MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvcnvlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvcnvlem 24582
Description: Lemma for dvcnvre 24625. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvcnv.j 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
dvcnv.k 𝐾 = (𝐽t 𝑆)
dvcnv.s (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
dvcnv.y (𝜑𝑌𝐾)
dvcnv.f (𝜑𝐹:𝑋1-1-onto𝑌)
dvcnv.i (𝜑𝐹 ∈ (𝑌cn𝑋))
dvcnv.d (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐹) = 𝑋)
dvcnv.z (𝜑 → ¬ 0 ∈ ran (𝑆 D 𝐹))
dvcnv.c (𝜑𝐶𝑋)
Assertion
Ref Expression
dvcnvlem (𝜑 → (𝐹𝐶)(𝑆 D 𝐹)(1 / ((𝑆 D 𝐹)‘𝐶)))

Proof of Theorem dvcnvlem
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvcnv.f . . . . 5 (𝜑𝐹:𝑋1-1-onto𝑌)
2 f1of 6594 . . . . 5 (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌𝐹:𝑋𝑌)
31, 2syl 17 . . . 4 (𝜑𝐹:𝑋𝑌)
4 dvcnv.c . . . 4 (𝜑𝐶𝑋)
53, 4ffvelrnd 6833 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝐶) ∈ 𝑌)
6 dvcnv.k . . . . . 6 𝐾 = (𝐽t 𝑆)
7 dvcnv.j . . . . . . . 8 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
87cnfldtopon 23391 . . . . . . 7 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)
9 dvcnv.s . . . . . . . 8 (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
10 recnprss 24510 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → 𝑆 ⊆ ℂ)
119, 10syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
12 resttopon 21769 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝑆 ⊆ ℂ) → (𝐽t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
138, 11, 12sylancr 590 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐽t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
146, 13eqeltrid 2897 . . . . 5 (𝜑𝐾 ∈ (TopOn‘𝑆))
15 topontop 21521 . . . . 5 (𝐾 ∈ (TopOn‘𝑆) → 𝐾 ∈ Top)
1614, 15syl 17 . . . 4 (𝜑𝐾 ∈ Top)
17 dvcnv.y . . . 4 (𝜑𝑌𝐾)
18 isopn3i 21690 . . . 4 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑌𝐾) → ((int‘𝐾)‘𝑌) = 𝑌)
1916, 17, 18syl2anc 587 . . 3 (𝜑 → ((int‘𝐾)‘𝑌) = 𝑌)
205, 19eleqtrrd 2896 . 2 (𝜑 → (𝐹𝐶) ∈ ((int‘𝐾)‘𝑌))
21 f1ocnv 6606 . . . . . . . . 9 (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌𝐹:𝑌1-1-onto𝑋)
22 f1of 6594 . . . . . . . . 9 (𝐹:𝑌1-1-onto𝑋𝐹:𝑌𝑋)
231, 21, 223syl 18 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:𝑌𝑋)
24 eldifi 4057 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {(𝐹𝐶)}) → 𝑧𝑌)
25 ffvelrn 6830 . . . . . . . 8 ((𝐹:𝑌𝑋𝑧𝑌) → (𝐹𝑧) ∈ 𝑋)
2623, 24, 25syl2an 598 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {(𝐹𝐶)})) → (𝐹𝑧) ∈ 𝑋)
2726anim1i 617 . . . . . 6 (((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {(𝐹𝐶)})) ∧ (𝐹𝑧) ≠ 𝐶) → ((𝐹𝑧) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹𝑧) ≠ 𝐶))
28 eldifsn 4683 . . . . . 6 ((𝐹𝑧) ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↔ ((𝐹𝑧) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹𝑧) ≠ 𝐶))
2927, 28sylibr 237 . . . . 5 (((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {(𝐹𝐶)})) ∧ (𝐹𝑧) ≠ 𝐶) → (𝐹𝑧) ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}))
3029anasss 470 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {(𝐹𝐶)}) ∧ (𝐹𝑧) ≠ 𝐶)) → (𝐹𝑧) ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}))
