MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvferm1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvferm1 24499
Description: One-sided version of dvferm 24502. A point 𝑈 which is the local maximum of its right neighborhood has derivative at most zero. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvferm.a (𝜑𝐹:𝑋⟶ℝ)
dvferm.b (𝜑𝑋 ⊆ ℝ)
dvferm.u (𝜑𝑈 ∈ (𝐴(,)𝐵))
dvferm.s (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝑋)
dvferm.d (𝜑𝑈 ∈ dom (ℝ D 𝐹))
dvferm1.r (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝑈(,)𝐵)(𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑈))
Assertion
Ref Expression
dvferm1 (𝜑 → ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ≤ 0)
Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,𝐵   𝑦,𝐹   𝑦,𝑈   𝑦,𝑋   𝜑,𝑦

Proof of Theorem dvferm1
Dummy variables 𝑧 𝑥 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6666 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑧 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑧))
21oveq1d 7166 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑧 → ((𝐹𝑥) − (𝐹𝑈)) = ((𝐹𝑧) − (𝐹𝑈)))
3 oveq1 7158 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥𝑈) = (𝑧𝑈))
42, 3oveq12d 7169 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑧 → (((𝐹𝑥) − (𝐹𝑈)) / (𝑥𝑈)) = (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑈)) / (𝑧𝑈)))
5 eqid 2825 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}) ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐹𝑈)) / (𝑥𝑈))) = (𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}) ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐹𝑈)) / (𝑥𝑈)))
6 ovex 7184 . . . . . . . . . 10 (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑈)) / (𝑧𝑈)) ∈ V
74, 5, 6fvmpt 6764 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}) → ((𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}) ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐹𝑈)) / (𝑥𝑈)))‘𝑧) = (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑈)) / (𝑧𝑈)))
87fvoveq1d 7173 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}) → (abs‘(((𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}) ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐹𝑈)) / (𝑥𝑈)))‘𝑧) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) = (abs‘((((𝐹𝑧) − (𝐹𝑈)) / (𝑧𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))))
9 id 22 . . . . . . . 8 (𝑦 = ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) → 𝑦 = ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))
108, 9breqan12rd 5079 . . . . . . 7 ((𝑦 = ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})) → ((abs‘(((𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}) ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐹𝑈)) / (𝑥𝑈)))‘𝑧) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < 𝑦 ↔ (abs‘((((𝐹𝑧) − (𝐹𝑈)) / (𝑧𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)))
1110imbi2d 342 . . . . . 6 ((𝑦 = ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})) → (((𝑧𝑈 ∧ (abs‘(𝑧𝑈)) < 𝑢) → (abs‘(((𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}) ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐹𝑈)) / (𝑥𝑈)))‘𝑧) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < 𝑦) ↔ ((𝑧𝑈 ∧ (abs‘(𝑧𝑈)) < 𝑢) → (abs‘((((𝐹𝑧) − (𝐹𝑈)) / (𝑧𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))))
1211ralbidva 3200 . . . . 5 (𝑦 = ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) → (∀𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧𝑈 ∧ (abs‘(𝑧𝑈)) < 𝑢) → (abs‘(((𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}) ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐹𝑈)) / (𝑥𝑈)))‘𝑧) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < 𝑦) ↔ ∀𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧𝑈 ∧ (abs‘(𝑧𝑈)) < 𝑢) → (abs‘((((𝐹𝑧) − (𝐹𝑈)) / (𝑧𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))))
1312rexbidv 3301 . . . 4 (𝑦 = ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) → (∃𝑢 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧𝑈 ∧ (abs‘(𝑧𝑈)) < 𝑢) → (abs‘(((𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}) ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐹𝑈)) / (𝑥𝑈)))‘𝑧) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < 𝑦) ↔ ∃𝑢 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧𝑈 ∧ (abs‘(𝑧𝑈)) < 𝑢) → (abs‘((((𝐹𝑧) − (𝐹𝑈)) / (𝑧𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))))
