Theorem fdmfifsupp 9351

Description: A function with a finite domain is always finitely supported. (Contributed by AV, 25-May-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fdmfisuppfi.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶𝑅)
fdmfisuppfi.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Fin)
fdmfisuppfi.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
fdmfifsupp	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 𝑍)

Proof of Theorem fdmfifsupp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fdmfisuppfi.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶𝑅)
2	1	ffund 6706	. 2 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
3		fdmfisuppfi.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Fin)
4		fdmfisuppfi.z	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
5	1, 3, 4	fdmfisuppfi 9350	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)
6	1	ffnd 6702	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐷)
7		fnex 7215	. . . 4 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐷 ∧ 𝐷 ∈ Fin) → 𝐹 ∈ V)
8	6, 3, 7	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
9		isfsupp 9341	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝐹 finSupp 𝑍 ↔ (Fun 𝐹 ∧ (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)))
10	8, 4, 9	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 finSupp 𝑍 ↔ (Fun 𝐹 ∧ (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)))
11	2, 5, 10	mpbir2and 726	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 𝑍)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145  Vcvv 3451   class class class wbr 5103  Fun wfun 6525   Fn wfn 6526  ⟶wf 6527  (class class class)co 7412   supp csupp 8161  Fincfn 8957   finSupp cfsupp 9337

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pr 5391  ax-un 7740

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-supp 8162  df-1o 8460  df-en 8958  df-fin 8961  df-fsupp 9338

This theorem is used by:  fsuppmptdm  9352  fndmfifsupp  9354  gsumreidx  20111  gsummptfif1o  20162  gsumle  20339  frlmfibas  22048  elfilspd  22089  rhmpsrlem1  22228  tmdgsum  24394  tsmslem1  24428  tsmssubm  24442  tsmsres  24443  tsmsf1o  24444  tsmsmhm  24445  tsmsadd  24446  tsmsxplem1  24452  tsmsxplem2  24453  imasdsf1olem  24672  xrge0gsumle  25133  xrge0tsms  25134  rrxbasefi  25711  ehlbase  25716  jensenlem2  27297  jensen  27298  amgmlem  27299  amgm  27300  wilthlem2  27378  wilthlem3  27379  wrdfsupp  33486  gsummulsubdishift2  33612  xrge0tsmsd  33616  linds2eq  33918  elrspunidl  33960  rprmdvdsprod  34048  selvply1rhmlema  34132  selvply1rhmlemb  34133  psrmonprod  34166  esplyfvaln  34188  esumpfinvalf  34690  k0004ss2  45111  sge0tsms  47334  fsuppmptdmf  49434  linccl  49470  lcosn0  49476  islinindfis  49505  snlindsntor  49527  ldepspr  49529  zlmodzxzldeplem2  49557  amgmwlem  50931  amgmlemALT  50932