31 eldifi 4057 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) → 𝑦𝑋)
32 dvcnv.d . . . . . . . . . 10 (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐹) = 𝑋)
33 dvbsss 24508 . . . . . . . . . 10 dom (𝑆 D 𝐹) ⊆ 𝑆
3432, 33eqsstrrdi 3973 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋𝑆)
3534, 11sstrd 3928 . . . . . . . 8 (𝜑𝑋 ⊆ ℂ)
3635sselda 3918 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝑋) → 𝑦 ∈ ℂ)
3731, 36sylan2 595 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → 𝑦 ∈ ℂ)
3834, 4sseldd 3919 . . . . . . . 8 (𝜑𝐶𝑆)
3911, 38sseldd 3919 . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
4039adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → 𝐶 ∈ ℂ)
4137, 40subcld 10990 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → (𝑦𝐶) ∈ ℂ)
42 toponss 21535 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ (TopOn‘𝑆) ∧ 𝑌𝐾) → 𝑌𝑆)
4314, 17, 42syl2anc 587 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑌𝑆)
4443, 11sstrd 3928 . . . . . . . 8 (𝜑𝑌 ⊆ ℂ)
453, 44fssd 6506 . . . . . . 7 (𝜑𝐹:𝑋⟶ℂ)
46 ffvelrn 6830 . . . . . . 7 ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑦𝑋) → (𝐹𝑦) ∈ ℂ)
4745, 31, 46syl2an 598 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → (𝐹𝑦) ∈ ℂ)
4844, 5sseldd 3919 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹𝐶) ∈ ℂ)
4948adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → (𝐹𝐶) ∈ ℂ)
5047, 49subcld 10990 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → ((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶)) ∈ ℂ)
51 eldifsni 4686 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) → 𝑦𝐶)
5251adantl 485 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → 𝑦𝐶)
5347, 49subeq0ad 11000 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → (((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶)) = 0 ↔ (𝐹𝑦) = (𝐹𝐶)))
54 f1of1 6593 . . . . . . . . . . 11 (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌𝐹:𝑋1-1𝑌)
551, 54syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹:𝑋1-1𝑌)
5655adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → 𝐹:𝑋1-1𝑌)
5731adantl 485 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → 𝑦𝑋)
584adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → 𝐶𝑋)
59 f1fveq 7002 . . . . . . . . 9 ((𝐹:𝑋1-1𝑌 ∧ (𝑦𝑋𝐶𝑋)) → ((𝐹𝑦) = (𝐹𝐶) ↔ 𝑦 = 𝐶))
6056, 57, 58, 59syl12anc 835 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → ((𝐹𝑦) = (𝐹𝐶) ↔ 𝑦 = 𝐶))
6153, 60bitrd 282 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → (((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶)) = 0 ↔ 𝑦 = 𝐶))
6261necon3bid 3034 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → (((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶)) ≠ 0 ↔ 𝑦𝐶))
6352, 62mpbird 260 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → ((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶)) ≠ 0)
6441, 50, 63divcld 11409 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → ((𝑦𝐶) / ((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) ∈ ℂ)
65 limcresi 24491 . . . . . 6 (𝐹 lim (𝐹𝐶)) ⊆ ((𝐹 ↾ (𝑌 ∖ {(𝐹𝐶)})) lim (𝐹𝐶))
