Theorem fdmfifsupp 9349

Description: A function with a finite domain is always finitely supported. (Contributed by AV, 25-May-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fdmfisuppfi.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶𝑅)
fdmfisuppfi.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Fin)
fdmfisuppfi.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
fdmfifsupp	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 𝑍)

Proof of Theorem fdmfifsupp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fdmfisuppfi.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶𝑅)
2	1	ffund 6711	. 2 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
3		fdmfisuppfi.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Fin)
4		fdmfisuppfi.z	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
5	1, 3, 4	fdmfisuppfi 9348	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)
6	1	ffnd 6707	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐷)
7		fnex 7220	. . . 4 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐷 ∧ 𝐷 ∈ Fin) → 𝐹 ∈ V)
8	6, 3, 7	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
9		isfsupp 9339	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝐹 finSupp 𝑍 ↔ (Fun 𝐹 ∧ (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)))
10	8, 4, 9	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 finSupp 𝑍 ↔ (Fun 𝐹 ∧ (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)))
11	2, 5, 10	mpbir2and 726	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 𝑍)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145  Vcvv 3453   class class class wbr 5107  Fun wfun 6531   Fn wfn 6532  ⟶wf 6533  (class class class)co 7417   supp csupp 8162  Fincfn 8956   finSupp cfsupp 9335

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pr 5402  ax-un 7740

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-supp 8163  df-1o 8459  df-en 8957  df-fin 8960  df-fsupp 9336

This theorem is used by:  fsuppmptdm  9350  fndmfifsupp  9352  gsumreidx  20050  gsummptfif1o  20101  gsumle  20278  frlmfibas  21981  elfilspd  22022  rhmpsrlem1  22161  tmdgsum  24327  tsmslem1  24361  tsmssubm  24375  tsmsres  24376  tsmsf1o  24377  tsmsmhm  24378  tsmsadd  24379  tsmsxplem1  24385  tsmsxplem2  24386  imasdsf1olem  24605  xrge0gsumle  25066  xrge0tsms  25067  rrxbasefi  25644  ehlbase  25649  jensenlem2  27232  jensen  27233  amgmlem  27234  amgm  27235  wilthlem2  27313  wilthlem3  27314  wrdfsupp  33391  gsummulsubdishift2  33517  xrge0tsmsd  33521  linds2eq  33822  elrspunidl  33864  rprmdvdsprod  33952  selvply1rhmlema  34036  selvply1rhmlemb  34037  psrmonprod  34070  esplyfvaln  34092  esumpfinvalf  34594  k0004ss2  45000  sge0tsms  47216  fsuppmptdmf  49316  linccl  49352  lcosn0  49358  islinindfis  49387  snlindsntor  49409  ldepspr  49411  zlmodzxzldeplem2  49439  amgmwlem  50828  amgmlemALT  50829