Theorem fdmfifsupp 9323

Description: A function with a finite domain is always finitely supported. (Contributed by AV, 25-May-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fdmfisuppfi.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶𝑅)
fdmfisuppfi.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Fin)
fdmfisuppfi.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
fdmfifsupp	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 𝑍)

Proof of Theorem fdmfifsupp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fdmfisuppfi.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶𝑅)
2	1	ffund 6700	. 2 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
3		fdmfisuppfi.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Fin)
4		fdmfisuppfi.z	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
5	1, 3, 4	fdmfisuppfi 9322	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)
6	1	ffnd 6696	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐷)
7		fnex 7205	. . . 4 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐷 ∧ 𝐷 ∈ Fin) → 𝐹 ∈ V)
8	6, 3, 7	syl2anc 595	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
9		isfsupp 9313	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝐹 finSupp 𝑍 ↔ (Fun 𝐹 ∧ (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)))
10	8, 4, 9	syl2anc 595	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 finSupp 𝑍 ↔ (Fun 𝐹 ∧ (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)))
11	2, 5, 10	mpbir2and 725	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∈ wcel 2145  Vcvv 3457   class class class wbr 5105  Fun wfun 6519   Fn wfn 6520  ⟶wf 6521  (class class class)co 7400   supp csupp 8144  Fincfn 8931   finSupp cfsupp 9309

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pr 5395  ax-un 7722

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-supp 8145  df-1o 8441  df-en 8932  df-fin 8935  df-fsupp 9310

This theorem is referenced by:  fsuppmptdm  9324  fndmfifsupp  9326  gsumreidx  19978  gsummptfif1o  20029  gsumle  20206  frlmfibas  21872  elfilspd  21913  rhmpsrlem1  22050  tmdgsum  24213  tsmslem1  24247  tsmssubm  24261  tsmsres  24262  tsmsf1o  24263  tsmsmhm  24264  tsmsadd  24265  tsmsxplem1  24271  tsmsxplem2  24272  imasdsf1olem  24491  xrge0gsumle  24952  xrge0tsms  24953  rrxbasefi  25530  ehlbase  25535  jensenlem2  27110  jensen  27111  amgmlem  27112  amgm  27113  wilthlem2  27191  wilthlem3  27192  wrdfsupp  33170  gsummulsubdishift2  33302  xrge0tsmsd  33306  linds2eq  33610  elrspunidl  33652  rprmdvdsprod  33741  selvply1rhmlema  33825  selvply1rhmlemb  33826  psrmonprod  33859  esplyfvaln  33881  esumpfinvalf  34383  k0004ss2  44740  sge0tsms  46952  fsuppmptdmf  49009  linccl  49045  lcosn0  49051  islinindfis  49080  snlindsntor  49102  ldepspr  49104  zlmodzxzldeplem2  49132  amgmwlem  50431  amgmlemALT  50432