6623feqmptd 6712 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹 = (𝑧𝑌 ↦ (𝐹𝑧)))
6766reseq1d 5821 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝑌 ∖ {(𝐹𝐶)})) = ((𝑧𝑌 ↦ (𝐹𝑧)) ↾ (𝑌 ∖ {(𝐹𝐶)})))
68 difss 4062 . . . . . . . . 9 (𝑌 ∖ {(𝐹𝐶)}) ⊆ 𝑌
69 resmpt 5876 . . . . . . . . 9 ((𝑌 ∖ {(𝐹𝐶)}) ⊆ 𝑌 → ((𝑧𝑌 ↦ (𝐹𝑧)) ↾ (𝑌 ∖ {(𝐹𝐶)})) = (𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {(𝐹𝐶)}) ↦ (𝐹𝑧)))
7068, 69ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((𝑧𝑌 ↦ (𝐹𝑧)) ↾ (𝑌 ∖ {(𝐹𝐶)})) = (𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {(𝐹𝐶)}) ↦ (𝐹𝑧))
7167, 70eqtrdi 2852 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝑌 ∖ {(𝐹𝐶)})) = (𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {(𝐹𝐶)}) ↦ (𝐹𝑧)))
7271oveq1d 7154 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝑌 ∖ {(𝐹𝐶)})) lim (𝐹𝐶)) = ((𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {(𝐹𝐶)}) ↦ (𝐹𝑧)) lim (𝐹𝐶)))
7365, 72sseqtrid 3970 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 lim (𝐹𝐶)) ⊆ ((𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {(𝐹𝐶)}) ↦ (𝐹𝑧)) lim (𝐹𝐶)))
74 f1ocnvfv1 7015 . . . . . . 7 ((𝐹:𝑋1-1-onto𝑌𝐶𝑋) → (𝐹‘(𝐹𝐶)) = 𝐶)
751, 4, 74syl2anc 587 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹‘(𝐹𝐶)) = 𝐶)
76 dvcnv.i . . . . . . 7 (𝜑𝐹 ∈ (𝑌cn𝑋))
7776, 5cnlimci 24495 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹‘(𝐹𝐶)) ∈ (𝐹 lim (𝐹𝐶)))
7875, 77eqeltrrd 2894 . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ (𝐹 lim (𝐹𝐶)))
7973, 78sseldd 3919 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ ((𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {(𝐹𝐶)}) ↦ (𝐹𝑧)) lim (𝐹𝐶)))
8045, 35, 4dvlem 24502 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → (((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶)) / (𝑦𝐶)) ∈ ℂ)
8137, 40, 52subne0d 10999 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → (𝑦𝐶) ≠ 0)
8250, 41, 63, 81divne0d 11425 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → (((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶)) / (𝑦𝐶)) ≠ 0)
83 eldifsn 4683 . . . . . . . 8 ((((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶)) / (𝑦𝐶)) ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ ((((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶)) / (𝑦𝐶)) ∈ ℂ ∧ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶)) / (𝑦𝐶)) ≠ 0))
8480, 82, 83sylanbrc 586 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → (((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶)) / (𝑦𝐶)) ∈ (ℂ ∖ {0}))
8584fmpttd 6860 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶)) / (𝑦𝐶))):(𝑋 ∖ {𝐶})⟶(ℂ ∖ {0}))
86 difss 4062 . . . . . . 7 (ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ
8786a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ)
88 eqid 2801 . . . . . 6 (𝐽t (ℂ ∖ {0})) = (𝐽t (ℂ ∖ {0}))
894, 32eleqtrrd 2896 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶 ∈ dom (𝑆 D 𝐹))
90 dvfg 24512 . . . . . . . . . 10 (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ)
91 ffun 6494 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ → Fun (𝑆 D 𝐹))