14 dvferm.d . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑈 ∈ dom (ℝ D 𝐹))
15 dvf 24422 . . . . . . . . . . 11 (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℂ
16 ffun 6513 . . . . . . . . . . 11 ((ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℂ → Fun (ℝ D 𝐹))
17 funfvbrb 6816 . . . . . . . . . . 11 (Fun (ℝ D 𝐹) → (𝑈 ∈ dom (ℝ D 𝐹) ↔ 𝑈(ℝ D 𝐹)((ℝ D 𝐹)‘𝑈)))
1815, 16, 17mp2b 10 . . . . . . . . . 10 (𝑈 ∈ dom (ℝ D 𝐹) ↔ 𝑈(ℝ D 𝐹)((ℝ D 𝐹)‘𝑈))
1914, 18sylib 219 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑈(ℝ D 𝐹)((ℝ D 𝐹)‘𝑈))
20 eqid 2825 . . . . . . . . . 10 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
21 eqid 2825 . . . . . . . . . 10 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
22 ax-resscn 10586 . . . . . . . . . . 11 ℝ ⊆ ℂ
2322a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
24 dvferm.a . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹:𝑋⟶ℝ)
25 fss 6523 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:𝑋⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
2624, 22, 25sylancl 586 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹:𝑋⟶ℂ)
27 dvferm.b . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋 ⊆ ℝ)
2820, 21, 5, 23, 26, 27eldv 24413 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑈(ℝ D 𝐹)((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ↔ (𝑈 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))‘𝑋) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ∈ ((𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}) ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐹𝑈)) / (𝑥𝑈))) lim 𝑈))))
2919, 28mpbid 233 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑈 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))‘𝑋) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ∈ ((𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}) ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐹𝑈)) / (𝑥𝑈))) lim 𝑈)))
3029simprd 496 . . . . . . 7 (𝜑 → ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ∈ ((𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}) ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐹𝑈)) / (𝑥𝑈))) lim 𝑈))
3130adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 0 < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ∈ ((𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}) ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐹𝑈)) / (𝑥𝑈))) lim 𝑈))
3227, 22syl6ss 3982 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋 ⊆ ℂ)
33 dvferm.s . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝑋)
34 dvferm.u . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑈 ∈ (𝐴(,)𝐵))
3533, 34sseldd 3971 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑈𝑋)
3626, 32, 35dvlem 24411 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})) → (((𝐹𝑥) − (𝐹𝑈)) / (𝑥𝑈)) ∈ ℂ)
3736fmpttd 6874 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}) ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐹𝑈)) / (𝑥𝑈))):(𝑋 ∖ {𝑈})⟶ℂ)
3837adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)) → (𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}) ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐹𝑈)) / (𝑥𝑈))):(𝑋 ∖ {𝑈})⟶ℂ)
3932adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 0 < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)) → 𝑋 ⊆ ℂ)
4039ssdifssd 4122 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)) → (𝑋 ∖ {𝑈}) ⊆ ℂ)
4132, 35sseldd 3971 . . . . . . . 8 (𝜑𝑈 ∈ ℂ)
4241adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)) → 𝑈 ∈ ℂ)
4338, 40, 42ellimc3 24394 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 0 < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)) → (((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ∈ ((𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}) ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐹𝑈)) / (𝑥𝑈))) lim 𝑈) ↔ (((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑢 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧𝑈 ∧ (abs‘(𝑧𝑈)) < 𝑢) → (abs‘(((𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}) ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐹𝑈)) / (𝑥𝑈)))‘𝑧) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < 𝑦))))
