MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvferm1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvferm1 26037
Description: One-sided version of dvferm 26040. A point 𝑈 which is the local maximum of its right neighborhood has derivative at most zero. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvferm.a (𝜑𝐹:𝑋⟶ℝ)
dvferm.b (𝜑𝑋 ⊆ ℝ)
dvferm.u (𝜑𝑈 ∈ (𝐴(,)𝐵))
dvferm.s (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝑋)
dvferm.d (𝜑𝑈 ∈ dom (ℝ D 𝐹))
dvferm1.r (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝑈(,)𝐵)(𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑈))
Assertion
Ref Expression
dvferm1 (𝜑 → ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ≤ 0)
Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,𝐵   𝑦,𝐹   𝑦,𝑈   𝑦,𝑋   𝜑,𝑦

Proof of Theorem dvferm1
Dummy variables 𝑧 𝑥 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑧 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑧))
21oveq1d 7445 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑧 → ((𝐹𝑥) − (𝐹𝑈)) = ((𝐹𝑧) − (𝐹𝑈)))
3 oveq1 7437 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥𝑈) = (𝑧𝑈))
42, 3oveq12d 7448 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑧 → (((𝐹𝑥) − (𝐹𝑈)) / (𝑥𝑈)) = (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑈)) / (𝑧𝑈)))
5 eqid 2734 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}) ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐹𝑈)) / (𝑥𝑈))) = (𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}) ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐹𝑈)) / (𝑥𝑈)))
6 ovex 7463 . . . . . . . . . 10 (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑈)) / (𝑧𝑈)) ∈ V
74, 5, 6fvmpt 7015 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}) → ((𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}) ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐹𝑈)) / (𝑥𝑈)))‘𝑧) = (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑈)) / (𝑧𝑈)))
87fvoveq1d 7452 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}) → (abs‘(((𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}) ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐹𝑈)) / (𝑥𝑈)))‘𝑧) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) = (abs‘((((𝐹𝑧) − (𝐹𝑈)) / (𝑧𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))))
9 id 22 . . . . . . . 8 (𝑦 = ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) → 𝑦 = ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))
108, 9breqan12rd 5164 . . . . . . 7 ((𝑦 = ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})) → ((abs‘(((𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}) ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐹𝑈)) / (𝑥𝑈)))‘𝑧) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < 𝑦 ↔ (abs‘((((𝐹𝑧) − (𝐹𝑈)) / (𝑧𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)))
1110imbi2d 340 . . . . . 6 ((𝑦 = ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})) → (((𝑧𝑈 ∧ (abs‘(𝑧𝑈)) < 𝑢) → (abs‘(((𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}) ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐹𝑈)) / (𝑥𝑈)))‘𝑧) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < 𝑦) ↔ ((𝑧𝑈 ∧ (abs‘(𝑧𝑈)) < 𝑢) → (abs‘((((𝐹𝑧) − (𝐹𝑈)) / (𝑧𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))))
1211ralbidva 3173 . . . . 5 (𝑦 = ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) → (∀𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧𝑈 ∧ (abs‘(𝑧𝑈)) < 𝑢) → (abs‘(((𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}) ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐹𝑈)) / (𝑥𝑈)))‘𝑧) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < 𝑦) ↔ ∀𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧𝑈 ∧ (abs‘(𝑧𝑈)) < 𝑢) → (abs‘((((𝐹𝑧) − (𝐹𝑈)) / (𝑧𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))))
1312rexbidv 3176 . . . 4 (𝑦 = ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) → (∃𝑢 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧𝑈 ∧ (abs‘(𝑧𝑈)) < 𝑢) → (abs‘(((𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}) ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐹𝑈)) / (𝑥𝑈)))‘𝑧) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < 𝑦) ↔ ∃𝑢 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧𝑈 ∧ (abs‘(𝑧𝑈)) < 𝑢) → (abs‘((((𝐹𝑧) − (𝐹𝑈)) / (𝑧𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))))
14 dvferm.d . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑈 ∈ dom (ℝ D 𝐹))
15 dvf 25956 . . . . . . . . . . 11 (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℂ
16 ffun 6739 . . . . . . . . . . 11 ((ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℂ → Fun (ℝ D 𝐹))
17 funfvbrb 7070 . . . . . . . . . . 11 (Fun (ℝ D 𝐹) → (𝑈 ∈ dom (ℝ D 𝐹) ↔ 𝑈(ℝ D 𝐹)((ℝ D 𝐹)‘𝑈)))
1815, 16, 17mp2b 10 . . . . . . . . . 10 (𝑈 ∈ dom (ℝ D 𝐹) ↔ 𝑈(ℝ D 𝐹)((ℝ D 𝐹)‘𝑈))
1914, 18sylib 218 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑈(ℝ D 𝐹)((ℝ D 𝐹)‘𝑈))
20 eqid 2734 . . . . . . . . . 10 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
21 eqid 2734 . . . . . . . . . 10 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
22 ax-resscn 11209 . . . . . . . . . . 11 ℝ ⊆ ℂ
2322a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
24 dvferm.a . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹:𝑋⟶ℝ)
25 fss 6752 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:𝑋⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