92 funfvbrb 6802 . . . . . . . . . 10 (Fun (𝑆 D 𝐹) → (𝐶 ∈ dom (𝑆 D 𝐹) ↔ 𝐶(𝑆 D 𝐹)((𝑆 D 𝐹)‘𝐶)))
939, 90, 91, 924syl 19 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐶 ∈ dom (𝑆 D 𝐹) ↔ 𝐶(𝑆 D 𝐹)((𝑆 D 𝐹)‘𝐶)))
9489, 93mpbid 235 . . . . . . . 8 (𝜑𝐶(𝑆 D 𝐹)((𝑆 D 𝐹)‘𝐶))
95 eqid 2801 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶)) / (𝑦𝐶))) = (𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶)) / (𝑦𝐶)))
966, 7, 95, 11, 45, 34eldv 24504 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐶(𝑆 D 𝐹)((𝑆 D 𝐹)‘𝐶) ↔ (𝐶 ∈ ((int‘𝐾)‘𝑋) ∧ ((𝑆 D 𝐹)‘𝐶) ∈ ((𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶)) / (𝑦𝐶))) lim 𝐶))))
9794, 96mpbid 235 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐶 ∈ ((int‘𝐾)‘𝑋) ∧ ((𝑆 D 𝐹)‘𝐶) ∈ ((𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶)) / (𝑦𝐶))) lim 𝐶)))
9897simprd 499 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑆 D 𝐹)‘𝐶) ∈ ((𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶)) / (𝑦𝐶))) lim 𝐶))
99 resttopon 21769 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ (ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ) → (𝐽t (ℂ ∖ {0})) ∈ (TopOn‘(ℂ ∖ {0})))
1008, 86, 99mp2an 691 . . . . . . . . 9 (𝐽t (ℂ ∖ {0})) ∈ (TopOn‘(ℂ ∖ {0}))
101100a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐽t (ℂ ∖ {0})) ∈ (TopOn‘(ℂ ∖ {0})))
1028a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ))
103 1cnd 10629 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
104101, 102, 103cnmptc 22270 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ 1) ∈ ((𝐽t (ℂ ∖ {0})) Cn 𝐽))
105101cnmptid 22269 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ 𝑥) ∈ ((𝐽t (ℂ ∖ {0})) Cn (𝐽t (ℂ ∖ {0}))))
1067, 88divcn 23476 . . . . . . . . 9 / ∈ ((𝐽 ×t (𝐽t (ℂ ∖ {0}))) Cn 𝐽)
107106a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → / ∈ ((𝐽 ×t (𝐽t (ℂ ∖ {0}))) Cn 𝐽))
108101, 104, 105, 107cnmpt12f 22274 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑥)) ∈ ((𝐽t (ℂ ∖ {0})) Cn 𝐽))
1099, 90syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ)
11032feq2d 6477 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ ↔ (𝑆 D 𝐹):𝑋⟶ℂ))
111109, 110mpbid 235 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑆 D 𝐹):𝑋⟶ℂ)
112111, 4ffvelrnd 6833 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑆 D 𝐹)‘𝐶) ∈ ℂ)
113109ffnd 6492 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑆 D 𝐹) Fn dom (𝑆 D 𝐹))
114 fnfvelrn 6829 . . . . . . . . . 10 (((𝑆 D 𝐹) Fn dom (𝑆 D 𝐹) ∧ 𝐶 ∈ dom (𝑆 D 𝐹)) → ((𝑆 D 𝐹)‘𝐶) ∈ ran (𝑆 D 𝐹))
115113, 89, 114syl2anc 587 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑆 D 𝐹)‘𝐶) ∈ ran (𝑆 D 𝐹))
116 dvcnv.z . . . . . . . . 9 (𝜑 → ¬ 0 ∈ ran (𝑆 D 𝐹))
117 nelne2 3087 . . . . . . . . 9 ((((𝑆 D 𝐹)‘𝐶) ∈ ran (𝑆 D 𝐹) ∧ ¬ 0 ∈ ran (𝑆 D 𝐹)) → ((𝑆 D 𝐹)‘𝐶) ≠ 0)
118115, 116, 117syl2anc 587 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑆 D 𝐹)‘𝐶) ≠ 0)
119 eldifsn 4683 . . . . . . . 8 (((𝑆 D 𝐹)‘𝐶) ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (((𝑆 D 𝐹)‘𝐶) ∈ ℂ ∧ ((𝑆 D 𝐹)‘𝐶) ≠ 0))
120112, 118, 119sylanbrc 586 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑆 D 𝐹)‘𝐶) ∈ (ℂ ∖ {0}))