4431, 43mpbid 233 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)) → (((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑢 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧𝑈 ∧ (abs‘(𝑧𝑈)) < 𝑢) → (abs‘(((𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}) ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐹𝑈)) / (𝑥𝑈)))‘𝑧) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < 𝑦)))
4544simprd 496 . . . 4 ((𝜑 ∧ 0 < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)) → ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑢 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧𝑈 ∧ (abs‘(𝑧𝑈)) < 𝑢) → (abs‘(((𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}) ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐹𝑈)) / (𝑥𝑈)))‘𝑧) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < 𝑦))
46 dvfre 24465 . . . . . . . 8 ((𝐹:𝑋⟶ℝ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ)
4724, 27, 46syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ)
4847, 14ffvelrnd 6847 . . . . . 6 (𝜑 → ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ∈ ℝ)
4948anim1i 614 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)) → (((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ∈ ℝ ∧ 0 < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)))
50 elrp 12384 . . . . 5 (((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ∈ ℝ+ ↔ (((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ∈ ℝ ∧ 0 < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)))
5149, 50sylibr 235 . . . 4 ((𝜑 ∧ 0 < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ∈ ℝ+)
5213, 45, 51rspcdva 3628 . . 3 ((𝜑 ∧ 0 < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)) → ∃𝑢 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧𝑈 ∧ (abs‘(𝑧𝑈)) < 𝑢) → (abs‘((((𝐹𝑧) − (𝐹𝑈)) / (𝑧𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)))
5324ad3antrrr 726 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ 0 < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧𝑈 ∧ (abs‘(𝑧𝑈)) < 𝑢) → (abs‘((((𝐹𝑧) − (𝐹𝑈)) / (𝑧𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) → 𝐹:𝑋⟶ℝ)
5427ad3antrrr 726 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ 0 < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧𝑈 ∧ (abs‘(𝑧𝑈)) < 𝑢) → (abs‘((((𝐹𝑧) − (𝐹𝑈)) / (𝑧𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) → 𝑋 ⊆ ℝ)
5534ad3antrrr 726 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ 0 < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧𝑈 ∧ (abs‘(𝑧𝑈)) < 𝑢) → (abs‘((((𝐹𝑧) − (𝐹𝑈)) / (𝑧𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) → 𝑈 ∈ (𝐴(,)𝐵))
5633ad3antrrr 726 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ 0 < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧𝑈 ∧ (abs‘(𝑧𝑈)) < 𝑢) → (abs‘((((𝐹𝑧) − (𝐹𝑈)) / (𝑧𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝑋)
5714ad3antrrr 726 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ 0 < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧𝑈 ∧ (abs‘(𝑧𝑈)) < 𝑢) → (abs‘((((𝐹𝑧) − (𝐹𝑈)) / (𝑧𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) → 𝑈 ∈ dom (ℝ D 𝐹))
58 dvferm1.r . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝑈(,)𝐵)(𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑈))
5958ad3antrrr 726 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ 0 < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧𝑈 ∧ (abs‘(𝑧𝑈)) < 𝑢) → (abs‘((((𝐹𝑧) − (𝐹𝑈)) / (𝑧𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) → ∀𝑦 ∈ (𝑈(,)𝐵)(𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑈))
60 simpllr 772 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ 0 < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧𝑈 ∧ (abs‘(𝑧𝑈)) < 𝑢) → (abs‘((((𝐹𝑧) − (𝐹𝑈)) / (𝑧𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) → 0 < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))
61 simplr 765 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ 0 < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧𝑈 ∧ (abs‘(𝑧𝑈)) < 𝑢) → (abs‘((((𝐹𝑧) − (𝐹𝑈)) / (𝑧𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) → 𝑢 ∈ ℝ+)