2624, 22, 25sylancl 586 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹:𝑋⟶ℂ)
27 dvferm.b . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋 ⊆ ℝ)
2820, 21, 5, 23, 26, 27eldv 25947 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑈(ℝ D 𝐹)((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ↔ (𝑈 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))‘𝑋) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ∈ ((𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}) ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐹𝑈)) / (𝑥𝑈))) lim 𝑈))))
2919, 28mpbid 232 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑈 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))‘𝑋) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ∈ ((𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}) ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐹𝑈)) / (𝑥𝑈))) lim 𝑈)))
3029simprd 495 . . . . . . 7 (𝜑 → ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ∈ ((𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}) ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐹𝑈)) / (𝑥𝑈))) lim 𝑈))
3130adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 0 < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ∈ ((𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}) ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐹𝑈)) / (𝑥𝑈))) lim 𝑈))
3227, 22sstrdi 4007 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋 ⊆ ℂ)
33 dvferm.s . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝑋)
34 dvferm.u . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑈 ∈ (𝐴(,)𝐵))
3533, 34sseldd 3995 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑈𝑋)
3626, 32, 35dvlem 25945 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})) → (((𝐹𝑥) − (𝐹𝑈)) / (𝑥𝑈)) ∈ ℂ)
3736fmpttd 7134 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}) ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐹𝑈)) / (𝑥𝑈))):(𝑋 ∖ {𝑈})⟶ℂ)
3837adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)) → (𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}) ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐹𝑈)) / (𝑥𝑈))):(𝑋 ∖ {𝑈})⟶ℂ)
3932adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 0 < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)) → 𝑋 ⊆ ℂ)
4039ssdifssd 4156 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)) → (𝑋 ∖ {𝑈}) ⊆ ℂ)
4132, 35sseldd 3995 . . . . . . . 8 (𝜑𝑈 ∈ ℂ)
4241adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)) → 𝑈 ∈ ℂ)
4338, 40, 42ellimc3 25928 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 0 < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)) → (((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ∈ ((𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}) ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐹𝑈)) / (𝑥𝑈))) lim 𝑈) ↔ (((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑢 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧𝑈 ∧ (abs‘(𝑧𝑈)) < 𝑢) → (abs‘(((𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}) ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐹𝑈)) / (𝑥𝑈)))‘𝑧) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < 𝑦))))
4431, 43mpbid 232 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)) → (((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑢 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧𝑈 ∧ (abs‘(𝑧𝑈)) < 𝑢) → (abs‘(((𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}) ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐹𝑈)) / (𝑥𝑈)))‘𝑧) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < 𝑦)))
4544simprd 495 . . . 4 ((𝜑 ∧ 0 < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)) → ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑢 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧𝑈 ∧ (abs‘(𝑧𝑈)) < 𝑢) → (abs‘(((𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈}) ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐹𝑈)) / (𝑥𝑈)))‘𝑧) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < 𝑦))
46 dvfre 26003 . . . . . . . 8 ((𝐹:𝑋⟶ℝ ∧ 𝑋 ⊆ ℝ) → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ)
4724, 27, 46syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ)
4847, 14ffvelcdmd 7104 . . . . . 6 (𝜑 → ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ∈ ℝ)
4948anim1i 615 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)) → (((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ∈ ℝ ∧ 0 < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)))
50 elrp 13033 . . . . 5 (((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ∈ ℝ+ ↔ (((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ∈ ℝ ∧ 0 < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)))
5149, 50sylibr 234 . . . 4 ((𝜑 ∧ 0 < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ∈ ℝ+)
5213, 45, 51rspcdva 3622 . . 3 ((𝜑 ∧ 0 < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)) → ∃𝑢 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧𝑈 ∧ (abs‘(𝑧𝑈)) < 𝑢) → (abs‘((((𝐹𝑧) − (𝐹𝑈)) / (𝑧𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)))
5324ad3antrrr 730 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ 0 < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧𝑈 ∧ (abs‘(𝑧𝑈)) < 𝑢) → (abs‘((((𝐹𝑧) − (𝐹𝑈)) / (𝑧𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) → 𝐹:𝑋⟶ℝ)