121100toponunii 21524 . . . . . . . 8 (ℂ ∖ {0}) = (𝐽t (ℂ ∖ {0}))
122121cncnpi 21886 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑥)) ∈ ((𝐽t (ℂ ∖ {0})) Cn 𝐽) ∧ ((𝑆 D 𝐹)‘𝐶) ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑥)) ∈ (((𝐽t (ℂ ∖ {0})) CnP 𝐽)‘((𝑆 D 𝐹)‘𝐶)))
123108, 120, 122syl2anc 587 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑥)) ∈ (((𝐽t (ℂ ∖ {0})) CnP 𝐽)‘((𝑆 D 𝐹)‘𝐶)))
12485, 87, 7, 88, 98, 123limccnp 24497 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑥))‘((𝑆 D 𝐹)‘𝐶)) ∈ (((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑥)) ∘ (𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶)) / (𝑦𝐶)))) lim 𝐶))
125 oveq2 7147 . . . . . . 7 (𝑥 = ((𝑆 D 𝐹)‘𝐶) → (1 / 𝑥) = (1 / ((𝑆 D 𝐹)‘𝐶)))
126 eqid 2801 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑥)) = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑥))
127 ovex 7172 . . . . . . 7 (1 / ((𝑆 D 𝐹)‘𝐶)) ∈ V
128125, 126, 127fvmpt 6749 . . . . . 6 (((𝑆 D 𝐹)‘𝐶) ∈ (ℂ ∖ {0}) → ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑥))‘((𝑆 D 𝐹)‘𝐶)) = (1 / ((𝑆 D 𝐹)‘𝐶)))
129120, 128syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑥))‘((𝑆 D 𝐹)‘𝐶)) = (1 / ((𝑆 D 𝐹)‘𝐶)))
130 eqidd 2802 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶)) / (𝑦𝐶))) = (𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶)) / (𝑦𝐶))))
131 eqidd 2802 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑥)) = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑥)))
132 oveq2 7147 . . . . . . . 8 (𝑥 = (((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶)) / (𝑦𝐶)) → (1 / 𝑥) = (1 / (((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶)) / (𝑦𝐶))))
13384, 130, 131, 132fmptco 6872 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑥)) ∘ (𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶)) / (𝑦𝐶)))) = (𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ (1 / (((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶)) / (𝑦𝐶)))))
13450, 41, 63, 81recdivd 11426 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶})) → (1 / (((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶)) / (𝑦𝐶))) = ((𝑦𝐶) / ((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))))
135134mpteq2dva 5128 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ (1 / (((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶)) / (𝑦𝐶)))) = (𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ ((𝑦𝐶) / ((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶)))))
136133, 135eqtrd 2836 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑥)) ∘ (𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶)) / (𝑦𝐶)))) = (𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ ((𝑦𝐶) / ((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶)))))
137136oveq1d 7154 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑥)) ∘ (𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶)) / (𝑦𝐶)))) lim 𝐶) = ((𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ ((𝑦𝐶) / ((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶)))) lim 𝐶))
138124, 129, 1373eltr3d 2907 . . . 4 (𝜑 → (1 / ((𝑆 D 𝐹)‘𝐶)) ∈ ((𝑦 ∈ (𝑋 ∖ {𝐶}) ↦ ((𝑦𝐶) / ((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶)))) lim 𝐶))