62 simpr 485 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ 0 < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧𝑈 ∧ (abs‘(𝑧𝑈)) < 𝑢) → (abs‘((((𝐹𝑧) − (𝐹𝑈)) / (𝑧𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) → ∀𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧𝑈 ∧ (abs‘(𝑧𝑈)) < 𝑢) → (abs‘((((𝐹𝑧) − (𝐹𝑈)) / (𝑧𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)))
63 eqid 2825 . . . . . 6 ((𝑈 + if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑢), 𝐵, (𝑈 + 𝑢))) / 2) = ((𝑈 + if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑢), 𝐵, (𝑈 + 𝑢))) / 2)
6453, 54, 55, 56, 57, 59, 60, 61, 62, 63dvferm1lem 24498 . . . . 5 ¬ (((𝜑 ∧ 0 < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧𝑈 ∧ (abs‘(𝑧𝑈)) < 𝑢) → (abs‘((((𝐹𝑧) − (𝐹𝑈)) / (𝑧𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)))
6564imnani 401 . . . 4 (((𝜑 ∧ 0 < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) → ¬ ∀𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧𝑈 ∧ (abs‘(𝑧𝑈)) < 𝑢) → (abs‘((((𝐹𝑧) − (𝐹𝑈)) / (𝑧𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)))
6665nrexdv 3274 . . 3 ((𝜑 ∧ 0 < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)) → ¬ ∃𝑢 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧𝑈 ∧ (abs‘(𝑧𝑈)) < 𝑢) → (abs‘((((𝐹𝑧) − (𝐹𝑈)) / (𝑧𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)))
6752, 66pm2.65da 813 . 2 (𝜑 → ¬ 0 < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))
68 0re 10635 . . 3 0 ∈ ℝ
69 lenlt 10711 . . 3 ((((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ≤ 0 ↔ ¬ 0 < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)))
7048, 68, 69sylancl 586 . 2 (𝜑 → (((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ≤ 0 ↔ ¬ 0 < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)))
7167, 70mpbird 258 1 (𝜑 → ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ≤ 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1530  wcel 2107  wne 3020  wral 3142  wrex 3143  cdif 3936  wss 3939  ifcif 4469  {csn 4563   class class class wbr 5062  cmpt 5142  dom cdm 5553  Fun wfun 6345  wf 6347  cfv 6351  (class class class)co 7151  cc 10527  cr 10528  0cc0 10529   + caddc 10532   < clt 10667  cle 10668  cmin 10862   / cdiv 11289  2c2 11684  +crp 12382  (,)cioo 12731  abscabs 14586  t crest 16686  TopOpenctopn 16687  fldccnfld 20463  intcnt 21543   lim climc 24377   D cdv 24378
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2797  ax-rep 5186  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2619  df-eu 2651  df-clab 2804  df-cleq 2818  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rmo 3150  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4837  df-int 4874  df-iun 4918  df-iin 4919  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-tr 5169  df-id 5458  df-eprel 5463  df-po 5472  df-so 5473  df-fr 5512  df-we 5514  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7572  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-oadd 8100  df-er 8282  df-map 8401  df-pm 8402  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-fi 8867  df-sup 8898  df-inf 8899  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12383  df-xneg 12500  df-xadd 12501  df-xmul 12502  df-ioo 12735  df-icc 12738  df-fz 12886  df-seq 13363  df-exp 13423  df-cj 14451  df-re 14452  df-im 14453  df-sqrt 14587  df-abs 14588  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-starv 16572  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-unif 16580  df-rest 16688  df-topn 16689  df-topgen 16709  df-psmet 20455  df-xmet 20456  df-met 20457  df-bl 20458  df-mopn 20459  df-fbas 20460  df-fg 20461  df-cnfld 20464  df-top 21420  df-topon 21437  df-topsp 21459  df-bases 21472  df-cld 21545  df-ntr 21546  df-cls 21547  df-nei 21624  df-lp 21662  df-perf 21663  df-cn 21753  df-cnp 21754  df-haus 21841  df-fil 22372  df-fm 22464  df-flim 22465  df-flf 22466  df-xms 22847  df-ms 22848  df-cncf 23403  df-limc 24381  df-dv 24382
This theorem is referenced by:  dvferm  24502  dvivthlem1  24522
  Copyright terms: Public domain W3C validator