5427ad3antrrr 730 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ 0 < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧𝑈 ∧ (abs‘(𝑧𝑈)) < 𝑢) → (abs‘((((𝐹𝑧) − (𝐹𝑈)) / (𝑧𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) → 𝑋 ⊆ ℝ)
5534ad3antrrr 730 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ 0 < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧𝑈 ∧ (abs‘(𝑧𝑈)) < 𝑢) → (abs‘((((𝐹𝑧) − (𝐹𝑈)) / (𝑧𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) → 𝑈 ∈ (𝐴(,)𝐵))
5633ad3antrrr 730 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ 0 < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧𝑈 ∧ (abs‘(𝑧𝑈)) < 𝑢) → (abs‘((((𝐹𝑧) − (𝐹𝑈)) / (𝑧𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝑋)
5714ad3antrrr 730 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ 0 < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧𝑈 ∧ (abs‘(𝑧𝑈)) < 𝑢) → (abs‘((((𝐹𝑧) − (𝐹𝑈)) / (𝑧𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) → 𝑈 ∈ dom (ℝ D 𝐹))
58 dvferm1.r . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝑈(,)𝐵)(𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑈))
5958ad3antrrr 730 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ 0 < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧𝑈 ∧ (abs‘(𝑧𝑈)) < 𝑢) → (abs‘((((𝐹𝑧) − (𝐹𝑈)) / (𝑧𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) → ∀𝑦 ∈ (𝑈(,)𝐵)(𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑈))
60 simpllr 776 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ 0 < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧𝑈 ∧ (abs‘(𝑧𝑈)) < 𝑢) → (abs‘((((𝐹𝑧) − (𝐹𝑈)) / (𝑧𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) → 0 < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))
61 simplr 769 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ 0 < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧𝑈 ∧ (abs‘(𝑧𝑈)) < 𝑢) → (abs‘((((𝐹𝑧) − (𝐹𝑈)) / (𝑧𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) → 𝑢 ∈ ℝ+)
62 simpr 484 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ 0 < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧𝑈 ∧ (abs‘(𝑧𝑈)) < 𝑢) → (abs‘((((𝐹𝑧) − (𝐹𝑈)) / (𝑧𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) → ∀𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧𝑈 ∧ (abs‘(𝑧𝑈)) < 𝑢) → (abs‘((((𝐹𝑧) − (𝐹𝑈)) / (𝑧𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)))
63 eqid 2734 . . . . . 6 ((𝑈 + if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑢), 𝐵, (𝑈 + 𝑢))) / 2) = ((𝑈 + if(𝐵 ≤ (𝑈 + 𝑢), 𝐵, (𝑈 + 𝑢))) / 2)
6453, 54, 55, 56, 57, 59, 60, 61, 62, 63dvferm1lem 26036 . . . . 5 ¬ (((𝜑 ∧ 0 < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧𝑈 ∧ (abs‘(𝑧𝑈)) < 𝑢) → (abs‘((((𝐹𝑧) − (𝐹𝑈)) / (𝑧𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)))
6564imnani 400 . . . 4 (((𝜑 ∧ 0 < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) → ¬ ∀𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧𝑈 ∧ (abs‘(𝑧𝑈)) < 𝑢) → (abs‘((((𝐹𝑧) − (𝐹𝑈)) / (𝑧𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)))
6665nrexdv 3146 . . 3 ((𝜑 ∧ 0 < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)) → ¬ ∃𝑢 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝑈})((𝑧𝑈 ∧ (abs‘(𝑧𝑈)) < 𝑢) → (abs‘((((𝐹𝑧) − (𝐹𝑈)) / (𝑧𝑈)) − ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))) < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)))
6752, 66pm2.65da 817 . 2 (𝜑 → ¬ 0 < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈))
68 0re 11260 . . 3 0 ∈ ℝ
69 lenlt 11336 . . 3 ((((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ≤ 0 ↔ ¬ 0 < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)))
7048, 68, 69sylancl 586 . 2 (𝜑 → (((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ≤ 0 ↔ ¬ 0 < ((ℝ D 𝐹)‘𝑈)))
7167, 70mpbird 257 1 (𝜑 → ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) ≤ 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1536  wcel 2105  wne 2937  wral 3058  wrex 3067  cdif 3959  wss 3962  ifcif 4530  {csn 4630   class class class wbr 5147  cmpt 5230  dom cdm 5688  Fun wfun 6556  wf 6558  cfv 6562  (class class class)co 7430  cc 11150  cr 11151  0cc0 11152   + caddc 11155   < clt 11292  cle 11293  cmin 11489   / cdiv 11917  2c2 12318  +crp 13031  (,)cioo 13383  abscabs 15269  t crest 17466  TopOpenctopn 17467  fldccnfld 21381  intcnt 23040   lim climc 25911   D cdv 25912
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-iin 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-er 8743  df-map 8866  df-pm 8867  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-fi 9448  df-sup 9479  df-inf 9480  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-q 12988  df-rp 13032  df-xneg 13151  df-xadd 13152  df-xmul 13153  df-ioo 13387  df-icc 13390  df-fz 13544  df-seq 14039  df-exp 14099  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-struct 17180  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-rest 17468  df-topn 17469  df-topgen 17489  df-psmet 21373  df-xmet 21374  df-met 21375  df-bl 21376  df-mopn 21377  df-fbas 21378  df-fg 21379  df-cnfld 21382  df-top 22915  df-topon 22932  df-topsp 22954  df-bases 22968  df-cld 23042  df-ntr 23043  df-cls 23044  df-nei 23121  df-lp 23159  df-perf 23160  df-cn 23250  df-cnp 23251  df-haus 23338  df-fil 23869  df-fm 23961  df-flim 23962  df-flf 23963  df-xms 24345  df-ms 24346  df-cncf 24917  df-limc 25915  df-dv 25916
This theorem is referenced by:  dvferm  26040  dvivthlem1  26061
  Copyright terms: Public domain W3C validator