139 oveq1 7146 . . . . 5 (𝑦 = (𝐹𝑧) → (𝑦𝐶) = ((𝐹𝑧) − 𝐶))
140 fveq2 6649 . . . . . 6 (𝑦 = (𝐹𝑧) → (𝐹𝑦) = (𝐹‘(𝐹𝑧)))
141140oveq1d 7154 . . . . 5 (𝑦 = (𝐹𝑧) → ((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶)) = ((𝐹‘(𝐹𝑧)) − (𝐹𝐶)))
142139, 141oveq12d 7157 . . . 4 (𝑦 = (𝐹𝑧) → ((𝑦𝐶) / ((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) = (((𝐹𝑧) − 𝐶) / ((𝐹‘(𝐹𝑧)) − (𝐹𝐶))))
143 eldifsni 4686 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {(𝐹𝐶)}) → 𝑧 ≠ (𝐹𝐶))
144143adantl 485 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {(𝐹𝐶)})) → 𝑧 ≠ (𝐹𝐶))
145144necomd 3045 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {(𝐹𝐶)})) → (𝐹𝐶) ≠ 𝑧)
146 f1ocnvfvb 7018 . . . . . . . . 9 ((𝐹:𝑋1-1-onto𝑌𝐶𝑋𝑧𝑌) → ((𝐹𝐶) = 𝑧 ↔ (𝐹𝑧) = 𝐶))
1471, 4, 24, 146syl2an3an 1419 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {(𝐹𝐶)})) → ((𝐹𝐶) = 𝑧 ↔ (𝐹𝑧) = 𝐶))
148147necon3abid 3026 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {(𝐹𝐶)})) → ((𝐹𝐶) ≠ 𝑧 ↔ ¬ (𝐹𝑧) = 𝐶))
149145, 148mpbid 235 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {(𝐹𝐶)})) → ¬ (𝐹𝑧) = 𝐶)
150149pm2.21d 121 . . . . 5 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {(𝐹𝐶)})) → ((𝐹𝑧) = 𝐶 → (((𝐹𝑧) − 𝐶) / ((𝐹‘(𝐹𝑧)) − (𝐹𝐶))) = (1 / ((𝑆 D 𝐹)‘𝐶))))
151150impr 458 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {(𝐹𝐶)}) ∧ (𝐹𝑧) = 𝐶)) → (((𝐹𝑧) − 𝐶) / ((𝐹‘(𝐹𝑧)) − (𝐹𝐶))) = (1 / ((𝑆 D 𝐹)‘𝐶)))
15230, 64, 79, 138, 142, 151limcco 24499 . . 3 (𝜑 → (1 / ((𝑆 D 𝐹)‘𝐶)) ∈ ((𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {(𝐹𝐶)}) ↦ (((𝐹𝑧) − 𝐶) / ((𝐹‘(𝐹𝑧)) − (𝐹𝐶)))) lim (𝐹𝐶)))
15375eqcomd 2807 . . . . . . . 8 (𝜑𝐶 = (𝐹‘(𝐹𝐶)))
154153adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {(𝐹𝐶)})) → 𝐶 = (𝐹‘(𝐹𝐶)))
155154oveq2d 7155 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {(𝐹𝐶)})) → ((𝐹𝑧) − 𝐶) = ((𝐹𝑧) − (𝐹‘(𝐹𝐶))))
156 f1ocnvfv2 7016 . . . . . . . 8 ((𝐹:𝑋1-1-onto𝑌𝑧𝑌) → (𝐹‘(𝐹𝑧)) = 𝑧)
1571, 24, 156syl2an 598 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {(𝐹𝐶)})) → (𝐹‘(𝐹𝑧)) = 𝑧)
158157oveq1d 7154 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {(𝐹𝐶)})) → ((𝐹‘(𝐹𝑧)) − (𝐹𝐶)) = (𝑧 − (𝐹𝐶)))
159155, 158oveq12d 7157 . . . . 5 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {(𝐹𝐶)})) → (((𝐹𝑧) − 𝐶) / ((𝐹‘(𝐹𝑧)) − (𝐹𝐶))) = (((𝐹𝑧) − (𝐹‘(𝐹𝐶))) / (𝑧 − (𝐹𝐶))))
160159mpteq2dva 5128 . . . 4 (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {(𝐹𝐶)}) ↦ (((𝐹𝑧) − 𝐶) / ((𝐹‘(𝐹𝑧)) − (𝐹𝐶)))) = (𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {(𝐹𝐶)}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹‘(𝐹𝐶))) / (𝑧 − (𝐹𝐶)))))
161160oveq1d 7154 . . 3 (𝜑 → ((𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {(𝐹𝐶)}) ↦ (((𝐹𝑧) − 𝐶) / ((𝐹‘(𝐹𝑧)) − (𝐹𝐶)))) lim (𝐹𝐶)) = ((𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {(𝐹𝐶)}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹‘(𝐹𝐶))) / (𝑧 − (𝐹𝐶)))) lim (𝐹𝐶)))
162152, 161eleqtrd 2895 . 2 (𝜑 → (1 / ((𝑆 D 𝐹)‘𝐶)) ∈ ((𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {(𝐹𝐶)}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹‘(𝐹𝐶))) / (𝑧 − (𝐹𝐶)))) lim (𝐹𝐶)))
