Theorem fdmfifsupp 9326

Description: A function with a finite domain is always finitely supported. (Contributed by AV, 25-May-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fdmfisuppfi.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶𝑅)
fdmfisuppfi.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Fin)
fdmfisuppfi.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
fdmfifsupp	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 𝑍)

Proof of Theorem fdmfifsupp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fdmfisuppfi.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶𝑅)
2	1	ffund 6692	. 2 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
3		fdmfisuppfi.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Fin)
4		fdmfisuppfi.z	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
5	1, 3, 4	fdmfisuppfi 9325	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)
6	1	ffnd 6689	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐷)
7		fnex 7191	. . . 4 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐷 ∧ 𝐷 ∈ Fin) → 𝐹 ∈ V)
8	6, 3, 7	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
9		isfsupp 9316	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝐹 finSupp 𝑍 ↔ (Fun 𝐹 ∧ (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)))
10	8, 4, 9	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 finSupp 𝑍 ↔ (Fun 𝐹 ∧ (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)))
11	2, 5, 10	mpbir2and 713	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109  Vcvv 3447   class class class wbr 5107  Fun wfun 6505   Fn wfn 6506  ⟶wf 6507  (class class class)co 7387   supp csupp 8139  Fincfn 8918   finSupp cfsupp 9312

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pr 5387  ax-un 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-supp 8140  df-1o 8434  df-en 8919  df-fin 8922  df-fsupp 9313

This theorem is referenced by:  fsuppmptdm  9327  fndmfifsupp  9329  gsumreidx  19847  gsummptfif1o  19898  frlmfibas  21671  elfilspd  21712  rhmpsrlem1  21849  tmdgsum  23982  tsmslem1  24016  tsmssubm  24030  tsmsres  24031  tsmsf1o  24032  tsmsmhm  24033  tsmsadd  24034  tsmsxplem1  24040  tsmsxplem2  24041  imasdsf1olem  24261  xrge0gsumle  24722  xrge0tsms  24723  rrxbasefi  25310  ehlbase  25315  jensenlem2  26898  jensen  26899  amgmlem  26900  amgm  26901  wilthlem2  26979  wilthlem3  26980  wrdfsupp  32858  xrge0tsmsd  33002  gsumle  33038  linds2eq  33352  elrspunidl  33399  rprmdvdsprod  33505  esumpfinvalf  34066  k0004ss2  44141  sge0tsms  46378  fsuppmptdmf  48366  linccl  48403  lcosn0  48409  islinindfis  48438  snlindsntor  48460  ldepspr  48462  zlmodzxzldeplem2  48490  amgmwlem  49791  amgmlemALT  49792