdmfisuppfi.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶𝑅)
fdmfisuppfi.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Fin)
fdmfisuppfi.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
fdmfifsupp	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 𝑍)

Proof of Theorem fdmfifsupp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fdmfisuppfi.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶𝑅)
2	1	ffund 6549	. 2 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
3		fdmfisuppfi.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Fin)
4		fdmfisuppfi.z	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
5	1, 3, 4	fdmfisuppfi 8994	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)
6	1	ffnd 6546	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐷)
7		fnex 7033	. . . 4 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐷 ∧ 𝐷 ∈ Fin) → 𝐹 ∈ V)
8	6, 3, 7	syl2anc 587	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
9		isfsupp 8989	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝐹 finSupp 𝑍 ↔ (Fun 𝐹 ∧ (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)))
10	8, 4, 9	syl2anc 587	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 finSupp 𝑍 ↔ (Fun 𝐹 ∧ (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)))
11	2, 5, 10	mpbir2and 713	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∈ wcel 2110  Vcvv 3408   class class class wbr 5053  Fun wfun 6374   Fn wfn 6375  ⟶wf 6376  (class class class)co 7213   supp csupp 7903  Fincfn 8626   finSupp cfsupp 8985

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pr 5322  ax-un 7523

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-supp 7904  df-1o 8202  df-en 8627  df-fin 8630  df-fsupp 8986

This theorem is referenced by:  fsuppmptdm  8996  fndmfifsupp  8998  gsumreidx  19302  gsummptfif1o  19353  frlmfibas  20724  elfilspd  20765  psrmulcllem  20912  tmdgsum  22992  tsmslem1  23026  tsmssubm  23040  tsmsres  23041  tsmsf1o  23042  tsmsmhm  23043  tsmsadd  23044  tsmsxplem1  23050  tsmsxplem2  23051  imasdsf1olem  23271  xrge0gsumle  23730  xrge0tsms  23731  rrxbasefi  24307  ehlbase  24312  jensenlem2  25870  jensen  25871  amgmlem  25872  amgm  25873  wilthlem2  25951  wilthlem3  25952  xrge0tsmsd  31036  gsumle  31069  linds2eq  31289  elrspunidl  31320  esumpfinvalf  31756  k0004ss2  41439  sge0tsms  43593  fsuppmptdmf  45390  linccl  45428  lcosn0  45434  islinindfis  45463  snlindsntor  45485  ldepspr  45487  zlmodzxzldeplem2  45515  amgmwlem  46177  amgmlemALT  46178