163 eqid 2801 . . 3 (𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {(𝐹𝐶)}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹‘(𝐹𝐶))) / (𝑧 − (𝐹𝐶)))) = (𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {(𝐹𝐶)}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹‘(𝐹𝐶))) / (𝑧 − (𝐹𝐶))))
16423, 35fssd 6506 . . 3 (𝜑𝐹:𝑌⟶ℂ)
1656, 7, 163, 11, 164, 43eldv 24504 . 2 (𝜑 → ((𝐹𝐶)(𝑆 D 𝐹)(1 / ((𝑆 D 𝐹)‘𝐶)) ↔ ((𝐹𝐶) ∈ ((int‘𝐾)‘𝑌) ∧ (1 / ((𝑆 D 𝐹)‘𝐶)) ∈ ((𝑧 ∈ (𝑌 ∖ {(𝐹𝐶)}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹‘(𝐹𝐶))) / (𝑧 − (𝐹𝐶)))) lim (𝐹𝐶)))))
16620, 162, 165mpbir2and 712 1 (𝜑 → (𝐹𝐶)(𝑆 D 𝐹)(1 / ((𝑆 D 𝐹)‘𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1538  wcel 2112  wne 2990  cdif 3881  wss 3884  {csn 4528  {cpr 4530   class class class wbr 5033  cmpt 5113  ccnv 5522  dom cdm 5523  ran crn 5524  cres 5525  ccom 5527  Fun wfun 6322   Fn wfn 6323  wf 6324  1-1wf1 6325  1-1-ontowf1o 6327  cfv 6328  (class class class)co 7139  cc 10528  cr 10529  0cc0 10530  1c1 10531  cmin 10863   / cdiv 11290  t crest 16689  TopOpenctopn 16690  fldccnfld 20094  Topctop 21501  TopOnctopon 21518  intcnt 21625   Cn ccn 21832   CnP ccnp 21833   ×t ctx 22168  cnccncf 23484   lim climc 24468   D cdv 24469
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608  ax-mulf 10610
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-iin 4887  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-of 7393  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-supp 7818  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-2o 8090  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-pm 8396  df-ixp 8449  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fsupp 8822  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12382  df-xneg 12499  df-xadd 12500  df-xmul 12501  df-icc 12737  df-fz 12890  df-fzo 13033  df-seq 13369  df-exp 13430  df-hash 13691  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sqrt 14589  df-abs 14590  df-struct 16480  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-ress 16486  df-plusg 16573  df-mulr 16574  df-starv 16575  df-sca 16576  df-vsca 16577  df-ip 16578  df-tset 16579  df-ple 16580  df-ds 16582  df-unif 16583  df-hom 16584  df-cco 16585  df-rest 16691  df-topn 16692  df-0g 16710  df-gsum 16711  df-topgen 16712  df-pt 16713  df-prds 16716  df-xrs 16770  df-qtop 16775  df-imas 16776  df-xps 16778  df-mre 16852  df-mrc 16853  df-acs 16855  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-submnd 17952  df-mulg 18220  df-cntz 18442  df-cmn 18903  df-psmet 20086  df-xmet 20087  df-met 20088  df-bl 20089  df-mopn 20090  df-fbas 20091  df-fg 20092  df-cnfld 20095  df-top 21502  df-topon 21519  df-topsp 21541  df-bases 21554  df-cld 21627  df-ntr 21628  df-cls 21629  df-nei 21706  df-lp 21744  df-perf 21745  df-cn 21835  df-cnp 21836  df-haus 21923  df-tx 22170  df-hmeo 22363  df-fil 22454  df-fm 22546  df-flim 22547  df-flf 22548  df-xms 22930  df-ms 22931  df-tms 22932  df-cncf 23486  df-limc 24472  df-dv 24473
This theorem is referenced by:  dvcnv  24583
  Copyright terms: Public domain W3C validator