Theorem fdmfifsupp 9281

Description: A function with a finite domain is always finitely supported. (Contributed by AV, 25-May-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fdmfisuppfi.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶𝑅)
fdmfisuppfi.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Fin)
fdmfisuppfi.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
fdmfifsupp	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 𝑍)

Proof of Theorem fdmfifsupp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fdmfisuppfi.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶𝑅)
2	1	ffund 6666	. 2 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
3		fdmfisuppfi.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Fin)
4		fdmfisuppfi.z	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
5	1, 3, 4	fdmfisuppfi 9280	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)
6	1	ffnd 6663	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐷)
7		fnex 7165	. . . 4 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐷 ∧ 𝐷 ∈ Fin) → 𝐹 ∈ V)
8	6, 3, 7	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
9		isfsupp 9271	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝐹 finSupp 𝑍 ↔ (Fun 𝐹 ∧ (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)))
10	8, 4, 9	syl2anc 585	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 finSupp 𝑍 ↔ (Fun 𝐹 ∧ (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)))
11	2, 5, 10	mpbir2and 714	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430   class class class wbr 5086  Fun wfun 6486   Fn wfn 6487  ⟶wf 6488  (class class class)co 7360   supp csupp 8103  Fincfn 8886   finSupp cfsupp 9267

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pr 5370  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-supp 8104  df-1o 8398  df-en 8887  df-fin 8890  df-fsupp 9268

This theorem is referenced by:  fsuppmptdm  9282  fndmfifsupp  9284  gsumreidx  19883  gsummptfif1o  19934  gsumle  20111  frlmfibas  21752  elfilspd  21793  rhmpsrlem1  21929  tmdgsum  24070  tsmslem1  24104  tsmssubm  24118  tsmsres  24119  tsmsf1o  24120  tsmsmhm  24121  tsmsadd  24122  tsmsxplem1  24128  tsmsxplem2  24129  imasdsf1olem  24348  xrge0gsumle  24809  xrge0tsms  24810  rrxbasefi  25387  ehlbase  25392  jensenlem2  26965  jensen  26966  amgmlem  26967  amgm  26968  wilthlem2  27046  wilthlem3  27047  wrdfsupp  33012  gsummulsubdishift2  33145  xrge0tsmsd  33149  linds2eq  33456  elrspunidl  33503  rprmdvdsprod  33609  psrmonprod  33711  esplyfvaln  33733  esumpfinvalf  34236  k0004ss2  44597  sge0tsms  46826  fsuppmptdmf  48866  linccl  48902  lcosn0  48908  islinindfis  48937  snlindsntor  48959  ldepspr  48961  zlmodzxzldeplem2  48989  amgmwlem  50289  amgmlemALT  50290